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优质课：空间向量的数乘运算

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《空间向量的数乘运算》教案

《空间向量的数乘运算》教案

《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景通过前面的学习，我们已经了解了空间向量的基本概念和线性运算。

本章我们将进一步学习空间向量的数乘运算，这是空间向量的一种重要运算，它在几何和物理中有着广泛的应用。

1.2 教学目标通过本章的学习，使学生理解空间向量的数乘运算的定义和性质，掌握数乘运算的计算方法，并能够应用数乘运算解决实际问题。

第二章：空间向量的数乘运算2.1 数乘运算的定义定义：对于空间向量a和实数k，它们的数乘运算定义为新的空间向量ak，即ak = k a。

2.2 数乘运算的性质性质1：交换律，即对于任意实数k和空间向量a，有ak = ka。

性质2：结合律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a，有(k1 k2) a = k1 (k2 a)。

性质3：分配律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a、b，有(k1 + k2) a = k1 a + k2 a。

2.3 数乘运算的计算方法计算方法：对于空间向量a = (a1, a2, a3)和实数k，数乘运算ak = k a的结果为新的空间向量ak = (ka1, ka2, ka3)。

第三章：数乘运算的应用3.1 数乘运算在几何中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)和实数k，求向量ak的长度。

解：由数乘运算的定义，得到ak = k a = (k, 2k, 3k)。

由向量长度的计算公式，得到|ak| = √(k^2 + (2k)^2 + (3k)^2) = √(14k^2)。

3.2 数乘运算在物理中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)表示一个物体的位移，求该物体位移的2倍。

解：由数乘运算的定义，得到2a = 2 a = (2, 4, 6)。

即该物体位移的2倍为向量(2, 4, 6)。

本章总结：通过本章的学习，我们掌握了空间向量的数乘运算的定义、性质和计算方法，并了解了数乘运算在几何和物理中的应用。

第四章：空间向量数乘运算的图形直观4.1 数乘运算的图形表示通过几何图形的直观展示，让学生理解数乘运算对向量大小和方向的影响。

精品空间向量的数乘运算(公开课课件)

精品空间向量的数乘运算(公开课课件)

数乘运算与向量外积的关系
外积定义
两个向量的外积定义为它们的对应分量相乘然后求和，即 v1×v2=(∑i=1nvi1×vi2)×(∑j=1nvj1×vj2)−(∑i=1nvii2×vi1)×(∑j=1nvjj2×vj1)v1 times v2 = (sum_{i=1}^{n} vi1 times vi2) times (sum_{ j=1}^{n} vj1 times vj2) - (sum_{i=1}^{n} vi2 times vi1)
1. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (2,4,6)$， 求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
3. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，求单位向量 $frac{overset{longrightarrow}{a}}{|overset{longrig htarrow}{a}|}$。
THANK YOU
感谢聆听
数乘运算与向量内积的关系
内积定义
两个向量的内积定义为它们的对应 分量相乘然后求和，即 v1·v2=∑i=1nvi1×vi2v1·v2 = sum_{i=1}^{n} vi1 times vi2v1·v2=i=1∑nvi1×vi2。
数乘对内积的影响
如果一个向量被数乘，那么它的 模长会发生变化，而它的方向保 持不变。因此，数乘运算会影响 向量的内积值。
2. 已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, -1,2)$， $overset{longrightarrow}{b} = (3,2,-1)$，求 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$。

空间向量的数乘运算 课件

空间向量的数乘运算 课件
求证：四点E、F、G、H共面；
点评：根据共面向量定理，只要满足
下列条件四点共面。
EG x EH y EF
O
D
A
H
C
B
G
E
F
三.共面向量:
3.“四点共面”的充要条件：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件
是存在有序实数对x,y使
AP x AB y AC
或对空间任一点O,有
OP OA x AB y AC
a
是共线向量
二、空间向量共线及其充要条件
1.共线向量 :
空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫 做共线向量或平行向量.
a
平行于
b
记作
a
//
b
.
规定:
o与任一向量
a
是共线向量
a
2.空间向量共线
定理：
空间任意两个向量
// b 的充要条件是存在实数 ，使 a
a
、b（ b
b
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1)AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
A O
a

