(课标全国卷)2020版高考数学模拟试题精编9(无答案)

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2)解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)．2. 已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2i)2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16.4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________．(第4题)答案：32解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32.5. “φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________．答案：39解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×62＝39. 7. 函数y ＝1lnx(x≥e)的值域是________． 答案：(0，1]解析：y ＝1lnx为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________．答案：6解析：由题知流程图执行如下：第1次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，S ＝1，第2次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，S ＝3，第3次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，S ＝7，第4次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，S ＝15， 第5次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题)9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b是整数”的概率为____________． 答案：13解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．其中a b 整数的个数为4，从而所求概率为43×4＝13. 10. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥CABD 的体积为____________． 答案：233解析：如下图所示：作BC 中点E ，连结DE 、AE ，则易知BC ⊥平面ADE ， 从而V CABD ＝13S △ADE ·BC ，又DE ＝3，AE ＝7， 从而V CABD ＝13×12×2×3×2＝233. 11. 直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切，则实数k ＝__________．答案：2e解析：设切点(x 0，2ex 0)，则切线方程为y ＝2ex 0(x －x 0)＋2ex 0，又切线过点(0，0)，得x 0＝1，从而切点为(1，2e)，从而k ＝2e.12. 已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →·BC →＝2，OB →·CA →＝3，则OC →·AB →＝____________．答案：－5解析：由题设知OA →(OC →－OB →)＝2，OB →(OA →－OC →)＝3，两式相加得OA →·OC →－OB →·OC →＝5，即OC →·(OA →－OB →)＝5，从而OC →·AB →＝－5.13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________．答案：14解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14. 14. 已知x 、y ∈R ，满足2≤y≤4－x ，x≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为____________． 答案：103解析：由题易知x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令t ＝y －1x ＋1，则由线性规划知t ∈[13，1]，从而t ＋1t ∈[2，103]． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tanB tanA ＋1＝2c a. (1) 求角B ；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13，求sinA 的值． 解：(1) 由tanB tanA ＋1＝2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA ＋1＝2sinC sinA，(2分) 所以sinBcosA ＋cosBsinA cosBsinA ＝2sinC sinA， 即sin （A ＋B ）cosBsinA ＝2sinC sinA ，则sinC cosBsinA ＝2sinC sinA . 因为在△ABC 中，sinA≠0，sinC≠0，所以cosB ＝12.(5分) 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(7分) (2) 因为0＜C ＜2π3， 所以π6＜C ＋π6＜5π6. 因为cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13， 所以sin(C ＋π6)＝223.(10分) 所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋π6(12分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16.(14分) 16.(本小题满分14分)如图，正四棱锥P-ABCD 的高为PO ，PO ＝AB ＝2.E 、F 分别是棱PB 、CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．(1) 求证：EF ∥平面PAD ；(2) 若PC ⊥平面QDB ，求PQ.(1) 证明：取PA 中点M ，连结ME 、MD ，由条件得，ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ ME ∥DF.且ME ＝12AB ，DF ＝12AB ， ∴ ME ＝DF.(2分)∴ 四边形EFDM 是平行四边形．则EF ∥MD.(4分)又MD Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴ EF ∥平面PAD.(7分)(2) 解：连结OQ.∵ PC ⊥平面QDB ，OQ Ì平面QDB ，∴ PC ⊥OQ.(9分)∵ PO ⊥平面ABCD ，OC Ì平面ABCD ，∴ PO ⊥OC.由正方形ABCD 的边长为2，得OC ＝ 2.∵ PO ＝2，∴ PC ＝PO 2＋OC 2＝ 6.(11分)则PQ ＝PO·sin ∠CPO ＝2·26＝233.(14分)， 所以FH ＝|3x 0－4|x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－23x 0＋3 ＝|3x 0－4|34x 20－23x 0＋4＝|3x 0－4|⎝⎛⎭⎫32x 0－22＝2.(1417. (本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)＝9A a ＋bt n，其中t ＝2－23，a 、b 为常数，n ∈N ，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．(1) 栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；(2) 该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．解：(1) 由题意知f(0)＝A ，f(3)＝3A.所以⎩⎪⎨⎪⎧9A a ＋b ＝A ，9A a ＋14b＝3A ，解得a ＝1，b ＝8.