辽宁省沈阳市2021年中考数学真题试题(扫描版含答案)

2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）9的相反数是（）A．B．﹣C．9D．﹣9 2．（2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次（）A．32.7×105B．0.327×107C．3.27×105D．3.27×106 4．（2分）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2＝a8B．6a﹣2a＝4aC．a6÷a2＝a3D．（﹣a2b）2＝﹣a4b25．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．100°C．110°D．120°6．（2分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），17，23，17，17，21，21，对于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是17B．众数是15C．中位数是17D．中位数是18 7．（2分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：8．（2分）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（2分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝0.3，s乙2＝0.02，则甲组数据更稳定10．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，连接OA，OB，则（）A．B．C．πD．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）11．（3分）分解因式：ax2+2ax+a＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）化简：（）•（x+4）＝．14．（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，则k的值是．15．（3分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．16．（3分）如图，△ABC中，AC＝3，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且PD＝DE．过点P作直线l 与BC平行，AD于点G，H，则GH的长是．三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）17．（6分）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，DC上的点，BM＝，DN＝DC．连接AM，延长AN交线段BC延长线于点E．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）若AD＝4，则ME的长是．19．（8分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是．（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．四、解答题（每小题8分，共16分）20．（8分）学史明理，学史增信，学史崇德，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽取了名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是度；（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．21．（8分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同五、解答题（本题10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A（点E 不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，∠ABC ＝∠D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是．六、解答题（本题10分）23．（10分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，交直线y＝x于点D，AD．（1）填空：k＝，点A的坐标是（，）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当t＝1时，△CPQ的面积是．②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t 的值．七、解答题（本题12分）24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中（CE≥CA），BC ＝CD，∠D＝α，点B，C，E不共线，且PB＝PD．（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝，∠ABP＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线BC同侧；（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，请直接写出GM的长．八、解答题（本题12分）25．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点2+bx+c与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ x﹣交直线l于点F x﹣上，且AG＝AQ时参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．参考答案：9的相反数是﹣9，故选：D．点拨：此题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的概念．2．参考答案：从几何体的正面看，底层是四个小正方形．故选：B．点拨：本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．3．参考答案：3270000＝3.27×106．故选：D．点拨：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．参考答案：A．a4•a2＝a8，故本选项错误；B．6a﹣2a＝5a；C．a6÷a2＝a3，故本选项错误；D．（﹣a2b）2＝a3b2，故本选项错误；故选：B．点拨：本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．5．参考答案：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠8＝180°﹣70°＝110°．故选：C．点拨：本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．6．参考答案：以上数据重新排列为：15，15，17，18，21，23，∴众数为17、中位数为，故选：A．点拨：本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．7．参考答案：∵△ABC与△A1B1C4位似，∴△ABC∽△A1B1C8，AC∥A1C1，∴△AOC∽△A6OC1，∴＝＝，∴△ABC与△A1B1C4的周长比为1：2，故选：A．点拨：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．8．参考答案：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣6，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：C．点拨：本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9．参考答案：A．任意掷一枚质地均匀的骰子，故原说法错误；B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，故原说法错误；C．了解一批冰箱的使用寿命，说法正确；D．若平均数相同的甲，s甲2＝0.2，s乙2＝0.02，则乙组数据更稳定，不合题意；故选：C．点拨：本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．10．参考答案：过点O作OD⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝，由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OA＝＝＝2，∴的长＝＝，故选：D．点拨：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）11．