大学 高等数学 竞赛训练 极限

10月16日1:求极限30sin arctan lim x xx x -→.2:已知,0)0(,1)0(=='f f 求)2(lim nnf n ∞→. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<<+n x x x n n π求:(1)证明n n x ∞→lim 存在, (2)计算11)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1)(lim ,0)0(0=-=→xx f f x 则在点0=x 处)(x f(A) 不可导 (B) 可导,且,0)0(≠'f(C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 .6：求对数螺线θρe =在点)2,(2ππe 处得切线的直角方程.7：计算dx e e x x )(0cos cos ⎰--π.8：计算dx x x ⎰++42)2()1ln(. 9: 计算dx x x ⎰-π53sin sin .10: 化三重积分⎰⎰⎰Ω),,(z y x f 为累次积分,其中Ω为六个平面2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域..11：求222a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>==b b y m my x x截下部分面积. 12计算,)(22dxdydz y x I⎰⎰⎰Ω+=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.级数部分 13:设1,32,1,11221≥+===++n a a a a a n n n ，求n n n x a ∑∞=1的收敛半径、收敛域及和函数。

解：把1,3212≥+=++n a a a n n n 化为),3(3112n n n n a a a a --=-+++则123++-n n a a 是以 －2为首项，－1为公比的等比数列，所以n n n a a )1(2312--=-++此式又可以化为])1(21[3])1(21[1122++++-+=-+n n n n a a 则1)1(21n n a -+是以 21为首项，3为公比的等比数列，所以1321)1(21-⨯+--=n nn a 由于,3lim =∞→n n n a所以nn nx a ∑∞=1的收敛半径是31，收敛域是)31,31[-，和函数是 )31)(1()1(31361121)3(61)(21111x x x x x x x x x x x a nn nn nn n-+-=-⨯++-⨯-=+--=∑∑∑∞=∞=∞= 14已知)(x f n 满足xn n n e xx f x f 1)()(-+='（n 为正整数），且nef n =)1(，求函数项级数)(1x fn n∑∞=之和（2001，3）.解：由已知条件可见x n n n e x x f x f 1)()(-=-'其通解为)()(1c n x e c dx e e x e x f nx dx x n dx n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-- 由条件n e f n =)1(，得0=c ，故ne x xf xn n =)(。

高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。

高等数学竞赛一、填空题 若 lim sin x (cosx -b) =5，则 a = i 0e X -a 设 f(X)= lim (n 2 "x,贝U f (x)的间断点为 x= ______ . nx +1 曲线y=lnx 上与直线X+y=1垂直的切线方程为 ________________________________ . 已知 f (e X ) =xe 」，且 f(1)= 0,贝u f (X)= ___________ . l x =t 3+3t +1设函数y(x)由参数方程彳 3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x 取值[y =t -3t +11. 2.3. 4.5.范围为6.i 2x 设y =arctane X - InV e 2x17.若 X T 0时，(1 -ax2)4 -1xe x 2设 f (x) - {-1与xsinx 是等价无穷小，则a=1 < —2，则2B f(x —1)dx =29. 由定积分的定义知，和式极限lim ^n n 2+k 210. '1 8 dx X J X 2-1 二、单项选 择题 X x -— X T 0 时的无穷小量 a = Lcost 2dt,P = T tan 寸tdt,Y = 11 .把是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【】(A)a ,P ,Y . (B) a ,Y , P . (C) P^J . 12•设函数f(x)连续，且f(0) :>0,则存在6 >0，使得 【 (A) f(x)在(0, 6)内单调增加. (C )对任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)>f(0).13 .设 f(X)=|x(1-X)| ,贝U 【<x3 [si nt dt ,使排在后面的】(B ) f(x)在(-■& ,0)内单调减少.(D)对任 意的 X 亡(一6,0)有f(x)>f(0). (A ) (B) (C) (D ) =0是f (X)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (X)的拐点. =0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f(x)的拐点. =0是f (X)的极值点，且(0, 0)是曲 =0不是f (X)的极值点，(0, 0)也不 线y = 是曲线 f ( x)的拐点. y = f (x)的拐点. 14 . lim In 『(1+丄)2(1+2)2|II (1+卫)2等于 ¥ n n n 血X2 n2 (B) Zjxdx . [(c)2J In(1+x)dx .2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函数 (A)(一、| x |sin(x -2)亠 f(X)= --- --- 一在下列哪个区X (X -1)(X -2)21 , 0). (B ) (0 , 1).