第五节 磁场的能量和能量密度

§17-5
磁场的能量
L R

K

当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。 它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电 流滋长过程：
由欧姆定律
dI L dt +
ε
L =I R
R
这一方程的解为：
ε
)
I I )
BATTERY
电池
I = R (1 e
= I (1 e
I1
dI dt
M12
1 B2 dV 2
12
I2
1 2 Wm LI 2
， ，
M k L1L 2
磁场能量： Wm v
总磁 能
1 Wm BH d V 2 1 2 1 L 2 m 2 磁场能量密度： 单位体积中储存的磁场能量 wm 磁能密度：
B wm 2
2
总磁能
Wm
V
B dV 2
2
例1 求同轴传输线之磁能 o I 解： B dV = 2 π rl 2r
t
时间内电源提供的部分能量转化为消耗 0 在电阻 R 上的焦耳-楞次热；
1 2

t
RI 2 d t 是
LI 02 是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的 能量； 当回路中的电流达到稳定值后，断开 K1 ，并同时 接通K 2 ，这时回路中的电流按指数规律衰减，此电 流通过电阻时，放出的焦耳-楞次热为
电磁感应 定律
电动势
d m i dt 动 L( v B ) d l
L
大小与方向 非静电力 f 洛 感生电场

0
0 dt
0
0
0
2
0
其中
T
∫ εidt
0
表示 0 → T中，电源所作的功；
1 Li2表示电源在0 → T中提供的转变为磁场的能量。 2
T
∫ i2Rdt
0
表示0 → T中，电流在电阻上作的功；
由此可见，电源所供给的能量，一部分转化为焦耳--楞茨热，另一部分用于反抗自感电动势所作的功，这将 是另一种形式的能量改变的量度。
0
0
注意积分上下限的变换以及M12 = M 21
和自感一样，两个线圈中电源抵抗互感电动势所作 的这部分额外功，也以磁能的形式储存起来，一旦电流中 止，这部分磁能便通过互感电动势作功全部释放出来。
定义：互感磁能
W12 = M12I1I2 = Φ12I2
其中Φ12是载流线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通量。
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中，根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上，则此时 ∑ I = 0,
(rr2
)
⋅
r dS
其可以看成载流线圈2在外磁场 BrS12(由线圈1提供的)中
所具有的静磁能。其实这也就是线圈1和线圈2的互感磁能

《电磁学》第六章 §6.5 磁场的能量和能量密度
公式说明： 上面的磁场能量密度公式，虽然由从螺线管中均匀磁场 的特例导出的，但它是适用于各种类型磁场的普遍公式；
第 4页
在任何磁场中，某一点的磁场能量密度，只与该点的磁感 应强度以及磁介质的性质有关, 这也说明了磁能定域于磁场。
wm 各向异性介质中，
B1
I1 B1 , H1; I 2 B2 , H 2
总磁场：
I1
I2
H H1 H 2 , B B1 B2
1 1 B HdV ( B1 B2 ) ( H1 H 2 )dV V V 2 2 1 1 B1 H1 B2 H 2 )dV ( B1 H 2 B2 H1 )dV 2 V 2
第11页
本节作业: pp.436
6.5-3、6.5-6
《电磁学》第六章 §6.5 磁场的能量和能量密度
比较
计算有横截面积的导体回路的自感系数之方法：
第10页
磁能法：
1 1 Wm LI 2 B Hdv 2 2 V
1 L 2 B Hdv I V
平均磁链法（复杂，适合于没有截面积的线电流和面电流情况）：
(1)
，式中 1 id ，对磁通积分。 L
公式应用【2】计算自感、互感系数（磁能法）
(1)求自感 L 若空间磁场仅由单一载流回路激发，仅存自感磁能
第 7页
1 2 1 Wm LI B HdV 2 2 V
(2)求互感 M
L
1 I2