参考答案：ax2+2ax+a，＝a（x3+2x+1）﹣﹣（提取公因式）＝a（x+3）2．﹣﹣（完全平方公式）点拨：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．12．参考答案：解不等式x﹣5＜1，得：x＜5，解不等式3x﹣5≥7，得：x≥，则不等式组的解集为≤x＜6，故答案为：≤x＜6．点拨：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．参考答案：（）•（x+4）＝•（x+4）＝•（x+4）＝5，故答案为：1．点拨：本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．14．参考答案：∵四边形AMON的面积为12，∴|k|＝12，∵反比例函数图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为：﹣12．点拨：本题考查了反比例函数函数k的几何意义：在反比例函数y ＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．参考答案：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y 元，则y＝[20﹣4（x﹣3）]•（x﹣8）＝﹣4x4+88x﹣448＝﹣4（x﹣11）2+36，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．点拨：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．16．参考答案：∵△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴AC7+BC2＝25，AB2＝25，∴AC7+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，①当点D位于C点左侧时，如图：设直线l交BE于点M，∵l∥BC，∴，∠MGB＝∠ABC，又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，∴BE＝AB＝8，∠EBA＝90°，即，解得：BM＝，∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，∴△GBM∽△BCA，∴，∴，解得：GB＝，∴AG＝AB﹣GB＝，∵l∥BC，∴△AGH∽△ABD1，∴，∵CD1＝1，∴BD8＝BC﹣CD1＝3，∴，解得：GH＝；②当点D位于C点右侧时，如图：与①同理，此时CD8＝BC+CD1＝5，∴，解得：GH＝，综上，GH的长为或，故答案为：或．点拨：本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出△GBM∽△BCA，特别注意分类思想的运用是解题关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）17．参考答案：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|5﹣|+（）﹣2＝1﹣6×+﹣1+4＝5﹣+﹣4+4＝4．点拨：此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，∵BM＝BC DC，∴BM＝DN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS），（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥CE，∴∠DAN＝∠CEN，∵∠AND＝∠CNE，∴△AND∽△ENC，∴＝，∵DN＝DC，∴＝＝，∴＝，∴CE＝，∵BM＝BC，∴MC＝BC＝6，∴ME＝MC+CE＝，故答案为：．点拨：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到△AND∽△ENC是关键．19．参考答案：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，故答案为：；（2）列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为＝．点拨：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（每小题8分，共16分）20．参考答案：（1）32÷40%＝80（名），故答案为：80；（2）B等级的学生为：80×20%＝16（名），补全条形图如下，（3）D等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝36°；（4）2000×＝600（名），答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级．点拨：本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．21．参考答案：设增加了x行，则增加的列数为x，根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣7×8＝51，整理，得：x2+14x﹣51＝3，解得x1＝3，x7＝﹣17（舍），答：增加了3行3列．点拨：本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．五、解答题（本题10分）22．参考答案：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°．又∵CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，又∵∠ABC＝∠D，∴∠CAD+∠BAC＝90°，即OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，∵∠ABC＝∠D，∴∠BAC＝∠DEA，∴CE＝CA＝CD＝5，∴DE＝10，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝12，∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，∴△ABC∽△EDA，∴＝，即＝，解得，AD＝．点拨：本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．六、解答题（本题10分）23．参考答案：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），∴3k+15＝6，解得k＝﹣5，即直线的解析式为y＝﹣3x+15，当y＝0时，x＝7，∴A（5.0），故答案为：﹣3，5，0；（2）∵线段CD平行于x轴，∴D点的纵坐标与C点一样，又∵D点在直线y＝x上，当y＝6时，x＝6，即D（8，6），∴CD＝5﹣3＝5，∵OA＝4，∴OA＝CD，又∵OA∥CD，∴四边形OADC是平行四边形；（3）①作CH⊥OD于H，∵H点在直线y＝x上，∴设H点的坐标为（m，m），∴CH2＝（m﹣6）2+（m﹣6）2，DH5＝（m﹣8）2+（m﹣6）8，由勾股定理，得CH2+DH2＝CD3，即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）7＝52，整理得m＝或8（舍去），∴CH＝3，∵OD＝＝10，∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣5＝8，∴S△CPQ＝PQ•CH＝，故答案为：12；②∵OD＝10，当4≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，当2≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，∵AC＝＝2，当0≤t≤4时，10﹣2t＝2，解得t＝2﹣，当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，解得t＝5+，综上，当点P或5+．点拨：本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．七、解答题（本题12分）24．【解答】（1）解：如图1中，∵CE＝CD，∴∠D＝∠E＝α，∴∠ECD＝180°﹣2α，∴∠ECB＝∠E+∠D＝7α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α，∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠D＝α，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBD＝α，故答案为：180°﹣2α，α．（2）证明：如图5中，连接BD．∵CB＝CD，PB＝PD，∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，∴∠PBC＝∠PDC＝α，∵∠ABC＝2α，∴∠ABP＝∠PBC＝α，∴PB平分∠ABC．（3）解：如图3﹣3中，设BP交AC于J．