曲面立体投影及表面上求点

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工程制图_05平面立体的投影与曲面立体的投影(含截交线和螺旋面)

截平面定位尺寸 60°
应标注立体的原形尺寸
和切口截平面的定位尺
寸，不注切口截交线的
Ø
定形尺寸。
JK系列
切口立体尺寸注法
截平面定位尺寸
截平面定位尺寸 SR
平面立体的截交线
截平面：截切立体的平面称为截平面。
JK系列
平面立体的截交线
截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
圆球的三个投影均为等径圆，并且是圆球上平行于相应投影面的最大轮廓圆。H面投影的轮廓圆是上、下两半球的可见性分界线，V面投影的轮廓圆是前、后两半球的可见性分界线,W面投影的轮廓圆是左、右两半球的可见性分界线.
JK系列
圆球面上取点
A点在右前上方 B、C点在球面
的球面上
的赤道圆上
VW
a
(a")
a
( a)"
面的圆
dc
d"(c")
D
C
例 1 0
R2
a"(b")
B
ab
A
JK系列
[例11] 补绘四分之一圆球被切割后的H、W投影。
例
1
1
圆球的截交线
都是圆
JK系列
圆柱螺旋线形成：一动点沿一直线等速移动，而该直线同时绕螺旋面
螺线旋
与它平行的一轴线等速旋转时动点的轨迹。
投影：H面投影为圆周，V面投影为正曲线。注意后半圆柱的螺旋线不可见，
圆
截平面与柱轴平行截平面与柱轴斜交
矩形
椭圆
投影图与立体图
截平面
截平面
截平面
[例1] 带凸截口圆柱的画法.

基本立体的投影及其表面取点

因点M所在表面△SAB为一般位置平面，所以可以利用辅助线法来
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m，再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱（1）圆柱的形成圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位置称为素线。

曲面立体的三视图及其表面取点

a
sc
b
2.在圆锥表面取点
s
s
(1) 特殊位置点
已知棱锥表面上点的投影1、2、3，求其它两面投影。
SO
A O1
(2)

1
a
3

b(d) d
a 1
2 s

(3)
b
2

c d
1 3 b

a ( c )
c
(2) 一般位置点
已知圆锥表面上点的投影1、2，求其它两面投影。
曲面立体及表面点的三视图投影
回顾基本几何体的分类
根据几何体的表面几何性质，基本几何体可分为哪两类：
1、平面立体 2、曲面立体
1：平面立体的定义表面都是由平面所构成的形体，如棱柱、
棱锥等
2：曲面立体的定义表面是由曲面和平面或者全部由曲面构
成的形体。如圆柱、圆锥、球体、圆环等
圆的直径一般注在投影为非圆的视图上。
尺寸应尽量注在反映形状特征的视图上，
圆的直径一般注在投影为非圆的视图上。
() ()
1.平面立体的尺寸标注
课堂小结
2. 曲面体的尺寸标注
课堂小结

k
1

(m)

1
基本几何体的尺寸标注
任何物体都具有长宽高三个方向的尺寸。在视图上标注基本几何体的尺寸时，怎样才能将三个方向的尺寸标注齐全，既不能少，而又不重复标注呢？
尺寸应尽量注在反映基本形体形状特征的视图上。
尺寸应尽量注在反映基本形体形状特征的视图上。
尺寸应尽量注在反映形状特征的视图上，

曲面立体的投影

线上，如图4-13(b)所示。因圆柱水平投影具有积聚性，
所以这三点的水平投影一定都在圆上，根据其位置判断
可见性即可，再根据三等关系即可求出侧面投影。
Page 22
单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
Page 23
作图步骤如下：点a′为可见点，根据点a′的位置分析，其侧面投影位于前轮廓线素线上，可过点a′作水平线交前轮廓素线于一点(即a″点)，根据三等关系可求出水平投影a。同理，c′点位于右轮廓素线上，根据水平投影的积聚性，从c′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为c点，根据三等关系可求出点c″的位置，其侧面投影为不可见点，需要用小括号括起来。b′点位于后左平面上，根据水平投影的积聚性，从b′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为b点，再根据三等关系可求出点b″的位置。
单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
1.素线法圆锥面由许多素线组成，圆锥面上任一点必在经过该点的素线上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。 2.纬圆法由回转面的形成可知，母线上任一点的运动轨迹为圆，且该圆垂直于旋转轴线，这样的圆称为纬圆。圆锥体上任一点一定在与其等高的纬圆上，因此可借助该点的纬圆求出该点的投影。
曲面立体的投影
2.投影分析（1）俯视图。俯视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大水平面①的投影。球被分为上、下两部分，上部分可见，下部分不可见。（2）主视图。主视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大正平面②的投影。球被分为前、后两部分，前部分可见，后部分不可见。（3）左视图。左视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的最大侧平面③的投影。球被分为左、右两部分，左部分可见，右部分不可见。
Page 29