V
B HdV
若空间磁场由多个载流回路激发，存在互感磁能
W互 MI1 I 2 0 H1 H 2dV

磁场的能量磁能和磁能密度在我们生活的这个世界里，磁场是一种看不见、摸不着，但却无处不在的神秘力量。

从地球的磁场保护着我们免受宇宙射线的伤害，到电子设备中的磁性元件发挥着关键作用，磁场的影响无处不在。

而在深入探究磁场的性质时，磁能和磁能密度是两个至关重要的概念。

首先，让我们来理解一下什么是磁能。

简单地说，磁能就是磁场所具有的能量。

想象一下，当我们把一块磁铁靠近一堆铁钉时，铁钉会被磁铁吸引而产生运动。

在这个过程中，磁铁所产生的磁场就是让铁钉运动的“动力源”，而这个“动力源”所蕴含的能量就是磁能。

那磁能是怎么产生的呢？这就要从电流说起。

当电流在导体中流动时，会产生磁场。

而建立这个磁场的过程中，就需要外界输入能量。

就好像我们要把一个重物搬到高处，需要付出力气一样，建立磁场也需要付出能量，而这些被付出的能量就转化为了磁场的能量，也就是磁能。

磁能密度则是描述磁场中单位体积内所蕴含磁能的物理量。

它就像是在说，在磁场的每一小块空间里，到底蕴含了多少磁能。

为了更深入地理解磁能密度，我们可以先来看一个简单的例子——一个长直螺线管。

假设这个螺线管的长度为 L，横截面积为 S，单位长度上的匝数为 n，通有电流 I。

那么，这个螺线管内部的磁场强度 B 可以通过安培环路定理计算得出。

在算出磁场强度 B 之后，我们就可以计算磁能密度 w 了。

磁能密度 w 等于 B 的平方除以2μ，其中μ是磁导率。

通过这样的计算，我们就能知道在这个长直螺线管的每一点上，单位体积内的磁能有多少。

磁能和磁能密度的概念在实际生活中有很多重要的应用。

比如在变压器中，通过改变磁场的强度和分布，实现电能的传输和转换。

变压器中的铁芯就是为了增强磁场，从而提高磁能的传递效率。

在电动机中，磁场与电流相互作用，产生电磁力，使电动机转动。

而设计电动机时，对磁能和磁能密度的合理考虑，可以提高电动机的功率和效率。

在无线充电技术中，也是利用磁场来传递能量。

通过合理设计磁场的分布和强度，实现对电子设备的无线充电。

Wm = ∫V dWm = ∫V wmdV体
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
2
例： 计算半径为 R、 、 长为 l、通有电流 I 、 、 磁导率为 µ 的均匀载 流圆柱导体内磁场能 量。 解：由介质中安培环 路定理确定导体内的 磁感应强度 B ， 导体内沿磁力线作半 径为 r 的环路， 的环路，
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
时间内， 在 dt 时间内，电流 i 克服线圈中自感 电动势作的元功为： 电动势作的元功为：
dA = − iε i dt
某一时刻自感Biblioteka 动势为： 某一时刻自感电动势为： di ε i = −L dt 则
0→I
线圈中电流从 0 变化到 I 过程中电流 作的总功为： 作的总功为：
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
di = Lidi dA = iL dt dt
dA = Lidi
A= ∫
I 0
1 2 dA = ∫ Lidi = LI 2
1 2 A = LI 2
电流作功使线圈能量改变，作功等于末态 电流作功使线圈能量改变， 线圈能量减去初态线圈的能量。 线圈能量减去初态线圈的能量。
ε
K
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
这是由于线圈中的磁场能量释放给 灯泡。当电键 K 打开时，电路中电流迅 灯泡。 打开时， 速减小，在线圈中产生自感电动势， 速减小，在线圈中产生自感电动势，这 个自感电动势比电源电动势要大， 个自感电动势比电源电动势要大，所以 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 线圈中的能量， 线圈中的能量， 是由于线圈在通电过 L 程中， 程中，电流克服自感 电动势作功， 电动势作功，使线圈 ε K 具有能量。 具有能量。 稳恒电流的功为： 稳恒电流的功为： A = IUt

第六章磁介质§5 磁场的能量和能量密度（P631）1.目前在实验室里产生E=105伏/米的电场和B=104高斯的磁场是不难做到的。

今在边长为 10厘米的立方体空间里产生上述两种均匀场，问所需的能量各为多少？解：2.利用高磁导率的铁磁体，在实验室产生B=5000高斯的磁场并不困难（1）求这磁场的能量密度ωm；（2）要想产生能量密度等于这个值的电场，问电场强度E的值应为多少？这在实验上容易作到吗？解：3.一导线弯成半径为R= 5.0厘米的圆形，当其中载有I=100安的电流时，求圆心的磁场能量密度ωm。