间内有界.【(C) (1 ,2). (D) (2,3).16.设 f(X)在(+ )内有定义，且lim f(x)=a ，ggJGw 0，则【】高等数学竞赛试卷Y ［ 0 ,x=0 (B) X = 0必是g(x)的第二类间断点. (D) g(x)在点X = 0处的连续性与a 的取值有关. 】 (A) X = 0必是 (C) X = 0必是 17 .设f '(X)在［a , b ］上连续，且f "(a) >0, f'(b) v0，则下列结论中错误的是【 X 0 € (a, b)，X 0 (a,b)， X 0 丘(a,b)， X 0 亡(a,b)，g(x)的第一类间断点. g(x)的连续点. (A ) (B ) (C )(D ) 18 .设 (A) (B) (C) (D) 至少存在一点 至少存在一点 至少存在一点至少存在一点 使得 使得 使得 使得 f (X 0) > f (a). f (X 0)> f (b). f'(X 0)=O . f (X 0)=0. ,1, X >0 f(x) =40,x =0，F(x) ［-1, x <0 点不连续.)内连续，但在X = 0点不可导.)内可导，且满足 F(x) = f(x).)内可导，但不一定满足F'(X)= f (x). F(x)在 X = 0 F(x)在( F(x)在(F(x)在( 三、解答题 1 r< 2 19.求极限ljm —(一 20 •设函数f (X)在(—壬 +再上有定义，在区间［0, 2］上,f(X)= x(x — 4),若对任意的X 都满足 f(X)=kf(X +2),其中k 为常数.(I )写出f (X)在［—2, 0］上的表达式;(n )问k 为何值时，f(x)在x = 0处可导.21 .设f ( X )，g (X )均在［a, b :上连续，证明柯西不等式 2 + COSX f 「b (x)dx h a 2 2 2 4 22 .设 ecacbce ,证明 ln b-ln a 》一f(b-a). e f (x)g(x)dx i 兰 if f 2 g 2(x)dx j X 丄 — e 中e 23曲线y =— ---- --- 与直线x=0, x = t(t> 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其 体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t 处的底面积为F(t).( I )求 V(t) X X24 .设 f (X) , g(x)在［a , b ］上连续，且满足 J f (t)dt > Jg(t)dt ，x a a 的值;(n ) lim -S(^). t -就 F(t) bb［a ,b)，J a f(t)dt = J a g(t)dt .证明：［b xf(x)dx < f bxg(x)dx . •a 'a25. 速并停下.现有一质量为9000kg 飞机的速度成正比(比例系数为 表示千米/小时.尾部张开 减速伞，以增大阻 力，使飞机迅速减 经测试，减速伞打开后， 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的 瞬间，飞机的飞机，着陆时的水平 速度为 700km/h. k=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？飞机所受的总阻力与 注 kg 表示 千克，km/h 一、单项选择题 2 X -ax — b 尸 0 1、若 ％+1 (A ) a =1, b =1(B) a=T, b =1 (C) a =1, b =—1 (D)a = —1, b=—1F（x ）2、设 F （x ）詔 x ，［f（0）,（A ） 连续点 （B ）3、设常数k A O ，函数 X 工0 c，其中f （x ）在X =0处可导且f '（0） H 0X ：= 0 第一类间断点（C ） 第二类间断点 （D ）以上都不X f （X ）= In X —一 +k 在（0, xc ）内零点的个数为e f (0) =0，贝U X = 0 是 F(X)的 (C) 4、若在［0,1］上有 f ( 0 > g (0=) 0, 4 g) = ab)且 f''X 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f （X ）dx ，I 2 5、 1 = J o g(x)dx ，I 3 I 1 > l 2> 图形0<a<x<b, 0<y<f(x 绕y 轴旋转所成 的旋转体 bb(A) 由平面 (A) 6、 7、1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、1=f ax dx 的大小关系为 j 0 ------------------I 3 ( B ) I 2 > I 3 二 I 1 ( C )V =2兀 J xf(Mdx( B ) V =2和 f ( x) d X C )VP(1,3,4)关于平面 3x + y —2z =0的对称点是_( A ) (5, —1,0) 设D 为 X 2 + y 2<R 2，D 1 是 D 位于第一象限的部分，f (X)连续， 2(A)8JJf(X 2)dcrD 1(B ) 0( C )a 为常数，则级数二、填空题3 l ：m tan 2x （1 hm —4—（1X —30 X y r sin(na) 1 1n 2"T n J13 — 12 — 11 的体积为 ___________ b2=兀 Ja f (x)dX (B ) (5,1,0) 则 JJ f (x 2D R R 2Jdxjj(x+ y 2)dy(D)bV " Ja f (x)dx (C ) (-5,-1,0) ( D ) (-5,1,0) + y 2)dcr = _______ (D ) (D )4JJf(x 2 D 1+ y 2)db绝对收敛（B ）发散C ）条件收敛（D ）收敛性与a 的取值有关个。

函数、极限、连续一、考试内容函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

