Logistic混沌映射[1]

1基于混沌的序列密码加密方法1.1混沌系统的特点混沌现象是在非线性动力学系统中出现的确定性的、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始状态具有极其敏感的依赖性，即初始状态只有微小差别的两个同构混沌系统在较短的时间后就会产生两组完全不同的、互不相关的混沌序列值。

混沌信号具有天然的随机性，特别是经过一定处理后的混沌信号具有非常大的周期和优良的随机性，完全可以用来产生符合安全性要求的序列密码。

更重要的是，通过混沌系统对初始状态和参数的敏感依赖性，可以提供数量众多的密钥。

根据混沌系统的上述特点，可以用其产生序列密码。

经过合理设计的混沌序列密码加密算法不会随着对符合要求的密钥流数量的提高而复杂化。

1.2 基于Logistic映射的混沌序列密码加密算法Logistic映射是一维离散混沌系统，运算速度快，方程反复迭代可以产生较好的混沌序列。

产生的混沌序列对初始状态和系统参数极其敏感。

Logistic映射的定义为：X(n) = F[x(n-1)] = u*x(n-1)*(1-x(n-1))其中，控制参数u介于（0，4），x（n）在（0，1）之间，Logistic映射的大量研究已经表明，当u达到极限值，即u=3.5699456时，系统的稳态解周期为∞。

当3.5699456<u ≤4时，Logistic映射呈现混沌状态，所以为了实现混沌态，在实际应用时，u的取值范围应设定为：3.5699456<u≤41.3 混沌序列产生定义XML字符串长度记为|X|，系统交互次数为N。

S为|X|及N变为小数后得乘积。

例如|X|=352，N=8，则S=0.352*0.8u=3.569946+S/2 (保证u<4); X0=S多次迭代F[x(n-1)]式,就得到一个序列值X i(i=0,1,2,3,4…n)，取X i小数点后第j到j+k 位，就可以得到一个n*(k+1)位的加密密钥。

4种混沌映射的特点
混沌映射是一种重要的非线性动力学系统，具有复杂的动力学特性，已经被广泛应用于许多领域。

本文介绍了四种常见的混沌映射及其特点。

1. Logistic映射
Logistic映射是一种广泛应用于混沌理论研究中的典型非线性动力学系统。

它的特点是简单易行，具有双稳态和混沌行为，是研究混沌现象的经典示例。

2. Henon映射
Henon映射是一种双参数混沌映射，它的特点是具有分形结构、非周期性、高度敏感依赖于初值和参数，并且在参数空间中形成了复杂的混沌吸引子。

3. Lorenz映射
Lorenz映射是一种具有吸引子的三维非线性动力学系统，它的特点是具有强的混沌行为和灵敏的初始条件依赖性，常被用于模拟大气和海洋中的流体运动。

4. Ikeda映射
Ikeda映射是一种典型的非线性动力学系统，它的特点是具有高度敏感的初值和参数、分形结构和复杂的混沌吸引子，常被用于研究光学系统中的非线性动力学现象。

以上是四种典型的混沌映射及其特点。

混沌映射在科学研究、信息加密、密码学、图像处理等领域有着广泛的应用价值，未来将会有
更多的研究和应用。

§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。

该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。

若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。

（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。

4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。

（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。

图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。

45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。

由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。

由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。

仿此做法可得到所迭代点。

),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。

但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。

终态集的情况与控制参数λ有很大关系。

增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。

改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。

它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。

logistic混沌加密原理Logistic混沌加密原理是一种基于混沌理论的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。

Logistic混沌加密原理的基本思想是通过对明文进行混沌变换，使其变得随机和不可预测，从而达到加密的目的。

Logistic混沌加密原理的核心是Logistic映射函数，它是一种非线性的动态系统，可以产生复杂的混沌序列。

Logistic映射函数的公式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，r是一个常数，通常取值在3.57到4之间。

通过不断迭代，Logistic映射函数可以产生一个随机的、不可预测的序列，这个序列被称为Logistic混沌序列。

Logistic混沌加密原理的加密过程如下：1. 初始化：选择一个初始值X0和一个密钥K，将X0作为明文的一部分，K作为加密密钥。

2. 生成密钥流：使用Logistic映射函数生成一个随机的、不可预测的密钥流，将其与明文进行异或运算，得到密文。

3. 解密：使用相同的初始值X0和密钥K，使用Logistic映射函数生成相同的密钥流，将其与密文进行异或运算，得到明文。

Logistic混沌加密原理具有以下优点：1. 安全性高：Logistic混沌序列具有随机性和不可预测性，使得攻击者无法破解密文。

2. 速度快：Logistic混沌加密算法的加密和解密速度都很快，适用于实时加密和解密。

3. 灵活性强：Logistic混沌加密算法可以根据需要选择不同的参数，以适应不同的加密需求。

4. 实现简单：Logistic混沌加密算法的实现非常简单，只需要进行一些基本的数学运算即可。

总之，Logistic混沌加密原理是一种非常有效的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。

在实际应用中，Logistic混沌加密算法可以用于保护敏感数据的安全，例如网络通信、金融交易等领域。

logistic映射混沌加密算法混沌理论是一种非线性动力学系统的研究方法，其核心思想是通过微小的初始条件差异引起系统的巨大变化，表现出复杂、随机且不可预测的行为。

