二元关系(I)

1.4.3.传递性
例1.13 设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中 R={<a，a>，<b，b>，<a，c>}， S={<a，b>，<b，c>，<c，c>}，T={<a，b>} 说明R，S，T是否为A上的传递关系。 解 根据传递性的定义知，R和T是A上的传递关系，S不是A上 的传递关系，因为<a，b>∈R，<b，c>∈R，但<a，c>R。
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，
S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}， 即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。 如图所示：
1
。 。
。 4 。 3
2
（3）设R是A上的关系，S为A上的空关系，即S=，则 R◦S=S◦R=。
R在A上是反自反的 x（x∈A < x，x > R）
1.4.2
对称性和反对称性
定义1.12 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A， 当<x，y>∈R，就有<y，x>∈R，则称二元关系R是对称的。 R在A上是对称的 x y（x∈A∧y∈A∧<x，y>∈R<y，x>∈R）
1.4.1 关系的自反性和反自反性
定义1.10 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都 有<x，x>R，则称二元关系R是自反的。 R在A上是自反的 x（x∈A<x，x>∈R）
定义1.11 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有 < x，x > R，则称二元关系R是反自反的。

二元关系（binary relation）是集合理论中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的
关联。

给定两个集合A和B，二元关系R是从A到B的一个子集，即R ⊆ A × B。

这
里的A × B表示集合A和集合B的笛卡尔积，该积包含所有可能的有序对（a, b），其中a属于集合A，b属于集合B。

如果有序对（a, b）属于关系R，我们通常表示为a R b，意味着集合A中的元素a与
集合B中的元素b存在某种联系或关联。

例如，考虑两个集合A = {1, 2, 3}和B = {4, 5}。

一个可能的二元关系R为{(1, 4), (2, 5), (3, 4)}，表示1与4之间存在某种关系，2与5之间存在某种关系，以及3与4之间存
在某种关系。

二元关系的应用非常广泛，它们存在于各种数学、计算机科学和工程领域，例如函数、等价关系、偏序关系等。

二元关系的性质，如自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）和传递性（transitivity），有助于进一步研究和分析问题。

式(6.4.5)和(6.4.6)知V既是对称的，也是反对称的。
15
传递性
定义 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
幂集上的真包含关系
2
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
3
（1）R在A上是自反的
(x)(x∈A→<x,x>∈R)=1，
12
1
31
31
2
42
42
(a)
(b)
31
3
42
4
(c)
(d)
13
（1）存在既不是对称也不是反对称的关系， 也存在既是对称也是反对称的关系；
（2）关系R是对称的关系图中任何一对结 点之间，要么有方向相反的两条边，要么无 任何边；
关系R是反对称的关系图中任何一对结点之 间，至多有一条边；
（3）关系R是对称的R的关系矩阵为对称 矩阵，关系R是反对称的R的关系系矩阵为 反对称矩阵。
36
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.

第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。 （3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。 解 ： （1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。 （2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。 （3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。 （A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系： 则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石， 长沙, 常德， 长沙, 岳阳}
例3： 设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的 关系.则该关系可以表示为 ： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.