（一）函数1、函数(Function)的定义设D是一个非空实数集合，若∃对应关系f，对于∀x∈D，按照f，对应唯一确定的y∈R，称f是定义在D上的函数, 习惯上也称y是x的函数，记为y=f(x).notes：1. 两个常用的数学符号： 0∀: “任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；∃: “存在，它是英文单词Existence“表示存在” 打头字母E 的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数μy=x(1) 幂函数，μ是常数．图Ⅰ—1xy=a(2) 指数函数 (a是常数且a>0，a≠1)，x∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—2(3) 对数函数 y=logax(a是常数且a>0，a≠1)，x∈(0,+∞)．对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3(4) 三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。

余就是余角，就是90度减去正角.2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数 y=sinx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—4余弦函数 y=cosx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—5正切函数 y=tanx，x≠kπ+π2，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—6余切函数 y=cotx，x≠kπ，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—7(5) 反三角函数y=arcsinx反正弦函数， x∈[-1,1]，y∈[-ππ,]22．图Ⅰ—8反余弦函数 y=arccosx，x∈[-1,1]，y∈[0,π]．反正切函数反余切函数y=arctanx，y=arccotx，图Ⅰ—9 x∈(-∞,+∞)，y∈(-ππ2,2)．图Ⅰ—10 x∈(-∞,+∞)，y∈(0,π)．图Ⅰ—113、由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)．4、分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数. 即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．⎧1,x>0⎪（1）符号函数：y=sgnx=⎨0,x=0,xsgnx=x,xsgnx=x．⎪-1,x<0⎩（2）高斯函数：函数y=[x]，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y={x},{x}=x-[x]. x图I －12x-1<[x]≤x<[x]+1，y=[x]是不减函数，即若x1≤x2则[x1]≤[x2]，其图像如图I －13；y={x}是以1为周期的周期函数，如图I －14.图I －13 图 I －14（图I －13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：max{f(x),g(x)}=⎨⎧⎪f(x),x∈{xg(x)≤f(x)}1=[f(x)+g(x)+f(x)-g(x)]，⎪⎩g(x),x∈{xg(x)>f(x)}2⎧f(x),x∈{xf(x)≤g(x)}1⎪min{f(x),g(x)}=⎨=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)]． g(x),x∈{xf(x)>g(x)}2⎪⎩对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{X,Y},min{X,Y}．5、隐函数：若方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=y(x)，但其未必能显化．函数都是方程，但方程却不一定是函数．⎧x=ϕ(t)6、若参数方程⎨能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=ψ(t)⎩y=y(x)，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为f(x,y)=0．7、函数的奇偶性sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(x+，f(x)-f(-x)x,cosx,f(x)+f(-x)为偶；奇±奇=奇，奇±偶（非零常数）=非奇非偶，奇⨯（÷）奇=偶，奇⨯（÷）偶=奇．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式n→∞:自变量取正整数且无限增大的过程；x→+∞:自变量取正数且无限增大的过程x→-∞:自变量取负数且其绝对值无限增大的过程x→∞:自变量绝对值无限增大的过程x→x0+:自变量从x0的右侧向x0无限趋近的过程x→x0-:自变量从x0的左侧向x0无限趋近的过程x→x0:自变量向x0无限趋近的过程，也指x∈(x0,δ)，δ为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若limf(x)=0，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若limf(x)=∞，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限11αααlim=,lim=;limx=(α<0),limx=(α=0),limx=(α>0); x→+∞x→+∞x→+∞x→0-xx→0+xlimex=limex=0,limex=,limex=/; limax=，limax=/(a>0,a≠1) x→0x→-∞x→+∞x→∞x→0x→∞x→-∞limax=,limax=(0<a<1);limax=limax=(a>1); x→+∞x→-∞x→+∞x→0+limlnx=-∞，limln(1+x)=0，limlnx=+∞; x→0x→+∞x→∞limsinx=cosx=limtanx=,limcotx=; x→∞x→πx→02limarctanx=limarctanx=-,limarctanx=,limarctanx=; x→0x→-∞x→+∞x→∞ππlimarccotx=x→0,limarccotx=π,limarccotx=0,limarccotx=/．