茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)配套题库-章节题库-第4~8章【圣才出品】

第1章随机事件与概率一、随机事件及其运算1．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1），共含有个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意．（2），共含有个样本点．（3），共含有可列个样本点．（4）黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红（5）黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间Ω是什么？解：3．设A，B，C为三事件，试表示下列事件：（1）A，B，C都发生或都不发生：（2）A，B，C中不多于一个发生；（3）A，B，C中不多于两个发生；（4）A，B，C中至少有两个发生．解：（1）（2）（3）（4）4．指出下列事件等式成立的条件．（1）（2）解：（1）（2）5．设X为随机变量，其样本空间为，记事件，写出下列各事件：解：的图示如图1-1：图1-1（1）（2）（3）由于，所以，故（4）由于，所以，故6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：解：7．试问下列命题是否成立？（1）（2）若且，则（3）（4）解：（1）不成立是因为由（1）的左端可得（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：来简化事件．（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是8．若事件，是否一定有解：不能，因为发生有多种情况，如（1）A，B，C中两两不相容（见图1-2（a））；（2）A，B，C中有两个相容，但与第三个都不相容（见图1-2b））；（3）A与B相容，A与C相容，但B与C不相容（见图1-2（c））；（4）A，B，C中两两相容，但其交不含任一样本点（见图1-2（d））．图1-29．请叙述下列事件的对立事件：（1）A＝“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B＝“射击三次，皆命中目标”；（3）C＝“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）“掷两枚硬币，至少有一反面”．（2）“射击三次，至少有一次不命中目标”．（3）“加工四个零件，全为不合格品”．10．证明下列事件的运算公式：（1）（2）证：（1）右边＝左边．（2）利用（1）有，所以11．设为一事件域，若试证：（1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算证：（1）因为为一事件域，所以，故其对立事件（2）构造一个事件序列，其中由此得（3）因为．所以，由，得（4）因为，所以，由，得（5）因为，所以，由（3）（有限交）得二、概率的定义及其确定方法1．对于组合数，证明：（1）（2）（3）（4）（5）（6）证：（1）等式两边用组合数公式展开即可得证．（2）因为右边左边．（3）因为右边左边．（4）因为所以左边＝右边．（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a＋b个，其中a个是不合格品，b个是合格品，从中随机取出n个，则事件“取出的n个产品中有k个不合格。

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。

（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。

二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。

三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。

（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。

2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。

3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。

4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。