(4分) 所以f(n)＝9A 1＋8×t n ，其中t ＝2－23. 令f(n)＝8A ，得9A 1＋8×t n＝8A ， 解得t n ＝164， 即2－2n 3＝164，所以n ＝9. 所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．(6分)(2) 由(1)知f(n)＝9A 1＋8×t n .第n 年的增长高度为Δ＝f(n)－f(n －1)＝9A 1＋8×t n －9A 1＋8×t n －1.(9分) 所以Δ＝72At n －1（1－t ）（1＋8t n ）（1＋8t n －1）＝72At n －1（1－t ）1＋8t n －1（t ＋1）＋64t 2n －1＝72A （1－t ）1t n －1＋64t n ＋8（t ＋1）(12分) ≤72A （1－t ）264t n ×1t n －1＋8（t ＋1） ＝72A （1－t ）8（1＋t ）2＝9A （1－t ）1＋t. 当且仅当64t n ＝1tn －1，即2－2（2n －1）3＝164时取等号，此时n ＝5. 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．(14分18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b.过点P 作两条互相垂直的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于另两点M 、N.(1) 求椭圆C 的方程； (2) 若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3) 若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．解：(1) 由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(3分) (2) 设l 1方程为y ＋1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k(k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0.因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2.(5分) 当k≠0时，用－1k代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3.(7分) 将k ＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1)．因为P(－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(9分) (3) (解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.(12分)若x 1＋x 2＝0，则N(－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1, 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x.(14分)若x 1－x 2＝0，则N(x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件． 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.(16分) (解法2)由(2)知，当k≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3， 化简得4k(k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5.(12分)若k ＝2＋5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，52，N(－12，－52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12. 若k ＝2－5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，－52，N(－12，52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12.(14分) 当k ＝0时，M(1，－1)，N(－1，1)，满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0.综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0.(16分) 19. (本小题满分16分)若存在实数x 0与正数a ，使x 0＋a ，x 0－a 均在函数f(x)的定义域内，且f(x 0＋a)＝f(x 0－a)成立，则称“函数f(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”．(1) 设f(x)＝x 3－3x 2＋2x －1，问是否存在正数a ，使“函数f(x)在x ＝1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由；(2) 设g(x)＝x ＋b x(x ＞0)，若对于任意x 0∈(3，4)，总存在正数a ，使得“函数g(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．解：(1) 由f(1＋a)＝f(1－a)，得(1＋a)3－3(1＋a)2＋2(1＋a)－1＝(1－a)3－3(1－a)2＋2(1－a)－1.(2分)即a(a ＋1)(a －1)＝0.(6分)∵ a ＞0，∴ a ＝1.(8分)(2) 令g(x)＝c ，得x ＋b x＝c ，即x 2－cx ＋b ＝0.(*)(10分) 由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0.∴ c ＞0，b ＞0，c 2－4b ＞0，c 2＝x 0.(14分) 则0＜b ＜x 20对一切x 0∈(3，4)均成立．∴ b 的取值范围是(0，9]．(16分)20. (本小题满分16分)已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．(1) 若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围. 解：(1) λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1.∴ S n ＝a n ＋1a n S n .(2分) ∵ a n ＞0，∴ S n ＞0.∴ a n ＋1＝a n .∵ a 1＝1，∴ a n ＝1.(4分)(2) ∵ S n ＋1＝a n ＋1a n S n＋(λ·3n ＋1)a n ＋1，a n ＞0， ∴ S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝λ·3n ＋1.(5分) 则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…，S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n≥2)． 相加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1.则S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n≥2)．上式对n ＝1也成立， ∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ∈N *)． ③(7分) ∴ S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1(n ∈N *)． ④④－③，得a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1－⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n . 即⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n)·a n .