x→+∞x→∞2x→-∞4、记忆以下几个关于极限的充要条件①limxn=a⇔limx2k-1=limx2k=a；n→∞k→∞k→∞π②limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A；x→∞x→-∞x→+∞③limf(x)=A⇔f(x0)=f(x0)=A；x→x0-+④limf(x)=A⇔f(x)=A+α,且limα=0．5、无穷小的比较：在同一极限过程中，设α=α(x)，β=β(x)均为无穷小，则β ①如果lim=0，称β是比α高阶的无穷小；记作β=o(α)；或称α是比β低阶的无穷小；αβ②如果lim=c(c≠0)，称β与α为同阶无穷小；αβ特别当c=1时，即lim=1称β与α为等价无穷小，记作β~α；αβ③如果limk=c(c≠0,k>0)，称β是α的k阶无穷小．α6、无穷小的等价代换定理：设α，α'，β，β'是同一极限过程中的无穷小，且满足α~α'，β~β'，及α'αα'lim存在或为无穷大，则：lim=lim. β'ββ'记住当x→0时，下列的等价关系： arcsinx~arctanx~sinx~tanx~ex-1~ln(1+x)~x,ax-1~xlna,loga(1+x)~a，xx2x21-cosx~,lncosx~-1~,(1+x)α-1~αx(α≠0)． n227、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数f(x)，g(x)，h(x)满足① g(x)≤f(x)≤h(x) ② limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)存在，且limf(x)=A．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个常用的结论：（1）limf(x)存在，limg(x)=0⇒limf(x)=0; g(x)（2）limf(x)=A≠0,limf(x)=0⇒limg(x)=0． g(x)（三）连续1、连续的定义: 若limf(x)=f(x0)，称f(x)在x0处连续，否则，x0为f(x)的间断点．x→x0-+若f(x0)=f(x0)，称f(x)在x0左连续，若f(x0)=f(x0)称f(x)在x0右连续．若对∀x∈(a,b)，使得f(x)连续，称f(x)在(a,b)内连续，即对∀x∈(a,b)，求证lim[f(x+h)-f(x)]=0.h→0进一步，若f(a+)=f(a),f(b-)=f(b)，称f(x)在[a,b]上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点．跳跃间断点:左极限≠右极限的间断点．2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点．3、连续函数的性质1）连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；2）初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值；3）闭区间上连续函数的性质（1）最值（有界）、介值性：若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上上必有最大值和最小值（当然有界），且f(x)在[a,b]上也可取到介于它在[a,b] 上最小值与最大值之间的一切值.(2）零点定理:若f(x)在[a,b]连续,且f(a)⋅f(b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0．（介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用）二、典型例题题型一复合函数⎧2-x2,|x|<1⎧0,x<0例1、设f(x)=⎨, g(x)=⎨，试求f[g(x)],g[f(x)]. 1,x≥0|x|-2,|x|≥1⎩⎩2⎧⎪2-f(x),解：g[f(x)]=⎨⎪⎩f(x)-2,f(x)<1⎧2,f(x)=0⎧2,=⎨=⎨f(x)≥1⎩-1,f(x)=1⎩-1,x<0 x≥0⎧0,g(x)<0⎧⎪0,1≤x<2. f[g(x)]=⎨=⎨1,g(x)≥0⎩⎪⎩1,x<1或x≥2⎧3x-2x2，3x-2x2≤x3⎧3x-2x2，x∈[-1,0]⋃[3,+∞]例2、min{3x-2x,x}=⎨3.=⎨3233x-2x>x⎩x，⎩x，x∈(-∞,-1)⋃(0,3)23例3、已知f(x+1)的定义域为[0,1],，求f(2x+3)的定义域.1解：x∈[0,1], 则x+1∈[1,2]，于是2x+3∈[1,2]，故x∈[-1,-]. 21例4、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B) 211x1(A) g[f(3x)] (B) f[2g(x)] (C) g[2f()] (D) 2g[f(x)] 2333111解：y=f[g(3x)]，则g(3x)=g(y)，即g(3x)=2g(y)，于是3x=f(2g(y))，即x=f(2g(y)) 22311故y=f[g(3x)]的反函数为y=f[g(3x)]. 