2021届湖北省荆门市龙泉中学高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数23iz i-=+（i 为虚数单位）对应点的坐标为（ ） A ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】先化简复数为1122z i ，再写出复数在复平面内对应点的坐标即可. 【详解】解：因为2(2)(3)55113(3)(3)1022i i i i z i i i i ----====-++- 所以复数23i z i -=+在复平面内对应点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题考查复数的运算、复数的几何意义，是基础题. 2．已知集合(){}22,+1A x y x y==，(){},B x y y x ==，则集合A ∩B 的子集的个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】由已知联立方程组求得集合A ∩B 的元素，根据集合中的元素的个数求得集合的子集的个数，可得选项.【详解】由22+1x y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,,2222A B ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，有两个元素，它的子集有4个． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的含义，求集合的子集的个数，属于基础题.3．已知4log 2a =，0.32b =，cos1c =.则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质及三角函数的单调性，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】41log 22a ==，0.312b =>，cos cos113π<<即112c <<，则a ，b ，c 的大小关系是a c b <<. 故选：D.【点睛】本题考查的是比较大小问题，涉及的知识点包括指数函数的单调性、对数函数的单调性及三角函数的单调性，属于基础题. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知{}2:230p A x x x =--≤，{}22:240q B x x mx m =-+->，若p 是q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ） A ．()(),35,-∞-+∞ B ．()3,5- C ．[]3,5- D ．(][),35,-∞-+∞【答案】A【分析】分别解出不等式，化简p 、q ，根据p 是q 成立的充分不必要条件，即可得出m 的取值范围.【详解】由2230x x --≤解得：13x -≤≤，[]1,3A ∴=-.由22240x mx m -+->，即()24x m ->，解得2x m >+或2x m <-+.()(),22,B m m ∴=-∞-++∞.p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ，32m ∴<-+或21m +<-，解得：5m >或3m <-.m ∴的取值范围是()(),35,-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查了集合、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．已知tan32α=，则sin 1cos αα=-（ ）A ．3B ．13C ．3-D ．13-【答案】B【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可． 【详解】解：已知tan32α=，而222sincos2sincossin 1122221cos 32sin tan112sin 222ααααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 6．已知(),0,x y ∈+∞，4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（ ） A ．2 B ．98 C ．32D ．94【答案】A 【分析】根据4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得24x y +=，之后利用基本不等式得到2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，从而求得结果. 【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且421224yx y --⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以42x y ，即24x y +=，所以有2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当22x y ==时取得最大值2， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.7．已知若()f x 为定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()20f x x '+>，则不等式()()1223f x f x x +-+>+的解集为（ ） A ．（32，+∞） B ．（-∞，3-） C ．（-∞，32-） D ．（32-，+∞） 【答案】D【分析】设()()2g x f x x =+，可得()g x 为偶函数，又(],0x ∈-∞时,()()20g x f x x +'=>，所以()g x 在(],0-∞上单调递增，在[)0+，∞上单调递减，由()()1223f x f x x +-+>+，可得()()12g x g x +>+，即()()12g x g x +>+，由单调性可得出答案.【详解】设()()2g x f x x =+，()f x 为定义在R 上的偶函数，则()g x 为偶函数.当(],0x ∈-∞时，,()()20g x f x x +'=>,所以()g x 在(],0-∞上单调递增.由()g x 为偶函数，则()g x 在[)0+，∞上单调递减. 由()()1223f x f x x +-+>+，即()()()()221122f x x f x x +++>+++所以()()12g x g x +>+，由()g x 为偶函数，即()()12g x g x +>+又()g x 在[)0+，∞上单调递减，所以12x x +<+，解得：32x >- 故选：D【点睛】本题考查构造函数，根据导数得出单调性，结合函数为偶函数解不等式，本题根据条件构造出函数是关键，属于中档题.8．设二次函数()f x 满足下列条件：①()(2)f x f x =--，(1)0f -=；②当()0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立．若()f x 在区间[]1,m m -上恒有2()12x f x -≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】由条件①得函数的对称轴和零点，可设出解析式，由条件②中令1x =可求得解析式，然后解出不等式2()12x f x -≤后可确定m 的范围． 【详解】由()(2)f x f x =--知1x =-是其对称轴，又(1)0f -=，∴设2()(1)f x a x =+，由②，令1x =得2(1)2f ≤≤，(1)2f =，解得12a =，∴22111()(1)222f x x x x =+=++， 不等式2()12x f x -≤为112x +≤，解得3122x -≤≤， 由题意31212m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1122m -≤≤．