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§6-3电磁场的能流密度与动量课件

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电磁场的能流密度

电磁场的能流密度

电磁波的能流密度(坡印廷)矢量
S

EH
E H
平面电磁波能流密度
平均值
S

1 2 E0 H 0
振荡偶极子的平均
辐射功率
S
p p02 4 4
12πu
1
二 电磁场的能量原理
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . • 体积V内电磁能为:
1
W
We
Wm

2
(D E
dW dt


(E H ) d Q P
dW dt


(E H ) d Q P
意义：由外界流入系统的电磁能，除了对系
统内的带电体作功外，还使系统的电磁能增加。
能量守恒表达式。设想将系统的边界扩展到 无限远处。电荷和电流分布在有限空间内，无限 远处的电磁场应等于零，所以右边第一项面积分 必定等于零，上式变为
P
Q

τ
E

j0dV

d dt
τ
wdV
6
三 电磁场的动量和光压
根据量子理论，电磁波具有波粒二象性，能量 由许多分立的、以光速运动的光子所携带。
光子能量E=h，h=6.62617610-34 Js普朗克常量。
相对论的质能关系，光子能量 E=mc2
光子
E h
质量 m c2 c2
物体表面所受压强为
p
2 c S入

2 EH c
平均压强指所受压强在
1
一个周期内的平均值
p c E0H0
对于全吸收，S反 = 0， 物体表面所受压强为
p

1 c

第6节能量和能流

第6节能量和能流

回答： 1 电磁能量究竟是怎样传输的？ 2 导线在电磁能量传输中的作用？
讨论方法——选取导线中的一小段，放大
1）电容性带电——电源接通后，在导线 皮上存在的电荷稳定分布。
R


2）导线附近的场：
由安培环路定理
Ij I (e S E H 4 2r 2 r e ) 2r (et e ) I Ij e er 2 2 t 4 r 2r 其中沿 er 能流不能进入负载，为热损耗。
二、电磁场的能量与能流： f v ( E v B) v v E j E
由麦氏方程 j H D t D D j E ( H ) E E ( H ) E t t 利用 (E H ) H ( E) E ( H ) B E t B D 得到 (E H ) j E (H E ) t t
定义：电磁场能流密度是矢量。
大小：单位时间，通过单位横截面的能量
方向：电磁场内任意一点能流密度的方向 是该点能量传输的方向。 计算穿过任意面元 d 的能量
S d

穿过任意封闭面积的能量：
规定 能量流入为正，流出为负。
面元 d 的外法线方向为正。

流入能量
S d
能量守恒与转化定律数学形式：
单位时间从 流出的电磁能量
=电磁能量增加率+带电粒子能量增加率 数学形式：
w S d f v dV dV V V t
称为守恒定律的积分式。 利用高斯公式，变成微分式：

电磁场的动量和动量流

电磁场的动量和动量流

⎜⎜⎝⎛ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
>>
I
⎤ ⎥ ⎦
( ) − ε0
∂ ∂t
GG E×B
真空：H
=
1
G B,
μ0
GG D = ε0E
G
G
ρ = ∇ ⋅ D = ε0∇ ⋅ E
G J
=
∇
×
G H
−
G ∂D
∂t
=
1 μ0
∇×
G B
−ε0
G ∂E ∂t
G
∇ ⋅ DG = ρ,
∇ ∇
⋅B =0 G
kG(eG3 )
另一方面：
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB +
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
BG(eG2 )
( ) G >>
E⋅T
=
−ε 0
GG E⋅E
G E+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
G E
⋅
>>
Ι
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
∂ ∂x
Ex2
+
E
2 y
+
Ez2
G ex
=
⎡ ⎢Ex ⎣
∂Ex ∂x
+
Ey
∂Ex ∂y
+

