二项式定理复习
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二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义:二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n,有以下公式成立:(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中,C(n,r)表示组合数,即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导:利用组合数的性质,可以对二项式定理进行推导。
首先,根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r),可以得到以下关系式:C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中,可以得到:(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式:利用二项式定理,可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如,将(x+y)⁶展开,可以直接利用二项式定理的公式进行计算:(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算,最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题:二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数,因此可以应用于计算排列组合问题。
例如,班有10个学生,要从中选择5个学生组成一个小组,求不同小组的个数。
二项式定理复习(配答案)Ltt一、 知识梳理1.二项式定理及其特例:(1)01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ , (2)1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2.二项展开式的通项公式:1r n r r r n T C a b -+=3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表(杨辉三角)()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0nC ,1n C ,2n C ,…,n n C .rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ,定义域是{0,1,2,,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n mn nC C -=). (2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC-,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和:∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ,令1x =,则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 二、 例题讲解1.展开(a+2b)5;并求第三项;第三项的二项式系数;第三项的系数。
解析:第三项的二项式系数,第三项系数40.2.数11100-1的末尾连续出现零的个数是( )A .0B .3C .5D .7【解析】11100-1=(10+1)100-1=0100C ×10100+1100C ×1099+…+99100C ×10+1-1=0100C ×10100+1100C ×1099+…+99100C ×10,末尾连续出现3个零.【答案】B3. (1)求展开式中x 3的系数;(2)求展开式中第四项的二项式系数及系数;(3)求展开式中的有理项;(4)求展开式中x 3的系数。
第02讲 二项式定理【必备知识】1.二项式定理二项式定理:(a +b )n =C 0n a n b 0+C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式:T r +1=C r n a n -r b r ,它表示第r +1项 2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C m n =C n -m n (2)增减性:二项式系数C k n ,当k <n +12(n ∈N *)时,是递增的,当k >n +12(n ∈N *)时,是递减的 (3)最大值:当n 为偶数时,中间的一项2n n C 取得最大值当n 为奇数时,中间的两项21-n n C 和21+n nC 取得最大值;(4)各二项式系数和:C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n特别提醒:1.二项式定理中,通项公式T k +1=C k n an -k b k 是展开式的第k +1项,不是第k 项. 2.(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在T k +1=C k n a n -k b k 中,C k n 是该项的二项式系数,该项的系数还与a ,b 有关.(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关.当n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n 为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.考点05二项展开式中的项【常用方法】求二项展开式中的特定项或其系数,一般是写出通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出r ,代回通项公式即可.【典例分析05】角度01 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1、62)2(x x +的展开式中常数项是____(用数字作答).2、(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为( )A .12B .16C .20D .243、(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( )A .10B .20C .30D .60角度02 二项展开式中的含参问题4、若52)1(xax +的展开式中的常数项为-52,则实数a 的值为__ __.5、5)12(x x -的展开式中x 3的系数为-80,则a =__ __.6、已知二项式n xx )12(-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x 3的系数为__ __. 考点06 二项展开式中的系数和问题【常用方法】赋值法的应用(1)形如(ax +b )n 、(ax 2+bx +c )m (a 、b 、c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x =1即可.(2)对形如(ax +by )n (a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y =1即可.(3)若f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,则f (x )展开式中各项系数之和为f (1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=f (1)+f (-1)2, 偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=f (1)-f (-1)2. *又f ′(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+…+na n x n -1, 所以a 1+2a 2+3a 3+…+na n =f ′(1).【典例分析06】1、在n xx )3(+的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x 3的系数为( ) A .15 B .45 C .135 D .4052、若(1-2x )2 021=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 2 021x 2 021(x ∈R ),则下列结论中正确的个数为( )①a 0=1 ②a 1+a 3+a 5+…+a 2 021=32 021+12③a 0+a 2+a 4+…+a 2 020=32 021-12 ④a 12+a 222+a 323+…+a 2 02122 021=-1 A .1 B .2 C .3 D .4考点07 二项展开式中的系数最值问题【常用方法】 二项式系数最大项的确定方法:当n 为偶数时,展开式中第n 2+1项的二项式系数最大,最大值为2n n C ;当n 为奇数时,展开式中第n +12 项和第n +32 项的二项式系数最大,最大值为21-n n C 或21+n n C .【典例分析07】1、在(1-2x )n 的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式二项式系数最大的项为________.2、已知n x x )21( 的展开式中前三项的系数成等差数列.①求n 的值;②求展开式中系数最大的项.。