立体的投影—曲面立体的投影(工程制图)

圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
圆锥由圆锥面和底圆围成圆锥面是无数多条素线的集合
圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆，这个圆是圆锥底圆和圆锥面的重合投影，反映底圆的实形，其半径等于底圆的半径，回转轴的投影积聚在圆心上，锥顶的投影也落在圆心上（通常用细点画线画出十字对称中心线）。
正面投影和侧面投影是两个相等的等腰三角形，高度等于圆锥的高度，底边长等于圆锥底圆的直径（回转轴的投影用细点画线来表示）。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边线分别是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的水平中心线重合。
侧面投影的左、右边线分别是圆锥最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的竖直中心线重合。
球体的投影分析
球体的投影分析
半圆面绕其直经为轴旋转运动的轨迹称为圆球体。半圆线旋转运动的轨迹是球面，即圆球的表面。
球体的投影分析
《工程制图》
素线求解圆锥体表面的点
素线求解圆锥体表面的点
素线求解圆锥体表面的点
圆锥表面取点
圆锥表面取点
素线法、纬圆法
s'
s"
a'
a"
1'
s
a 1
《工程制图》
回转曲面的有关概念
O 回转轴
母线 O1
纬圆
素线：母线在曲面上的任意位置都称为素线。
纬圆：母线上任意点的运动轨迹都是一个垂直于回转轴且中心在回转轴上的圆，这种圆就称为纬圆。

曲面体投影及其表面上点投影作图

求曲面体表面上点的投影:先分析这个空间点在曲面体的前、后、左、右、上、下哪半个部分上，是可见的还是不可见的，然后再展开找点的投影，方法有辅助素线法，辅助纬圆法，先作出辅助素线或辅助纬圆的三个投影，再在辅助素线或纬圆上找点的投影。
工程上常见的零件形体多数具有立体被平面切割所形成的截交线，或两立体相交而形成的相贯线、为了更好地正确、快捷绘制好汽车零件、部件图; 有必要学习基本几何体的投影画法，立体表面上点的投影作图、截交线和相贯线的画法。
学习目标
1 项目描述
1
(１)学习基本几何体的投影及立体表面上点、线的投影；
知识
2
13 知识准备
三圆球
圆球面可看作为由一条圆母线绕其直径回转而成，如常见的蓝球、足球、排球等。１. 投影分析
圆球的三面投影都是圆，直径与球直径相等，如图 3-16所示。
13 知识准备
三圆球
主视图的投影是圆，它是圆球面前半部分与后半部分的分界线，而且在俯视图和左视图投影都为中心线，前半部分可见，后半部分不可见。
如在图Ａ３４-1图1 幅所上示按：补１画∶三１视的图比，例并绘作制出支立架体零表面件上平点面Ｍ轮、廓Ｎ图形的，另如两图个投１影￣。７所示。
图 3-11 补画三视图
2 任务目标
1 能画出曲面体的三面投影视图。 2 能作出曲面体表面上点的投影。
建议学时：2学时。
13 知识准备
一圆柱
常见的曲面立体是回转体，就是表面有回转曲面的立体。曲面体常见的有圆柱、圆锥、圆环和圆球。曲面立体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。
《汽车机械制图》
1 平面体投影及其表面上点投影作图基曲面体投影及其表面上点投影作图 2 3 体立体表面交线绘制

