2021年高考理科数学真题试题——全国乙卷(word版,含答案与解析)

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）

1.设2（z+ 𝑧̅ ）+3(z- 𝑧̅ )=4+6i，则z=（ ）.

A. 1-2i B. 1+2i C. 1+i D. 1-i

【答案】 C

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设𝑧=𝑎−𝑏𝑖,2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=5𝑧−𝑧=4𝑎+6𝑏𝑖=4+6𝑖,所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（ ）

A. ∅ B. S C. T D. Z

【答案】 C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】当n=2k (𝑘∈𝑍) 时，S={s|s=4k+1, 𝑘∈𝑧 },

当n=2k+1 (𝑘∈𝑍) 时,S={s|s=4k+3, 𝑘∈𝑧 }

所以𝑇⊂S,所以𝑆∩𝑇=𝑇,

故答案为：C.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.已知命题p： ∃ x∈R，sinx＜1；命题q： ∀ x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A. p ∧ q B. ¬ p ∧ q C. p ∧¬ q D. ¬ (pVq)

【答案】 A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用

【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。

4.设函数f(x)= 1−𝑥1+𝑥 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1

【答案】 B

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】【解答】因为 f(x)= 1−𝑥1+𝑥=−1+2𝑥+1 ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，

故答案为：B。

【分析】将 函数变形为f(x)= =−1+2𝑥+1后，判断。 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）

A. 𝜋2 B.

𝜋3

C.

𝜋4 D. 𝜋6

【答案】 D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，

因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠𝐴𝐷1𝑂

即为所求的角，易证𝐴𝑂⊥平面BDD1B1,故𝐴𝑂⊥OD1, 又𝐴𝑂=12𝐴𝐶=12𝐴𝐷1,所以∠𝐴𝐷1𝑂＝𝜋6.

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种

【答案】 C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：𝐶52𝐶41𝐴33=240 ，

故答案为：C.

【分析】利用排列与组合来求解。

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 𝜋3 个单位长度，得到函数y=sin(x- 𝜋4 )的图像，则f(x)=（ ） A. sin( 𝑥2−7𝜋12 ) B. sin( 𝑥2+𝜋12 ) C. sin( 2𝑥−7𝜋12 ) D. sin( 2𝑥+𝜋12 )

【答案】 B

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- 𝜋4 )的图像 上所有的点向左平移平移𝜋3个单位，纵坐标不变，得到𝑦=sin(𝑥+𝜋12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(𝑥2+𝜋12) ， 故答案为：B。

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 74 的概率为（ ）

A. 74 B. 2332 C. 932 D. 29

【答案】 B

【考点】几何概型

【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0

表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= 74 ，

满足a+b> 74的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，

直线a+b＝ 74与正方形的两个交点分别为(34,1),(0,74),则可计算事件(a+b>74R人svyf概率为P＝1－34×34×12=2332,

故选B。

【分析】利用几何概型解答。

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

A. 表高×表距表目距的差+表高

B. 表高×表距表目距的差−表高 C. 表高×表距表目距的差+表距

D. 表高×表距表目距的差−表距

【答案】 A

【考点】解三角形的实际应用

【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，

则AB＝AM+BM,设∠𝐵𝐷𝑀=𝛼,∠𝐵𝐹𝑀=𝛽,则

𝑀𝐵tan𝛼−𝐹𝐺tan𝛽=𝑀𝐹−𝑀𝐷=𝐷𝐹,因为tan𝛽=𝐹𝐺𝐺𝐶,tan𝛼=𝐸𝐷𝐸𝐻,所以𝑀𝐵tan𝛼−𝑀𝐵tan𝛽=𝑀𝐵(1tan𝛼−1tan𝛽)=𝑀𝐵(𝐺𝐶𝐹𝐺−𝐸𝐻𝐸𝐷)=𝑀𝐵(𝐺𝐶−𝐸𝐻𝐸𝐷),所以𝐴𝐵=表高×表距表目距的差+表高。

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。

10.设a≠0，若x=a为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b) 的极大值点，则（ ）

A. a＜b B. a＞b C. ab＜a2 D. ab＞a2

【答案】 D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a

当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

11.设B是椭圆C： x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 |PB|≤2b ，则C的离心率的取值范围是（ ）

A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]

【答案】 C

【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质

【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有|𝑃𝐵|2=𝑥02+(𝑦0−𝑏)2=𝑎2(1−𝑦02𝑏2)+𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑏2

−𝑐2𝑏0𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑐2+2𝑏2≤4𝑏2,移项并用十字相乘法得到：(𝑦0+𝑏)(−𝑐2𝑏2𝑦0+𝑐2−2𝑏2𝑏)≤0,

因为−𝑏≤𝑦𝑜≤𝑏,故 𝑦0+𝑏≥0,故−𝑐2𝑏2𝑦0+𝑐2−2𝑏2𝑏≤0恒成立，即−𝑐2𝑏2(−𝑏)+𝑐2−2𝑏2𝑏≤0恒 成立， 据此解得𝑎2≥2𝑐2,故𝑒∈(0,√22] ，

故答案为：C。

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ， 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。