《二项式定理》课件

二项式定理典型例题

例1 在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中有理项．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT

前三项的.2,1,0r

得系数为：)1(8141C,2121C,123121nntnttnn，

由已知：)1(8112312nnnttt，

∴8n

通项公式为

1431681,82,1,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是4的倍数，

∴.8,4,0r

依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT．

例2 已知7722107)21(xaxaxaax，求：（1）7321aaaa；（2）7531aaaa；（3）6420aaaa．

分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

解：（1）取0x可得10a，

取1x得1)1(7710aaa．

∴27321aaaa.

（2）取1x得77632103aaaaaa，

记75316420,aaaaBaaaaA．

∴73,1BABA．

可得1094)31(21,1093)13(2177BA 从而10947531aaaa．

（3）从（2）的计算已知10936420aaaa．

例3 （1）求103)1()1(xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项．

解：（1）103)1()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用3)1(x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1(x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1(x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用 3)1(x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：

二次项定理

1 / 1

1. (16Ⅰ卷14)(2𝑥+ 𝑥)5的展开式中，𝑥3的系数是 .（用数字填写答案）

2. (16天津10)(𝑥2−1𝑥)8的展开式中𝑥7的系数为 .（用数字作答）

3. (16山东12)若(𝑎𝑥2+1 𝑥)5的展开式中𝑥5的系数是−80，则实数𝑎= .

4. (16北京10)在(1−2𝑥)6的展开式中，𝑥2的系数为 （用数字作答）

5. (16四川2)设𝑖为虚数单位，则(𝑥+𝑖)6的展开式中含𝑥4的项为

A.−15𝑥4 B.15𝑥4 C.−20𝑖𝑥4 D.20𝑖𝑥4

6. (15Ⅰ卷10)(𝑥2+𝑥+𝑦)5的展开式中，𝑥5𝑦2的系数为（ ）

A. 10 B. 20 C. 30 D. 60

7. (15Ⅱ卷15) 𝑎+𝑥 (1+𝑥)4的展开式中𝑥的奇数次幂项的系数之和为32，则𝑎=

8. (15天津12)在(𝑥−14𝑥)6的展开式中，𝑥2的系数为

9. (15安徽11)(𝑥3+1𝑥)7的展开式中𝑥5的系数是 。（用数字填写答案）

10. (15四川11)在(2𝑥−1)5的展开式中，含𝑥2的项的系数是 （用数字填写答案）

11. (15广东9)在( 𝑥−1)4的展开式中，𝑥的系数为 .

12. (15重庆12)(𝑥3+12 𝑥)5的展开式中𝑥8的系数是 （用数字做答）

13. (15陕西4)二项式 𝑥+1 𝑛(𝑛∈𝑁+)的展开式中𝑥2的系数为15，则𝑛= ( )

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

1.3.1 二项式定理 （第一课时）

一、 教学目标

1、知识与技能

（ 1）理解二项式定理，并能简单应用

（ 2）能够区分二项式系数与项的系数

2、过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归

的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3、情感与态度价值观

通过探究问题， 归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯， 在自主学习中体验成功，

在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。

二、教学重点难点

1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用

2、教学难点：二项式定理中单项式的系数

三、教学设计：

教学过程 设计意图 师生活动

一、新课讲授

引入：

展开 (a b)2 、 (a b)3 XK] 让学生写展开式， 回顾 学生写展开式

多项式乘法法则

学生完成：

(a b) 2 a2 2ab b2

利用排列、 组合理知识

(a b) 3 a3 3a2 b 3ab 2 b3

分析 (a b)2 展开式

分析 (a b) 2 的展开式：

(a b) 2 (a b)(a b) a2 2ab b2

教学过程 设计意图 师生活动

恰有 1 个因式选 b 的情况有 C12 种，所以 ab 的系数是 C12 ；

2 个因式选 b 的情况有 C22 种，所以 b2 的系数是 C22 ；

每个因式都不选 b 的情况有 C02 种，所以 a 2 的系数是 C02 ；

(a b)2 C02a2 C12 ab C22b2

类比展开 ( a b)3

(a b)3 C03a3 C13a2b C32ab2 C 33b3

①展开式有几项？ 思考 3 个问题：

②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一

数和有什么特点？ 项 a ， b 的指数

二项式定理教学设计

一、教材分析：

1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

教学目标：

1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析

2、能力目标：在学

3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

一、教学重点，难点，关键：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。