§6-3电磁场的能流密度与动量

§6-3电磁场的能流密度与动量



E H H E E H
因此
dW dt


(E (V )
H )dV


(V )
j0
EdV
利用矢量场论的高斯定理


A dS AdV
S V
(E H ) d j0 EdV
产生加速度。
假定Δt 如此之短，可以认为粒子的
位置几乎未离开O点，但却已获得速
度u=at，此后粒子以速度u匀速前进。 为简单起见．设u<<c ，即粒子的运
动是非相对论性的。
考虑脉冲后又经过时间间隔τ的情况。这时脉冲 前后的波前已传播到以O为中心、半径分别为 c(Δt+τ)和cτ的同心球面上，而粒子到达了O’的位
S 1 2
r0 r 0
E02
电磁波中的能流密度正比 于电场或磁场振幅的平方
3.2 带电粒子的电磁辐射
一个匀速运动的带电粒子产生的电场都是径向的，
不是横波，它不会发射电磁波，因为电磁波是横
波。要发射电磁波，粒子一定要有加速度。
设带电粒子q在时间t＝0 以前静 止在原点O处，在t＝0 到Δt 区间 在沿z 方向受到一个方脉冲力而
引入一个新的矢量S，其定义如下
S E H —— 坡印廷矢量
于是 dW P Q S d
dt
()
在体积V内单位
时间内增加的 电磁能dW/dt
此体积内单 位时间电源 作的功P

焦耳损 耗Q
坡印廷 矢量的 面积分
讨论坡印廷矢量
能量守恒的观点看：

S d
偶极振子附近电场分布

电磁场的能流密度

电磁场的能流密度

2
B

1 2

0

0
r
E t
根据d<<R的条件，电容器边缘效应可以忽略。
侧面电场强度为E，由
B

1 2

0

0
r
E t
得电容器侧
面处的磁感应强度为
B

1 2
0 0R
E t
S

EH

1
0
EB

1 2

0
RE
E t
通过侧面流入电容器的能量为
S d

S 2Rd

0R 2 Ed
E t
12
结果的讨论
t 时刻电容器极板间的电场强度为E，电容器内
电场能量为
We

1 2

0
E
2

1 2

0
E
2
R
2
d
充电时电场强度在增大，电场能量在增加，而能
量增加率
dWe dt

t
(
1 2

0
E
2
R2d
)


0R
2
Ed
E t
与先前结果一致。说明电容器极板间能量的增加
是由于能量从电容器外部空间通过其侧面流入所致。
V

V
j0
EdV
j0
j0 EdV ( j02 j0 K)dV
S
V
V
j0 (E K )
E j0 K
( j02 j0 K )dV j02Sl j0 KSl