∵BP⊥PD，BP＝PD，∴△PBD是等腰直角三角形，∵CB＝CD，PB＝PD，∴PG垂直平分线段BG，∴BG＝DG，∵PM＝MD，∴GM＝PB，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，△ACB是等边三角形，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∴∠PBC＝∠PDC＝30°，∴∠BJC＝90°，∴CJ＝BC＝CJ＝，∵∠CPD＝∠CPJ＝45°，∴PJ＝JC＝，∴PB＝BJ+PJ＝+2，∴GM＝．如图3﹣5中，设PC交BC于K，同法可证GM＝．∵∠PBC＝30°，∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝45°，∴PCB＝∠PCD＝15°，∴∠KCE＝120°﹣15°﹣15°＝90°，∵∠E＝30°，CE＝CB＝，∴CK＝＝1+，∴KB＝BC﹣CK＝，∴PB＝BK•cos30°＝×＝1，∴GM＝PB＝，综上所述，GM的长为或．点拨：本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．八、解答题（本题12分）25．【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x7+2x+3＝﹣（（x﹣5）2+4，∴P（5，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C （2，3），0），∴直线BC：y＝﹣x+5，∴D（1，2），8﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|4﹣a|＝2，∴a＝2或a＝6．∴Q（2，1）或（3．②如图2，设G（m，m﹣），由AG2＝AQ2得，（m+1）4+＝（7+1）2+52，化简，得5m2+2m﹣16＝0，∴m5＝﹣2，m2＝，∴G1（﹣4，﹣3），G2（，﹣），作QH⊥AB于H，∵AQ⊥QF，∴△AHQ∽△QHM，∴QH2＝AH•HM，即：14＝3•HM，∴HM＝，∴M（，7），设直线QM是：y＝kx+b，∴，∴k＝﹣8，b＝7，∴y＝﹣3x+5，由得，x＝，y＝﹣∴F（，﹣）∴G1F＝＝，G2F＝＝．点拨：本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．。

【九年级】沈阳市2021年中考数学试卷(含答案)考试时间：120分钟，试卷满分150分，参考公式：参考公式：抛物线的顶点坐标是．对称轴是直线，注意事项21．答题前，考生须用0. 5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；．4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负．一、（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）1．2021年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成196亿元（数据来源：4月16日《沈阳日报》），讲196亿用科学记数法表示为（）A． B． C． D．2．右图是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体3．下面计算一定正确的是（）A．B．C． D．4．如果，那么m的取值范围是（）A． B． C． D．5．下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中9环．C．明天会下雨 D．度量三角形的内角和，结果是360°6．计算的结果是( )A． B． C． D．7、在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（）8．如图，中，AE交BC于点D，，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（）A． B． C． D．二、题（每小题4分，共32分）9．分解因式: _________．10．一组数据2,4，x，-1的平均数为3，则x的值是 =_________．11．在平面直角坐标系中，点M（-3,2）关于原点的对称点的坐标是 _________.12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值方位是_________．13.如果x=1时，代数式的值是5，那么x= -1时，代数式的值 _________．14.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，=90°，AD=3，CD=2，则⊙O 的直径的长是_________．15.有一组等式：请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是_________三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分．共26分）17．计算：18．一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该食品进行评价，图①和图②是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图。

2021年辽宁省沈阳市中考数学学业水平模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104 3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2 6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．57．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝．12．不等式组的解集是．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π解：显然﹣3＜1，0＜1．∵1＜＜2，∴＜＜1．∵3＜π＜4，∴π＞1．故选：D．2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104解：13000用科学记数法表示为：1.3×104．故选：D．3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：C．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：不等式解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示，．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．5解：∵2x+3y﹣（x+4y）＝x﹣y＝14﹣12＝2，∴x﹣y＝2，故选：B．7．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°解：∵∠1＝36°，∴∠3＝90°﹣36°＝54°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°，故选：A．8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限解：∵y＝﹣x+5中k＜0，∴一次函数图像经过第二四象限，∵b＞0，∴一次函数图像经过二四一象限．故选：B．10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝a（a+1）2．解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．12．不等式组的解集是﹣4≤x＜2．解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式2x+8≥0，得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x＜2．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为2．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG＝60°，∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝4×＝2故答案为：2．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为27．解：∵点B的坐标为（﹣3，1）．∴OB＝＝，∵∠AOB＝90°，AB＝10，∴OA＝＝＝3，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵∠BOE+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠OAD，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝＝＝＝3，∴OD＝3BE＝3，AD＝3OE＝9，∴A（3，9），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，∴k＝3×9＝27，故答案为27．