混沌理论在信息安全领域具有重要的应用，其中logistic映射混沌加密算法是一种常用的加密方法。

logistic映射是一种简单而有效的动力学系统，其公式为Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn表示第n个时间点的状态值，r为控制参数，通常取值在0到4之间。

通过迭代计算，logistic映射可以产生一系列的状态值，这些值呈现出混沌的特性。

logistic映射混沌加密算法的基本思想是将待加密的数据与logistic映射的状态值进行异或运算，以增加数据的随机性和不可预测性。

具体加密过程如下：1. 初始化：设置初始状态X0和控制参数r的值，选择合适的初始状态和控制参数是保证加密效果的关键。

2. 生成密钥流：通过迭代计算logistic映射的状态值，得到一系列的随机数作为密钥流。

密钥流的长度取决于需要加密的数据长度。

3. 加密：将待加密的数据与密钥流进行异或运算，生成密文。

异或运算的特点是相同位上的数字相同则结果为0，不同则结果为1，这样可以实现简单而高效的加密过程。

4. 解密：使用相同的初始状态和控制参数，再次生成密钥流，将密文与密钥流进行异或运算，得到原始数据。

logistic映射混沌加密算法具有以下特点：1. 高度随机性：由于logistic映射本身的混沌性质，生成的密钥流具有高度随机性，使得加密后的数据无法被破解。

2. 非线性变换：logistic映射混沌加密算法采用非线性的异或运算，使得加密后的数据与原始数据之间的关系变得非常复杂，增加了破解的难度。

3. 实时性：logistic映射混沌加密算法具有较高的加密速度，适用于对大量数据进行实时加密和解密的场景。

4. 简单性：logistic映射混沌加密算法的实现较为简单，只需要进行简单的数学运算，不需要复杂的计算和存储。

混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群算法是一种基于混沌映射的粒子群优化算法。

混沌映射，如Logistic 映射，被用于生成随机数序列，以增加算法的随机性和多样性。

该算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，每个粒子仅具有两个属性：速度和位置。

然后通过迭代找到最优解。

在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。

在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。

混沌映射优化粒子群算法的具体步骤如下：
1. 初始化粒子群，包括每个粒子的位置和速度。

2. 采用混沌映射生成随机数序列，用来更新每个粒子的速度和位置。

3. 根据粒子的当前位置和历史最优位置来更新粒子的历史最优位置。

4. 根据所有粒子的历史最优位置来更新全局最优位置。

5. 根据更新后的速度和位置，继续迭代。

该算法具有简单、容易实现并且没有许多参数的调节等优势，已被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域。

一种基于Logistic映射的水声混沌信号测距方法郭亚静;王黎明;王琳;范浩【摘要】在浅海水声定位系统中,针对传统声呐信号持续时间长、效率低、正交性差的问题,提出了一种抗噪声、快速、窄带的水声混沌信号.通过推导Logistic混沌序列的混沌性和相关特性;并据此将具有混沌特性的相位信息对混沌序列进行调制.理论表明调制后的水声混沌信号具有正的Lyapunov指数、理想的相关性和窄带性.水域数据分析显示,水声混沌信号依旧表现出混沌性和窄带性;并且与同水域实验的m序列相比,定位精度提高了5 cm左右,信号时长缩短了73 ms,为海洋中动态目标的快速定位提供了参考.%In the shallow water acoustic localization systems,a kind of underwater acoustic chaotic signal that is anti-noise,fast and narrowband is proposed for tranditional sonar signal being a long time,low efficiency and poor orthogonality.The chaos and correlation properties of Logistic chaotic sequences are dericed, and the chaotic sequence is modulated by the phase information with chaotic characteristics.The theory shows that chaotic modulated signal of underwater acoustic chaotic signal has a positive Lyapunov exponent, ideal correlation and narrowband.Analysis of water experimental data show that underwater acoustic chaotic signal still puts up chaotic characteristics and narrowband,and compares with the m-sequence that the positioning accuracy improves the 4 cm and the time of signal is shortened 73 ms at the same waters.It provides a reference for the rapid localization of the dynamic target in the ocean.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2017(017)005【总页数】6页(P10-14,46)【关键词】浅海水声定位;Logistic映射;相位调制;快速定位【作者】郭亚静;王黎明;王琳;范浩【作者单位】中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051【正文语种】中文【中图分类】TB566声波是目前在海洋中能够远距离传播的能量辐射形式，而无线电波和光波在海水中传播时都要受到严重的衰减，不利于作为传递信息的载体，因此声呐信号的研究成为提高海洋探测、目标定位、通信质量的手段[1]。