(9分) ∵ λ≥0，∴ λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0. ∵ a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立， ∴ λ·3n －32＋n ＜12⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n 对一切n ∈N *恒成立．即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立．(12分) 记b n ＝2n 3n ＋3，则 b n －b n ＋1＝2n3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝（4n －2）3n －6（3n ＋3）（3n ＋1＋3）. 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n≥2时，b n －b n ＋1＞0；∴ b 1＝b 2＝13是一切b n 中的最大项．(15分) 综上所述，λ的取值范围是λ＞13.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(5分)令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3. M 6β＝M 6(4α1－3α2) ＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.(10分)B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosα，y ＝2sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(10分)D. 解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，(5分) 由题设，得|a 2－2a|<3，解得a ∈(－1，3)．(10分) C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x －1＋a －(x －a)|＝|2a －1|.(8分)又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率； (2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则 P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)(2分) ＝C 45⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫1－231＋C 55(23)5(1－23)0＝112243.(4分) (2) 由题意ξ＝1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫133×23＝281， P(ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望Eξ＝1×23＋2×29＋3×227＋4×281＋5×181＝12181.(10分)23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n 2；当n 为奇数时，m ＝n －12.(1) 证明：当n ∈N *，n≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．(1) 证明：当n 为奇数时，n ＋1为偶数，n －1为偶数，∵ S n ＋1＝C 0n ＋1－C 1n ＋…＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12，S n ＝C 0n －C 1n －1＋…＋(－1)n －12Cn －12n ＋12，S n －1＝C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12，∴ S n ＋1－S n ＝(C 0n ＋1－C 0n )－(C 1n －C 1n －1)＋…＋(－1)n －12(C n ＋12－1n ＋12＋1－C n －12n ＋12)＋(－1)n ＋12C n ＋12n ＋12(2分)＝－[C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12]＝－S n －1.∴ 当n 为奇数时，S n ＋1＝S n －S n －1成立．(5分)同理可证，当n 为偶数时，S n ＋1＝S n －S n －1也成立．(6分)(2) 解：由S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，得 2 014S ＝C 02 014－2 0142 013C 12 013＋2 0142 012C 22 012－2 0142 011C 32 011＋…－2 0141 007C 1 0071 007＝C 02 014－⎝⎛⎭⎫C 12 013＋12 013C 12 013＋(C 22 012＋22 012C 22 012)－(C 32 011＋32 011C 32 011)＋…－⎝⎛⎭⎫C 1 0071 007＋1 0071 007C 1 0071 007 ＝(C 02 014－C 12 013＋C 22 012－…－C 1 0071 007)－(C 02 012－C 12 011＋C 22 010－…＋C 1 0061 006)＝S 2 014－S 2 012.(9分)又由S n ＋1＝S n －S n －1，得S n ＋6＝S n ，所以S 2 014－S 2 012＝S 4－S 2＝－1，S ＝－12 014.(10分)。

22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
[2020·安徽联考]已知在极坐标系中，曲线 C1 的极坐标方程为
2 cos
π 4
m
0 ．以极点为原
点，极轴所在直线为
x
轴建立平面直角坐标系，曲线
C2
的参数方程为
x
1
2 cos （ 为参数）．
y 2 sin
（1）求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C2 的极坐标方程；
且 AB CD 6 2 ，求 k1k2 的值．
21．（12 分）[2020·安徽联考]已知函数 f x xlnx x2 ， R ．
（1）若 1，求曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线方程； （2）若关于 x 的不等式 f x 在 1, 上恒成立，求实数 的取值范围．
故选 B． 2．【答案】B
【解析】命题
p
表示的集合
A
为x
2
x
3
；命题
q
表示的集合
B
为
x
x
a 2
，
因为命题 q 是 p 的必要不充分条件，所以 A 是 B 的真子集，则 a 2 ，即 a 4 ．故选 B． 2
3．【答案】D
【解析】双曲线 C
:
x2 a2
y2
1a
0
的焦距为 2
5，
可得 c 5 ，即 a2 1 5 ，解得 a 2 ，
附： K 2
nad bc2
，nabcd ．
a bc da cb d
P K2 k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0

20．已知椭圆 ??2 + ??2 = 1(??＞?＞? 0) 的左顶点为 A，右焦点为 F ，右准线为 l ，l 与 x 轴相交 于点 T，且 F 是 AT 的中点．
（ 1）求椭圆的离心率；
（ 2）过点 T 的直线与椭圆相交于 M ， N 两点， M ，N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N， T 之
x∈（
0，
?? ）
2
（ 3） y＝ lgx +4log x10＞2√??????4????????1?0 = 4
（ 4） y＝ 3x+ 34??≥2√３???34??= 4．
A ．0 个
B．1 个
C． 2 个
D． 2 √2 ）
）个
D．3 个
10．（ 5 分）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六 科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同
C．在 [﹣ π，-
?? 2] 上是增函数，在
[-
??， 2
?? ]
2
上是减函数
?? D ．在 [﹣ π， 0]上是增函数，在 [0， ]上是减函数
2
??
