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二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义：二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n，有以下公式成立：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导：利用组合数的性质，可以对二项式定理进行推导。
首先，根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，可以得到以下关系式：C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中，可以得到：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式：利用二项式定理，可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如，将(x+y)⁶展开，可以直接利用二项式定理的公式进行计算：(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算，最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题：二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数，因此可以应用于计算排列组合问题。
例如，班有10个学生，要从中选择5个学生组成一个小组，求不同小组的个数。
二项式定理复习（配答案）Ltt一、 知识梳理1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 二、 例题讲解1.展开(a+2b)5；并求第三项；第三项的二项式系数；第三项的系数。
解析：第三项的二项式系数，第三项系数40.2.数11100－1的末尾连续出现零的个数是（ ）A ．0B ．3C ．5D ．7【解析】11100－1＝（10＋1）100－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10＋1－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10，末尾连续出现3个零．【答案】B3. (1)求展开式中x 3的系数；(2)求展开式中第四项的二项式系数及系数；(3)求展开式中的有理项；(4)求展开式中x 3的系数。
第02讲 二项式定理【必备知识】1．二项式定理二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式：T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n （2）增减性：二项式系数C k n ，当k <n ＋12(n ∈N *)时，是递增的，当k >n ＋12(n ∈N *)时，是递减的 （3）最大值：当n 为偶数时，中间的一项2n n C 取得最大值当n 为奇数时，中间的两项21-n n C 和21+n nC 取得最大值；（4）各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n特别提醒：1．二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．考点05二项展开式中的项【常用方法】求二项展开式中的特定项或其系数，一般是写出通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r ，代回通项公式即可．【典例分析05】角度01 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1、62)2(x x +的展开式中常数项是____(用数字作答)．2、(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．243、(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60角度02 二项展开式中的含参问题4、若52)1(xax +的展开式中的常数项为－52，则实数a 的值为__ __.5、5)12(x x -的展开式中x 3的系数为－80，则a ＝__ __.6、已知二项式n xx )12(-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为__ __. 考点06 二项展开式中的系数和问题【常用方法】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b 、c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. *又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋na n x n －1， 所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f ′(1)．【典例分析06】1、在n xx )3(+的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135 D ．4052、若(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2 021x 2 021(x ∈R )，则下列结论中正确的个数为( )①a 0＝1 ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝32 021＋12③a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 020＝32 021－12 ④a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02122 021＝－1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点07 二项展开式中的系数最值问题【常用方法】 二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12 项和第n ＋32 项的二项式系数最大，最大值为21-n n C 或21+n n C ．【典例分析07】1、在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．2、已知n x x )21( 的展开式中前三项的系数成等差数列．①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．。