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为5．解：连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又∵E是AC的中点，∴EF＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴AC＝2EF，∵EF＝2.5，∴AC＝5．故答案为：5．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为或13．解：如图1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵∠AEB＝∠BEN，∴△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，设DM＝x，∴4＝，解得：x＝，如图2，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵∠BAE＝∠NAB，∴△BNA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，设DM＝x，∴，解得：x＝13，综上所述，可知DM的长为或13．故答案为：或13．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．解：原式＝3×+9﹣1+2﹣＝+9﹣1+2﹣＝10．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有3个，∴抽取的两名学生性别相同的概率为＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了120名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．解：（1）本次调查的学生总人数为12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）“其他”人数为120×15%＝18（人），“乒乓球”人数为120﹣（36+30+12+18）＝24（人），补全图形如下：（3）篮球对应的百分比m%＝×100%＝30%，即m＝30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：30、72；（4）估计该校最喜爱乒乓球项目的学生人数为1200×＝240（名）．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+8）元，依题意得：＝，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝40．答：文学类图书平均每本的价格为32元，科普类图书平均每本的价格为40元．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线EC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，∵AD＝4，cos∠CAB＝，设AC＝4x，AB＝5x，∴，∴x＝，∴AB＝，即⊙O的半径的长为．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）①∵B（0，），∴OB＝，在Rt△AOB中，AO＝＝＝，∵AC＝5，∴OC＝OA＝AC＝﹣5＝，∴C（﹣，0）．②∵△CPQ是等腰三角形，∠PCQ是钝角，∴只有CQ＝CP，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝60°，∴∠CBO＝30°，∴BC＝2OC＝3，∵CQ＝5﹣3t，CP＝3﹣t，∴5﹣3t＝3﹣t，∴t＝1．（2）如图，过点P作PJ⊥OA于J．∵PQ⊥AB，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠QPJ＝90°，∴∠PQJ＝∠ABO，∴tan∠PQJ＝tan∠ABO，∴＝，∴＝，∴t＝1.96．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，∵∠EAD＝∠EAG﹣∠DAG，∠GAB＝∠DAB﹣∠DAG，∴∠EAD＝∠GAB，∴∠BCE＝∠DCG，∴△EAD≌△GAB（SAS），∴DE＝BG；（2）①证明：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝BA，∠CBA＝90°，在Rt△ABC中，tan∠CAB＝1，∴∠CBA＝45°，∴AC＝＝AB，∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝FG，∠FGA＝90°，在Rt△AGF中，tan∠FAG＝＝1，∴∠FAG＝45°，∴AF＝＝AG，∴∠FAC＝∠FAG﹣∠CAG，∠GAB＝∠CAB﹣∠CAG，∴∠FAC＝∠GAB，，∴△CFA∽△BGA，∴，∴FC＝BG；②AD＝DF+BG．理由如下：∵FC＝BG，CD＝DF+CF，∴CD＝DF+BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴AD＝DF+BG；（3）解：①如图3，当点F在线段CD上时，设DE＝BG＝x，则FC＝x，∴DC＝AD＝x+1，过点E作EM⊥AD于点M，∵∠AEF＝∠ADF＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AFE＝∠EDM＝45°，∴EM＝x，∴S△ADE＝×x，S△ADF＝AD×DF＝x，∴＝5，解得x＝，x＝﹣3（舍去），∴BG＝；②如图4，当点F在线段CD的延长线上时，连接AC，∵S四边形AEFD＝S△AEF+S△ADF，设AD＝a，∴AF2＝DF2+AD2＝1+a2，∴S＝a＝5，解得a＝﹣1+2（负值舍去），∴AD＝﹣1+2，∴CF＝2，由（2）知△CFA∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝．综合以上可得BG的长为或．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点为（1，4）．（2）∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，EF∥x轴，∴四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，EH＝FG，∴点E，F关于对称轴x＝1对称，∴设点E（a，﹣a2+2a+3）则点F（2﹣a，﹣a2+2a+3），∴EF＝2a﹣2，EH＝﹣a2+2a+3，∴L＝2（EF+EH）＝﹣2a2+8a+2＝﹣2（a﹣2）2+10，∵﹣2＜0，∴当a＝2时，L有最大值，最大值为10．（3）①如图，连接PF，CP，OP，PE，过点P作PN⊥EF交EF的延长线于N，过点C作CM⊥PN于M，连接BM．设P（x0，y0）．由（2）可知，a＝2，∴E（2，3），F（0，3），C（1，4），∴CF＝，OE＝，∵S△PCF＝S△PCM﹣S△PMB﹣S△CMB＝（x0﹣y0+3），∴h1＝，同法h2＝，∵，且，如图，x0＞3或x0＜﹣1，y0＜0，解得：，∴P（﹣4，﹣21）．②令x＝﹣4代入l CF：y＝x+3中，y＝﹣1，∴（﹣4，﹣21）不过点P，若直线CE平移后过点P，设平移后直线解析式为：y＝﹣x+b，代入（﹣4，﹣21），得b＝﹣25，此时平移距离为，若直线EF平移后过点P，设F'（f，﹣21），代入l CF：y＝x+3中，得f＝﹣24，∴平移距离为，∴直线最后一次经过点P时，平移的距离为24．。

2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题〔共8小题，每题3分，共24分〕1．〔3分〕〔2021•鞍山〕以下各数中，比﹣3小的数是〔〕A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣42．〔3分〕〔2021•鞍山〕如下图几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．3．〔3分〕〔2021•鞍山〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣24．〔3分〕〔2021•鞍山〕一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，那么x的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．〔3分〕〔2021•鞍山〕在平面直角坐标系中，点P〔m+1，2﹣m〕在第二象限，那么m的取值范围为〔〕A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜26．〔3分〕〔2021•鞍山〕某班有假设干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为〔〕A． B．C． D．7．〔3分〕〔2021•鞍山〕分式方程=﹣2的解为〔〕A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解8．