均值不等式

1平均值不等式及其证明

平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1 平均值不等式

一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为

12...,nnaaaAn

几何平均值记为

11212(...)...nnnnnGaaaaaa。

算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。

1212......nnnaaaaaan，

即 nnAG，

当且仅当12...naaa时，等号成立。

上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。

1.2 平均值不等式的证明

证法一（归纳法）

（1） 当2n时，已知结论成立。

（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik有

11212...(...)kknaaaaaak。

那么，当1nk时，由于 1211...1kkaaaAk，11121...kkkkGaaaa，

关于121,,...,kaaa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值不改变，因此不妨设1121min,,...,kaaaa，1121max,,...,kkaaaa

显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得

不等式的性质及均值不等式

一．不等式的性质

性质1：如果ba，那么ab；如果ab，那么ba（对称性）

性质2：如果ba，cb 那么ca（传递性）

由对称性、性质2可以表示为如果bc且ab那么ac

性质3：如果ba，那么cbca （加法单调性）反之亦然

性质4：如果ba且0c, 那么bcac；

如果ba且0c那么bcac （乘法单调性）

推论1 如果0ba且0dc，那么bdac（相乘法则）

推论1’（补充）如果0ba且dc0，那么dbca（相除法则）

推论2 如果0ba, 那么nnba )1(nNn且

性质5：如果0ba，那么nnba )1(nNn且

二．均值不等式

熟记以下几种均值不等式和变式：

1、abba222 2、 abba2 3、222baab 4、22baab

5、bbaabbabaaba11222022

6、abccba3333 7、 33abccba8、3333cbaabc 9、33cbaabc

10、nnnaaanaaa2121当然，不等式成立和等号成立二者的条件不能忽略。

三．极值定理及应用

已知yx,都是正数，求证：

1 如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2

2 如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s

证：∵Ryx, ∴ xyyx2

1当xyp (定值)时，pyx2 ∴yxp2

∵上式当yx时取“=” ∴当yx时有min)(yxp2

2当syx (定值)时，2sxy ∴241sxy ∵上式当yx时取“=” ∴当yx时有2max41)(sxy注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

（一） 知识内容

1．均值定理：如果,abR（R表示正实数），那么2abab≥，当且仅当ab时，有等号成立．

此结论又称均值不等式或基本不等式．

2．对于任意两个实数,ab，2ab叫做,ab的算术平均值，ab叫做,ab的几何平均值．

均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：

⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行

转化，再运用均值不等式；

⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由

均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．

运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．

2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．

⑴对于任意正实数,ab，作线段ABab，使,ADaDBb；

⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CDAB于D，

且交半圆于点C；

⑶连结,,ACBCOC，则2abOC，

∵,ACBCCDAB

∴CDADBDab，

当ab时，在RtCOD中，

有2abOCCDab．

当且仅当ab时，,OD两点重合，有2abOCCDab．

3．已知：abR、（其中R表示正实数），

有以下不等式：222211222ababababab≥≥≥≥

其中222ab称为平方平均数，2ab称为算术平均数，

ab称为几何平均数，211ab称为调和平均数． CODBA

均值不等式

证明：2222210224ababab≥

∴222222abab≥

∵abR、，∴2222abab≥，当且仅当“ab”时等号成立．

柯西证明均值不等式的方法

by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是nnGA：

一些大家都知道的条件我就不写了

nnnxxxnxxx......2121

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出:

8444844)()(:4422)()(abcdefghefghabcdhgfedcbaabcdabcdcdabdcbadcba八维时二维已证，四维时：

这样的步骤重复n次之后将会得到

nnnxxxxxxn2221221...2...

令Anxxxxxxxxxxnnnnnn......;,...,2122111

由这个不等式有

nnnnnnnnnnAxxxAxxxAnnAA2121212221)..(..2)2(即得到

nnnxxxnxxx......2121

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子:

例1： 1112101(1,2,...,)11(...)niiinnnainaaaa若证明

例2：

111211(1,2,...,)11(...)niiinnnrinrrrr若证明

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

12121212122121221234123412342112(1)(2)2(1)(1)111,(1)(2)2(1)22(1)2(1)221111112()11111141naaaaaaaaaapaqaaaqppqpqpqqpqqqpqaaaaaaaaaaaa当时设，而这是元均值不等式因此将此过程进行下去因21121221121222112211211(...)...(...)1122(2)1111()111nnnnnnnniinnnnnnnnniinniiaaaaaaaaaaGnaGGGGnaG此令有即