Logistic混沌映射引言如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。

在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。

至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。

而这些特性正符合序列密码的要求。

1989年Robert Matthews 在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。

混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。

Logistic映射分析一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。

此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]其中μ∈[0,4]被称为Logistic参数。

研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic 映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。

logistic映射算法
Logistic映射算法是一种常见的非线性动力系统模型，它描述了一个种群在给定资源和环境条件下的增长规律。

该算法最初由生态学家Verhulst在19世纪提出，用来描述物种在资源有限的情况下的增长规律。

Logistic映射算法的数学表达式为：
\[ x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1 x_n) \]
其中，\( x_n \) 是种群在第n个时间步的规模，\( r \) 是增长率参数。

Logistic映射算法的特点在于，当种群规模较小时，增长率会随着种群规模的增大而增大，但当种群规模接近环境容量时，增长率会逐渐减小，最终趋于稳定。

这种非线性的增长规律与自然界中许多生物种群的增长情况相符合。

Logistic映射算法不仅在生态学中有着重要的应用，还被广泛应用于混沌理论、密码学、神经网络等领域。

在混沌理论中，
Logistic映射算法的迭代过程可以产生复杂的、看似随机的序列，
这对于加密和解密过程有着重要的意义。

在神经网络中，Logistic
映射算法可以用来建立非线性的激活函数，从而提高神经网络的拟
合能力。

总之，Logistic映射算法作为一种描述非线性动力系统的模型，在多个领域都有着重要的应用。

它不仅帮助我们理解自然界中的生
物种群增长规律，还为混沌理论和神经网络的发展提供了重要的数
学基础。

第24卷第2期2006年3月北京工商大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Techno logy and Business U niversity (N atural Science Editi on )V o l 124N o 12M ar .2006 文章编号:167121513(2006)022*******混沌的复杂度研究方法和L og istic 映射分析王云雄1,　翁贻方1,2,　郑德玲2(11北京工商大学信息工程学院,北京　100037;21北京科技大学信息工程学院,北京　100083)摘　要:研究和评价了混沌复杂度3种定量分析方法——L yap unov 指数、分维、,及其它们之间的内在联系,并研究了一种简单有效的测度熵替代方法——近似熵(app rox i m ate en trop y )方法Λ应用以上方法对L ogistic 映射复杂度进行了分析Λ结果表明L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,分维数与复杂度的函数关系尚难确定,且与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确Λ关键词:混沌;复杂度;L yap unov 指数;分维;测度熵中图分类号:T P 30115;N 94114 文献标识码:A 收稿日期:20051206基金项目:北京市优秀人才培养专项经费资助项目(20041D 0500309)作者简介:王云雄(1982-),男,四川内江人,硕士研究生,主要研究方向为计算机网络管理与信息安全;翁贻方(1954-),女,上海人,教授,主要从事控制理论及应用,混浊同步保密通信与信息加密研究Ζ 在非线性科学的研究领域中一直存在着大量的复杂现象,而传统的理论和分析方法在这些现象面前却无能为力Ζ随着非线性科学的发展,到了20世纪80年代中期,一些以复杂度本身为研究对象的研究才陆陆续续地展开,相关的论文和书籍开始出现Ζ但应当指出的是,对于复杂度来说,目前既没有达成统一的理解,更没有统一的科学定义,可以说,对于复杂度的研究现在还处于起步阶段Ζ混沌,作为非线性动力系统的一个经典复杂现象,近几十年被广泛地应用于保密通信的研究,提出了大量的混沌加密算法Ζ因此,对混沌的复杂度进行深入的研究有着十分重要的意义Ζ一方面,对混沌系统复杂度的分析可以丰富目前尚未系统化的复杂度理论;另一方面,也为混沌加密算法的强度度量提供了新的思路和方法Ζ旨在用非线性动力学的分析方法对混沌的复杂度进行探索性研究,以L ogistic 映射为对象,研究各种定量分析方法的内在联系Ζ1　混沌的定性特征混沌,作为非线性动力系统中的一个既普遍又复杂的系统,具有通常确定性运动所不具备的几何和统计特性:局部不稳定而整体稳定、连续功率谱、奇异吸引子、正的L yap unov 指数、分维、正的测度熵等等Ζ概括地说,混沌具有以下3个主要的定性特征[1]:1)内随机性:混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等,是指混沌现象产生的根源在系统本身Ζ内随机性的另一个含义是局部不稳定性Ζ一般,产生混沌的系统具有内在不稳定性而整体稳定性Ζ混沌态与有序态的不同之处在于,它同时具有整体稳定性和局部不稳定性Ζ所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于初始条件Ζ2)分维特性:混沌态具有分维性质,但其非整数维不是用来描述系统的几何外形,而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征Ζ混沌运动在相空间中的某个区域内无限次的穿越,构成了一个有无穷层次的自相似结构——奇异吸引子Ζ3)普适性和Feigenbaum 