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正弦和余弦 ppt课件1

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数学人教A版必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图像课件(1)

数学人教A版必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图像课件(1)
A．0
B．1
C．－1
D．2
π
【解析】 由题意－m＝sin 2，∴－m＝1，∴m＝－1.
【答案】
C
)
4．函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的图象(
)
A．关于直线 x＝1 对称
B．关于原点对称
C．关于 x 轴对称
D．关于 y 轴对称
【解析】 作出函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的简图(略)，
2
3
2
3
2

1

3
P1 ( ， )、P2( ， )关于原点对称点分别是P7
6
2
3
2
、P8 ；

1

3
P1 ( ， )、P2( ， )关于x轴的对称点分别是P11 、P10
6
2
3
2

1

3

因此，只要画出 P1 ( ， )、P2( ， ) 、P3( ，1) ，再根据对称性或诱导公式，
6
2
3
2
2
y
1
x
的图象不断向左、向右平移（每次运移动2π个单位），就可以得到正弦
函数y = sinx在R上的图象.
正弦函数的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线（如下图）
根据函数 = ， ∈［0，2π］的图象，你能想象函数 = ，
∈R 的图象吗？
由诱导公式一可知，函数 = ， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且
0
1
-cos x
-1
0
1
0
-1
π
3
2π
2π
描点连线，如图
思考：你能利用函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，通过图象

《正弦余弦函数图像》课件

《正弦余弦函数图像》课件

可以使用数学软件或绘图工具绘制余 弦函数的图像。
图像具有对称性，关于y轴对称，且在 每个周期内有两个峰值和两个谷值。
图像描述
余弦函数的图像是一个周期性的波形 ，形状类似于拱门。
01
正弦与余弦函数的 对比
定义与性质对比
定义
周期性
奇偶性
振幅与相位
正弦函数是三角函数的一种， 定义为直角三角形中锐角的对 边与斜边的比值；余弦函数是 三角函数的另一种，定义为直 角三角形中锐角的邻边与斜边 的比值。
三角函数计算
在数学和物理领域，经常需要使 用正弦和余弦函数来进行三角函 数计算，解决实际问题。
01
习题与思考
基础习题
总结词
考察基础概念和图像绘制
详细描述
针对正弦和余弦函数的定义、性质和图像绘制进行基础习题练习，包括选择题、填空题和简答题等题 型，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。
进阶思考题
总结词
课程目标：掌握正弦 余弦函数图像的绘制 方法，理解其在生活 中的应用
学习目标
01
02
03
04
掌握正弦余弦函数的基本概念 和性质
学会使用数学软件绘制正弦余 弦函数图像
了解正弦余弦函数在生活和科 学领域中的应用实例
提高数学思维能力和分析能力
01
正弦函数图像
正弦函数的定义
总结词
周期性、波动性
详细描述
详细描述
可以使用多种工具绘制正弦函数的图像，如几何画板、Excel和手动画图。在几何画板中，可以自定义参数，观 察不同参数下图像的变化。在Excel中，可以使用其图表功能绘制正弦函数图像。手动画图则要求具备一定的绘 图技巧和理论知识。
01
余弦函数图02

沪科版数学九年级上册23.1第2课时正弦和余弦 课件(共22张PPT)

沪科版数学九年级上册23.1第2课时正弦和余弦 课件(共22张PPT)
知识点3 在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？

正弦函数、余弦函数的图像课件(第一课时)

正弦函数、余弦函数的图像课件(第一课时)
总结词
正弦函数和余弦函数的图像在极值点处达到最大或最小值。
详细描述
正弦函数和余弦函数的图像在极值点处呈现出明显的拐点，即函数值从增加变为减少或从减少变为增 加的点。这些极值点的位置与函数的周期性有关，它们通常出现在周期的中点和结束处。在数学上， 这些极值点可以通过求导数或观察函数图像来确定。
05
总结与回顾
正弦函数具有周期性、单调性、奇偶性等性质。在区间[0,π]上，正弦函数是单 调递增的；在区间[π,2π]上，正弦函数是单调递减的。正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义与性质
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比 值，记作cos(x)。
绘制图像
使用与绘制正弦函数相同的方 法来绘制余弦函数的图像。
显示图像
同样使用matplotlib的show 函数来显示绘制的图像。
04
图像分析
正弦函数和余弦函数的图像对比
总结词
正弦函数和余弦函数的图像在形状上非常相似，但在相位上存在差异。
详细描述
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像呈现出规律性的波动。在直角坐标系中，正弦函数的图像是一个 连续的波形，而余弦函数的图像同样是连续的波形，但相对于正弦函数，它有一个相位偏移。在极坐标系中，正 弦函数和余弦函数的图像分别呈现出正弦曲线和余弦曲线的形状。
课程目标
掌握正弦函数和余弦 函数的图像特点。
能够运用正弦函数和 余弦函数的图像解决 一些实际问题。
理解正弦函数和余弦 函数的周期性和对称 性。
02
正弦函数和余弦函数的定 义与性质
正弦函数的定义与性质
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值， 记作sin(x)。

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

正弦定理和余弦定理ppt课件

总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。

北师大版数学九年级下册1.正弦、余弦课件(共46张)