动量密度和能流密度的关系

动量密度和能流密度的关系

动量密度和能流密度的关系动量密度和能流密度是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关系。

本文将探讨动量密度和能流密度之间的关系，并解释其物理意义。

动量密度是指单位体积内的动量，通常用矢量表示。

动量密度可以通过将物体的总动量除以体积来计算。

在经典物理学中，动量密度的计算公式为p = mv，其中p表示动量，m表示物体的质量，v 表示物体的速度。

动量密度是一个矢量，它的方向与物体的速度方向一致。

能流密度是指单位面积内的能量传输速率，也可以说是单位时间内通过单位面积的能量流量。

能流密度通常用矢量表示。

能流密度的计算公式为S = P/A，其中S表示能流密度，P表示通过单位面积的能量流量，A表示单位面积的面积。

能流密度也是一个矢量，它的方向与能量传输的方向一致。

动量密度和能流密度之间的关系可以通过动量守恒定律和能量守恒定律来解释。

根据动量守恒定律，一个封闭系统内的总动量是恒定的，即动量的增加必然伴随着动量的减少。

而能流密度则描述了能量的传输过程，根据能量守恒定律，能量在封闭系统内是守恒的，能量的增加必然伴随着能量的减少。

具体来说，当一个物体的动量密度增加时，意味着物体的总动量增加。

根据动量守恒定律，这意味着系统中其他物体的动量必然减小。

而能流密度则描述了能量的传输速率。

当一个物体的能流密度增加时，意味着单位时间内通过单位面积的能量流量增加。

根据能量守恒定律，这意味着系统中其他物体的能量必然减少。

因此，可以得出结论：动量密度的增加必然伴随着能流密度的增加，而动量密度的减小必然伴随着能流密度的减小。

这说明了动量密度和能流密度之间的紧密关系，它们在物理过程中相互影响、相互制约。

动量密度和能流密度的关系在许多物理学领域都有着重要的应用。

例如，在电磁学中，动量密度和能流密度是描述电磁波传播的重要物理量。

在相对论中，动量密度和能流密度是描述能量传输和动量传输的关键概念。

在流体力学中，动量密度和能流密度是描述流体运动和能量传输的基本量。

电磁场的能量和能流

电磁场的能量和能流

04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02

高二物理竞赛课件：能流和能流密度

高二物理竞赛课件：能流和能流密度

2
dx
1 dVA2 2 sin2 (t x )
2
u
O x dx
x
O
y y dy
x
dW dVA2 2 sin 2 (t x)
u 体积元的总机械能
dW
dWk
dWp
dVA2 2 sin 2 (t
x) u
O x dx
x
O
y y dy
x
讨论
(1)在波动传播的介质中，任一体积元的
动能、势能、总机械能均随 x,t 作周期性变
能流和能流密度
能流和能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的 能量.
平均能流：
u
P wuS
S udt
弹性势能
F ES l l
dWp
1 2
k dy 2
F E l Sl
k SE dx
O x dx
x
O
y y dy
x
dWp
1 2
k dy 2
Байду номын сангаас
1 2
ESdx(dy )2 dx
1 u2dV ( dy )2
dV
u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的
平均值
w 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
O x dx
x
O
y y dy
x
能流密度 ( 波的强度 )I:
通过垂直于波传播方向的单位面积的平
均能流.
I P wu S
P wuS u
I 1 2 A2u
2
S udt
例 证明球面波的振幅与离开其波源的距
选择（ C ）
dW dVA2 2 sin 2 (t x)

【实用】电磁场的能流密度与动量PPT文档

【实用】电磁场的能流密度与动量PPT文档

D t H j0
B E t
t(DEBH)2[E(H)H(E)j0E] t(DEBH)2[(EH)]2j0E
d d W t V (EH )dVV j0E dV
j0
j0E d V (j0 2j0K )d V
S
V
V
j0 (E K )
E j0 K
(j02 j0K)dVj02Slj0KSl
被照射面全吸收(绝对黑体)
1 光压为：
F ( S S ) 第六章 麦克斯韦电磁理论 入
反
c 天体物理中，星体层外收到核心部分的万有引力相当大一部分靠核心部分的辐射产生的光压平衡。
第六章 麦克斯韦电磁理论
1 发射电磁波,粒子一定要有加速度.
P | S S | 光压非常小，很难观察到。入
反
第六章 麦克斯韦电磁理论
§3. 电磁场的能流密度与动量
电磁场的能量原理
➢在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . ➢体积V内电磁能为:
1
W W eW m2V (D EBH )dV ddW t 1 2V t(DEBH)dV
t(DEBH)0t(EE)0t(HH) 20EE t 20HH t 2ED t 2HB t
相当大一部分靠核心部分的辐射产生的光压平衡。 ➢ 原子物理中，光在电子上散射时与电子交换动量
（康普顿散射）。
Thanks
第六章 麦克斯韦电磁理论来自v结果分析S a2
S
1 r2
S sin 2
偶极振子的辐射
➢偶极振子：偶极矩p作简谐振荡的偶极子
pp0cost
偶极振子辐射的能流密度空间分布
能流密度S
1. Sa2 2. Sr12 3. Ssin2 S4
电磁场的动量

第六节电磁场的能量和能流

第六节电磁场的能量和能流

10
4.例 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b， 两导线间为均匀绝缘介质(如图)。导线载有电流I， 两导线间的电压为U。 (1) 忽略导线的电阻,计算介质中的能流S和传输功率; (2)计及内导线的有限电导率,计算通过内导线表面 进入导线内的能流,证明它对于导线的损耗功率.
11
解 (1)以距对称轴为r的半径作一圆周 (a<r<b),应用安培环路定律,由对称性得 I Hθ = 2πrH θ = I 因而 2π r 导线表面上一般带有电荷,设内导线单位 长度的电荷(电荷线密度)为τ 应用高斯定理，由 对称性可得 因而
能流密度为14把s对两导线间圆环壮截面积积分得传输功率uidruirdrui既为通常在电路问题中的传输功率表达式这功率是在场中传输的2设导线的电导率为由欧姆定律在导线内有由于电场切向分量是连续的因此在紧贴内导线表面的介质内电场除有径向分量e15因此能流s除有沿z轴传输的分量s还有沿径向的分量s
第六节 电磁场的能量和能流
I ∆l 2 − S r ⋅ 2πa∆l = 2 = I R πa σ
2
15
Ez
r =a
I = 2 πa σ
由于电场切向分量是连续的,因此在紧贴内导 线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还 有切向分量Ez。 14
因此,能流S除有沿z轴传输的分量Sz外, 还有 沿径向的分量−Sr
− Sr = Ez Hθ I2 = 2π 2 a 3σ
r =a
流进长度为∆l的导线内部的功率为
当V→∞ 时
∫
∞
K K d f ⋅ v dV = − dt
∫ w dV
∞
结论: 场对电荷所做的总功率等于场的总能量减小 率,因此场和电荷的总能量守恒.