常数:混沌是一种无周期的“高级”有序运动Ζ在研究混沌的过程中,可以83发现某种标度的不变性,代替了通常的空间和时间周期性;所谓普适性,是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征,它不依具体的系数以及系统的运动方程而变Ζ2　混沌复杂度的分析方法由于到目前为止对复杂度还没有严格的数学定义,在研究混沌的复杂度时,习惯性地将定量描述混沌性质的一些参数(L yap unov 指数、分维、测度熵等)列入复杂度的度量方法Ζ211　L yapunov 指数L yap unov 指数是混沌过程的一个重要参数,它给出了混沌过程对初始状态的依赖程度Ζ在非混沌系统中,相邻轨道一般是收敛的,或者是以小于指数形式的速率发散的;在混沌系统中,相邻轨道是以指数形式发散的Ζ而正的L yap unov 指数对应本征矢方向上的位移初始点,其发展出来的轨道会呈指数化分离趋势;在负的L yap unov 指数对应本征矢方向上,相空间轨道会相互吸引趋近Ζ因此,在非线性动力系统的研究中经常将正的L yap unov 指数作为混沌是否出现的一个判据Ζ对于连续系统d xd t=f (x (t )),x (t )∈R n .(1)n 维空间中的一轨道与相邻轨道的初始条件为x 0和x 0+∃x 0,其切向量为W (x 0,t ),则L yap unov 指数可以定义为两相邻轨道的平均指数发散率Κ(x 0,W )=li m t →∞1t ln ‖W (x 0,t )‖‖W (x 0,0)‖;(2)对于离散系统x n +1=f (x n ),x n ∈R n.(3)令A n =[M (x n )M (x n -1)K ・M (x 1)]1 n,其中M (x n )为f (・)的Jacob i 矩阵,同时A n 设的特征值为∆i (n ),则L yap unov 指数可以定义为Κi =li m n →∞1nln ∆i (n ) Ζ(4)其实,前一种定义主要针对L yap unov 指数的几何意义而言,而后一种定义则是针对计算角度来描述的Ζ一维L ogistic 映射为x n +1=Λx n (1-x n ),0≤x ≤1,0<Λ≤4(5)图1表示了L ogistic 映射的L yap unov 指数随参数Λ的变化趋势,其中迭代次数为2000,初值为013Ζ从图1中可见,L ogistic 映射的L yap unov 指数值Κ随着参数Λ变化而发生复杂变化,同时与之对应的是L ogistic 映射的复杂性态的变化:1)Λ∈(0,1]时,Κ从一个负值趋向于0,x 值收a )全局图;b )局部放大图图1　L ogistic 映射的L yapunov 指数敛到不动点0;2)Λ∈(1,3]时,Κ<0,x 收敛到1-1 Λ,其中当Λ=2时,存在一个超稳定点,此时Κ→-∞(由于迭代次数有限,所以在图1中体现为一个有限大的负值);3)Λ∈(3,31571448]时,系统状态为倍周期分叉,Κ处于0→-∞→0的循环过程;4)Λ∈(31571448,3182842]时,系统状态为阵发混沌,这时Κ>0,在某些窗口处,Κ<0;5)Λ∈(319,4]时,系统处于混沌态,Κ>0Ζ可见L yap unov 指数表征了L ogistic 混沌映射的复杂性态Ζ但现在有观点认为,L yap unov 指数不93　第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析能反映介于有序和随机之间的复杂性,更不能用它的数值作为复杂程度大小的度量[2]Ζ这一观点是建立在符号动力学基础上的Ζ一方面,当Λ=4时,也就是满射的时候,L yap unov指数达到最大值0169,虽然这时L ogistic映射具有正的L yap unov指数,符合关于混沌的许多定义,但从符号动力学的观点来看,由于其完全随机性,可以认为它的符号动力学行为是简单的Ζ另一方面,文献[3]的研究结果表明,当L yap unov指数的值为0时,系统行为有可能是非常复杂的Ζ尽管如此,L yap unov指数能准确反映混沌过程对初始状态的依赖程度,而混沌对初始状态的敏感性使混沌的状态难以预测,这正是混沌复杂度的一个表现Ζ212　分维混沌吸引子具有无穷层次的自相似结构,可以用维数来表征它的离散程度Ζ相轨道的自相似结构使得其相轨线不能填满整个相空间,从而形成了混沌系统所特有的分形结构,具有分数维数的特征,因此分数维数也是判断混沌运动的有效手段Ζ设S为N维空间中的子集,M(Ε)是覆盖S所需的边长为Ε的N维立方体的数量,则可以用下式来表示其容量(H au sdo rff)维数,D(S)=li mΕ→0ln M(Ε)ln(1 Ε).(6)如果一个吸引子的维数D(S)为分数,则可判断其为混沌Ζ但是H au sdo rff分维数的计算十分困难, Grassberg和P rocaccia于1983年提出了GP算法来计算另一种分维数D c(S),也就是关联维数D c(S)=li mΕ→0ln C(Ε)lnΕ;(7)C(Ε)=li mn→01n2∑ni,j=1H(Ε- X i-X j );(8)其中,H(・)是H eaviside阶跃函数Ζ这种方法的局限性在于,虽然可以通过判断计算出的维数是否为分数进而确定该系统是否为混沌,却无法从分维的具体数值来度量混沌系统动力学行为的复杂程度Ζ213　测度熵测度熵又称为K2S熵(ko l m ogo rov2sinai),它描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率Ζ其几何意义在于:设区分相空间的轨道只能以固定的精度,则在该精度下,随着轨道向前演化,由于混沌轨道附近的指数分离,原来不能区分的轨道就可以区分离开,也就是“混沌创造信息”Ζ而测度熵正是这种信息的平均产生率Ζ设吸引子为一集合,它被边长为Ε的N 维立方体完全覆盖,对于Ε,设立方体的个数为M(Ε),通过M(Ε)的概率为p i,则测度熵定义为I(Ε)=-∑M(Ε)i=1p i ln P i.(9)基于以上原理,可知信息量与可以区分的不同轨道数目有关,对于混沌运动,其轨道数目N随时间指数增长:N∝e k t,其中常数k为测度熵Ζ在一段时间内可以区分的不同轨道数目N越多,其复杂度越大Ζ而轨道数目N是以测度熵k的指数变化的Ζk越大,随机性越强,被恢复的可能性也越小,复杂度也越高[4]Ζ因此,测度熵可以反映混沌系统的复杂度Ζ但是存在的问题是:测度熵的计算方法K2S熵法需要大量的样本空间,且计算量巨大,实际中较难获得测度熵的具体数值Ζ3　Ap E n复杂度分析算法文献[5]提出了一种以近似熵A p E n来代替测度熵作为判断复杂度大小的方法,其定义和算法如下:1)对于一给定的时间序列Λ(1),Λ(2),…Λ(N),按顺序将其组成一个m维的向量集X(i),即X(i)=[Λ(i),Λ(i+1),…,Λ(i+m-1)],(i=1,2,3,…,N-m+1);(10)2)计算向量X(i)与其余向量X(j)之间的距离d [X(i),X(j)],并将最大值定义为最大反应成分距离d[X(i),X(j)]=m ax[ x(i+k)-x(j+k) ],(k=[0,m-1]).