数学建模习题
题目1
1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：
（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s
均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示
为（α，β，γ为大于0的常数）。
（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大
包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：
题目2
2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为,
再求,的最优值。
解答：
由题意得：总利润为
,=+
=
由=0，，可得最优价格
,
设总销量为，
在此约束条件下的最大值点为
,
题目3
3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c
(与数量无关)，随
机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c
加什么限制？
解答：
设订购量为u，则平均利润为
u的最优值满足
最大利润为.为使这个利润为正值，应有
.
题目4
4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速
与雨滴质量的关系。
解答：
雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，
，可得。雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以=，而.由以上关系得.
题目5
5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信
用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其
他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表1 证券信息
证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%
A 市政 2 9 4.3
B 代办机构 2 15 5.4
C 政府 1 4 5
D 政府 1 3 4.4
E 市政 5 2 4.5 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解答：
（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型
s.t.
，即
，即
用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投
资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分
别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改
变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C
的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
题目6
6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。问应如何安排生产？
解答：
设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即
约束条件为：
1）原料最大供应量限制：
2）产品最大需求量限制：
3）产品最大含硫量限制：
对产品A，，即
对产品B，类似可得
4)其他限制：
用LINGO求解得到结果为：，其余为0；目标函数值为450.
题目7
7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？
解答：
设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量
确定，不妨设,则方程可离散化为
,可取或，N和k可由最小二乘法估计。
题目8
8.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。
（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T