第六节电磁场的守恒定律

第六节电磁场的守恒定律

δω = E · δD + H · δB
◆ 对于各向同性的线性介质
D = εE
,
B = µH
ω = 1 (E · D + H · B) 2
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
动
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + J × B 【求解】 形如
途 作
方程中g与←T→的场量表达式。
∂t
∂t
∂t
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
★ 能量密度必须分不同情况讨论：
◆ 电磁场的能流密度S = S(x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向
★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ =
f
· v dV
+
d dt
ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
◆
场的能量增加率：
d dt
ω dV
◆ 通过界面S流入的能量：− S · dσ（负号是由于dσ是向外的导致）
方程中ω与S的场量表达式。
§ 6.2 电磁场的能量密度与能流密度
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【求解】 形如
∂ω + ∇ · S = −f · v ∂t 方程中ω与S的场量表达式。 【解】 f · v = (ρE + ρv × B) · v = ρE · v = J · E

电磁场的能量和能流

电磁场的能量和能流

t
而当V→∞时，通过无限远界面的能量为零，有：
v f
vvdV
d dt
wdV
表明场对电荷所作的总功率等于场的总能量减小率
4
2、电磁场能量密度和能流密度的表达式
由Lorentz力公式：fv
v E
v J
v B
v E
vv
v B
v f
vv
w
v S
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
根据能量守恒定律表达式有：
w
v S
v f
vv
v E
vv
量，方向为电磁场能量流动的方向。描述能量在场内的传播
v S
W
t
evn
(2) 能量守恒
单位时间通过界面S流入V内的能量可以用
能流密度表示为：
W
v
ÑS S
dv
dv
evn
v
S
S
2
由于在V内存在电荷和电流分布，因而流入的电磁场会对电荷做
功，使得系统的机械能增加，单位时间内电磁场对电荷所作的功
为：
Wm
V
v B
vv
vv E J
t
v
v
v H
v J
v D
t
v E
v
v H
D t
v E
D
t
v E
v H
E B t
v E
D
v (E
v H)
v H
Ev
t
v E
v H
v E
v D
v H
v B
v (E
v H)
v H
Ev
v E
v H

电磁场的动量密度和动量流密度

电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场具有动量，这一特性通过电磁场与带电物质的相互作用表现出来。从电磁场与带电粒子的相互作用规律出发，可以导出电磁场的动量密度和动量流密度表达式。动量密度描述了电磁场在单位体积内的动量，而动量流密度则描述了单位时间内通过单位面积的动量流量。对于平面电磁波，其平均动量密度与电磁波的能量密度密切相关，具体表现为动量密度等于能量密度除以光速的平方再乘以பைடு நூலகம்播方向单位矢量。这一关系在量子化的电磁场中同样成立，每个光子所带的动量也与其能量密度和传播方向有关。此外，文档还讨论了有限空间内电磁场的动量变化，引入了电磁场动量流密度张量的概念，用于描述穿过有限空间边界的动量流量。