(11)3)定义一个阈值r(r>0),对于每一个i值,记录满足条件d[X(i),X(j)]<r的个数Ζ把这个值N-m与的比值定义为C m i(r),C m i(r)={d[X(i),X(j)]<r的数目} (N-m).(12)4)对每一个可能的i值,计算C m i(r)的自然对数,这些对数的平均值定义为<m(r),<m(r)=1N-m+1∑N-m+1i=1ln C m i(r).(13)A p E n可以表示向量集随着m增大产生新模式04北京工商大学学报(自然科学版)2006年3月　的概率,产生新模式的概率越大,A p E n 值就越大,即时间序列的复杂度越大Ζ实际上,N 不可能取无穷大,所以通常只能在N 足够大的时候对A p E n 进行估计,A p E n (m ,r ,N )=<m (r )-<m +1(r ).(14)根据经验,P incu s 建议m 取2,r 取011～012倍原始数据的标准差Ζ只需用很短时间序列(约1000个数据点)就可以估算出可靠的A p E n 值Ζ对于L ogistic 映射x n +1=4x n (1-x n ),0≤x ≤1,取N =5000,m =2,r =0115,得到其A p E n 值约为0169;同时还发现L yap unov 指数值(Λ=4)也为0169Ζ根据P e sin 公式I (Ε)=∑Κi >0Κi.(15)可知,处于混沌状态的L ogistic 映射,其L yap unov 指数和测度熵在数值应该是近似相等的,而A p E n 值就等于测度熵的值Ζ所以,对于L ogistic 映射,A p E n 算法较为准确地计算出了测度熵的值,但其对于高维连续混沌系统的普遍适用性还有待研究Ζ4　结论混沌复杂度研究的L yap unov 指数、分维和测度熵方法,从不同角度给出混沌复杂度的量化值,其中L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,而分维数的值与复杂度的函数关系尚难确定,且分维数与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确ΖA p E n (近似熵)方法是测度熵的一种替代算法,简单可靠,值得深入研究Ζ对L ogistic 映射的复杂度分析验证了上述结论Ζ参考文献:[1]　赵耿,方锦清.现代信息安全与混沌保密通信研究的进展[J ].物理学进展,2003,23(2):212252.[2]　谢惠民.动力系统的复杂性刻划[J ].力学进展,1996,26(3):289302.[3]　Keller G .L yapunov exponen ts and comp lex ity fo rin terval m ap s [J ].L ectu re N o tes in M ath ,1991,1486:216226.[4]　蔡觉平,李赞,宋文涛.一种混沌伪随机序列复杂度分析法[J ].物理学报,2003,52(8):18711875.[5]　P incu s S M .A pp rox i m ate en tropy as a m easu re ofsystem comp lex ity [J ].P roceedings of the N ati onal A cadem y of Sciences ,1991,88(6):22972301.STUDY ON THE CHAOS ’COM PL EX IT Y ANALY SISM ETHODOLOG Y AND APPL I CATI ON T O LOGISTI C M APW AN G Yun 2x i ong 1,　W EN G Y i 2fang 1,2,　ZH EN G D e 2ling2(11Colleg e of Inf or m a tion E ng ineering ,B eij ing T echnology and B usiness U n iversity ,B eij ing 100037,Ch ina ;21S chool of Inf or m a tion E ng ineering ,U n iversity of S cience andT echnology B eij ing ,B eij ing 100083,Ch ina )Abstract :T h ree k inds of chao s’com p lex ity analysis m ethods ,L yap unov exponen t ,fractal and K 2S en trop y ,as w ell as their relati on sh i p ,are investigated .A pp rox i m ate en trop y (A p En )m ethod is also studied .T hey are app lied to analyze the com p lex ity of L ogistic m ap .T he conclu si on is that L yap unov exponen t and K 2S en trop y have app rox i m ately linear relati on w ith com p lex ity ,w h ile it is difficu lt to determ ine the relati on betw een fractal and com p lex ity .Fu rtherm o re the co rrelati on of fractal and L yap unov exponen t ,K 2S en trop y is no t clear now .F inally ,A p En m ethod offers a si m p le and valid analysis m ean to sub stitu te K 2S en trop y .Key words :chao s ;com p lex ity ;L yap unov exponen t ;fractal ;K 2S en trop y(责任编辑:邓清燕)14　第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析。