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的性质．考查不等式恒成立问题．函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则2a bx +=是其图象的对称轴．与二次函数有关问题中出现类似条件：当()0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立，可用特殊值法，采用两边夹思想求出某个函数值．二、多选题9．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b>>解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则22224(3)(4)3k k +>+，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确.故答案为：AD.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．【详解】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，42,32k k Z ππϕπ+=-∈，又ϕπ<，∴6π=ϕ，∴()2sin(2)6f x x π=+．∵72266πππ⨯+=，∴2x π=不是对称轴，A 错；sin 20126ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是对称中心，B 正确；36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2266x k πππ+=+或522,66x k k Z πππ+=+∈， 即x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，又231212x ππ-≤≤，∴40,,,33x πππ=，和为83π，D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数()f x 的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出26x π+的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．11．下列结论不正确的是（ ）A ．当0x >2≥ B ．当0x >2的最小值是2C ．当54x <时，22145x x -+-的最小值是52 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92【答案】AD【分析】根据基本不等式判断各选项．【详解】A. 当0x >2+≥=，=即1x =时等号成立，A 正确；B. 当0x >22=≥=，当且仅当==无实解，故最小值2取不到，B 错； C. 当54x <时，450x -<，22145x x -+-无最小值，C 错； D. 设0x >，0y >，且2x y +=，则141141419()552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时等号成立，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式是解题关键，基本不等式求最值时有三个条件：一正二定三相等，缺一不可，但用来证明不等式可以没有相等的条件，如A 中不等式可能不考虑等号成立的条件．12．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．101x << B ．2x e >C ．10m e<<D ．21x x -的值随m 的增大而减小【答案】BCD【分析】由()ln 0f x x mx =-=得()n 0l xm x x =>，作出()ln x g x x=图象，然后作y m =图象，由图即可判断四个选项是否正确，即可得到答案.【详解】解：由()ln 0f x x mx =-=，得ln x mx =，即()n 0l xm x x=>. 令()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=， ∴当()0,x e ∈时，()0g x '>，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<. ∴()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时，()g x 取最大值为()1g e e=. 又当0x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →. 作出函数()g x 的图象如图：由图可知，2x e >，10m e<<，21x x -的值随m 的增大而变小. 故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数与方程，函数的零点转化为对应方程的根，转化为两个函数图象的交点，考查数形结合的思想，属于中档题.三、填空题 13．函数22()log (21)1xf x x x -=++-的定义域为_______. 【答案】(]1,11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】由二次根式、分式及对数函数的性质可得不等式组，即可得解.【详解】由题意2010210x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩，解得122x -<≤且1x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(]1,11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为：(]1,11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了具体函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于较易题. 14．已知向量a ,b 满足2a b ==，且()()22a b a b +⋅-=-，则向量a ,b 的夹角为______. 【答案】3π 【分析】由()()22a b a b +⋅-=-得2a b，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由()()22a b a b +⋅-=-，得2222a a b b +⋅-=-， 所以482a b +⋅-=-，即2a b ，所以21cos ,222||||a b a b a b ⋅<>===⨯，又因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.15．若函数()xx af x e e=+（e 为自然对数的底数）在区间()1,2上存在最小值，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()()4224,,e ee e --⋃【分析】分别讨论0a <、0a >、0a =，三种情况()xxaf x e e =+的单调区间，由题意知在区间()1,2内必存在()f x 的极小值点，即可得出不等式，解不等式即可求解.