电磁场的能量密度和动量密度

电磁场的能量密度和动量密度

（ ２ ． １ ． ２ ）
用矢量分 一 ． （ × ） 及麦
Ｅ・ （ Ｖ ×Ｈ） ＝ 一Ｖ。 （ Ｅ ×Ｈ） ＋ Ｈ （ Ｖ ×Ｅ） ＝ × ） 一 Ｅ 一 ０ Ｂ
Ｅ 一
＝ 一
是在电磁学的基础上采用更为高级 的数 学进一步讨论 了电
场 的动 量 密度 ． 讨 论 了动 态电磁 场 的 能量 密度 与 动 量 密度 ， 比 较 了动 态 与静 态 电磁 场 能 量 密度 和 动 量 密 度 的 区 别和 联 系．
关键 词 ：麦 克 斯 韦 方程 组 ； 能 量 密度 ； 动 量 密度
中 图分 类 号 ： ０ ４ ４ ２
（ ２ １ ． ６ ）
．
。
基金项 目： 内 蒙古 自治 区高等 学校 科 研 研 究 项 目（ Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ１ １ ２ ８ ７ ） ； 内蒙 古 自治 区 高等 学 校科 研 研 究 项 目（ Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ１ ２ ２ ４ ８ ） ； 内 蒙古 自
治 区 高等 教 育科 学 “ 十二五” 规 划课 题 项 目（ ＮＧ Ｊ Ｇ Ｈ２ ０ １ ３ ０ ４ ８ ） ； 内蒙 古 自治 区高 等 学校 科 研 研 究 项 目（ Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ１ ３ ２ ８ １ ）
文献 标 识 码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ９ — ０ ０ ０ ６ — ０ ２
１ 引 言
一
０Ｄ
，
可得
～
电磁场由于内部的独特运动 而具有 动量和能量 ，所 以
是实物场． 电磁场 的运动和其他物质运动形式相 比有它特殊 性 的一面 ， 但 同时也 有普通性 的一 面 ， 电磁场运动 和其他物 质运动之间能够互相作用并相互转化． 电磁场 和带电物质之 间有相互作用 ，同时 电磁场本身的状态也会发生相应 的变

高二物理竞赛课件：能流、能流密度和能量密度

高二物理竞赛课件：能流、能流密度和能量密度

1
2 A2u
2
例1. 证明球面波的振幅与离
开其波源的距离成反比，并 求球面简谐波的波函数.
s2
证：介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.
s1 r2
r1
I1S1 I2S2
即
1 2
2 A12u4πr12
1 2
2 A22u4πr22
A1 r2 A2 r1
y
A0r0 r
cos[(t
r u
)
0
能流、能流密度和能量密度
可见，对于任意小质元， dEP dEk
dEk
dEp
1 2
dV2 A2
sin2[(t
x u
)
0
]
➢ 小质元的总机械能
dE
dEk
dEp
dV2 A2
sin2[(t
x) u
0 ]
dE ( x, t )
讨论：
1）在波动传播的介质中，任一小质元的动能、 势
能、总机械能均随 (x,t) 作周期性变化，且变化是同
E wut S
能流 P E wu S
uS2
t A2
s
in
2[
(t
x u
)
0
]
单位：焦耳/秒(J•s-1)，瓦(W)
ut S
能流也是随时间周期性变化的，测量的应是其平均值.
平均能流：在一个周期内能流的平均值，它等于单位时
间内垂直通过某一截面的平均能量,
P 1
T
Pdt u S w
T0
平均能流密度：单位时间内垂直通过某一单位截面的平
均能量，通常称为能流密度或波的强度。
I P wu 1 2 A2u
S

电磁场的动量

电磁场的动量

p3
S1T13
S
2T23
S3T33
写成矢量式：P S T
这就是经过面元ΔS流出旳动量。所以，经过闭合曲
面流出旳总动量为
T ds
S
张量 T 旳分量Tij 旳意义是经过垂直于i 轴旳单位面积
流过旳动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量旳进一步了解，下面讨论电场 中旳几种特殊面上旳力。
2) 若面法线方向旳单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上旳
电磁力为
P电磁
nT
n [0 (EE
1 2
E 2I )]
n
0
EE
1 2
0n
E
2I
1 2
0E
2n
其中用到 n E 0 , n I n
成果表白单位面积上旳电磁力P电磁沿单位面积旳法线方向， 与电场方向垂直，负号阐明是压力，故垂直于电场线方向
Maxwell应力张量旳分量物理含义：
z C
△S
O
A
y B
x
设ABC为一面元ΔS，这面元旳三个分量为三角形OBC、
OCA和OAB旳面积，OABC是一种体积元△V，
z
经过界面OBC单位面积流入
C
体内旳动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
经过界面OCA单位面积流入
O
体内旳动量三个分量为： A
(
E
)
E
( EE
)
1
(E
E
)
(
EE
)
1
(E
2
I)
2
2
( EE
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前后的波前已传播到以O为中心、半径分别为 c(Δt+τ)和cτ的同心球面上，而粒子到达了O’的位 置，OO’＝uτ
t＝0以前粒子停留在O不动，大球面以外的电场
线以O为中心沿着径向分布
匀速运动的带电粒子所产生电场的瞬时分布也是
以它自己为中心沿着径向的，即小球面以内的电 场线以O’为中心沿着径向分布。


dW 因此 ( E H )dV j0 EdV dt (V ) (V ) 利用矢量场论的高斯定理
A dS AdV
S V
(V )
( E H ) d j0 EdV
先分析

