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第四章 水动力学基础4. p1第四章水动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。
流速又更加重要。
水流流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。
这样，水体由静到动所产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。
因此，水动力学的基本问题是流速的问题。
水体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改变了压强的静力特性。
但粘滞力对压强随方向变化的影响很小，在工程中可忽略不计。
以后，水体流动时的压强和静水压强，一般在概念的命名上不予区别，一律称为压强。
设在理想液体恒定流中，取一微小流束依牛顿第二定律： s s ma F ∑=其中： dtdu a s =任意两个断面： 2211221222p u p u Z Z g g g gρρ++=++00Z Z dZ +d s 12p p +dpdG=ρgdAds dA α()cos du pdA p dp dA gdAds dAds u dsραρ−+−=⋅2()02p u d Z g g ρ++=22p u Z c g gρ++=沿流线积分得：——不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式§4.2 元流的伯努利方程4.2p1第二节第四章Bernouli’s equation of real liquid方程式的物理意义2211221222p u p u Z Z g g g gρρ++=++001Z 2Z 12位置水头压强水头流速水头测压管水头总水头单位位能单位压能单位动能单位势能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
p a /γp b /γΔh毕托管构造：h g p p g u gu p p b a b a ∆=−=+=+22202ϕγγγ得出：b a实际液体恒定元流的伯努利方程2211221222p u p u Z Z g g g gρρ++=++w h ′+w h ′——单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-11-1流至断面流至断面流至断面2-22-22-2所损失所损失的能量，称为水头损失。
1．平板边界层
✧平板上满足无滑移条件，u=0;
✧沿平板法线方向，流速很快增大到来流速度U0;
✧平板以上存在两个性质不同的流动区域：必须考虑粘性的
边界层；粘性可以忽略，相当于理想液体的边界层外的流动；
✧边界层在平板前缘处厚度为零，随流动距离增加而增加；
✧随着流速梯度由大边小，边界层内也存在层流和紊流两种
流态，在紊流区同样存在层流底层（粘性底层）；
✧管道进口段的边界层
2．曲面边界层及其分离现象
圆柱面上
DE段：加速减压，压能向动能转化并克服摩阻力做功；
E点之后：减速加压，动能转化为压能并继续克服摩阻力做功；
S点：由于摩阻耗能和逆压的双重作用，此处流速为零。
由于连续性，质点立即被外侧流动所带走，边界层在此分离；SF段：形成回流并发展成旋涡，消耗大量能量；
F点：压强小于D点压强。
✧压差阻力：
摩阻耗能和旋涡耗能使得尾流区（边界层下游形成的旋涡区）物体表面的压强低于来流压强，形成压差阻力，因与物体形状有很大关系，也称形状阻力。
分离点越靠近下游，或尾流区越小，压差阻力就越小。
✧卡门涡街：
尾流的形态变化主要取决于来流的雷诺数，见下图：
雷诺数达到一定数值时，旋涡从物体下游两侧交替脱落，排成两列带往下游，称之卡门涡街。
卡门涡街使物体受到交替变向的横向力。
当雷诺数继续增大，规则的卡门涡街消失代之以随机的紊流运动。
第四章思考题：4-1： N・S方程的物理意义是什么？适用条件是什么？物理意义：N・S方程的精确解虽然不多，但能揭示实际液体流动的本质特征，同吋也作为检验和校核其他近似方程的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和出发点。
适用条件：不可压缩均质实际液体流动。
4-2何为有势流?有势流与有旋流有何区别？答:从静止开始的理想液体的运动是有势流.有势流无自身旋转，不存在使其运动的力矩.4—3有势流的特点是什么？研究平面势流有何意义？有势流是无旋流，旋转角速度为零。
研究平面势流可以简化水力学模型，使问题变得简单且于实际问题相符，通过研究平面势流可以为我们分析复杂的水力学问题。
44流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋，即竺=竺时存在势函数，存OV CX■<在势函数吋无旋。