【详解】当0a <时， ()()1,ln 21,ln 2x x x x ae x a e y a e x a e ⎧+>-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，当()1ln 2x a <-时，x x a y e e =--，0x x a y e e '=-+<，x x ay e e =--单调递减， 当()1ln 2x a >-时，xx a y e e=+单调递增，函数()xx af x e e=+（e 为自然对数的底数）在区间()1,2上存在最小值， 则()11ln 22a <-<，即24e a e <-<，解得：42e a e -<<- 当0a >时，()0xxa f x e e=+>对于区间()1,2恒成立，()x xx x a a f x e e e e =+=+ 则()xx af x e e '=-， 令()0xx a f x e e '=-=，得1ln 2x a =，当1ln 2x a <时()0f x '<，()f x 单调递减；当1ln 2x a >时()0f x '>，()f x 单调递增；若()xxx x a a f x e e e e =+=+区间()1,2上存在最小值，则11ln 22a <<， 解得:24e a e <<，当0a =时，()xf x e =，在区间()1,2上单调递增，无最小值，不符合题意.故答案为：()()4224,,e ee e --⋃【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.四、双空题16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2tan tan tan c B b A B ⋅=⋅+，则A =_____；若O 是ABC 外接圆的圆心，且cos cos 2sin 2sin B CAB AC mAO C B⋅+⋅=，则实数m =______.【答案】3π 【分析】①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案． ②取AB 边中点D ，则AB OD ⊥，2cos cos cos cos ()()2sin 2sin 2sin 2sin B C B C AB AC m AD DO AB AC AB m AD DO AB C B C B+=++=+，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．【详解】①2tan (tan tan )c B b A B =+， 2sin tan sin (tan tan )C B B A B =+，因为sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+，代入上式得， sin sin sin 2[sin cos cos sin ]sin ()cos cos cos B A BA B A B B B A B +=+ 1sin sin 2[sin cos cos sin ]cos cos cos A BA B A B B A B+=+， 2[sin cos cos sin ]cos sin cos sin cos A B A B A A B B A +=+， 2sin cos cos 2cos cos sin sin cos sin cos A A B A A B A B B A +=+， 2sin cos cos 2cos cos sin sin cos sin cos 0A A B A A B A B B A +--=，sin cos (2cos 1)cos sin (2cos 1)0A B A A B A -+-=， (2cos 1)(sin cos cos sin )0A A B A B -+=， (2cos 1)sin()0A A B -+=， (2cos 1)sin 0A C -=，因为sin 0C ≠所以2cos 10A -=，即1cos 2A =， 因为是锐角三角形， 所以3A π=，②取AB 边中点D ，则AB OD ⊥ cos cos 2sin 2sin B CAB AC mAO C B +=，cos cos ()2sin 2sin B CAB AC m AD DO C B+=+2cos cos ()2sin 2sin B CAB AC AB m AD DO AB C B+=+，2cos cos cos ()2sin 2sin B Cc b c A m AD AB DO AB C B+=+， 22cos cos 1cos 2sin 2sin 2B C c b c A m AB C B +=， 22cos cos 1sin sin sin cos sin 2sin 2sin 2B C C B C A m C C B +=， cos cos cos sin B A C m C +=，所以cos cos cos cos[()]cos cos sin sin B A C A C A Cm C Cπ+-++==cos cos sin sin cos cos sin A C A C C AC-++=sin A ==．故答案为：3π；3．【点睛】本题考查正弦定理，向量数量积的应用，属于中档题．五、解答题17．在①355a a +=，47S =；②243n S n n =+；③42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若________. （1）求n a ； （2）记2221n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】（1）12n n a +=；（2）469n n T n =+. 【分析】（1）若选择条件①，由355a a +=得出1265a d +=，根据47S =得出143472a d ⨯+=，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据1n n n a S S -=-得出结果；若选择条件③，由42514S S =得出()()11546142a d a d ⨯+=+，根据5a 是3a 与92的等比中项得出()()2119422a d a d +=+，然后两式联立，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据12n n a +=得出1122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.【详解】（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1126543472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故12nn a += ；选择条件②：243n S n n =+，当2n ≥时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦， 即12(2)n n a n +=≥， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，故12n n a +=； 选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()112115461429422a d a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =、12d =或10a =、0d =（不合题意），故12n n a +=. （2）因为12n n a +=，所以22214112(21)(23)2123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭，故12nn T b b b111111235572123n n …⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭114232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差数列通项公式以及等差数列前n 项和公式的灵活应用，考查等比中项公式以及数列的项与其前n 项和之间的关系，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知向量(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥．（1）求sin sin CA的值； （2）若2,35a m ==，求△ABC 的面积S ．