(V )
j0 EdV的物理意义
()
有非静电力K的情况下欧姆定律的微分形式为 E j0 K j0 ( E K )
2 j0 E j0 j0 K
j j0 j0
2 0
取V为一个小电流管，设其截面积和长度分别为 ΔΣ和Δl，考虑到j0与Δl方向一致，于是
再分析 ( E H ) d 的物理意义
()
引入一个新的矢量S，其定义如下
S EH
—— 坡印廷矢量
于是
dW P Q S d dt ()
在体积V内单位 时间内增加的 电磁能dW/dt

此体积内单 位时间电源 作的功P

焦耳损 耗Q
小流管 的电阻R
2 I0 R I 0


是单位时间释放 出来的焦耳热
小流管中 的电流I0
沿流管的电 动势ΔE
是单位时间 电源作的功
这个结论完全不限于V是小流管的情形，对于任何 体积V，都代表此体积内单位时间释放的焦耳热Q与 单位时间非静电力作的功P之差，即
( 小流管 )
j0 EdV Q P
y
1 F ( S入 S反 ) c 1 F ( S入 S反 ) 1 P | S入 Sc 反| 1 c P | S入 S反 | 金属板受到的压强： 1 c F t ( S入 1S反 )t cF t (S S )t
入 反
P | S入 S反 | c 1 F ( S入 S反 ) 1 c F t ( S入 S反 )t 金属板和电磁波 c 1 1 S F反 ) P | S入 | ( S入 S反 1 动量改变分别为： c G ( S S )t c 入 反 c 1 1 P入 S|反 S) St F t ( S 入 反 | G 1 1 c c g 2 ( S反 S入 ) 2 S反 V ∑ cc△t c c 1 1 c△t，体积：△ △t时间内传播距离为 FS t ( S S )t G ( S反 入 ) t 入 1 反 cg EH c 2 c 1 单位体积内电 G 1 1 1 G ( S S ) t g 2 ( S反 S S 2 S入 入 反入 ) 2 反 c V c c c 磁波动量改变： G 1 1 1 1 g ( S S ) S S g 2 EH 入 反 2 2 反 2 入 V c c c c 1 定义电磁波动量密度：g c 2 E H
带电粒子电磁 辐射的方向性
c
1
0 0
q 2 a 2 sin 2 S 16 2 0c 3r 2
辐射的能流密度S与粒子的加速度a的
q 2 a 2 sin 2 分析 S 16 2 0 c 3 r 2
Sa
2
平方成正比 带电粒子因其有加速度而产生电磁辐射的现象 是十分普遍的。 1 辐射的能流密度S与距离r 的平方成反比 S 2 r
粒子发射的是球面波，根据能量守恒定律，通过任何以 它为中心的球面的能流都应一样，即与r无关 4 r 2S S sin 2
辐射的能流密度S与极角正弦的平方成正比，辐射各向异性
对于给定的传播方向，只有粒子加速度在垂直于矢 径r的投影asinθ才对辐射有贡献，而平行于矢径r的 分量对辐射没有贡献。这是电磁波的横波性的反映
平均能流密度 ：S在一个周期内的平均值 对于简谐波 S 1 E0 H 0
2
r 0 E0 r 0 H0
1 S 2
r 0 2 电磁波中的能流密度正比 E0 r 0 于电场或磁场振幅的平方
3.2 带电粒子的电磁辐射 一个匀速运动的带电粒子产生的电场都是径向的， 不是横波，它不会发射电磁波，因为电磁波是横 波。要发射电磁波，粒子一定要有加速度。
偶极振子附近电场分布 （1）靠近振子中心（r<<波长λ，或r与λ同数量级） （这时它与静态偶极子电场相近）
t=0时，正负电荷正好位于中心(a),这时振子不带 电，没有电场线与它相连 在振动的前半个周期内，正负电荷分别朝上下两 方向移动(b)，经过最远点后(c)又移向中心(d)
在这期间出现了由上面正电荷到下面负电荷的电 场线，同时这电场线不断向外扩展。最后正负电 荷又回到中心相遇(e)，完成了前半个周期。这时 振子又不带电了，原来与正负电荷相连接的电场 线两端衔接起来，形成一个闭合圈后脱离振子(f)
c 入 反 )
1 P 单位面积上受到的压力即压强： c | S入 S反 | 1 F t ( S入 S反 )t c 反 如被照射面的反射率为100%，则S入=S 1 G ( S反 S入 )t 2 2 c P S入 EH c c G 1 1 g 2 ( S反 S入 ) 2 S反 如被照射面全吸收（绝对黑体），则 S V 反=0 c ，正 c c 1 入射的光压： g 2 EH 1 1 c P S入 EH c c
c
DB c t c t AD u sin at sin
极角
在非相对论近似下，Er基本上是以O’为中心的库仑场
4 0 r 2 1 qa sin E 4 0 c 2 r Er q
r c
电磁辐射能流密度大小的计算
S E H EH
H H ( D E B H ) r 0 ( E E ) r 0 t t t