22题型二函数性态例1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)ex-e-xx2011tanx2+1 (C) lnx(A) [x] (B) (+x+1) (D) cosx+20112例2、当x→∞时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量例3、设limf(x)=A，下列结论成立的是(C) x→x0(A)存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>A (B) 存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)<A(C) 若A>0,则存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(D) 若当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A>0.注1：若limf(x)=A，则对∀ε>0，存在δ,当x∈U(x0,δ)时，总有A-ε<f(x)<A+ε（局部有界）. x→x0注2：若limf(x)=A，当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A≥0（局部保号）. x→x0例4、y=x+1在下列区间中有界的是(A) x2-1(A) (-∞,-1) (B) (-∞,1 ) (C) (-1,+∞ ) (D) (1,+∞)注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a+)=A,f(b-)=B,则f(x)在(a,b)内有界.题型三未定式计算（限于例1、求极限：∞0∞，，0⋅∞，1，另三种∞-∞，∞0,00以后讲）∞0(2x+1)4(x-1)6-5x(x8+x)（1）lim；（2）；（3）；10x→0x→x→∞(x+2)（4）limx→0(x+1)-132x-23x∞∞2231x；（5）limx→2cot3x；（6）limx2(x+8-x+1)；（7）lim(cosx)cscxx→0x→∞cot5x1151(2+)4(1-)6-(1+7)=16. 解（1）：原式=limx→∞(1+)10x解（2）：原式=lim00x⋅xxln3⋅(-)x2x→∞=-2. ln3sinxtanx-1-1解（3）：原式==0. x→1ln3-2001xln3+(-)x20注：等价无穷小代换可在,0⋅∞中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0x→∞原式=lim00x-x=0(⨯)（sinx-tanxx-x是错的）整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开ln(x3+1)e-111=lim2x2lim=解（4）：原式=lim2x2(2ln3-3ln2)x2. x→0x→0x→0(2ln3-3ln2)x22ln3-3ln23[e-1]]3ln(x3+1)xa注：当x→0时，ax-bx~xln,(1+x)α-(1+x)β~(α-β)x(α≠β),(1+x)x-1~x2. b解（5）：原式=limt→0x=-t2πtan3t3=. tan5t5007解（6）：原式===. x→∞x→∞30⋅∞1∞limlncosxsinx2解（7）：原式=e注：limu(x)v(x)1∞x→0=ex→0limcosx-1x2=e. -12=elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)-1limv(x)[u(x)-1]=e=a. 题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？arctanxx-1(a>1)lime；；（3）（4）limx→∞ax-1x→1x-1x→∞x→0tan3x⎛1⎫1+x22n2⎪;（7）lim（5）（6）lim ++⋅⋅⋅+6662⎪n→∞1+x2nx→0n→∞ n+2nn+n⎭⎝n+n1n(n+1)(2n+1)122n2n(n+1)(2n+1)提示：（6）因，则原式= ≤+++≤36n6+n2n6+nn6+2nn6+n26n6+n（1）x)；（2）lim21x-1sinx2+x4sin1⎧1+x,x<11+x⎪（7）lim=⎨1,x=1 n→∞1+x2n⎪0,x>1⎩注1：x→∞时，x-x，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x→+∞,x→-∞x→∞时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数f(x)=limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等. n→∞nn+ +am,其中ai>0(i=1,2, ,m)。

高等数学竞赛试卷2010一.填空题1. . 11122limcos cos cos n n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭答: .sin1+cos1-12. 设函数连续且，则极限 .()f x (1)1f =()()1131()d d lim1xt x t u f u u tx →⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰答： .16-3. 设.0yx =⎰330d d x yx ==答： .44. 设,变量且,那么.(),z z x y =23u x y v x y =-⎧⎨=+⎩2222261z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂2zu v ∂=∂∂答：.155. 设曲面的方程，的方程为，的方程为，1∑333y x z +=2∑222y x z -=3∑222y x z =的方程为，它们在面上的投影均为，它们的面积依次4∑z =xOy 122≤+y x 为、、和，则、、、的大小关系为 .（用等号1S 2S 3S 4S 1S 2S 3S 4S 或不等号表示）答： .4213S S S S >>>6.设曲线：，则 .Γ2221231x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩()()()222123d x y z s Γ⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎰.二.选择题1.设， 其中是有界函数. 