解：4. 一螺线管长 300毫米，横截面积的直径为 15毫米，有2500匝表面绝缘的导线均匀密绕而成，其中铁芯的磁导率μ=1000。

当它的导线中通有电流2安时，求管中心的磁能密度ωm。

解：5.一同轴线由很长的两个同轴的圆筒构成，内筒半径为 1.0毫米，外筒半径为 7.0毫米，有100安的电流从外筒流去，内筒流回，两筒的厚度可忽略。

两筒之间的介质无磁性（μ=1），求：（1）介质中的磁能密度ωm分布；（2）单位长度（ 1米）同轴线所储磁能Wm。

解：6.一根长直导线载有电流I，I均匀分布在它的横截面上。

证明：这导线内部单位长度的磁场能量为：μ0I2/16π。

解：7. 一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，导线的半径为a，圆筒的内半径为b，外半径为c。

电流I由圆筒流去，由导线流回；在它们的横截面上，电流都是均匀分布的。

（1）求下列四处每米长度内所储磁能Wm的表达式：导线内，导线和圆筒之间，圆筒内，圆筒外；（2）当a= 1.0毫米，b= 4.0毫米，c= 5.0毫米，I=10安时，每米长度的同轴线中储存磁能多少？解：8. 试验算一下，用上述两种平均磁链法计算例题2的结果，都与磁能法一致。

解：。

在物理上有时这样来看，将线圈1看成是外磁场，则
∫∫ 上式可进一步写成： W12 = I 2
r B1
(rr2
)
⋅
r dS
S2
其中 rr2是线圈2的面元 dSr对线圈1的位置矢量，S2 是线
圈流线2所圈张2在的外曲磁面场。这Br1中样所，具我有们的可磁将能该。系统的互能看成是载
后面还会将这一结果进一步推广。
§1. 磁场的能量和能量密度
在第三章中，我们介绍了电容器充电后能储存一定的
电能，即当电容器两极板之间的电压为u时，电容器所储
存的静电能为
We
=
1 2
Cu 2
现在我们已经讨论了自感和互感，自然会提出一个 问题：在电感元件中是否也有能量储存？如果有的话，以 什么形式储存？
下面就来讨论这个问题。
一.一个线圈的静磁能 （也称作自感磁能）
系满足右手定则。
讨论
r
在电介质中，我们得到电偶极子P
量表达式为
rr We = −P ⋅ E
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中，根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上，则此时 ∑ I = 0,
(( )) ( ) ∑I

磁场能量密度磁场能量密度是磁场编码的能量的表达方式，它在电磁学、电力系统设计、无线技术等领域具有广泛的应用。

试想，如果我们能准确掌握磁场的能量密度，那么我们就能设计出更高效、更小型化的电子设备或通讯工具。

首先，我们先来解释一下什么是磁场。

简单来说，磁场是电场的姐妹场，由于电荷的运动（电流）产生的场。

它的存在使得物质之间可以交换能量、动量和角动量，从而发生各种有趣的现象，比如电磁感应、电磁振荡和光的传播等。

然后让我们来探索一下磁场的能量密度。

磁场能量密度定义为单位体积内的磁场能量。

因此，一旦我们知道了磁场的强度和方向，我们就可以通过公式u = B^2 / (2μ) 来计算得出磁场的能量密度。

其中，u 是磁场能量密度赞，B是磁场的磁感应强度，μ是磁导率。

这个公式告诉我们磁场每一处的能量密度都是一样的。

接下来，让我们把焦点转到磁场能量密度的应用。

在电磁学领域，磁场能量密度常常用于设计和优化电力系统。

例如，通过准确测量磁场能量密度，可以有效设计电动机和变压器，提升其效率和性能。

此外，磁场能量密度也被广泛应用于无线通讯技术，例如在设计天线和无线电波传播系统时，就需要考虑磁场能量密度。

最后，我们来讨论一下磁场能量密度的研究潜力。

随着科技的发展和进步，磁场能量密度的研究正在向更小的尺度、更高的精度推进，甚至可以达到纳米或者量子尺度。

例如，一些研究团队正在探索如何利用磁场能量密度来实现更高效的能量转换和存储，以期在未来开展无线充电和高能量无线传输的技术。

总的来说，磁场能量密度是一个极具潜力和价值的研究领域。

通过深入研究和了解，我们能够更好地设计和优化电力系统，开发出更高效、更小型化的电子设备，并推动无线技术的研发和进步。

当然，这个研究领域也对人们的技能和智慧提出了严格的要求，希望每一个研究者都能在这个领域中取得重要的突破，不断推动科技的研发和进步。

l
S
21
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦假设
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式
dD （2）位移电流 jd dt q SD ds V dV B l E dl S t ds SB ds 0 D l H dl S ( jc t ) ds
1
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
1 2 Wm LI 2

