圆的有关概念和性质(含答案)
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圆的有关概念和性质
知识考点：
1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；
2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；
3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。
精典例题：
【例1】在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （3，4），B （－3，－3），C （4，10-）。
试判断A 、B 、C 三点与⊙O 的位置关系。
分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。
解：∵OA ＝54
32
2=+=
OA
523)3()3(2
2
<=-+-=
OB
526)
10(42
2>=-+=OC
∴点A 在⊙O 上，点B 在⊙O 内，点C 在⊙O 外。
【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝700
，⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC ＝ 。
分析：由于⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则点O 到三边的距离也相等，即O 是△ABC 角平分线的交点，问题就容易解决了。
解：作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD ＝OE ＝OF ∴O 为△ABC 角平分线的交点 ∵∠A ＝700
∴∠ABC ＋∠ACB ＝1100
∴∠OBC ＋∠OCB ＝
2
1×1100
＝550
∴∠BOC ＝1800－550＝1250
【例3】如图1，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（ ）
A 、⋂
⋂
>CD AB 2 B 、⋂
⋂
<CD AB 2
C 、⋂
⋂
=CD AB 2 D 、⋂AB 与⋂
CD 2的大小关系不能确定
分析：如图1，把⋂
CD 2作出来，变成一段弧，然后比较⋂
CD 2与⋂
AB 的大小。
解：如图1，作⋂
⋂
=CD DE ，则⋂
⋂
=CD CE 2 ∵在△CDE 中，CD ＋DE ＞CE ∴2CD ＞CE ∵AB ＝2CD
例2图
O F
E
D
C
B
A
∴AB ＞CE
∴⋂
⋂
=CE AB ，即⋂
⋂
>CD AB 2
∙例3图1
O
E
D
C
B A
∙变式图
O
E
D
C
B
A
问题图
变式：如图，在⊙O 中，⋂
⋂
=CD AB 2，问AB 与2CD 的大小关系？
略解：取⋂
AB 的中点E ，则⋂
⋂
⋂
==CD BE AB ∴AB ＝BE ＝CD
∵在△AEB 中，AE ＋BE ＞AB ∴2CD ＞AB ，即AB ＜2CD
探索与创新：
【问题】已知点M （p ，q ）在抛物线12-=x y 上，若以M 为圆心的圆与x 轴有两个交点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标是关于x 的方程022=+-q px x 的两根（如上图）。
（1）当M 在抛物线上运动时，⊙M 在x 轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若⊙M 与x 轴的两个交点和抛物线的顶点C 构成一个等腰三角形，试求p 、q 的值。
分析：（1）设A 、B 两点的横坐标分别是1x 、2x ，由根与系数的关系知p x x 221=+，q x x =⋅21，那么：q p x x x x x x x x AB -=-+=
-=
-=2
212
212
21212
4)()
(，又
因为M 在抛物线12
-=x y 上，所以12
-=p q 。
故AB ＝2，即⊙M 在x 轴上截得的弦长不变。
（2）C （0，－1），12
2+=
x BC ，12
1+=
x AC
①当AC ＝BC ，即21x x -=时，0=p ，1-=q ； ②当AC ＝AB 时，412
1=+x ，31±=x ，31+
=p ，323+=q 或13-=p ，
323-=q
③当BC ＝AB 时，32±=x ，13-=
p ，323-=q 或13+-=p ，323+=q
圆的有关概念和性质
跟踪训练：
一、选择题：
1、两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r ，且1r ＜OA ＜2r ，那么点A 在（ ）
A 、⊙1r 内
B 、⊙2r 外
C 、⊙1r 外，⊙2r 内
D 、⊙1r 内，⊙2r 外 2、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A 、2.5 cm 或6.5 cm B 、2.5 cm C 、6.5 cm D 、5 cm 或13cm 3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 4、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A 、到CD 的距离保持不变 B 、位置不变
C 、等分⋂
DB D 、随C 点移动而移动 二、填空题：
1、若d 为⊙O 的直径，m 为⊙O 的一条弦长，则d 与m 的大小关系是 。
2、△ABC 的三边分别为5 cm 、12 cm 、13 cm ，则△ABC 的外心和垂心的距离是 。
3、如图，⊙O 中两弦AB ＞CD ，AB 、CD 相交于E ，ON ⊥CD 于N ，OM ⊥AB 于M ，连结OM 、ON 、MN ，则∠MNE 与∠NME 的大小关系是∠MNE ∠NME 。
第3题图
D
A
第4题图
F O
E D
C
B
A
4、如图，⊙O 中，半径CO 垂直于直径AB ，D 为OC 的中点，过D 作弦EF ∥AB ，则∠CBE ＝ 。
5、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为2和3，则∠BAC 的度数为 。
三、计算或证明：
1、如图，⋂
AB 的度数为900
，点C 和点D 将⋂
AB 三等分，半径OC 、OD 分别和弦AB 交于E 、F 。
求证：AE ＝CD ＝FB 。
第4题图
P
O
D
C
B
A
第1题图
F
O
E
D
C
B
A
∙
第2题图
Q
P
O
D
C
B
A
∙
第3题图
M
O
D
C
B
A
2、如图，在⊙O 中，两弦AB 与CD 的中点分别是P 、Q ，且⋂
⋂
=CD AB ，连结PQ ，求证：∠APQ ＝∠CQP 。
3、如图，在⊙O 中，两弦AC 、BD 垂直相交于M ，若AB ＝6，CD ＝8，求⊙O 的半径。
4、如图，已知A 、B 、C 、D 四点顺次在⊙O 上，且⋂
⋂
=BD AB ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM ＝DC ＋CM 。
∙
第4题图
M O
D
C B
A
跟踪训练参考答案
一、选择题：CABB
二、填空题：
1、d ≥m ；
2、6.5cm ；
3、＞；
4、300；
5、150或750 三、计算或证明：
1、提示：连结AC 、BD ，先证AC ＝CD ＝BD ，再利用角证AC ＝AE ，BD ＝DF 即可；
2、提示：连结OP 、OQ
∵P 、Q 是AB 、CD 的中点，∴OP ⊥AB ，OQ ⊥CD
∵⋂
⋂
=CD AB ，∴OP ＝OQ
∴∠OPQ ＝∠OQP ，∴∠APQ ＝∠CQP
3、提示：连结CO 并延长交⊙O 于E ，连结ED 、AE ，设⊙O 的半径为R ，则∠EDC
＝∠EAC ＝900
，∴2
2
2
4R ED
CD =+。
∵AC ⊥BD ，∴AE ∥BD ，∴⋂
⋂=ED AB ，∴AB ＝
ED ，∴2
2
24R CD
AB =+，而AB ＝6，CD ＝8，∴R ＝5
4、提示：延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结NB ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN 。