空间向量的数乘运算课件

空间向量的数乘运算课件

平面向量的基本定理
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，有且只有一对实数λ1
、λ2 ，使 a =λ1e1 +λ2e2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.
同一平面可以有不同的基底.
三、共面向量
1. 共面向量的定义: 2. 空间向量的基本定理及其推论:
则
OP 1 2
OA OB
.
练习:
4. 已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，且
OP OA OB，则 的值是 _____1_______.
a
B
A
三、共面向量
1. 共面向量的定义: 平行于同一平任意两个向量是共面的， 但空间任意三个向量就不一定共面.
注意: AB CD AB / / CD AB / / CD
AB / / CD,
AB / / CD
C AB,
3. 共线向量定理的推论:
如果直线 l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量 a 的直线,
那么, 对空间任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是
存在唯一实数 t, 使
OP OA t a ,
P
B
p
b
M aA
A
O
1. 共面向量的定义: 2. 空间向量的基本定理及其推论: 3. 共面向量定理:
4. 共面向量定理的推论:
空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在唯一的
有序实数对 ( x, y ), 使 AP x AB y AC ;
4. 空间直线的向量表示式:
OP OA t a OP OA t AB OP (1 t) OA t OB

《向量数乘运算》课件

《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来

课件6：3.1.2空间向量的数乘运算

课件6：3.1.2空间向量的数乘运算
有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边 形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD， ∴A→1B、B→1C、E→F都与平面 A1BD 平行． ∴A→1B、B→1C、E→F共面．
课堂小结
1．向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当
问题探究
1．如果O→P＝O→A＋tA→B，你能判定 P、A、B 共线吗？
【答案】能判定P、A、B共线． 2．空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝ λb(λ∈R)? 【答案】不能推出a＝λb.因空间中任意两向量都 共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.
例题解析
考点一：空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没
证明：
∴E→F＝A→1F－A→1E ＝25a－145b－25c＝25(a－23b－c)． 又E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， ∴E→F＝25E→B.所以 E，F，B 三点共线．
考点三：向量共面问题
证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中 一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻 找平面α，证明这些向量与平面α平行．
例3 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分 别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、 E→F是共面向量．

空间向量的数乘运算 课件


问题 2 向量共线在几何中有什么应用？ 答案 利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和 三点共线问题．证明两直线平行要先证明两直线上的向
量 a，b 平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线 上；证明三点 A、B、C 共线，只需证明存在实数 λ，使 A→B＝λB→C或A→B＝λA→C即可．
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对 角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C.
(2)要证明 a∥α，只需在 a 上取向量 a，证明 a 可以用平面 α 内两个不共线向量线性表示且说明 a 上有一点不在 α 内．
问题 5 已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的
任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M
一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M. 解 (1)原式可变形为O→B＝O→P＋(O→P－O→A)＋(O→P－O→M) ＝O→P－P→A－P→M，即P→B＝O→B－O→P＝－P→A－P→M.
答案 λ>0 时，λa 和 a 方向相同；λ<0 时，λa 的方向和 a 方向相反；λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
问题 2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？ 答案 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， 结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重
共线． 3．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于__同___一__个__平__面___的向量，叫做共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要 条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使___p_＝__x_a_＋ ___yb_____.

空间向量的数乘运算 课件


能否推广到空间向量中呢？
共线 向 量定理: 对空间任意两个向量 a， ，b
a // b (b的充0要) 条件是存在唯一实数λ，
使 a b(b 0).
a // b(b 0)
a b (b 0)
a b (b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为： OP _1_-_t _OA __t__OB
因为 AB OBOA,
所以 OP OA t(OB OA)
aP
B A
O
(1 t)OA tOB 特别的，当t= 1 时，则有
2
OP 1 (OA OB) P点为A,B 的中点 2
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
AP OP OA,
l
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
若在l上取 AB a 则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
例1. 已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外 的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、 B、C一定共面？
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OA OB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只

空间向量的数乘运算 课件


AA1
1 2
(B1A1
B1C1
)
AA1
1 2
(BA
BC)
AA1
1 2
(－AB
AD)
c 1 (－a b) 2
－1 a 1 b c． 22
方法二：BM BA AA1 A1M
－AB
AA1
1 2
(A1B1
A1D1
(AB
AD)
－a c 1 (a b) 2
－1 a 1 b c． 22
而利用p xa y与b a,bp共面则不需要a,b不共线的条件. 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.
A1A AB
2bca 3
a
2 b c, 3
EF 2所EB以, E，F，B三点共线.
5
类型 三 空间向量共面定理的理解应用 【典型例题】 1.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O， 则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A，B，M一定共面的 是__________.(填序号)
(3)空间向量共面的其他判定方法． 三个非零向量a,b,c,其中无两者共线，那么它们共面的充要条 件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.
类型 一 空间向量的数乘运算 【典型例题】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交 点．若 AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM相等的向量 是( )
提示：(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的，是由 共面向量基本定理得到的. (2)不正确.当a,b共线，而p与a，b不共线时，p=x a+y b是不 成立的. (3)正确.是共面向量的充要条件. (4)不正确.当 MA，MB共线，而 MP与MA，MB不共线时， MP xMA yMB不成立. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×