I
L
L n2V ,
B nI
1 2 1 2 B 2 1 B2 Wm LI n V ( ) V 2 2 n 2
wmV
2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
磁场能量密度
B 1 1 2 wm H BH 2 2 2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家 经典电磁理论的奠基人 , 气体动理论创始人之一. 提 出了有旋场和位移电流的 概念 , 建立了经典电磁理 论 , 并预言了以光速传播的 电磁波的存在. 在气体动理 论方面 , 提出了气体分子按 速率分布的统计规律.
7
13-5
1 铁磁质 （非常数）
26
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
例 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析
+ + + + + + + + +

#一、质量
:根据广义相对论，光通过质量大的恒星表面时光线会发生偏折，也就是说从遥远的恒星上发出的光，由于相距较远，当这些光从黑洞表面穿过时，光线又会在远处重新汇聚成一个点，这是引力的透镜效应。这是因为光从恒星表面发出在近处看是平行的，而到了远处看光却变成了一个点。如同你在地球上感觉太阳光是平行的，而当你到了天王星上太阳光便显得很微弱。当光通过大质量恒星的表面时，由于在强磁场的作用下改变了光子的运动状态，如同带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力，只改变粒子运动状态而不对粒子做功，光也是一种粒子，也有同样的现象。
#三、密度
:光子的体积不变，质量大的光子密度一定大。当光子在密度较大的空间中传播时，由于光子的能量不增加，而光子的频率增大，会使光子的传播速度减慢，密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。
:综上所述：磁场的强弱是由能量、质量、空间的密度共同决定的，能量高的磁场就强，在能量低的地方磁场就弱;质量越大磁场越强，质量越小磁场越弱；密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。由此可以判断地球的磁场，在地球上由于重力分异及自转引起的昼夜交替使质量、能量、空间密度分布不均，所以在地球上两极磁场较强，赤道磁场较弱，正对太阳的一面磁场强，背对太阳的一面磁场弱，此外空间的密度不均而引起的磁感线不规则分布。
|-
|紫外线|| 400~6 || 7.5~500 || 5.5215~368.1
|-
|γ射线|| 0.001~0.00001 || 10⁴~10⁶ || 7.362*10⁴
~7.362*10⁶