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，=4S 垂足为点F，连接DF，分析以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是〔〕△DEFA．4 B．3 C．2 D．1二、填空题〔共8小题，每题3分，共24分〕9．〔3分〕〔2021•鞍山〕长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为．10．〔3分〕〔2021•鞍山〕分解因式2x2y﹣8y的结果是．11．〔3分〕〔2021•鞍山〕有5张大小、反面都一样的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣3，假设将这5张卡片反面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．12．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，那么∠BAF等于．13．〔3分〕〔2021•鞍山〕假设一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，那么圆锥的母线长为cm．14．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE〔其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处〕，连接BD，那么四边形AEDB的面积为．15．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数y=〔x ＞0〕的图象经过点E，那么k=．16．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC 边于点E，且AE=4，那么BE•DE=．三、解答题〔共2小题，每题8分，共16分〕17．〔8分〕〔2021•鞍山〕先化简，再求值：〔1﹣〕÷，其中x=﹣1．18．〔8分〕〔2021•鞍山〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形．〔2〕假设AB=5，BC=8，求AF+AG的值．四、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2021•鞍山〕某校要理解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每天的课外阅读时间x〔单位：min〕进展分组整理，并绘制了如下图的不完好的统计图表，根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕本次调查共抽取名学生．〔2〕统计表中a=，b=．〔3〕将频数分布直方图补充完好．〔4〕假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x＜15615≤x＜301230≤x＜45a45≤x＜6018b60≤x＜75920．〔10分〕〔2021•鞍山〕为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生〔3名男生，2名女生〕获奖．〔1〕教师假设从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士〞，那么恰好是男生的概率为．〔2〕教师假设从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士〞，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．五、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕21．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的间隔．〔结果准确到0.1m．参考数据：≈1.73〕22．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．〔1〕求证：∠ADF=∠EAC．〔2〕假设PC=PA，PF=1，求AF的长．六、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕23．〔10分〕〔2021•鞍山〕某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．将来30天，这款时装将开展“每天降价1元〞的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天〔1≤x≤30且x为整数〕的销量为y件．〔1〕直接写出y与x的函数关系式；〔2〕在这30天内，哪一天的利润是6300元？〔3〕设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．24．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．〔1〕求直线CE的解析式；〔2〕在线段AB上有一动点P〔不与点A，B重合〕，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．七、解答题〔本大题共1小题，共12分〕25．〔12分〕〔2021•鞍山〕如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4，点P为线段BE上的一点〔点P不与点B、E重合〕，连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．〔1〕求证：=；〔2〕连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；〔3〕设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．八、解答题〔本大题共1小题，共14分〕26．〔14分〕〔2021•鞍山〕如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；〔2〕点P是抛物线上一点〔不与点A重合〕，且S△PBC =S△ABC，求∠APB的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题3分，共24分〕1．〔3分〕〔2021•鞍山〕以下各数中，比﹣3小的数是〔〕A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4【考点】18：有理数大小比拟．【分析】根据0大于负数，负数比拟大小绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4，应选：D．【点评】此题考察了有理数的大小比拟，解决此题的关键是熟记0大于负数，负数比拟大小绝对值大的反而小．2．〔3分〕〔2021•鞍山〕如下图几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】从左面观察结合体，可以看到的线用实线，看不到的线用虚线．【解答】解：图中几何体的左视图如下图：应选：C．【点评】此题主要考察的是几何体的三视图，纯熟掌握三视图的画法是解题的关键．3．〔3分〕〔2021•鞍山〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，应选：A．【点评】此题主要考察函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．〔3分〕〔2021•鞍山〕一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，那么x的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】W1：算术平均数．【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．【解答】解：根据题意，得：=3，解得：x=2，应选：B【点评】此题主要考察算术平均数，解题的关键是纯熟掌握算术平均数的定义．5．〔3分〕〔2021•鞍山〕在平面直角坐标系中，点P〔m+1，2﹣m〕在第二象限，那么m的取值范围为〔〕A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意，得：，解得m＜﹣1，应选：A．【点评】此题主要考察解一元一次不等式组的才能，解题的关键是根据点的坐标特点列出关于m的不等式组．6．〔3分〕〔2021•鞍山〕某班有假设干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为〔〕A． B．C． D．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数=15；绘画小组人数×2﹣书法小组的人数=5，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：，应选：D．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．〔3分〕〔2021•鞍山〕分式方程=﹣2的解为〔〕A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解【考点】B3：解分式方程．