专题6 立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

异面直线夹角【考点例题解析】一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．BM AN CSABCD A 1B 1C 1D 1EF4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

B '(图1－28)A 'ABC 'D 'CD FE2.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

一、 等角定理：一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补。

二：异面直线夹角
（1）意义：（2）0，] 注：两异面直线夹角为时，也叫做两直线互相垂直。

三、异面直线夹角的求法：
1、平移不改变线段长度[主要适用于柱体]{直接法}
2 .A1B1C1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点
若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值.
3.在棱长为
1的正方体ABCD —A1B1C1D1中，M 和N 分别为A1B1和BB1的中点， 求直线A 与CN 所成角的余弦值 二、平移改变线段长度[主要适用于锥体]
注：选择平移方向的法则：在两条异面直线上，各选择一个点形成线段，则该线段的中点就是平移的目标位置。

注：正三棱锥对棱垂直。

[性质]
三、补形[主要适用于线段的位置不容易发生移动，如体对角线，同时要求在规则的柱体中如正方体、长方体中和一些正棱柱中]
B 1 (第6题) A 1 A B
C 1
D 1 C D M N (第5题) F 1 A C C 1 A 1 B 1
例：正方体ABCD－中，求异面直线所成的角.。

考点30： 异面直线所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2。

了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题,选择、填空、解答题都有可能进行考查。

预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题． 【典型高考试题变式】(一）空间直线与直线夹角的问题 例1。

【2017全国3卷(理）】，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论: ①当直线与成角时，与成角； ②当直线与成角时，与成角；③直线与所称角的最小值为； ④直线与所称角的最小值为；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】② ③ 【解析】由题意知,,，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故,，边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，,abABC ACa bAB AC AB a 60AB b 30AB a 60AB b60AB a 45AB a60abAC 1AC =A B =AB AC A B CCC D xC B yC Az(1,0,0)D (0,0,1)A直线的方向单位向量,．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标， 其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量,．当与夹角为时，即,．因为，所以．所以．因为．所以，此时与夹角为．所以②正确，①错误．故填② ③.【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角,可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明。

一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文)】如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，，∠ADC=90°.沿直线AC 将ACD 翻折成ACD’,直线AC与BD' 所成角的余弦的最大值是______.a (0,1,0)=a 1=a B (0,1,0)b (1,0,0)=b 1=b B()c o s,s i n,0Bθθ'θB C 'CD [0,2)θ∈'AB (c o s ,s i n ,1)AB θθ'=--2A B '=A B 'a60︒3α=s i n o s c o s 3θ=22co s s i n 1θθ+=cos θ=1c o s s 2βθ=0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=3βA B 'b60︒△△【解析】试题分析：如图,连接BD′，设直线与所成的角为． 是的中点.由已知得，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系,则,，.作于，连接D′H 翻折过程中,始终与垂直， 则，则，，因此（设∠DHD′=α）,则,与平行的单位向量为，所以＝,所以时,取得最大值,．AC BD'θOAC A C OB xOAyOABC z A B (0,C D H A C ⊥HD'H AC 2C D C H C A =OH =D H o s,i n)'α(o s i n )B D 'α=-C Au ur (0,1,0)=nCco s c o s ,B D 'θ=<>n B D 'B D '⋅=n nco s 1α=-cos θ【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为,为侧棱上的动点（包括端点），则（ )A ．对任意的，,存在点，使得B ．当且仅当时，存在点，使得C ．当且仅当时，存在点，使得D ．当且仅当时，存在点，使得 【答案】C（二)异面直线的夹角例2。

空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数． (3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734170解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE ∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中，∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。

2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中， （1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。

立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。

例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。

专题十：异面直线夹角问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版一、单选题1.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】【解答】连接A1C1、BC1，如图：由正方体的性质可得A1C1//AC，则∠BA1C1或其补角即为异面直线AC和A1B所成的角，由BA1=A1C1=C1B可得∠BA1C1=60∘，所以异面直线AC和A1B所成的角的大小为60∘.故答案为：C.【分析】根据题意作出辅助线由正方体的性质即可找出异面直线所成的角，由正方体的几何关系在三角形中计算出角的大小即可。

2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD1与C1D所成的角为（）A. π6B. π4C. π3D. π2 【答案】 C【解析】【解答】由 AD 1∥BC 1 ，可得 ∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，易得△ BDC 1 为等边三角形，所以 ∠BC 1D =60∘ ， 故答案为：C 。

【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，再利用线线平行结合异面直线所成的角求法，从而得出∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，再利用等边三角形的定义，从而求出异面直线 AD 1 与 C 1D 所成的角。

3.如图，在三棱锥S －ABC 中，SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，SA ＝2 √3 ，则异面直线SB 与AC 所成角的余弦值是（ ）A. 18B. −18C. 14D. −14 【答案】 A【解析】【解答】分别取 BC 、 AB 、 AS 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EF 、 EG 、 FG 、 EA 、 ES ，如图：由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得EA=ES=√32BC=2√3，所以EG⊥SA，EG=√SE2−(12SA)2=√12−3=3，由中位线的性质可得FG//SB且FG=12SB=2，FE//AC且FE=12AC=2，所以∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，在△GFE中，cos∠GFE=GF2+EF2−GE22GF⋅EF =4+4−92×2×2=−18，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为18.故答案为：A.【分析】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，由题意结合平面几何的知识可得EG=3、FG=EF=2、∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.4.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=BC=2，CC1=2√2，则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【解答】由题意知，A1B1//AB，所以直线AC1与AB所成的角∠BAC1即为异面直线AC1与A1B1所成的角，又BC1=√BC2+CC12=√22+(2√2)2=2√3，AC1=√AC2+CC12=4，AB=2，则在△ABC1中，由余弦定理得cos∠BAC1=AB2+AC12−BC122×AB×AC1=12又∠BAC1∈(0，π)，所以∠BAC1=60°，所以C正确，故答案为：C.【分析】由异面直线所成角的概念易知∠BAC1为所求角，再由余弦定理求解即可.5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为（）A. √32B. 34 C. 14 D. 13【答案】 C【解析】【解答】解：因为 AB =AC ， ∠BAC =60° ，所以三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设 AB =2 ，则 B(√3,0,0) ， A(0,−1,0) ， A 1(0,−1,2) ， C 1(0,1,2) ，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2) ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2) ， |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ， 所以异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值为 cosθ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×2√2=14，故答案为：C.【分析】利用直三棱柱的结构特征结合已知条件，从而利用等边三角形的定义判断出三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值 。

异面直线夹角【考点例题解析】一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．BM AN CSABCD A 1B 1C 1D 1EF4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

B '(图1－28)A 'ABC 'D 'CD FE2.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。