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称由上式定义的概率为几何概率, 其中
S( A)称为A的测度。
（n 1时, S(A)为A的长度; n 2时, S(A)
为A的面积; n 3时, S(A)为A的体积.)
§1.4 条件概率
定义1.3 给定概率空间: (, P), A, B是其 上的两个事件,且P(A) 0. 则称 P(B A) P(AB)
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A).
五. 贝叶斯公式
定理1.2 设A1, A2 , , An , 为一个完备
事件组,且P( Ai ) 0, (i 1,2, ).则对任意事件
B , P(B) 0,有
P( ห้องสมุดไป่ตู้i
B)
P( Ai B) P(B)
P( Ai )P(B Ai )
四. 全概公式
一般地, 有
定理1.1 设有限个或可数个事件A1, A2,L ,
An ,L 为一个完备事件组,且P( Ai ) 0,
(i 1, 2,L , n,L ),且 U Ai =,则对于任意事件 i 1
B ,有 P(B) P( Ai )P(B Ai ).
i
特别地，当A1 A，A2 A 时，有
P(Aj )P(B Aj )
例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取 一只，观察其颜色后放回，并再放
入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续 取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
P( A1A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )P( A4 | A1A2 A3 )
其中x1 x2 xn1 xn , 则X的分布函数 F(x)为:
0,
p1 ,
F
(
x)
p1 p2 ,
p1
pn1 ,
1,
x x1 x1 x x2 x2 x x3
xn1 x xn x xn
五. 连续型随机变量及其概率密度 (一)定义2.5 一个随机变量X称为连续 型随机变量，如果存在一个非负的可 积函数f (x),使得有:
存在.并将其数学期望记作E X , 定义为:
EX xi pi i 1
二. 连续型随机变量的数学期望
定义2.7 设连续型随机变量X ~ f (x),
如果 x f (x)dx收敛,则称X的数学期望
存在, 且定义为:
EX
设 ：B： 买 到一 件次 品 A1 :买 到 一 件 甲 厂 的 产 品 A2 :买 到 一 件 乙 厂 的 产 品 A3 :买 到 一 件 丙 厂 的 产 品
P(B) P(BA1 ) P(BA2 ) P(BA3 )
P(B | A1 )P( A1 ) P(B | A2 )P( A2 ) P(B | A3 )P( A3 )
x
x
3、右连续性：对任意实数x，
F(x0
0)
lim
xx0
F(x)
F(x0
).
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个
随机变量的分布函数。故该三个性质是
分布函数的充分必要性质。
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为 F(x) P{X x} pk k:xk x
F (x) P( X x) x f (t)dt.
其中, f (x)称为X的概率密度函数(或密 度函数),可记作X ~ f (x).
f (x)有以下性质 :
(1) f (x) 0, x R;
(2) f (x)dx 1.
反之,如果一个函数 f (x)有以上两个性质 , 则其可以作为某个随机 变量的密度函数 .
定理1.3 (伯努利定理) 设在一次试验中,
事件A发生的概率为P( A) p, (0 p 1),则
在n重伯努利试验中,令Bk “事件A恰好发
生k次”，将P(Bk )记作 : b (k; n, p).
P(Bk
)
b (k; n,
p)
C
k n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1,2, , n.
第二章 随机变量的分布与数字特征 § 2.1 随机变量及其分布
定义2.3 设X是一个离散型随机变量,
且其取值集合为:{xi i 1,2,3, },则称 P(X xi ), (i 1,2,3, ) 为X的概率分布(或概率函数). X的也概可率将分P(布X 也 x可i )记以作列P表(表xi )示或为pi .:
X x1 x2 xn P p1 p2 pn
P(a X b) P(X b) P(X a)
F(b) F(a)
b
a
f (x)dx f (x)dx
b
a f (x)dx
(三)连续型随机变量的分布 函数
由于F(x) x f (t)dt,故由变上限积分的
导数可知:当f (x)在点x处连续时,有
F ' (x) [ x f (t)dt]' f (x).
将加法公式推广到3个事件的情况, 设A, B,C ,则 P( A B C) P( A) P(B) P(C) －P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC).
§1.3 古典概型与几何概型
一. 古典概型
称满足下列两个条件的概率模型为古典概型:
定义1.6 (相互独立) n ( 2)个事件A1, A2 , , , An相互独立 对任意k个事件Ai1 , Ai2 , , , Aik (1 i1 i2 ik n),都有
“伯努利概型”。
定义1.8 一个试验序列称为伯努利试验 序列，如果它是由一个伯努利试验独立 重复进行形成的试验序列。特别地，由 一个伯努利试验独立重复n次，形成的 试验序列称为n重伯努利试验。
概率论与数理统计 典型习题讲解
中国人民大学 统计学院 李因果
liyinguoruc@
第一章 随机事件与概率
七. 事件的运算律( 参见教材P7 8) 其中特别注意两个对偶律 : A B A B; AB A B.
§1.2 随机事件的概率
三. 概率的公理化定义 定义1.2 设是一个样本空间，定义在的 事件域F上的一个实值函数P()称为上的一 个概率测度，如果它满足以下3条公理 :
一. 随机变量的概念
由第一章可知: 随机试验具有: (1)结果的不确定性; (2)结果往往表现为数量形式,或可以“数 量化”.
二. 离散型随机变量的概率分布
定义2.2 设X是定义在(, P)上的一个 随机变量，如果X的全部可能取值为 有限个或可数个，并以确定的概率取 各可能值，则称X是一个离散型随机 变量。
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年
的概率为多少？
解
0.5e0.5x x 0
f (x)
0 x 0,
(1)P{X 2} 0.5e0 . 5 xdx e1 0.37 2
(2)P{X 3.5 | X 1.5}
2 P( A1) 5
P( A2
|
A1 )
3 6
P( A3
|
A1 A2
)
3 7
P( A4
|
A1 A2
A3 )
4 8
例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
0.02 1 0.01 1 0.03 1 0.0225
4
4
2
例6 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱 .问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
nA 60 nAB 40
P(B | A) nAB 2 nA 3
四. 全概公式
由于A2 A1 A2 A1 A2，其中A1 A2与A1 A2 互不相容。因此有
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 )
公理1. P() 1; 公理2. 对任意事件A，都有: P(A) 0;
公理3. 对任意可数个两两不相容的事件
A1, A2 , , An , , 有 :
P( Ai ) P( Ai ).
i 1
i 1
称具有概率测度P()的样本空间，为一个
概率空间，记作: (, P).
性质4. P( A B) P( AB) P( A) P( AB); (由于A ( A B) AB,且A B与AB互不 相容,则由性质2 : P( A) P( A B) P( AB).)
(1)由有限个基本事件组成,即
{1,2 , ,n};
(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性
相同,即 :
P(i
)
1 n
, (i
1,2,
, n).
二. 几何概型
一般地,有 : 设A R n , (n 1,2,3),
为任意可度量子集, 则
P( A)
S( A) S ( ) .
三. 分布函数
定义2.4 设X是一个随机变量, 对于任意 实数x, 称函数 F(x) P(X x) 为随机变量X的分布函数,记作X ~ F(x).
分布函数的性质 1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2);
2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