【分析】此题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x的值，再进展检验即可求出答案．【解答】解：两边同时乘以〔x﹣2〕得：5=〔x﹣1〕﹣2〔x﹣2〕，解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x﹣2≠0，∴x=﹣2是原方程的根．应选B．【点评】此题主要考察理解分式方程，在解题时要注意把分式方程转化为整式方程进展解答是此题的关键．8．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S △DEF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【考点】S9：相似三角形的断定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②根据条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM=DE=BC，根据线段垂直平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，③根据三角形的面积公式即可得到结论；④设AE=a，AB=b，那么AD=2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF =4S△DEF∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；②∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故②正确；③∵点E是AD边的中点，∴S△DEF =S△ADF，∵△AEF∽△CBA，∴AF：CF=AE：BC=，∴S△CDF =2S△ADF=4S△DEF，故③正确；④设AE=a，AB=b，那么AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，∴tan∠CAD===．故④正确；应选A．【点评】此题主要考察了相似三角形的断定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．二、填空题〔共8小题，每题3分，共24分〕9．〔3分〕〔2021•鞍山〕长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为×106．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】×106，×106．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．〔3分〕〔2021•鞍山〕分解因式2x2y﹣8y的结果是2y〔x+2〕〔x﹣2〕．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=2y〔x+2〕〔x﹣2〕．故答案为：2y〔x+2〕〔x﹣2〕【点评】此题考察了提公因式法与公式法的综合运用，纯熟掌握因式分解的方法是解此题的关键．11．〔3分〕〔2021•鞍山〕有5张大小、反面都一样的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣3，假设将这5张卡片反面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．【考点】X4：概率公式；26：无理数．【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的结果有2种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵在1，﹣，0，π，﹣3中，无理数有﹣，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是；故答案为：．【点评】此题考察概率的求法：假如一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．12．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，那么∠BAF等于70°．【考点】N2：作图—根本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想方法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴∠CAF=∠ACF=30°，∴∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF=70°．故答案为70°．【点评】此题考察根本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．〔3分〕〔2021•鞍山〕假设一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，那么圆锥的母线长为3cm．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【解答】解：设母线长为l，那么=2π×1解得：l=3．故答案为：3．【点评】考察了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE〔其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处〕，连接BD，那么四边形AEDB的面积为．【考点】R2：旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D 处，∴AD=AB=5，∴CD=AD﹣AC=1，∴四边形AEDB的面积为，故答案为：．【点评】题目考察勾股定理和旋转的根本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的根本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，合适随堂训练．15．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数y=〔x ＞0〕的图象经过点E，那么k=8．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，那么AB=OB=m，DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，然后根据S△ADF =S梯形ABOD+S△DOF﹣S△ABF=4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．【解答】解：设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，那么AB=OB=m，DE=EF=OF=n，∴BF=OB+OF=m+n，∴S△ADF =S梯形ABOD+S△DOF﹣S△ABF=m〔m+n〕+n2﹣m〔m+n〕=4，∴n2=8，∵点E〔n．n〕在反比例函数y=〔x＞0〕的图象上，∴k=n2=8，故答案为8．【点评】此题考察了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是解题的关键．16．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC 边于点E，且AE=4，那么BE•DE=20．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；KH：等腰三角形的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE的值，此题得以解决．【解答】解：延长CA到F，使得AF=AB，连接BF，那么∠F=∠ABF=∠BAC，∵∠BAC=2∠BDC，∴∠F=∠BDC，∵∠FEB=∠DEC，∴△FEB∽△DEC，∴，∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2，∴，∴BE•DE=20，故答案为：20．【点评】此题考察相似三角形的断定与性质、等腰三角形的性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题〔共2小题，每题8分，共16分〕17．〔8分〕〔2021•鞍山〕先化简，再求值：〔1﹣〕÷，其中x=﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答此题．【解答】解：〔1﹣〕÷===，当x=﹣1时，原式=．【点评】此题考察分式的化简求值，解答此题的关键是明确分式化简求值的方法．18．〔8分〕〔2021•鞍山〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形．〔2〕假设AB=5，BC=8，求AF+AG的值．【考点】L7：平行四边形的断定与性质．