流函数存在的充分必要条件是平面不可压缩液体的连续性方程，即就是寥+经存在流函数。
ex cy4—5何为流网，其特征是什么？绘制流网的原理是什么？流网：等势线（流速势函数的等值线）和流线（流函数的等值线）相互正交所形成的网格流网特征:（1）流网是正交网格（2）流网中的每一网格边长之比，等于流速势函数与流函数增值之比。
（3）流网中的每个网格均为曲线正方形原理:自由表面是一条流线，而等势线垂直于流线。
根据入流断面何处流断面的已知条件来确定断面上流线的位置。
46利用流网可以进行哪些水力计算?如何计算?解:可以计算速度和压强。
计算如下：流场中任意相邻之间的单宽流量Aq是一常数。
在流场中任取1、2两点，设流速为J, u2,两端面处流线间距为Ami,A m则Aq=U lAml=U2A m2,在流网中，各点处网格的Am值可以直接量出来,根据上式就可以得出速度的相对变化关系。
如果流畅中某点速度已知，就可以其他各点的速度。
当两点位置高度21和72为已知，速度J, u2已通过流亡求出吋，则两点的压 强差为2 2Pl P 2 U 2 U 1pg.pg=z 2-z i +2g -2g如果流畅中某一点压强已知，则其他个点压强均可求得4.7利用流网计算平面势流的依据是什么？（参考4.6的解释）4-8流网的形状与哪些因素有关？网格的疏密取决于什么因素?答:流网由等势线和流线构成,流网的形状与流函数q ）（x,y ）和流速势函数叭x,y ） 有关；由人q=A V =常数，AqpA 〃产常数，得两条流线的间距愈大，则速度愈小， 若间距愈小，则速度愈大。
4-9流函数与流速势函数之间各有哪些性质？两者之间有何联系？答：流函数的性质：1）同一条流线上各点的流函数为常数。
2）平面势 流的流函数是一个调和函数。
3）两流线之间的单宽流量等于该两条流线的流 函数值之差。
流速势函数的性质：流速势函数是调和函数。
联系：在平面势流中流函数与流速势函数为共辘调和函数。
4-10流速势函数e 的增值方向与速度方向一致，即就是©沿着流速u 的方向增 大；流函数。
的增值方向垂直于流速方向，即就是沿着等势线增大。
4-11理想液体运动微分方程式的伯努利方程的运用条件是什么？解：应用吋必须满足以下条件1液体是不可压缩均质的理想液体，密度P 为常数。
2作用于液体上的质量力是有势的。
3液体运动是恒定流。
流畅中的压强分布, 2 2Pl U 1 P 2 U 2zl+Pg+2g=z 2pg 2g 可应用能量方程求得。
dx dy dz行列式3X 3y G) Z = 0ux uy uz根据行列式的性质，满足下列条件之一都能使该行列式的值为零，即1)3X 二3y = 3Z二0,为有势流2)ux = uy = uz =0,为静止液体3)dx/ w x二dy/3y = dz/ z=C,这是涡线微分方程。
4)dx/ux二dy/uy = dz/uz=C,这是流线微分方程。
5)ux/wx =uy /wy = uz /3z=C,为螺旋流。
4-12-S方程中的动水压强p与坐标轴的选取是否有关？答：无关4-13为什么说N・S方程是液体运动最基本的方程之一？目前它在水力学中的应用如何？答：如果液体为理想液体，此方程为理想液体运动微分方程；如果是静止液体，此方程为液体的平衡微分方程。
所以，N・S方程是研究液体运动最基本的方程之一。
N ・S方程式是阶非线性非齐次的偏微分方程，求其普遍解在数学上是很困难的，仅对某些简单的问题才能求得解析解，但是，随着进算计的广泛应用和数值计算技术的发展，对于许多工程实际问题已能够求的其近似解。
4J5.能量方程式各项的意义是什么？应用中应注意哪些问题？解析：(1)意义①理想在液体能量方程：2 2Pl U1 P2U2z i+pg+2g =z2+pg+2g因为在上式中，过水断面和断面2・2是任取的，所以可将上式推广到元流的任意过水断面，即：2P 口zg+ 8 + 2二常数2P 口1 •物理意义：zg代表位能；6代表压能；°是单位液体所具有的动能。
所以（Zg+g + 2）就代表单位质量液体所具有的总机械能，通常用E来表示。
2 2p U p U 2•几何意义：z代表位置水头，P8代表压强水头，2g为速度水头，（z+ Pg+2g）则表示总水头。
②实际液体元流的能量方程2 2Pl U1 P2U2rz i+pg+2g =z2+pg+2g+h w1 •物理意义：元流各过水断面上单位质量液体所具有的总机械能沿流程减少, 部分机械能转化为热能或声能而损失；同时也表示了各项能量之间沿流程可以相互转化关系。
2.hw在水力学中习惯上称为水头损失。
（2）注意：①是不是理想液体，若是，用理想在液体能量方程；若不是，用实际液体元流的能量方程②幻彳2是同一基准面。
③提到压强，若为相对压强，式子左右都为相对压强；若为绝对压强，式子左右都为绝对压强。