则在点处 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,)(0,cos 1)(2x x g x x xxx f )(x g )(x f 0=x (A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导答： D2.设与具有任意阶导数，且，()x f ()p x ()()()()2f x p x f x xf x x x '''++=+是的驻点，且，则 .0x =()f x ()10=f (A)为函数的极大值(B)为函数的极小值()0f ()x f ()0f ()x f (C)点为曲线的拐点(D)极值或拐点由确定()0,1()x f y =()p x 答： B3. 设函数连续，则.)(x f 22d ()d d x tf x t t x -=⎰(A)(B)(C)(D))0(xf )(212x f )(2x xf )(22t x tf -答： C4. 已知级数收敛，则实数的取值范围是 .13121111n n α∞=⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑α(A)(B)(C)(D)10,3⎛⎤⎥⎝⎦11,32⎛⎤⎥⎝⎦1,22⎛⎤⎥⎝⎦()2,+∞答： D三.求无界区域轴旋转形成立体的体积.211+y x ≤≤x解：,()()222202211d 2d 111x V x x x x x ππ∞∞-∞⎛⎫ ⎪=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰令，tan x t =222222400tan sec 2d 2sin d .sec 2t t V t t t t πππππ===⎰⎰四.已知曲线的方程为.L ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2241tt y t x (0)t ≤(1) 讨论的凹凸性.L (2) 过点 引的切线，求切点，并写出切线方程.)0,1(-L ),(00y x (3) 求此切线与以及轴所围成的平面图形的面积.L x 解：(1) ，，下凸；d 221d y t x t t-==-()223d 100d y t x t =-><L (2) 由，得求得切点的参数，切点；22d 24d 2y t t t x t t --==+02t =-()5,12-切线方程；()21y x =-+(3) 记的方程为，面积L ()y y x =.()5221036d 3642d A y x t t t t -=--=+-⎰⎰88203633=-=或记的方程为，面积L ()x x y =()()0212121222d d d d 2x y y y A y x x y y y +----+==+⎰⎰⎰⎰()()0229220142d 2424.33t t t -=+--=-=⎰五.设函数，是极值. 求曲线在点()21()||e d t f x t t x t =-⎰(01)x ≤≤()0f x ()y f x =处的曲率.()()0,x f x解：()()2210()e d e d x t t xf x t x t t t t x t=-+-⎰⎰2222112200e d e d e d e d x xt t t t xxx t t t t t t x t t=-+-⎰⎰⎰⎰， ()2210e d e d xt t xfx t t t t '=-⎰⎰2e 1e 2x +=-驻点0x =，()20002e x f x x ''=()322||1x f K f ''='+(e 1=+六.设是球面被平面，， 切下的在第一卦限的部分，∑2221x y z ++=0z =x y =2z x =试求的面积.∑解： ,在面的投影：:z ∑=∑xOy 由，，围成.xyD 2251x y +=x y =221x y +=xyD S σ=⎰⎰xyD σ=⎰⎰24d d ππϕρρ=⎰22ϕ=====-七.设是坐标原点，动点在曲线:Γ上移动时，线段的轨O M 21y x z ⎧=⎨=⎩()11x -≤≤OM 迹形成了锥面.∑(1)试写出的方程；(2)求曲面积分，其中取下侧.∑d d d d d d z y z y z x x x y ∑++⎰⎰∑解：(1)，必有， ，，(),,P x y z ∑∈()00,,1M x y Γ∈||OM OP 001x y x y z⇒==，即的方程为.200y x =⇒22y x z z=∑2yz x =()11x -≤≤(2)在面上的投影区域.的方程为,有∑zOx :zx D ,01z x z z -≤≤≤≤∑2x y z=,合一投影法并利用对称性计算，222,x z x x y y z z==-()()d d d d d d d d x z I z y z y z x x x y z y y x y z x∑∑=++=-++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰2323222d d 2d zx D x x x x x z x x z z z z ∑σ⎛⎫⎛⎫=-++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰2211200022d 2d d d .39zxz D x x z x z z z z σ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰或(2)在面上的投影区域.的方程为∑yOz :yz D 0,01y z z ≤≤≤≤12∑∑∑=+与,有x =x =.12d d d d d d 0z y z z y z z y z ∑∑∑=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰在面上的投影区域.的方程为,有∑zOx :zx D ,01z x z z -≤≤≤≤∑2x y z=d d y z x ∑=⎰⎰2d zxD x zσ-⎰⎰2112000222d d .39z x dz x z z z -=-=-⎰⎰⎰在面上的投影区域.的方程为,∑xOy :xy D 2||x y x ≤≤∑2x z y=.d d x x y ∑=⎰⎰d 0xyD x σ-=⎰⎰故.2d d d d d d 9I z y z y z x x x y ∑=++=-⎰⎰。