磁场的能量磁能和磁能密度在我们生活的这个世界中，磁场是一种看不见、摸不着，但却无处不在的存在。

从地球的磁场保护着我们免受宇宙射线的伤害，到电动机、发电机等设备中磁场的巧妙运用，磁场的作用和影响无处不在。

而在深入探究磁场的性质和特点时，磁场的能量——磁能，以及磁能密度，是两个至关重要的概念。

首先，让我们来理解一下什么是磁能。

简单来说，磁能就是磁场具有的能量。

就像物体由于其位置或状态而具有势能，由于运动而具有动能一样，磁场也具有储存和释放能量的能力。

当电流通过导线产生磁场时，或者当磁体之间相互作用时，都涉及到磁能的变化。

想象一下一个简单的电感电路，其中有一个线圈和一个电源。

当电源接通，电流逐渐增大，线圈中就会产生磁场。

在这个过程中，电源需要做功，而所做的功就转化为了磁场的能量，即磁能。

当电流稳定后，磁场也达到了一个稳定的状态，此时磁能就储存在线圈的磁场中。

那么，磁能是如何计算的呢？对于一个自感系数为 L 的电感，当通过它的电流为 I 时，其储存的磁能可以表示为 1/2 × L × I²。

从这个公式可以看出，磁能与自感系数和电流的平方成正比。

自感系数越大，或者电流越大，储存的磁能就越多。

接下来，我们再深入了解一下磁能密度。

磁能密度是指单位体积内磁场所具有的能量。

它就像是物质的密度一样，告诉我们在空间的每一点，磁场能量的分布情况。

为了更好地理解磁能密度，我们可以从一个均匀磁场的情况来考虑。

假设在一个空间中有一个均匀的磁场 B，那么这个磁场中的磁能密度可以表示为 1/2 × B²／μ ，其中μ 是磁导率。

这个公式表明，磁能密度与磁场强度的平方成正比，也与磁导率有关。

磁能密度的概念在很多实际应用中都非常重要。

例如，在设计电动机和变压器时，工程师们需要考虑磁场在不同部位的能量分布，以确保设备的高效运行和避免过热等问题。

通过计算磁能密度，他们可以准确地了解磁场能量的集中区域，从而优化设备的结构和材料选择。

2
Wm = =
∫ ∫
V
wm d V
µ
⋅ ( 2π rdr ⋅ 1)
µI 2
2 2
8π r 2 R2 µ I =∫ ⋅ dr R1 4 π r R2 µI 2 = ln 4π R1
V
r dr
R2
1 W m = LI 2
2
R2 L= ln 2 π R1
µ
第§13-5节完 13-
Maxell方程组 §13-6 位移电流 Maxell方程组 13麦克斯韦（ 麦克斯韦（1831-1879） ） 英国物理学家。 英国物理学家。经典 电磁理论的奠基人, 电磁理论的奠基人, 气体 动理论创始人之一。 动理论创始人之一。①提 出了有旋场、 出了有旋场、位移电流的 概念, 概念, 建立了经典电磁理 论；②预言了以光速传播 的电磁波的存在。 的电磁波的存在。 ③在 气体动理论方面, 气体动理论方面, 提出了 气体分子按速率分布的统 计规律。 计规律。
一 位移电流 全电流安培环路定理
稳恒磁场中,安培环路定理 稳恒磁场中,
∫ H ⋅ dl = ∑ I = ∫ j ⋅ ds
l s
以 L 为边做任意曲面 S1 和 S2
∫LH ⋅ dl = ∫S1 j ⋅ ds = I
S1
-
S2
+ + + +
∫ H ⋅ dl = ∫
L
S2
j ⋅ ds = 0
I
−σ dD +σ + - dt +
∫ D ⋅ ds = ∑ q dφ ∫ E ⋅ d l = − dt
S
l
m
∫ B ⋅ ds = 0 ∫ H ⋅ dl = I + I