3.1.2空间向量的数乘运算课件人教新课标

行 （1）向量平行与直线平行的比较;
（2）关注零向量;
（3）对空间任意两个向量a与b ,如
果 a// b,那么a与b有什么相等关系?反过来
呢?
（1）当我们说a，b共线时，表示a，
b的两条有向线段所在直线既可能是同一 直线，也可能是平行线;
（2）当我们说 a // b时，也具有同样 的意义.
知识要点
B.若3OP = OA + AB，则P是AB的中点
C.若 OP = OA - t AB，则P、A、B不共线 D.若 OP = -OA+ AB，则P、A、B共线
（3）下列命题正确的是（ C ） A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共
线
B. 向量a，b，c共面就是它们所在的
直线共面
C. 零向量没有确定的方向
知识要点
6.共面向量定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向 量（coplanar vectors）.
空间任意两个向量总是共面的，但空 间任意三个向量既可能是共面的，也可能 是不共面的.
7.共面向量的定理
如果两个向量a、b不共线，则向量 p与 向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对（x、y），使
p=xa+yb
8.共面向量的定理的推论
空间一点P位于平面MAB内的充分必
要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
OP = OM + xMA + yMB.
P
Bp b M a A A'
对空间任意一点O和不共线的三点A、 B、C，试问满足向量关系式
OP = xOA+ yOB + zOC
1. 空间向量数乘运算的定义
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uuur uuur uuur uuur ∵ OP xOA yOB zOC . uuur uuur uuur
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：
一、空间向量的数乘：
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向
量，称为空间向量的数乘
2、空间向量的数乘的性质
（1）当 0 时，a 与 a 同向 （2）当 0 时，a 与 a 反向 （3）当 0 时，a 0
当a 0, 有 0或a 0
auv
3auv
3auv
(4) | a | | | | a |
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O， 作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c， 显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABCuu内ur, 不共uuu线r 的三uuu点r A、B 、C ∴uuur存u在uur 有序uu实ur 数uuur对 (muu,urn)u使uur APuuur m AB nuuAurC uuur uuur
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
（1）只需得到存在实数 ，使
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，
y，使 c＝xa＋yb
★ c＝xa＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
rr
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
2、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1：(a b) a b
（2）数乘分配律2： ( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
二、空间中的共线向量
1、定义：
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合， 则这些向量叫做 共线向量
探究 :
（或平行向量）
对空间任意两个向量 a与b,如果a b,a与b有什么位置关系?
充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA ta
r
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
若
uuur
OuPuur
uuur
OAuuurt
uuur AB
P
a
(或AP t AB)
B
则A、B、P三点共线。
A
若Ou若uPur P为xAOuu,AurB中 y点Ouu,Bur (x y 1)，O
则A则、BOuu、Pur P三1 点OuuAur共线OuuBur。
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b
共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使
c＝x a＋y b
c
证明： （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面， B C
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， O A
证明:⑴充分性
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur
∵uuOurP uuurxOA uuyuOr BuuurzOC 可uu变ur 形uu为ur OPuu(ur1 y uzu)uOrA yuOuuBr zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
ur
rC
p
br Aa
B
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
使 AP xa yb .
O
uuur r r
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
uuur r uuur r
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
uuur uuur 量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
3—1—2
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的 uuur uuur uuur uuur
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则
点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
∴点
P
在平面
上
是存在唯一有序实数对(x, uuur r uuur r
y),
使
AP
x AB
y AC
②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O
∴点 P 在平面 上
uuur uuur uuur uuur
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
反过来,a与b有什么位置关系时 ,a b? uv
a
b 2a c 3a
2、空间中共线向量的性质 （1）向量a与向量a 共线
若a // b, 则b // a, （2）非零共线向量的传递性：
若b 0, a // b,b // c, 则a // c,
（3）零向量与任一向量共线，即0 // a,
（4）空间共线向量定理：
对空间任意两个向量 a, b(b 0),
a // b(b 0) 有且只有一个实数 ， 使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2：这个定理有什么作用？ 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线
推论:r如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在uu直ur 线uu上url 的r