??
【解答】 解： y＝cos（ - x）＝ sinx， x∈[ ﹣π， ]，
2
2
则在 [﹣ π， - ?2?] 上是减函数，在
[-
?2?，
(3 √2， ?4?) ，圆 C 的参数方程为
??= { ??=
1 + 2?????（??α? 为参数）． 2????????
（ 1）直线 l 过 M 且与圆 C 相切，求直线 l 的极坐标方程；
（ 2）过点 P（ 0，m）且斜率为 √3 的直线 l '与圆 C 交于 A， B 两点，若 |PA|?|PB|＝ 6，求实

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(九)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝3－2i 1－i 的共轭复数z －＝( )A.52＋12i B ．52－12iC.12＋52i D ．12－52i2．已知集合A ＝{x |x (x 2－4)＝0}，B ＝{x |－1<lg(x ＋1)<1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－2，0，2} C ．{0，2}D ．{2}3．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B ．10 C ．2 5D ．104．“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{a n }为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．若a 3>a 1，则a 4>a 2C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．a 21＋a 23≥2a 226．数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”．现用数字1，2，3，4组数(可重复用)，则组成的五位“回文数”的个数为( )A ．24B ．28C ．48D ．647．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝17，则双曲线的离心率为( )A. 5 B ．53C.54D ．528．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>09．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1x －y ≤1y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx＋1＝0在区间(b ，a )上有两解，则实数k 的范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)10．已知△ABC ，D 是边BC (不包括端点)上的动点，将△ABD 沿直线AD 折起到△AB ′D ，使B ′在平面ADC 内的射影恰好在直线AD 上，则( )A ．当BD ＝CD 时，B ′，C 两点的距离最大 B ．当BD ＝CD 时，B ′，C 两点的距离最小 C ．当∠BAD ＝∠CAD 时，B ′，C 两点的距离最小 D ．当BD ⊥AD 时，B ′，C 两点的距离最大第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，当1x ＋4y取最小值时，x ＝________，E (ξ)＝________．12.________．13．抛物线y 2＝ax (a >0)上的点P (32，y 0)到焦点F 的距离为2，则a ＝________，△POF 的面积为________．14．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 7＋a 8＋a 9＝________，S 9＝________．15．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是__________．16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则z ＝2|x ＋y |＋|y ＋2|＋|2x －3y －6|的最大值为________． 17．已知a ，b ∈R 且0≤a ＋b ≤1，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在[－12，0]上至少存在一个零点，则a －2b 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝2∠BAD ，BD ＝2，AB ＝6，cos ∠BCD ＝－13.(1)求AD 的长；(2)求梯形ABCD 的面积．19．(本题满分15分)如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：AC ⊥BF ；(2)求直线BC 与平面P AC 所成角的正切值．20．(本题满分15分)已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]．(1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．21．(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1，F 2与短轴的一个顶点Q 构成一个顶角为120°的等腰三角形，点P (2，22)在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2作斜率之积为－1的两条直线AB ，CD 分别交椭圆C 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，求|MF 2|·|NF 2|的最大值．22．