AB AC 10 13 65 .
cos A
12 6
C
A
sin B cos A 12 . 13
随堂练习
课堂小结
斜边
B
∠A的对边
┌
A
C
∠A的邻边
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin
A
∠A的对边 斜边
.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos
第一章 直角三角 形的边角关系
第2课时 正弦、 余弦
北师·九年级数学下册
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并能进 行简单计算. 2.知道锐角三角函数的意义，能够进行正弦、 余弦和正切的互相转化.
复习导入ห้องสมุดไป่ตู้
BC
AC
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = AC ，tanB= BC .
B
A
C
则 B1C1 和 B2C2 的关系是 _B_A1_BC1_1 _= _BA_2BC_22__.
AB1 AB2
C1
C2
A
思考：从上面的问题可以看出：当直角 三角形的一个锐角的大小已确定时，它 B1
的对边与斜边的比值_随__之__确___定__，根据
B2
是__三__角__形__类__似__的__性__质___.
B
cos C BC 120 0.6 AC 200
规律小结
在直角三角形中，一个锐角的
C
正弦等于另一个锐角的余弦.
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
A
B
做一做
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， cos A 12 ， AC=10，

1.1 第2课时正弦与余弦PPT课件(北师大版)


讲授新课
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
思考：（1）cos A=？
（2）sin C=？ cos C=？
A
B
解：根据勾股定理得 AB = AC 2 - BC 2 = 160.
在Rt△ABC中， ∵∠B=90°， ∴cos A = AB = 160 = 4 = 0.8，
1 第2课时 正弦和余弦
我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻 边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜 角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这 一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关. 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之 比定义了正切.
想一想： 【问题1】当直角三角形中的锐角确定之后，其 他边之间的比也确定吗？ 【问题2】梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如 果有，是怎样的关系？a c
sinA=cosB
tan A sin A cos A
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，
求BC的长.
A
B
解：在Rt△ABC中， ∠B=90°，AC=200， sin A=0.6，即 BC = 0.6.
AC ∴BC=AC×0.6=200×0.6=120.
谢 谢 观 看！
AC 200 5 sin C = AB = 160 = 4 = 0.8，
AC 200 5 cos C = BC = 120 = 3 = 0.6.
AC 200 5
讲授新课
C 例1.如图，在Rt△ABC中，
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
A
B
思考：（3）由上面计算，你能猜想出什么结论？

6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)

所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
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(2) Cos300 3 ; Cos450 2 ; Cos600 1
2 2
2
注：以上数值要求熟记.
例题讲解
例2 .求下列各式的值： (1)Cos45°· Sin30°－Sin45°· Cos30° (2)Sin60°－Cos30°
答案： (1 )
2 4
6
(2)
0
学生课堂练习(2)
如图示，已知△ABC为直角三角形， 其中∠C为直角， 求证： B (1)SinA=Cos(90°－A) (2)CosA=Sin(90°－A) c a A b C
例3.
如图示，△ABC中，∠A=30°，
AB=8 cm，AC= 6
3 cm.
求△ABC的面积S及A到BC边的距离d.
B
A
)30°
6
C
3
解：作BH⊥AC于H(H为垂足)，则： BH=AB· Sin30°=4， AH AB Cos300 4 3
AC BH S 12 3cm2 2
在Rt△BCH中：
B
CH AC AH 2 3 BC BH 2 CH 2 2 7 2S 12 21 d cm BC 7
A
)30°
6
H 3
C
小结：
若角A为锐角，则： ①SinA=Cos(90°－A) ②CosA=Sin(90°－A) 例如：Sin20°=Cos70°……即： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值， 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
B
C
学生课堂练习(1)
如图示，△ABC为直角三角形，∠C=90°， ∠A=60°，求下列各式的值：
(1)Sin 60°； (2)Cos60°；(3)SinB；(4)CosB.
答案： (1)
3 2
1 (2) 2
A
1 (3) 2
3 (4) 2
B
C
常用结论：
1 2 3 0 (1) Sin300 ; Sin450 ; Sin60 2 2 2
正弦和余弦
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学习要求 问题研讨 概 念 概念巩固
例题讲解
课堂练习1
课堂练习2 小
结
学习要求
1.理解正弦、余弦的概念； 2.理解正弦与余弦之间的关系； 3.能进行简单的计算与推证。
问题研讨
如图示，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=a.
A
BC 问题1：AB ? 其值是否与a相关？ AC 问题2 ： ? 其值是否与a相关？ AB
B
30°
a
C
概念
如图示，在Rt△ABC中，对于角A来说
正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。
a 记作： SinA c
余弦：锐角A的邻边与斜边的 比叫做∠A的余弦。 记作：CosA B 对 边 C
b c
A
c
baຫໍສະໝຸດ 邻边概念巩固在下图中分别指出 (1)∠D的对边、邻 边； D
(2) ∠E 的对边、邻边；
作业布置：
P9第2题(2)(3)小题 及第3题(3)(4)小题
(3) △DEF的斜边。
F
E
例题讲解
例1.如图示，△ABC为等腰直角三角形， 求下列各值：(1)SinA；(2)CosA. 解：设BC=a，则AC=a， AB= 2 a BC a 2 ∴ SinA AB 2 2a AC a 2 CosA AB 2 2a 注：Sin45°=Cos 45° A