磁场的能量磁场能和磁场的能量密度磁场是物质中特定区域内部存在的一种物理量，它可以由电流、磁铁等产生。

在物质中，磁场具有能量，磁场的能量密度则是描述磁场能量分布的物理量。

本文将着重探讨磁场的能量以及磁场的能量密度，并从理论和实验两个方面进行论述。

一、磁场的能量磁场的能量是由电流和磁铁等物体产生的。

当电流通过导线时，就会在周围产生一个磁场。

此时，电流所具有的能量会转化为磁场能量。

同样地，磁铁中的磁场也是由磁场的能量驱动的。

磁场的能量主要存在于两种形式，一种是磁场中的储能，另一种是以磁场能量形式储存于物体中。

首先来看磁场中的储能。

当一个点电荷沿曲线移动时，在磁场中要克服磁场的作用才能改变自己的位置。

这就相当于是对磁场做了一定的功。

根据功的定义，功是能量转化的过程中所做的功，因此我们可以得出结论：磁场中的储能等于电荷在磁场中所受到的力与移动距离的乘积，即U=Fl。

其中，U表示储存在磁场中的能量，F表示电荷所受到的磁场力，l表示电荷在磁场中移动的距离。

其次来看以磁场能量形式储存于物体中。

如果在一个磁性物质中存在一个磁场，那么这个磁场会使得物质内部的磁矩发生定向，从而存储了一定的能量。

这部分能量就是以磁场能量的形式储存在物体中。

二、磁场的能量密度磁场的能量密度是指单位体积内磁场能量的大小。

在物质中，磁场的能量密度可以由以下公式表示：ε = (B^2) / (2μ)其中，ε表示磁场的能量密度，B表示磁场的磁感应强度，μ表示真空中的磁导率。

从上述公式可以看出，磁场的能量密度与磁感应强度的平方成正比。

根据磁通连续性定律，磁场的能量是相对稳定的，即磁场的能量密度在整个空间中是保持不变的。

这也意味着，磁场的能量既没有位势能，也没有动能，仅仅以磁场能量密度的形式存在于物体中。

实验上可以通过测量磁场的能量密度来了解磁场的能量分布情况。

一种常用的方法是利用霍尔探测器来测量磁场的磁感应强度，然后根据磁场能量密度的公式计算得出磁场的能量密度。

第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。

4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。

二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。

q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。

2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。

2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。

E ⊥表表面。

导体表面是等势面。

2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。

2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。

3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。

2. 磁能密度 磁能：
wm
B2
2
1 2
BH
1 2
H 2
Wm V wmdV
( The end)
Wm
1 2
LI 2
11( ( n2nVI ) I2 V2 2
B2
2
V
管内为均匀场，则单位体
自感：L
积内磁场能量为：
I
V
I
wm
Wm V
B2
2
B2
( 可推广 )
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
P. 10 / 17 .
磁场能量密度(磁能密度)：
wm
dWm dV
B2
2
,
B H
wm
B2
2
1 2
BH
1 2
H 2
管内为均匀场，则单位体
积内磁场能量为：
dV B
wm
Wm V
B2
2
B2
( 可推广 )
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
磁场能量密度(磁能密度)：
wm
dWm dV
B2
2
,
B H
P. 11 / 17 .
wm
B2
P. 4 / 17 .
L L L
Chapter 8. 电磁感应
§8. 5 磁作 场能者量：杨磁茂场田能量密度
i2Rdt：焦耳热
－iLdt：磁能 (储存在螺线管 的磁场中)
充电结束后磁场能量：
Wm i Ldt
0
i(L
di
)dt
0
dt

§5 磁场的能量和能量密度一、磁场能量及能量密度1、电磁能定域于场中(1) 电能定域于电场中，即场具有能量、电能储于电场中：E D w e⋅=21；(2) 同样，磁能也储于磁场中，场能密度为：H B w m⋅=212、公式推导出发点：自感线圈储能221LI W m =。

特 例：螺绕环.真空下---V n IL nIS N S NB nI B 200000000,,μψμψμ=====充满μ介质时---⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======。

，所以：；220200000,,I n HB V n L L I n H B I n B μμμμμμψψμμμ另一方面看：HBV VI n LI W m 2121212202===μμ， HB V W w m m 21==∴ (因螺绕环内场能均匀分布)。

[讨论](1) 考虑到方向，有磁能密度公式：H B w m⋅=21； (2) V W m ∝表明能量分布于磁场中；(3) 上述虽然特例导出，但可推广至一般：遍及场全部空间V dV H B W Vm ,21⎰⎰⎰⋅=； (4) 真空下20202121B H w m μμ==。

二、两线圈之总磁能公式如图7-18中1、2两回路，空间任一场点p 之磁场为两回路电流激发场的叠加2121,B B B H H H+=+=互自互自总磁能W W dV H H dV H H dVH H B B dV H B W V VV m +=⋅++=+⋅+=⋅=∴⎰⎰⎰⎰210222102121)21)()(2121μμμμ图7-18[讨论]1、上述公式本身表明，系统总磁能m W 只与最后所处状态有关，而与建立电流的过程（次序）无关。

2、第一项为21,L L 两线圈各自的自感磁能之和，第二项则为互感磁能。

3、第一项恒正，但第二项可正（夹锐角21,H H ）、可负（夹钝角21,H H）。

三、由磁能公式计算自感、互感系数——磁能法1、求自感L若空间仅由某一载流回路激发，则因⎰⋅==Vm dV H B LI W21212有⎰⋅=VdV H B I L 212、求互感M若空间场由多回路载流激发，则因dV H H I MI W V21021⋅==⎰μμ互有dV H H I I M V210211⋅=⎰μμPL 1 μL 2B3、计算示例例1：如图7-19同轴电缆，12R R 〉，其间充满均匀介质μ，求自感L 。

物理学
8-5
第五版
磁场的能量 磁场能量密度
2r µ
l
R
E
dI ε − L = RI dt ε Id t − LI d I = RI 2 d t
t 1 2 ε I d t = LI + ∫ RI 2 d t ∫0 0 2 t
自感线圈磁能
W
m
1 = LI 2
2
电 源 作 功
电源反 抗自感 电动势 作的功
回路电 阻所放 出的焦 耳热
第八章 电磁感应与电磁场
1
物理学
8-5
第五版
磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
1 W m = LI 2
2
µ
I
对长直螺线管： 对长直螺线管：
L = µn V ,
2
L
B = µ nI
1 2 1 B 2 1 B2 2 W m = LI = µ n V ( ) = V 2 2 µn 2 µ 2 B 可以推广到一般情况 wm = 2µ
第八章 电磁感应与电磁场
6
物理学
8-5
第五版
磁场的能量 磁场能量密度
R1 < r < R2 ,
I H = 2π r
1 1 wm = BH = µH 2 2 2
则 R1 < r < R 2 1 I 2 wm = µ ( ) 2 2π r 2 µI = 2 2 8π r
第八章 电磁感应与电磁场
µ
µ
R2
7
物理学
8-5
第五版
磁场的能量 磁场能量密度
单位长度壳层体积
d V = 2 π rd r ⋅1
Wm = ∫ wm dV = ∫