【分析】〔1〕由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；〔2〕由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；〔2〕解：由〔1〕可知∠BCF=∠DCF=∠F，∴BF=BC=AD=8，∵AB=CD=5，∴AF=BF﹣AB=3，∵BF∥DE，∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，∴△DCG∽△AFG，∴==，∴DG=AG，∴AD=AG+DG=AG=8，∴AG=3，∴AF+AG=3+3=6．【点评】此题主要考察平行四边形的性质和断定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，注意相似三角形的应用．四、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2021•鞍山〕某校要理解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每天的课外阅读时间x〔单位：min〕进展分组整理，并绘制了如下图的不完好的统计图表，根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕本次调查共抽取60名学生．〔2〕统计表中a=15，b=0.3．〔3〕将频数分布直方图补充完好．〔4〕假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x / m i n 频数/人频率≤x＜1561 5≤x ＜3 01 23≤x＜45a4 5≤x ＜6 018b6≤9x＜75【考点】V8：频数〔率〕分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数〔率〕分布表．【分析】〔1〕根据0≤x＜15min阶段的频数和频率求出总数即可；〔2〕根据题意列出算式a=60×0.25，b=18÷60，求出即可；〔3〕根据频数是15画出即可；〔4〕根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：〔1〕6÷0.1=60，即本次调查共抽取60名学生，故答案为：60；〔2〕a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3，故答案为：15，0.3；〔3〕如下图：；〔4〕1200×=540，答：假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．【点评】此题考察了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表等知识点，能根据题意和图形列出算式是解此题的关键．20．〔10分〕〔2021•鞍山〕为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生〔3名男生，2名女生〕获奖．〔1〕教师假设从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士〞，那么恰好是男生的概率为．〔2〕教师假设从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士〞，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】〔1〕根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；〔2〕先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：〔1〕所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，∴恰好是男生的概率为，故答案为：；〔2〕画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．【点评】此题考察了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考察了统计图．五、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕21．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的间隔．〔结果准确到0.1m．参考数据：≈1.73〕【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，∴DB=AB=×130=65m，AD=BD=65m．∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．在Rt△ADC中，∵tanC==1，∴CD=AD=65m，∴BC=BD+CD=65+65≈177.5m．故观测点B与建筑物C之间的间隔约为177.5m．【点评】此题考察理解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．〔1〕求证：∠ADF=∠EAC．〔2〕假设PC=PA，PF=1，求AF的长．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；M5：圆周角定理．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】〔1〕根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；〔2〕根据〔1〕中的结论和三角形相似的知识可以求得AF的长．【解答】〔1〕证明：∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°，∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC；〔2〕连接FC，∵CD是圆O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠FDC+∠FCD=90°，∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC，∴∠FCD=∠EAC，即∠FCP=CAP，∵∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA，∴，∵PC=PA，PF=1，∴，解得，PA=，∴AF=PA﹣PF=，即AF=．【点评】此题考察相似三角形的断定与性质、圆周角定理，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．六、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕23．〔10分〕〔2021•鞍山〕某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．将来30天，这款时装将开展“每天降价1元〞的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天〔1≤x≤30且x为整数〕的销量为y件．〔1〕直接写出y与x的函数关系式；〔2〕在这30天内，哪一天的利润是6300元？〔3〕设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】〔1〕根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；〔2〕表示出网络经销商所获得的利润=6300，解方程即可求出x的值；〔3〕根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．【解答】解：〔1〕由题意可知y=5x+30；〔2〕根据题意可得〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕=6300，即x2﹣60x+864=0，解得：x=24或36〔舍〕∴在这30天内，第24天的利润是6300元．〔3〕根据题意可得：w=〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕，=﹣5x2+300x+1980，=﹣5〔x﹣30〕2+6480，∵a=﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x=30时，w有最大值为6480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．【点评】此题主要考察了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描绘语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．