立体表面上点的投影PPT课件

平移
当立体表面沿某个方向移动时，其上的点也会相应地移动，导致投影点的位置发生变化。
缩放
当立体表面按比例放大或缩小时，其上的点也会相应地放大或缩小，导致投影点的位置发生变化。
THANKS
感谢观看
投影的平移
总结词
平移是移动投影中心到新的位置，但不改变投影平面的方向。
详细描述
在投影变换中，平移是指将投影中心移动到新的位置，但不改变投影平面的方向。通过平移，可以改变投影中心的位置，使得立体表面上的点在投影平面上呈现不同的位置。平移操作不会改变点在立体表面上的位置和方向，只是改变了投影中心的位置。
05
CATALOGUE
立体表面上的点与投影的关系
点与投影的对应关系
投影线与投影面
每个点在立体表面上有且仅有一条投影线，该线与投影面相交于一点，该点即为该点在投影面上的投影。
唯一性
一个点在投影面上的投影位置唯一确定，反之亦然，即每个投影点都对应立体表面上的一个点。
点与投影的度量关系
距离关系
04
详细描述
投影与原点连线与曲面相切，并且投影与原点之间的连线与曲面内的任意一条线段都垂直。
06
详细描述
投影与原点连线长度保持不变，即投影与原点之间的距离等于原点到曲面的垂直距离。
点在多个面上的投影
总结词
确定点在多个面上的投影位置
详细描述
当一个点位于多个平面的交线上时，其投影将位于这些平面的交线上，并且与原点
具有相同的距离。
总结词
投影与原点连线垂直于所有平面
详细描述
投影与原点连线垂直于所有相关平面，并且投影与原点之间的连线与所有平面内的任意一条线段都垂直。

曲面立体表面取点的方法和步骤

曲面立体表面取点的方法和步骤如下：
1.判断点所在的面：先通过三视图的三等规律，判断所求点在立体的哪个棱面或曲面上。

具体判断可通过点的可见性（如点、线所在棱面的投影可见，则该面上的点、线投影也可见）及特殊位置等知识加以确定。

2.判断点所在的面在某视图是否有积聚性：如有积聚性的可利用积聚性确定该点的三视图。

3.判断点是否在已知的线（如几个面的交线，特殊位置直线，轮廓素线等）上：如在线上，则找出该线的三视图投影，并求出与目标1中所作点的投影线交点，该交点即为所求点在其他视图上的投影，此时完成点的三视图投影的求解。

如当点不在已知线上时，则需要“2+2”的后两步补充。

4.作辅助线：如果点不在已知线上，则要作辅助线。

在实际操作中可能需要根据具体情况进行调整。

曲面立体及其表面上点和线的投影

水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、
（a）已知条件
后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可
见。
作图步骤（参见图4-8（b））：
（1）过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分
于一点，则该点为m；由m′点和m点，即可求出m′′
点，m′′点为可见点。
（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投
曲面立体及其轴测投影
4．圆环面上点的投影
圆环表面上的点，可使用纬圆法绘制。例如，已知环面上K点的正面投影k′，求该点的水平投影的作图方法如图4-13所示。
第 17 页
图4-13 求环面上点的投影
土木工程制图
（b）作图方法图4-9 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
曲面立体及其轴测投影
第 13 页
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出。圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为素线法和纬圆法两种。
【例4-3】已知圆锥面上点A的正面投影a′，如图4-10（a）所示，求其另外两面投影。
形，同时也是圆锥面的投影。 ➢ V面和W面投影：均为等腰三角形，且三
角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左素线SA和最右素线SB的投影（素线也是转向轮廓线）；W面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最前素线SC和最后素线SD的投影。
（a）立体图
（b）投影图
圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。 ➢ V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线
分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。 ➢ W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。

曲面立体的投影.

【例4-6】如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。【例4-7】如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析（2）作图
2．圆锥表面上线的投影作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。【例4-8】如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线线、抛物线等）。空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓线也是可见与不可见的分界线。当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔）及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交等形式组合而成。

4-1 曲面立体-曲面立体及表面上点的三视图

三、回转体及其表面上的点和线
1、圆柱体
例2 已知圆柱面上线段的H面投影，求其余两面投影。
d' a' c' f' (b') f” c”d” ACB的侧面投影 a” b” 分析：
线段的W面投影随圆柱面积聚为一段圆弧，可利用积聚性作图。
f b
作图： (1)求特殊点：极限位置点a 与b、转向线上的点c(曲线投影的虚、实分界点); (2)取一般点d、f； (3)判断可见性，光滑连线。
b”
只能用辅助圆法作图；线段在上半圆球面上，则其水平投影可见；
点A在与W面平行的圆素线上，它将线段的侧面投影分为可见和不可见的两部分。
作图： (1)求特殊点A、B、C ； (2)求线段上
a e d
c
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
曲面立体表面上点的投影
上一讲重点内容回顾