(本题满分15分)已知函数f (x )满足：对任意的x ∈R ，恒有f (x )f (1－x )＝14，且f (x )>0恒成立．若数列{a n }满足：a n ＝f (0)·f (1n )·f (2n )·…·f (n －2n )·f (n －1n)·f (1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（1－3a n ）2－11－3a n，且S n 为{b n }的前n 项和，证明：12≤S n <15.高考仿真模拟卷(九)1．解析：选B.z ＝3－2i 1－i ＝（3－2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝5＋i 2＝52＋12i ，z －＝52－12i.2．解析：选C.由已知得A ＝{－2，0，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－910<x <9，故A ∩B ＝{0，2}．3．解析：选B.因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝ 32＋（－1）2＝10.4．解析：选A.由函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点，得cos φ＝0，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“φ＝k π＋π2，k ∈Z ”的一部分，所以“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点”的充分不必要条件．5．解析：选D.对于选项A ，当数列{a n }的公比为－12，首项为－1时，a 1＋a 3<2a 2，故A 错误；对于选项B ，当数列{a n }的公比为－3. 首项为1时，a 3>a 1，但a 4<a 2，故B 错误；对于选项C ，若a 1＝a 3，则公比为±1，且当公比为－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，a 21＋a 23≥2a 1a 3＝2a 22恒成立，故选D.6．解析：选D.若五位“回文数”仅由1个数字组成，则“回文数”的个数为C 14；若五位“回文数”由2个数字组成，则“回文数”的个数为C 24(A 22C 12＋C 12)；若五位“回文数”由3个数字组成，则“回文数”的个数为C 34A 33.由分类加法计数原理知，组成的五位“回文数”的个数为C 14＋C 24(A 22C 12＋C 12)＋C 34A 33＝64.故选D.7．解析：选B.由题意知F (5，0)，不妨设P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝415，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝（12＋5）2＋（415）2＝23，所以2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，所以a ＝3，所以e ＝c a ＝53，故选B.8．解析：选C.因为x 0是函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 的一个零点，所以f (x 0)＝0，因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 是单调递减函数，且x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)，所以f (x 1)>f (x 0)＝0>f (x 2)，故选C.9．解析：选C.根据可行域的图形可知目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，即a ＝1，在点(－1，1)处取得最小值－3，即b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两解．令f (x )＝x 2－kx＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）>0f （1）>0－3<k 2<1Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C. 10．解析：选C.如图，过B 作BO ⊥AD ，垂足为O ，连接OC ，则B ′C ＝BO 2＋OC 2，设∠BAD ＝θ，△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则OB 2＝c 2sin 2 θ，OA 2＝c 2cos 2 θ，由余弦定理知OC 2＝c 2cos 2 θ＋b 2－2bc cos θ·cos(∠BAC ­θ)，所以B ′C ＝b 2＋c 2－2bc cos θcos （∠BAC －θ）.因为cos θcos(∠BAC －θ)＝cos θ·(cos ∠BAC cos θ＋sin ∠BAC sin θ)＝12(cos ∠BAC ＋cos ∠BAC cos 2θ＋sin ∠BAC sin 2θ)＝12[cos ∠BAC ＋cos(2θ－∠BAC )]，所以B ′C ＝b 2＋c 2－bc [cos ∠BAC ＋cos （2θ－∠BAC ）]，所以2θ＝∠BAC 时，B ′C 最小，此时∠BAD ＝∠CAD ，故选C.11．解析：由题意得，x ＋y ＝12(x >0，y >0)，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋4)＝18，当且仅当y ＝2x ，即x ＝16，y ＝13时取等号，此时随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 P161213所以E (ξ)＝1×16＋2×12＋3×13＝136.答案：16 13612．