【答案】（1）2（2 【分析】（1）先根据向量垂直得到边角关系：(cos 2cos )+(2)cos 0b A C a c B --=，再由正弦定理将边的关系化角的关系，结合两角和的正弦以及三角形角的关系，即可求解；（2）由向量模的定义知22(2)45b a c +-=，又由（1）知2c a =，而2,a =所以三边都已确定，再由余弦定理求出cos A 的值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）(cos 2cos )+(2)cos 0m n b A C a c B ⊥⇒--=， 由正弦定理得sin cos 2sin cos +sin cos 2sin cos B A B C A B C B --sin()2sin()sin 2sin 0A B B C C A =+-+=-=，所以sin 2sin CA=； （2）由35m =得22(2)45b a c +-=，又由（1）知2c a =，而2,a =所以解得4,3c b ==，由余弦定理得222715cos ,sin 28b c a A A bc +-===， 因此三角形面积为11153153422S bcsinA ==⨯⨯⨯=【解析】正余弦定理19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形，D 、E 分别为AC 、11A C 的中点，点F 在棱1CC 上，且EF BF ⊥.（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若4AB =，12C F FC =，求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ，可得出BD EF ⊥，结合EF BF ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥，利用勾股定理计算出CF 的长，然后以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，1A A BD ∴⊥，因为ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1A AAC A =，所以BD ⊥平面11ACC A ，EF ⊂平面11ACC A ，所以BD EF ⊥.又因为EF BF ⊥，BDBF B =，所以EF ⊥平面BDF .又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ； （2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF DF ⊥.设CF m =，则有2224449m m m +++=，即248m =，得2m =.以D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()23,0,0B ，()0,2,0C ，(0,0,32E ，(0,2F ，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =，(23,0,32BE =-，(0,2,22EF =-，由23320220BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =2z =，2y =，则()3,2,2m =，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =，2cos ,32m DC m DC m DC⋅<>===⨯，由图形可知，二面角D BE F --的平面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为23. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式； （2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】（1）(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由()10103255k kk P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =； 当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-； 当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：所以()19012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF △（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()10B ,. 【分析】（1）根据离心率可得2c a =，再由三角形的面积12F PF S bc ≤=求出,,a b c即可求解.（2）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，将直线与椭圆方程联立，由直线12,l l 斜率之和为0，结合韦达定理可得1m =，代入直线方程即可求解. 【详解】（1）设222a c b -=，则c a =(,)P x y ， 则12F PF Sc y =，y b ≤，12F PF S bc ∴≤=解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=， 即()2222224280444n m nm nmn n n --+=+++，解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()10B ,. 【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.22．已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2）2.【分析】先求函数()f x 的导函数2112()2mx f x mx x x-'=-=，再讨论①当0m 时，②当0m >时函数()f x 的单调区间及极值； （2）不等式()1F x mx -恒成立等价于222(1)lnx x xm x +++恒成立，再构造函数22(12)()lnx x h xx x +++=，利用导数求函数()h x 的最大值即可得解.【详解】解：（1）因为2()f x lnx mx =-，定义域为(0,)+∞，所以2112()2mx f x mx x x-'=-=，①当0m 时()0f x '>恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，无极值， ②当0m >时令()0f x '>，0x ∴<，令()0f x '<，x ∴>所以函数()f x 在上为增函数，在)+∞为减函数，所以当x 时，有极大值，极大值为1(21)2ln m -+，无极小值， （2）：由()1F x mx -恒成立知222(1)lnx x xmx +++恒成立，第 21 页 共 21 页 令22(12)()lnx x h xx x +++=， 则222(1)(2)()(2)x lnx x h x x x -++'=+， 令()2x lnx x ϕ=+，因为11()4022ln ϕ=-<，ϕ（1）10=>，()ϕx 为增函数． 故存在01(2x ∈，1)，使0()0x ϕ=，即0020lnx x +=， 当00x x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数，当0x x <时，()0h x '<，()h x 为减函数． 所以00020002(1)1()()2max lnx x h x h x x x x ++===+， 而01(2x ∈，1)，所以01(1,2)x ∈， 所以整数m 的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值，属综合性较强的题型.。