10种混沌映射matlab -回复如何在MATLAB中实现10种混沌映射引言：混沌理论是非线性动力学研究的一个重要分支，它研究的是一类具有确定性但展现出随机行为的系统。

混沌映射是混沌理论的基础，通过它可以生成一系列具有随机性质的数值序列。

本文将介绍10种经典的混沌映射，并提供在MATLAB中实现它们的详细步骤。

一、Logistic映射Logistic映射是最早被研究的混沌映射之一，它的迭代公式为：x(n+1) = r * x(n) * (1 - x(n))其中，x(n)表示第n次迭代的值，r是产生的随机参数。

在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Logistic映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 1000;初始值x = zeros(N, 1);随机参数r = 3.9;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.5;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = r * x(n-1) * (1 - x(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(1:N, x);二、Henon映射Henon映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = 1 - a * x(n)^2 + y(n)y(n+1) = b * x(n)其中，x(n)和y(n)分别表示第n次迭代的x坐标和y坐标，a和b是产生的随机参数。

在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Henon映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 1.4;b = 0.3;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = 1 - a * x(n-1)^2 + y(n-1);y(n) = b * x(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);三、Tinkerbell映射Tinkerbell映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n)^2 - y(n)^2 + a * x(n) + b * y(n)y(n+1) = 2 * x(n) * y(n) + c * x(n) + d * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Tinkerbell映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 0.9;b = -0.6013;c = 2;d = 0.5;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1)^2 - y(n-1)^2 + a * x(n-1) + b * y(n-1);y(n) = 2 * x(n-1) * y(n-1) + c * x(n-1) + d * y(n-1); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);四、Ikeda映射Ikeda映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = u + d * cos(theta(n) - w)y(n+1) = v + d * sin(theta(n) - w)theta(n+1) = b - a / (1 + x(n)^2 + y(n)^2)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Ikeda映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 5000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1); theta = zeros(N, 1); 随机参数u = 0.9;v = 0.6;a = 0.4;b = 6;d = 0.9;w = 0.4 * pi;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;theta(1) = 0;进行迭代计算for n = 2:Ntheta(n) = b - a / (1 + x(n-1)^2 + y(n-1)^2);x(n) = u + d * cos(theta(n) - w);y(n) = v + d * sin(theta(n) - w);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);五、Lorenz映射Lorenz映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + dt * a * (y(n) - x(n))y(n+1) = y(n) + dt * (x(n) * (b - z(n)) - y(n))z(n+1) = z(n) + dt * (x(n) * y(n) - c * z(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Lorenz映射：1. 初始化参数：时间步长dt = 0.01;时间序列t = 0:dt:50;随机参数a = 10;b = 28;c = 8/3;初始值x = zeros(size(t));y = zeros(size(t));z = zeros(size(t));x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;2. 进行迭代计算：进行迭代计算for n = 1:numel(t)-1dx = a * (y(n) - x(n));dy = x(n) * (b - z(n)) - y(n);dz = x(n) * y(n) - c * z(n);x(n+1) = x(n) + dt * dx;y(n+1) = y(n) + dt * dy;z(n+1) = z(n) + dt * dz;end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);六、Chen映射Chen映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) - y(n) * z(n)y(n+1) = c * y(n) + x(n) * z(n)z(n+1) = -b * z(n) + x(n) * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Chen映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 35;b = 3;c = 28;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = a * x(n-1) - y(n-1) * z(n-1);y(n) = c * y(n-1) + x(n-1) * z(n-1);z(n) = -b * z(n-1) + x(n-1) * y(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);七、Genesio-Tesi映射Genesio-Tesi映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = y(n)y(n+1) = z(n)z(n+1) = -a * x(n) - b * y(n) - c * z(n) - x(n)^3 + u(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Genesio-Tesi映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 0.1;b = 0.1;c = 14;u = 1;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 1;y(1) = 1;z(1) = 1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = y(n-1);y(n) = z(n-1);z(n) = -a * x(n-1) - b * y(n-1) - c * z(n-1) - x(n-1)^3 + u; end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);八、Newton-Leipnik映射Newton-Leipnik映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + 0.1 * (y(n) - x(n)^5)y(n+1) = y(n) + 0.1 * (z(n) - y(n)^5)z(n+1) = z(n) + 0.1 * (-0.4 * z(n) - x(n) * y(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Newton-Leipnik映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.2;z(1) = 0.3;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1) + 0.1 * (y(n-1) - x(n-1)^5);y(n) = y(n-1) + 0.1 * (z(n-1) - y(n-1)^5);z(n) = z(n-1) + 0.1 * (-0.4 * z(n-1) - x(n-1) * y(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);九、Zaslavskii映射Zaslavskii映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) + y(n) * z(n)y(n+1) = b * y(n) + z(n) * x(n)z(n+1) = c * z(n) + x(n) * y(n) + x(n) * z(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Zaslavsk。

Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射作者：张诣来源：《电脑知识与技术》2008年第35期摘要：混沌理论是研究非线性动力学系统随时间变化的规律。

由于混沌系统具有很多优良特性，便将其逐渐应用到密码学及密码分析等学科中。

在简述混沌的基础上介绍了一维Logistic混沌映射由倍周期分岔达到混沌的过程，并分析了一些复杂动力学行为。

最后将一维Logistic混沌映射应用到图像加密中，并通过仿真实验检验算法的安全性及优越性。

关键词：Logistic映射；混沌；图像加密中图分类号：TP309文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)35-2538-02Logistic Chaotic MapZHANG Yi(Department of Computer Science and Information Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang 050043,China)Abstract: Chaos Theory is the law to study on nonlinear dynamic systems over the time’s change.As chaotic system with many fine characteristics,gradually put its application to cryptography and cryptanalysis and other disciplines.This paper briefly on the basis of chaos on the one-dimensional mapping by the Logistic chaotic times chaotic period bifurcation to the process and analysis of some complex dynamic behaviors.Finally,the one-dimensional mapping Logistic chaotic encryption applied to the image,and through simulation testing algorithm for the safety and superiority.Key words: logistic map;chaos;image encryption1 引言混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非线性。

logistic映射混沌序列的能量谷优化
算法
Logistic映射混沌序列的能量谷优化算法
Logistic映射是一种常见的混沌映射，其数学表达式为：
x_{n+1} = μ * x_n * (1 - x_n)
其中，x_n是序列的第n项，μ是控制参数，通常取值为3.57或4。

当μ取这些值时，Logistic映射会产生混沌序列，即序列的值在0和1之间随机跳动，没有明显的周期性。

能量谷优化算法是一种基于优化理论的搜索算法，它试图找到函数的最小值点，即“能量谷”。

在Logistic映射混沌序列的背景下，能量谷优化算法可以被用来寻找混沌序列中的某种“最优”状态或“规律”。

具体实现上，能量谷优化算法会利用Logistic映射产生的混沌序列来搜索解空间。

首先，生成一个Logistic混沌序列，然后利用这个序列来扰动搜索过程，使得搜索能够在解空间中更加全面地搜索。

在每一步搜索中，算法会计算当前解的能量（即某种评价指标的值），并根据能量的大小来决定下一步的搜索方向。

如果当前解的能量较低，那么算法就会朝着这个方向继续搜索，以期找到更低能量的解。

反之，如果当前解的能量较高，那么算法就会改变搜索方向，以避免陷入局部最优解。

通过这种方式，能量谷优化算法能够在混沌序列的引导下，有效地在解空间中搜索最优解。

这种算法在很多优化问题中都有应用，例如机器学习、图像处理、信号处理等领域。

Logistic映射产生的混沌序列作者：刘臣等来源：《卷宗》2014年第06期摘要：混沌理论是一门专门研究奇异函数、奇异图形的数学理论，是一门研究自然界有序、无序规律的学科。

混沌学被很多学者认为是二十世纪继相对论、量子力学之后，物理学发生的第三次大革命。

混沌学中的混沌是貌似无序的有序，紊乱中的规律。

混沌学的面世，标志着人类历史上又一次重大科学的进步，因为人们可以从更接近实际的角度去认识这个既无序又有序的世界。

混沌序列的产生有多种方法，常用的是Logistic映射和Chebyshev映射，本文采用的是Logistic映射的满映射。

关键字：混沌；logistic映射；序列1963年美国气象学家E.N.Lorenz提出了著名的“蝴蝶效应”，“蝴蝶效应”大意为：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，不经意间扇动几下翅膀，两周后可能就会在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。