画平面切割体的三视图有什么步骤？
？

（1）分析包括：形体分析确定基本体位置分析确定哪里被切截断面与截交线分析确定截断面的形状投影分析确定截断面与截交线的投影（2）在分析的基础上具体作图：先画基本体，然后按截切顺序画出截切后所产生的各表面。最后检查、修改、描深。
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
S O O A
圆球面由圆母线绕以它的直径为轴线回转而成
O
圆环面由圆母线绕和它的共面但不过圆心的轴线回转而成
O
A
O
A1
O
O
O
形体由圆锥面和一个圆由圆柱面和两个圆由圆球面围成的构成平面围成的实体平面围成的实体实体
由圆环面围成的实体
母线上任意一点的轨迹是一个圆周(纬圆)；其圆心是轨迹平面和轴线一般性质的交点，半径是点到轴线的距离。 §4-1 曲面立体及表面上点的三视图

曲面立体投影及表面上求点(ppt 14页)

例3.4 已知点M属于圆锥表面，并知M点的正面投影m′，分别用辅助素线法和辅助圆法求M点的其他两投影面的投影m，m″，如图3-12所示。
作图: ①用辅助素线法根据m′的位置和可见性，可判定M点位于圆锥面，由于圆锥面的投影图没有积聚性，利用辅助素线法，如图3-12（a）所示过锥顶S和点M作一条辅助素线SⅠ，在图3.12（b）中连接s′m′，并延长到与底平面的正面投影相交于1′，求得s1 和s″1″;再根据点属于直线的判断依据，按长对正由m′求出m，按高平齐或宽相等由m′或m求出m″。
图3-10 求属于பைடு நூலகம்柱表面的点的投影
作图: 由给定的m′的位置和可见性，可以判定M点位于左前四分之一圆柱面上，所以求M点的投影作图过程是:首先利用圆柱面在H面的投影的积聚性，按长对正的投影对应关系求出积聚于圆周的m，然后分别由m及m′，按高平齐、宽相等的投影对应关系求出m″。求N点的投影作图过程读者可参考上例自行分析。其投影的可见性如图3-10所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-13 圆球的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.5 已知点M属于圆球表面，并知M点的水平投影m，求其他两投影面的投影，如图3-13（e）所示。
作图: 根据m的位置和可见性，可以判定M点位于前半球左上部的表面，利用辅助圆法，过M点在球表面做一平行于V面的辅助圆（也可以作平行于H面或W面的辅助圆），则该辅助圆在水平投影的图形为过m点的平行于X轴的直线ef，其正面投影的图形为直径等于 e′f′的圆，其侧面投影的图形为平行于Z轴的直线，则M点的其他两面投影必属于该辅助圆的同面投影。最后根据M点的位置特点，判断M点的三个投影都是可见的。
7.曲面立体投影及表面上求点

第3章.工程制图--立体的投影

面，另两个侧棱面为一
般位置平面。
b
返回本章目录
3.1.2 曲面立体的投影及表面上的点O
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成
A
由圆柱面和两个底面组成。
圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。
直线AA1称为母线。圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。
1′ 3′ a
O1 A1 1″ 3″ a
P
P 轴线 = 交线为抛物线
返回本章目录
P 轴线 0 < 交线为双曲线
19
平面P与圆锥面的交线
P
P过锥顶交线为直线
返回本章目录
归纳
P轴线交线为圆 P 轴线 > 交线为椭圆 P 轴线 = 交线为抛物线
P 轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶交线为直线
20
例求截交线 P
椭是圆什短么轴点的？投影 P
【学习目标】学习基本体的投影；截交线和相贯线。【能力目标】通过本章的学习，要掌握基本体的投影特性、投影图的画法以及表面上点的画法；掌握求作截交线和相贯线的基本方法。
本章内容
3.1 基本立体的投影 3.2 切割体的投影 3.3 相贯体的投影本章小结
返回总目录
3.1 基本体的投影
常见的基本几何体
4、圆环
圆环是由圆环面围成的立体。圆环面是由一圆母线绕着与其共面，却不经过圆心的轴线旋转一周而形成的。由圆母线外半圆回转形成的曲面称为外环面；由圆母线内半圆回转形成的曲面称为内环面。
返回本章目录
返回本章目录
3.2 切割体的投影
在工程上经常看到一些不完整、带有缺口的基本立体，这些立体都是被平面截切而形成的。
截交线分析截截交交线线投为影椭分圆析截检交查线外投形影轮仍廓为线椭投圆影