解析：由三视图知，该几何体的直观图如图中几何体BCC 1F ­ADD 1E 所示，是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，故其体积V ＝（1＋2）×22×2＝6，表面积S ＝2×2×2＋1×2＋2×12＋22＋2×（1＋2）×22＝16＋2 5.答案：6 16＋2513．解析：依题意与抛物线的定义得，|PF |＝32＋a4＝2，得a ＝2，则|y 0|＝2×32＝3，所以△POF 的面积为12×|OF |×|y 0|＝12×12×3＝34.答案：23414．解析：因为数列{a n }是等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列． 由题意可知，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝－4， 所以(－4)2＝8(S 9－S 6)， 所以S 9－S 6＝2， 即a 7＋a 8＋a 9＝2.所以S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝8＋(－4)＋2＝6. 答案：2 615．解析：线段PQ 的中点M (x 0，y 0)的轨迹方程为x 0＋3y 0＋2＝0，由y 0＜x 0＋2，得x 0＞－2，则y 0x 0＝－13（x 0＋2）x 0＝－23x 0－13∈⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 16．解析：因为x 2＋y 2≤1，所以z ＝2|x ＋y |＋|y ＋2|＋|2x －3y －6|＝2|x ＋y |＋y ＋2＋6－2x ＋3y ＝2|x ＋y |＋4y －2x ＋8， 当x ＋y >0时，z ＝2(x ＋y )＋4y －2x ＋8＝6y ＋8， 所以z max ＝14，当x ＋y ≤0时，z ＝－2x －2y ＋4y ＋8－2x ＝－4x ＋2y ＋8，如图，数形结合知，当直线z ＝－4x ＋2y ＋8和圆相切时，z 取得最大值，此时|8－z |（－4）2＋22＝1，解得z ＝8＋25或z ＝8－25(舍去)， 故z max ＝8＋25，综上所述，z 的最大值为14. 答案：1417．解析：由题意，要使函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[－12，0]上有零点，即方程x 2＋ax ＋b ＝0在[－12，0]上有根，只需f (－12)·f (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ≥0，f （－12）＝14－12a ＋b ≥0，－12<－a2<0，Δ＝a 2－4b ≥0，其对应的平面区域如图1，图2中的阴影部分所示，易知当a ＝1，b ＝0时，a －2b 取得最大值1，当a ＝0，b ＝0时，a －2b 取得最小值0，所以a －2b 的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]18．解：(1)因为∠BCD ＝2∠BAD ，cos ∠BCD ＝－13，所以cos ∠BCD ＝2cos 2∠BAD －1，即cos 2∠BAD ＝13.因为∠BCD ∈(0，π)，所以∠BAD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠BAD ＝33. 在△ABD 中，由余弦定理得，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ， 即4＝AD 2＋6－2AD ×6×33，解得AD ＝ 2. (2)由(1)可得AD 2＋BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝π2，所以sin ∠ABD ＝33. 因为AB ∥CD 且∠ABD 为锐角， 所以∠BDC ＝∠ABD ， 所以sin ∠BDC ＝sin ∠ABD ＝33，cos ∠BDC ＝1－sin 2∠BDC ＝63. 由cos ∠BCD ＝－13，得sin ∠BCD ＝223.所以sin ∠CBD ＝sin(∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD sin ∠BDC ＝223×63＋⎝⎛⎭⎫－13×33＝33.在△BCD 中，由正弦定理得，DC sin ∠CBD ＝BDsin ∠BCD ，所以DC ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝62，所以梯形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×AD ×BD ＋12×BD ×CD ×sin ∠BDC ＝322.19．解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF .因为BF ⊂平面ABEF ，所以AC ⊥BF . (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以F A 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ，由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面P AC ， 则∠BCP 为直线BC 与平面P AC 所成的角．如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则PM EF ＝BM BE ＝PB BF ＝14，所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN ＝32，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32，所以CN ＝AN 2＋AC 2＝（32）2＋22＝52，PC ＝PN 2＋NC 2＝（32）2＋（52）2＝7. 