4J6.何为总水头线和测压管水头线？水头坐标为何取垂直向上？解析：（1）测压管水头线是沿水流方向各个测点的测压管液面的连线，它反应的是流体的势能，测压管水头线可能下降，也可能上升（当径管沿流向增大时），因为径管增大时流速减小，动能减小而压能增大，如果压能的增大大于水头损失吋，水流的势能就增大，测压管水头就上升。
水头总线是沿着测压管水头线的基线上再加上流速水头，它反应的是流体的总能量，由于沿流向总是有水头损失，所以总水头线沿程只能下降，不能上升。
（2）为了直观反应总流沿流程各种能量的变化规律及相互关系，可以把能量方程沿流程用儿何线段图形来表示。
2以0・0为基准面，以水头为纵坐标，按一定比例尺沿流程将各过水断面的p cxv2 z.Pg及2g分别绘于图上，而且每个过水断面上的av2乙Pg及2g是从基准面画起垂直向上依次连接的，所以水头坐标取垂直向上。
4-17是什么？有何物理意义？答：水力坡度的意义：水力坡度表明了实际液体沿元流单位流程上的水头损失，水力坡度也就是总水头线坡度。
物理意义：它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失。
4-18如何确定水流运动方向，试用基本方程式说明。
解：假定有1-1,2-2两个断面，则可分别写出断面1-1和断面2-2的伯努利方程：Hl=Zl+Pl/pg+alVlVV2gH2 二Z2+P^pg+a2V2V 的g当H1>H2吋，说明断面KL的总机械能高于断面2・2的总机械能，所以水流是从断面:L・1流向断面2・2。
反之，亦然。
4-19恒定总流能量方程》F=pQ (pl-P), ZF中包括哪些力？动水压强必须采用相对压强表示吗?答：合外力包括表面力和质量力，动水压强不一定必须采用相对压强表示。
20.单位质量水体的总机械能为zg+p/ P +ir/2 断面总机械能为pQ (zg+p/ P +u：/2)习题4-1某管道如图所示，已知过水断面上流速分布为u=c [1- (r/rjd, 为管轴线处的最大流速,r。
为圆管半径,u是距管轴线r点处的流速。
若已知r s=3cm, u ma=0.15m/s。
试求：(1)通过管道的流量Q； (2)断面平均流速V。
解:(1) dQ=udA=u_[l-(r/r0):] n .2rdru_[l-(r/r0)=]3i.2rdr=2 (r-r7r0 = )drQ=2.12X10-m7s(2) v=Q/A=0.075m/s4・2有一个坡非常都的渠道如图4・35所示，设水速为恒定的均匀流，A点距水面的垂直水深为3.5Mo以通过A点的水平面为基准面，试求A点的位置水头, 并以通过B 点的水平面为基准面标注图上。
解：以A点水平面为基准面，得Z=0P/pg=pghcos30°cos307pg=2.625m 此吋测压管水头为Z+P/pg=2.625m 以B 点的水平面为基准面时，Z=3.5m4-3有一倾斜放置的渐粗管如图4-36所示，A-A与B-B两个过水断面形心点的高差为l・Om, A・A断面管径d=150mm,形心点压强P A=68.5KN/m2o B・B 断面管径d B=300mm,形心点压强P B=58kn/m2/®r面平均流速V B=1.5m/s/试求：(1)管中水流的方向。
(2)两端面之间的能量损失。
(3)通过管道的流量。
IUO•一图4-36解：(1) H A=Z A + L (P A/pg)+(a i v A/2g)] nV B A B=V A A A 得VA=6m/sH A=8.83JHB=E B+(PB/pg)+(a2v B/2g)=7.03JH A>H B 所以水流从A-A断面流向B-B断而(2)hwa-b=H A-H B=1.8J(3)Q二V B A B0 3 2=0.106m3/s4-4.有一管路突然缩小的流段，如图4・7所示。
由侧压管断1-1的压强水头P1——=1.0m A 2 Pg ,已知过水断面1-1 ＞断面2-2的面积积分分别为1=0.03^ ,A2 =°・°5【形心点位置高度幻=2.5m怠2.o□管中通过的流量°二20^,两端面间水头损失hw =2V -Q 3—图4・37注在图上。
解：从断面M到断面2・2,根据连续性方程，有Qi = Q? = 0即V1A1 = V2A2 = Q ①根据伯努利方程，有2PiH] = Z] ---------- 1- ——「、11 Pg 2g ②2P2«2V2H2 = Z2 H ------ F——22 Pg 2g ③取修正系数«1 = = L0④又= H2 + h w⑤ 联立①②③④⑤式，得P2—=1.26mPgP2z9 + — = 3.26m2 Pg4-5某矩形断面平底渠道，如图所示•宽度B=2.7米，河床在某处抬高△z=0.3m,若抬高前的水深H=2.0m,抬高后水面跌落△h=0.2m,不计水头损失，求渠道中通过的1 Pg 2g2 Pg 2g流量Q。