4.曲面立体投影分析解析

a′
s′（d′）
d
c′
s″（c″） d″ b″
a
s
c
结束
b
圆锥的画图步骤：
强调 1.主视图中的两条外形素线为前后两半圆锥面的分界线，两线在W面上的投影位于圆锥的轴线上，此时便不再作为轮廓线了。 2.左视图中的两条外形素线为左右两半圆锥面的分界线，两线在V面上的投影位于圆锥的轴线上，也不再作为轮廓线。
2.圆球表面取点
已知圆球表面上点Ⅰ的水平面投影1′ 试完成其它两视图。
1′ 1″
方法：通过点
Ⅰ的水平投影作
水平面的辅助纬圆，这个辅助纬圆的正面投影积聚为一条线，正面投影1′必然落在此线上。
1
结束
例：已知球面上I点的水平投影(1），过点(1)作水平圆辅助线求其1′、1″
求解方法
正面投影的 1′1′和3′3′ 两边为正面转向线的投影。侧面投影的 2″2″和4″4″ 两边为侧面转向线的投影
1′
2′（4′）
3′
4″
1″（3″）
2″
1′
2′（4′） 4
3′ห้องสมุดไป่ตู้
4″
1″（3″）
2″
1
3
结束
2
2. 圆柱表面取点
已知圆柱体表面上点A 的正面投影a′、点B的侧面投影（b″），试完成各点的其它两视图。
1.球的投影特性
三个投影均为圆。
结束
a′
圆的各个投影均没有积聚性，三个投影上的圆为三个方向投射的三条不同转
a″
向线。例如：a′是正面投影转向圆
的投影。
a
结束
2.圆球表面取点
例：求出圆球表面上A点的另两投影。 A点的位置分析如图所示。判断A点在球体表面上的位置 A点在上半球在后半球在左半球在圆球表面上求作点的方法：由于球面的投影没有积聚性，因此要借助于球体表面上的辅助纬圆找点。纬圆法—过点在球面上作一辅助纬圆，作出该圆的各投影后再将点对应到圆的投影上。

