高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2
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2 高中数学 第二章 推理与证明 2.2。2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2
探究一 用反证法证明否定性命题
所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是"、“不存在"、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．
【典型例题1】 （1）若数列｛an｝的通项公式为an＝错误!（n∈N＋）,求证｛an}中任意连续的三项都不可能构成等差数列．
（2)已知a是整数，且a2＋2a是奇数，求证：a不是偶数．
思路分析:两个命题均是否定性命题，可用反证法证明．
证明：（1）假设｛an｝中存在连续的三项构成等差数列．
设这连续三项为ak，ak＋1，ak＋2（k∈N＋）,
则2ak＋1＝ak＋ak＋2，
即错误!＝错误!＋错误!,
所以错误!＝错误!。
所以2k2＋4k＝2k2＋4k＋2，
即0＝2，这显然是矛盾的．
因此假设不成立,即{an}中任意连续三项不可能构成等差数列．
(2）假设a是偶数，不妨设a＝2k(k∈Z），
于是a2＋2a＝(2k)2＋2·2k＝4k2＋4k＝4(k2－k)，
由于k∈Z,所以k2＋k∈Z。
因此4(k2＋k)是偶数,即a2＋2a是偶数．
这与已知a2＋2a是奇数相矛盾，
故假设不成立，即a不是偶数．
探究二 用反证法证明唯一性命题
1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性简单明了．
2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的．
3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题,即存在性和唯一性． 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2
3 【典型例题2】 （1)求证：经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．
(2)若函数f(x)在区间[a，b］上的图象连续不断开，且f(a）＜0，f(b)＞0，且f（x)在［a，b］上单调递增，求证：f（x)在（a，b)内有且只有一个零点．
思路分析：对于（1）可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2），应先由函数零点存在性判定定理判定函数在（a,b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．
证明：（1)假设经过平面α外一点M，能作两条直线a，b都与该平面垂直．
那么由线面垂直的性质可知a∥b，且a，b在同一平面内，
这与a，b相交（均过点M)矛盾,
因此假设不成立，即经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．
（2）由于f（x)在[a，b]上的图象连续不断开,且f(a）＜0,f(b）＞0，即f（a)·f(b)＜0，
所以f(x）在(a,b）内至少存在一个零点，设零点为m，m∈(a，b），则f(m）＝0，
假设f(x）在（a，b)内还存在另一个零点n，则f（n)＝0，且n≠m。
若n＞m，则f(n）＞f（m),即0＞0，矛盾;
若n＜m，则f(n）＜f(m)，即0＜0,矛盾．
因此假设不正确，即f(x）在（a,b)内有且只有一个零点．
探究三 用反证法证明至少、至多命题
1．当命题出现“至多"“至少"等词语时，适合用反证法．
2．常见的“结论词"与“反设词”
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有（不存在） 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
【典型例题3】 已知a，b，c都是小于1的正数，求证:（1－a）b，(1－b)c，（1－c)a中至少有一个不大于错误!.
思路分析：本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有"，然后由假设入手,应用均值不等式证明．
证明：方法1：假设（1－a)b＞错误!，（1－b)c＞错误!，（1－c）a＞错误!。
∵a，b，c都是小于1的正数, 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2
4 ∴错误!＞错误!,错误!＞错误!,错误!＞错误!,
∴1－ab＋1－bc＋错误!＞错误!.
又∵错误!＋错误!＋错误!
≤错误!＋错误!＋错误!
＝错误!
＝错误!，
与上式矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
方法2：假设三式同时大于错误!,
即(1－a)b＞错误!,（1－b）c＞错误!，（1－c）a＞错误!，
三式相乘,得(1－a)a·(1－b）b·（1－c)c＞错误!.
又(1－a）a≤错误!2＝错误!。
同理,(1－b）b≤错误!，（1－c)c≤错误!。
以上三式相乘得(1－a)a（1－b)b（1－c)c≤164，
这与(1－a)a（1－b）b(1－c)c＞错误!矛盾,故结论得证．
探究四 易错辨析
易错点：运用反证法,结论否定不当而出错
【典型例题4】 用反证法证明命题“a，b为整数,若ab不是偶数,则a，b都不是偶数”时，应假设________．
错解:a,b不都是偶数．
错因分析:a，b不都是偶数包括的情况有：
（1）a是偶数，b是奇数；
(2)a是奇数；b是偶数；
(3）a，b都不是偶数．显然,否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”．
正解：“a，b都是偶数”或“a，b不都是奇数”．
