二项式定理(一)课件

二项式定理教案（一）

一、教学目标：

1．知识技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理

2．过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

3．情感、态度、价值观

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析3)(ba的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、教学过程

（一）提出问题：

引入：二项式定理研究的是nba)(的展开式。如2222)(bababa， 那么：

3)(ba=? 4)(ba=? 100)(ba=? 更进一步：nba)(=？

（二）对2)(ba展开式的分析

))(()(2bababa 展开后其项的形式为：22,,baba

考虑b，每个都不取b的情况有1种，即02c ,则2a前的系数为02c

恰有1个取b的情况有12c种，则ab前的系数为12c

恰有2个取b的情况有22c 种，则2b前的系数为22c

所以 222122022222)(bcabcacbababa

类似地 3332232133033223333)(bcabcbacacbabbaaba

思考：))()()(()(4bababababa=?

问题：

1)．4)(ba展开后各项形式分别是什么？

4a ba3 22ba 3ab 4b 2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数

3)．你能分析说明各项前的系数吗？

每个都不取b的情况有1种，即04c,则4a前的系数为04c

二项式定理典型例题

例1 在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中有理项．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT

前三项的.2,1,0r

得系数为：)1(8141C,2121C,123121nntnttnn，

由已知：)1(8112312nnnttt，

∴8n

通项公式为

1431681,82,1,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是4的倍数，

∴.8,4,0r

依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT．

例2 已知7722107)21(xaxaxaax，求：（1）7321aaaa；（2）7531aaaa；（3）6420aaaa．

分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

解：（1）取0x可得10a，

取1x得1)1(7710aaa．

∴27321aaaa.

（2）取1x得77632103aaaaaa，

记75316420,aaaaBaaaaA．

∴73,1BABA．

可得1094)31(21,1093)13(2177BA 从而10947531aaaa．

（3）从（2）的计算已知10936420aaaa．

例3 （1）求103)1()1(xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项．

解：（1）103)1()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用3)1(x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1(x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1(x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用 3)1(x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：

1.3.1 二项式定理 （第一课时）

一、 教学目标

1、知识与技能

（ 1）理解二项式定理，并能简单应用

（ 2）能够区分二项式系数与项的系数

2、过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归

的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3、情感与态度价值观

通过探究问题， 归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯， 在自主学习中体验成功，

在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。

二、教学重点难点

1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用

2、教学难点：二项式定理中单项式的系数

三、教学设计：

教学过程 设计意图 师生活动

一、新课讲授

引入：

展开 (a b)2 、 (a b)3 XK] 让学生写展开式， 回顾 学生写展开式

多项式乘法法则

学生完成：

(a b) 2 a2 2ab b2

利用排列、 组合理知识

(a b) 3 a3 3a2 b 3ab 2 b3

分析 (a b)2 展开式

分析 (a b) 2 的展开式：

(a b) 2 (a b)(a b) a2 2ab b2

教学过程 设计意图 师生活动

恰有 1 个因式选 b 的情况有 C12 种，所以 ab 的系数是 C12 ；

2 个因式选 b 的情况有 C22 种，所以 b2 的系数是 C22 ；

每个因式都不选 b 的情况有 C02 种，所以 a 2 的系数是 C02 ；

(a b)2 C02a2 C12 ab C22b2

类比展开 ( a b)3

(a b)3 C03a3 C13a2b C32ab2 C 33b3

①展开式有几项？ 思考 3 个问题：

②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一

数和有什么特点？ 项 a ， b 的指数

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二项式定理

作者：赵攀峰

来源：《数学金刊·高考版》2014年第02期

二项式定理是中学数学的一个重要定理，不仅在初等数学学习中有着广泛应用，而且又是学习概率、微积分等有关高等数学知识的重要基础.

重点难点

重点：二项式定理的通项公式和二项式系数的性质.

难点：二项式定理的应用.

方法突破

（1）二项式定理是恒等式，要注意公式的正用和逆用：从左往右用，可解决如整除性问题、余数问题、近似计算等；从右往左用，是把一个多项式合并，或者是一个求和公式，利用它可解决某些求和的问题.

（2）二项式系数、系数、常数项、项数等概念，需在平时加以对比分析，结合通项公式进行重点训练.

（3）在熟练掌握二项式系数的所有性质的基础上，要进一步掌握二项式系数有关性质的证明方法，其中最重要的方法是赋值法. 赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可利用赋值法解决.