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7.曲面立体投影及表面上求点
由圆锥的投影图可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为两个相等的等腰三角形。
（4）取属于圆锥表面的点的投影根据圆锥表面的结构特点，求属于圆锥表面的点的投影时，要根据给定的条
件，分析清楚点是位于底平面，还是圆锥面。若点位于底平面，则要利用底平面是特殊位置平面，其投影图形有积聚的特点去求得点的投影;若点位于圆锥面，由于圆锥表面的投影图没有积聚性，则要用辅助素线法或者辅助圆法去求得点的投影。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-12 求属于圆锥表面的点的投影的两种方法
②用辅助圆法如图3-12（a）所示过M点作一个平行于底平面的圆，在投影图中求出该圆的正面投影和水平投影，如图3-12（c）所示，M点的水平面上投影m由m′按长对正的投影对应关系落在直径为23圆周上，M点的侧面投影m″，则由m、m′按宽相等、高平齐的投影对应关系求出。因M点在圆锥的左前面上，所以三个投影都可见。
7.曲面立体投影及表面上求点
2.圆锥（1）圆锥的形成
圆锥是由一条与轴线斜交的直母线绕轴线回转一周而围成的立体，锥面上任意位置的直母线，称为圆锥表面的素线，如图3-11（a）所示。
（2）作图步骤 ①分析如图3-11（b）所示，圆锥底面是水平面，俯视图为圆，圆锥面俯视图投影重影
在圆锥底面画上，其主视图和左视图为等腰三角形，其两腰分别为圆锥表面上的最左、最右、最前、最后一素线，是圆锥表面在主视图和左视图上可见性的分界线。
②作图 • 先画出圆锥的轴线、圆的中心线的三个投影，以确定圆锥各图形的位置，如图
3.11（c）所示。 • 其次画出底平面的三个投影图及锥顶的投影图，如图3.11（d）所示。 • 最后画出圆锥面各转向轮廓线的V面投影和W面投影，如图3-11（e）所示。
7.曲面立体投影Байду номын сангаас表面上求点
图3-11 圆锥的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-9 圆柱的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
②作图 • 首先画出圆的中心线和圆柱的轴线，以确定各投影图形的位置，如图3-9（c）所示。 • 其次画出上下两个底面的三个投影，如图3-9（c）所示。 • 最后画出最左素线AA1 ，最右素线BB1 的V面投影a′a1 ′及b′b1 ′和最前、最后素线的W面投影，如图3-9（d）所示。
曲面立体投影及表面上求点
路漫漫其悠远
少壮不努力，老大徒悲伤
7.曲面立体投影及表面上求点
• 目的：掌握圆柱、圆锥、球体的投影作图方法及表面求点方法
• 重点：圆柱、圆锥的投影画法及表面求点方法
• 难点：投影分析及表面求点方法
7.曲面立体投影及表面上求点
3.1.2 曲面立体
1.圆柱（1）圆柱的形成圆柱是由一条直母线绕平行于它的轴线回转一周围成的立体，其圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱表面的素线。如图3-9（a）所示。（2）作图步骤 ①分析如图3-9（b）所示，圆柱上、下底面为水平面，在俯视图投影反映实形是圆，圆柱表面所有素线均为铅垂线在H面的投影积聚在圆上，其主视图和左视图上的轮廓线为圆柱表面上最左、最右、最后轮廓线的投影，是圆柱表面在主视图和左视图上可见性的分界线。
图3-10 求属于圆柱表面的点的投影
作图: 由给定的m′的位置和可见性，可以判定M点位于左前四分之一圆柱面上，所以求M点的投影作图过程是:首先利用圆柱面在H面的投影的积聚性，按长对正的投影对应关系求出积聚于圆周的m，然后分别由m及m′，按高平齐、宽相等的投影对应关系求出m″。求N点的投影作图过程读者可参考上例自行分析。其投影的可见性如图3-10所示。
例3.4 已知点M属于圆锥表面，并知M点的正面投影m′，分别用辅助素线法和辅助圆法求M点的其他两投影面的投影m，m″，如图3-12所示。
作图: ①用辅助素线法根据m′的位置和可见性，可判定M点位于圆锥面，由于圆锥面的投影图没有积聚性，利用辅助素线法，如图3-12（a）所示过锥顶S和点M作一条辅助素线SⅠ，在图3.12（b）中连接s′m′，并延长到与底平面的正面投影相交于1′，求得s1 和s″1″;再根据点属于直线的判断依据，按长对正由m′求出m，按高平齐或宽相等由m′或m求出m″。
（3）图形特征由圆柱的投影可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为相等的矩形。（4）属于圆柱表面的点的投影圆柱共有三个表面，至少有一个投影有积聚性，所以，求属于圆柱表面的点的投影，无论其在哪个表面上，都可以利用积聚性去求得。
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.3 已知点M和点N属于圆柱表面，并知点M在V面投影m′及点N在W面的投影n″，求M点和N点的另两面投影，如图3-10所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
3.圆球（1）圆球的形成
圆球是由一圆母线绕其直径回转一周而围成的立体，如图3-13（a）所示。（2）作图步骤
①分析如图3-13（b）所示圆球表面只有一个面，其三视图均为大小相等的圆，H面投影的圆将圆球分为上下两部分，V面投影的圆将圆球分为前后两部分，W面投影的圆将圆球分为左右两部分。三个圆分别是圆球表面在主视图、俯视图和左视图投影可见性的分界线。 ②作图 • 首先画出三个圆的中心线，用以确定投影图形的位置，如图3-13（c）所示。 • 再画出球的各分界圆的图形，如图3-13（d）所示。 • 明确各分界圆在其他两投影面的投影，均与圆图形相应的中心线重合，不必画出。（3）图形特征圆球投影图的特征是:三个投影面的投影都是直径相等的圆。（4）取属于圆球表面的点的投影由圆球投影图形特征可知，圆球表面的三个投影图形都没有积聚性，可利用辅助圆法求取属于其表面的点的投影。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-13 圆球的结构特征及投影作图过程