在Rt △BCP 中，tan ∠BCP ＝BP PC ＝77. 故直线BC 与平面P AC 所成角的正切值为77. 20．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0，结论成立．(2)令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2>0，x ∈(0，1)， 所以，当x ∈(0，1)时，g (x )<g (1)＝e －1，要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1. 要使e x －1x>a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0，1)上恒成立． 令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h ′(x )＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0，1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件；②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0，1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去；③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1. 又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2.21．解：(1)因为△QF 1F 2是一个顶角为120°的等腰三角形．所以c ＝3b ，a ＝2b .则椭圆C 的方程为x 2（2b ）2＋y 2b 2＝1， 又点P (2，22)在椭圆C 上， 所以24b 2＋12b2＝1，得b 2＝1，所以a ＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)显然直线AB 与CD 的斜率存在且不为0，F 2(3，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为x ＝－1m y ＋3， 联立方程得⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋3， 化简得(m 2＋4)y 2＋23my －1＝0.则y 1＋y 2＝－23m m 2＋4， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝83m 2＋4. 所以M (43m 2＋4，－3m m 2＋4)， |MF 2|＝（43m 2＋4－3）2＋（－3m m 2＋4）2＝3·m 2＋m 4m 2＋4.用－1m 替换m ，可得|NF 2|＝3·（1m ）4＋（1m ）2（1m）2＋4＝3·1＋m 21＋4m 2. 所以|MF 2|·|NF 2|＝3·m 2＋m 4m 2＋4·3·1＋m 21＋4m 2＝3（m 2＋1）|m |4m 4＋17m 2＋4＝3·1|m |＋|m |4（m 2＋1m 2）＋17＝3·1|m |＋|m |4（1|m |＋|m |）2＋9. 设1|m |＋|m |＝t ≥2(当且仅当1|m |＝|m |，即m 2＝1时等号成立)． 则|MF 2|·|NF 2|＝3t 4t 2＋9＝34t ＋9t . 因为f (t )＝4t ＋9t在[2，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝2，即m ＝±1时，4t ＋9t 取得最小值252， 从而|MF 2|·|NF 2|取得最大值625. 22．解：(1)令x ＝1n， 则f (1n )f (1－1n )＝14， 即f (1n )f (n －1n )＝14， 同理可得f (2n )·f (n －2n )＝14， f (3n )·f (n －3n )＝14， …f (n －1n )·f (1n )＝14， f (1)·f (0)＝14. 又a n ＝f (0)·f (1n )·f (2n )·…·f (n －2n )·f (n －1n)·f (1)． 所以a n ＝f (1)·f (n －1n )·f (n －2n )·…·f (2n )·f (1n )·f (0)．两式相乘得，a 2n ＝[f (0)·f (1)]·[f (1n )·f (n －1n )]·[f (2n )·f (n －2n )]·…·[f (n －2n )·f (2n )]·[f (n －1n )·f (1n )]·[f (1)·f (0)]＝(14)n ＋1. 又f (x )>0恒成立，所以a n >0恒成立，则a n ＝（14）n ＋1＝(12)n ＋1. (2)证明：将a n ＝(12)n ＋1代入b n ＝1（1－3a n ）2－11－3a n ，得b n ＝3·2n ＋1（2n ＋1－3）2. 又S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝3·2n ＋2（2n ＋2－3）2>0，故S n 是关于n 的递增数列， 故S n ≥S 1＝b 1＝12.当n ≥2时，b n ＝3·2n ＋1（2n ＋1－3）2<3·2n ＋1（2n ＋1－3）（2n ＋1－4）＝3·2n （2n ＋1－3）（2n －2）<3·2n（2n ＋1－3）（2n －3）＝3(12n －3－12n ＋1－3)． 故S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋b 2＋b 3＋…＋b n <12＋3(122－3－123－3＋123－3－124－3＋…＋12n －3－12n ＋1－3)＝15－32n ＋1－3<15. 综上，12≤S n <15.。