导数专题作业2答案

文数培优2 导数及其应用（二）一、函数的极值与最值例1（2012·陕西高考文科）设函数2(x)f x=，则（ ） (A) x=12 为(x)f 的极大值点 (B) x=12为(x)f 的极小值点(C) x=2为(x)f 的极大值点 (D) x=2为(x)f 的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选 D. ∵()f x =2x +ln x ，∴221()f x x x '=-+，令()0f x '=，即222120x x x x --+==，解得2x =，当2x <时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以x=2为()f x 的极小值点.变1 已知函数(x)1(R,e )xaf x a e =-+∈为自然对数的底数,求函数(x)f 的极值。

例2 若0,0a b >> ，且函数32(x)4x 22f ax bx =--+ 在1x = 处有极值，求ab 的最大值。

变2 已知函数(x)x(lnx x)f a =- 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .例3 【2012高考真题北京理18】已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【答案】解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．变3 已知函数32(x)2x 3(1)x 6(||1),f a ax a =-++> 求(x)f 在闭区间[0,2||]a 上的最小值。

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

专题八 导数第二节 导数的计算学习目标1.了解几个常见函数的导数的推导；2.记忆基本初等函数的导数公式；3.记忆导数的运算法则。

知识要点梳理一、几个常用函数的导数： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx-'=二、基本初等函数的导数公式：2.（1导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.函数 导数()ln f x x =y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)xy a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln af x xf x a a x a ==>≠且 ln y x = '1()f x x =典型例题考点一 利用公式及运算法则求导数 例1．求下列函数的导数：（1）41y x=；（2）y =（3）222log log y x x =-；（4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析： （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.例2．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-； （2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ；（４）y=xx xx sin cos ++解析：（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2（2）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2e 2-x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-21cos sin sin cos x x x x x x --+-- 考点二 求复合函数的导数 例3．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-；（2）ln(2)y x =+；（3）21ex y +=；（4）cos(21)y x =+.解析：（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-555124(3)12(13)u u x --=-⋅-==-.（2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'u x u x y y u x =⋅=⋅+ 212e 2e u x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+2sin 2sin(21)u x =-=-+.总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。

课时作业(十五）导数的四则运算法则［练基础]1．(多选题)下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c）′＝2ax＋bB．（sin x－2x2)′＝cos x－4xC．（错误!)′＝错误!＝错误!D．（cos x·sin x）′＝－sin 2x＋cos2x2．已知函数f（x)＝x－sin x，且f（x）的导数为f′（x)，若a ＝f′错误!,b＝f′错误!，c＝f′错误!，则a，b，c的大小关系为（）A．c<b〈a B．a〉b>cC．a〈b<c D．b〈a〈c3．曲线f（x）＝－x3＋2x在横坐标为－1的点处的切线为l,则点(3,2）到l的距离是(）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2）处切线的斜率为8，则a＝________。

5．函数f(x)＝错误!在x＝1处的切线方程为________．6．(1)曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,1)处的切线为l1：y ＝x＋1，在点(3,4）处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．(2）求曲线S：y＝2x－x3过点A(1，1）的切线方程．［提能力]7．已知f(x)＝错误!x2＋cos x，f′（x）为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()8．已知函数f(x)＝错误!x2－a ln x．若函数f(x)的图象在点(1，f(1））处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为________．9．已知函数f(x）＝x－错误!，g（x)＝a（2－ln x）(1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同,求a的值．（2)若存在一点，使得曲线y＝f（x)与曲线y＝g(x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．[战疑难]10．对于三次函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，现给出定义：设f′（x)是函数f(x)的导数，f″(x）是f′（x）的导数，若方程f″(x）＝0有实数解x0,则称点（x0，f(x0)）为函数f(x）＝ax3＋bx2＋cx ＋d（a≠0)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点"就是对称中心．设函数g（x）＝2x3－3x2＋1，则g错误!＋g错误!＋…＋g错误!＝__________。