( D E B H ) 2( E H H E j0 E) t ( A B) B A A B E H H E E H
在两球面之间的过渡区里电场线发生曲折，这里
正是带电粒子脉冲加速的影响传播所及的地方。 在此区间电场E既有横分量Eθ，又有纵分量Er。 对电磁辐射有贡献的只有横分量Eθ
考虑从O’出发沿θ方向的电场线 O’ ABC，在过渡区里 E Er / tan
tan
E Er
c a sin a sin
3.4 电磁场的动量 光压
v
m
V’
动量为G=mV 的小球垂直撞击平板， 以G’=mV ’弹射回来，动量改变为 △G= mV ’ –mV 光压
a
入射波
电磁场具有动量，电磁波垂直射在金 属板上，一部分反射
反射波
b
x
j0
E
F
z H
设电磁波传播方向为z，E、H方向为x、 y方向，电子在x方向往复运动，形成 传导电流j0，还受洛伦兹力F， F沿 E×H方向，自由电子将此力传给金 属板， 获+z方向动量，意味着电磁波 动量发生了相反方向的变化 设入射、反射电磁波坡印亭矢量分别 为S入， S反，则金属板面元△∑受到 的力：
0 2 E 其中的 0

真空中 1
qa sin E E 4 0 c 2 r 1
0 2 0 qa sin S E 2 0 0 4 0c r
2
E 应为E
q 2 a 2 sin 2 0 0 16 2 0 c 4 r 2 1

坡印廷 矢量的 面积分
讨论坡印廷矢量 能量守恒的观点看： 单位时间从体积V的单位表面流出的 S d 电磁能量(叫做电磁能流) ，单位： () W/m2(相当于功率密度)
S EH
电磁能流 密度矢量
方向：电磁能传递的方向，与k的方向一致 大小：单位时间流过与之垂直的单位面 积的电磁能量
在后半个周期中的情况与此类似．过程终了时 再形成一个电场线的闭合圈。不过前后两个闭合 圈的环绕方向相反。
偶极振子附近电场线的分布
（2）离振源足够远的地方(r>>λ)称之为波场区
电场线都是闭合的，当距离r增大 时，波面渐趋于球形，电场强度矢 量E趋于切线方向，波场区内E垂 直于矢径r 在上述任何区域里，磁场线皆如 图所示，是平行于赤道面的一系 列同心圆，故H同时与E和r垂直。 每根环形磁场线的半径都随时 间不断向外扩展 偶极振子辐射的能流密度在空 间的分布与本节3.2的描述相同
2 j j0 EdV j0 E l 0 l j0 Kl
(V )
2 j0 E j0 j0 K
l 2 j0 j0 K l
设带电粒子q在时间t＝0
以前静 止在原点O处，在t＝0 到Δt 区间 在沿z 方向受到一个方脉冲力而 产生加速度。
假定Δt
如此之短，可以认为粒子的 位置几乎未离开O点，但却已获得速 度u=at，此后粒子以速度u匀速前进。 为简单起见．设u<<c ，即粒子的运 动是非相对论性的。
考虑脉冲后又经过时间间隔τ的情况。这时脉冲
dW 1 d 1 ( D E B H )dV ( D E B H )dV dt 2 dt (V ) 2 (V ) t
D r 0 E
B r 0 H