其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，会导致其身边的空气系统发生变化，并会产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一系列的连锁反映，最终可能会导致其他系统的极大变化。

这是他在研究大气时发现，当选取一定量的参数时，一个由确定三阶常微分方程组描述的大气对流模型变得不可预测。

经过长期反复的数值实验和理论思考， Lorenz从同一系统出现的一系列非周期无规则行为中发现了混沌运动，这为后来的混沌研究奠定了基础。

一般地，当一个接近实际而没有内在随机性的模型，仍然具有貌似随机的行为，我们就可以说这个真实物理系统是混沌的。

混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性，即蝴蝶效应；二是奇异吸引子，这里是非线性事件的发生点，它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而产生了不可预测性；三是分形，它具有二个普通特征：自始至终都是不规则的以及在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量，这同时也表明了有序和无序的统一。

混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西回去之后，经过变换再出来，循环往复，任何初始值的微小变动都会按指数放大，因此会导致系统内在长期的不可预测性。

混沌映射初始化种群之Logistic映射Logstic混沌映射初始化种群Step 1：随机⽣成⼀个d维向量{X_0}，向量的每个分量在0-1之间。

Step 2：利⽤Logistic映射⽣成N个向量。

Logistic映射如下：X_{i+1}=\mu{X_{i}.*(1-X_{i})}Step 3:将X的每个分量载波到变量的取值区间上参数设置Lb = -100; % 搜索空间下界Ub = 100; % 搜索空间上界N_iter = 1000; % 最⼤迭代次数n_pop = 30; % 种群个数d = 2; % 种群维度利⽤混沌映射初始化种群Z = zeros(n_pop, d);% 随机⽣成⼀个d维向量Z(1, :) = rand(1, d);% 利⽤logistic⽣成n_pop个向量for i=2:n_popZ(i,:) = 4.0*Z(i-1,:).*(1-Z(i-1,:));end% 将z的各个分量载波到对应变量的取值区间pop = zeros(n_pop, d);for i=1:n_poppop(i,:) = Lb + (Ub - Lb)*Z(i,:);endfigurescatter(pop(:,1), pop(:,2), 'r*');box onLogistic map的第⼆种写法：particlePosition(1,:) = random('Uniform',-100, 100, 1, 2);particlePosition(1,:) = (particlePosition(1,:) + 100)/200; %这是归⼀化处理for i=1:49particlePosition(i+1,:) = 4*particlePosition(i,:).*(1 - particlePosition(i,:));endparticlePosition = particlePosition.*200 - 100; figurescatter(particlePosition(:,1), particlePosition(:,2)); box on随机初始化种群particlePosition = random('Uniform',-100, 100, 50, 2); figurescatter(particlePosition(:,1), particlePosition(:,2), 'r*'); box onProcessing math: 0%。

logistic映射混沌加密算法Logistic映射混沌加密算法混沌加密算法是一种基于混沌理论的加密方法，它利用混沌系统的随机性和不可预测性来加密数据，使得加密后的数据具有高度的随机性和安全性。

其中，Logistic映射是混沌加密算法中的一种常用的混沌系统。

Logistic映射是由比利时数学家Robert May于1976年提出的，它是一种简单但非常有效的混沌系统。

Logistic映射的表达式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn为当前时刻的状态变量，Xn+1为下一时刻的状态变量，r 为控制参数，用于调节系统的混沌程度。

在Logistic映射中，控制参数r的取值范围为[0,4]，当r小于3时，系统的状态趋于稳定，当r在3到4之间变化时，系统表现出混沌行为。

Logistic映射混沌加密算法的基本思想是将明文数据映射到Logistic映射的状态空间中，并根据映射结果进行加密。

具体的加密过程可以分为以下几个步骤：1. 初始化：选择一个适当的初始状态X0，确定控制参数r的值。

2. 映射阶段：将明文数据按照一定的规则映射到Logistic映射的状态空间中。

这个映射规则可以根据具体需求进行设计，常见的规则有根据明文数据的大小来选择映射的初始状态和控制参数的值。

3. 加密阶段：根据映射结果进行异或运算，将明文数据进行加密。

具体的加密算法可以根据需要进行设计，常见的算法有按位异或、模运算等。

4. 解密阶段：使用相同的初始状态和控制参数，将加密后的数据进行解密。

解密的过程与加密的过程相反，即先进行异或运算，然后根据映射结果进行反向映射，得到明文数据。

Logistic映射混沌加密算法具有以下特点：1. 高度随机性：Logistic映射具有高度的随机性和不可预测性，使得加密后的数据具有高度的随机性，难以破解。

2. 灵活性：通过调节控制参数r的值，可以控制系统的混沌程度，从而实现不同级别的加密需求。

Logistic混沌映射引言如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。

在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。

至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。

而这些特性正符合序列密码的要求。

1989年Robert Matthews 在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。

混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。

Logistic映射分析一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。

此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]其中μ∈[0,4]被称为Logistic参数。

研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic 映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。