〔1〕求直线CE的解析式；〔2〕在线段AB上有一动点P〔不与点A，B重合〕，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】〔1〕先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C〔﹣3，0〕，再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；〔2〕设P〔﹣m，﹣m+6〕，∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=〔m﹣〕2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：〔1〕根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B〔0，6〕，A〔﹣8，0〕，∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C〔﹣3，0〕，∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E〔0，﹣4〕，设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=﹣，∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，〔2〕解：存在，〔﹣，〕，如图，∵点P在直线y=x+6上，∴设P〔﹣m，﹣m+6〕，∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+〔﹣m+6〕2=〔m﹣〕2+，∴当m=时，MN2有最小值，那么MN有最小值，当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，∴P〔﹣，〕．【点评】此题是一次函数综合题，主要考察了待定系数法，全等三角形的断定和性质，相似三角形的断定和性质，勾股定理，解〔1〕的关键是求出点C的坐标，解〔2〕的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．七、解答题〔本大题共1小题，共12分〕25．〔12分〕〔2021•鞍山〕如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4，点P为线段BE上的一点〔点P不与点B、E重合〕，连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．〔1〕求证：=；〔2〕连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；〔3〕设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【考点】SO：相似形综合题．【分析】〔1〕由△CPD∽△CEB证得结论；〔2〕AC∥BD．欲推知AC∥BD，只需推知∠ACB+∠DBC=180°；〔3〕如下图，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．通过解直角三角形、〔2〕中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．【解答】〔1〕证明：∵∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，∴∠CBE=45°，又CE⊥BN，∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形．又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴=，∴=；〔2〕解：AC∥BD，理由如下：∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB．由〔1〕知，=，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC．∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；〔3〕解：如下图，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．∵AC=4，△ABC与△BEC都是等腰直角三角形，∴BC=4，BE=CE=4．由〔2〕知，△EPC∽△BDC，∴=．即=，∴DB=x．∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，∴PF=BP•sin∠PBF=〔4﹣x〕×=2﹣x，∴S=DB•PF=×x×〔2﹣x〕=﹣x2+2x，即：S=﹣x2+2x．【点评】此题考察了相似综合题．需要灵敏掌握并运用等腰三角形的断定与性质，相似三角形的断定与性质，三角形的面积公式以及解直角三角形等知识点，难度不大，但是综合性比拟强，需要多加训练，以达灵敏运用的目的．八、解答题〔本大题共1小题，共14分〕26．〔14分〕〔2021•鞍山〕如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；〔2〕点P是抛物线上一点〔不与点A重合〕，且S△PBC =S△ABC，求∠APB的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．。

2021年辽宁大连中考真题数学试卷（含答案解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、−5的相反数是（）．A. −15B. 15C. 5D. −52、某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）．A.B.C.D.3、2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章，数7100000用科学记数法表示为（）．A. 71×105B. 7.1×105C. 7.1×106D. 0.71×1074、如图，AB//CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A=40°，则∠C的度数为（）．A. 40°B. 50°C. 60°D. 90°5、下列运算正确的是（）．A. (a2)3=a8B. a2⋅a3=a5C. (−3a)2=6a2D. 2ab2+3ab2=5a2b46、某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人，该健美操队队员的平均年龄为（）．A. 14.2岁B. 14.1岁C. 13.9岁D. 13.7岁7、下列计算正确的是（）．A. (−√3)2=−3B. √12=2√33=1C. √−1D. (√2+1)(√2−1)=38、“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（）．A. 500(1+x)=800B. 500(1+2x)=800C. 500(1+x2)=800D. 500(1+x)2=8009、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA′B′的度数为（）．A. αB. α−45°C. 45°−αD. 90°−α10、下列说法正确的是（）．中自变量x的取值范围是x≠0；①反比例函数y=2x②点P(−3,2)在反比例函数y=−6的图象上；x的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．③反比例函数y=3xA. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11、不等式3x<x+6的解集是．12、在平面直角坐标系中，将点A(−2,3)向右平移4个单位长度后得到点A′，则A′的坐标为．13、一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2．随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为．14、我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．15、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′，若AB′⊥BD，BE=2，则BB′的长是．16、如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上AF=EF，设BE=x，AF=y，当0<x<2时，y关于x的函数解析式为．三、解答题（本大题共4小题，共39分）17、计算：a+3a−3⋅a2+3aa2+6a+9−3a−3．18、某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．据以上信息，回答下列问题：(1) 被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为%．(2) 本次调查的样本容量为，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为人．(3) 若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．19、如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC//DF．求证：BC=EF．20、某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．(1) 求大、小两种垃圾桶的单价．(2) 该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？四、解答题（本大题共3小题，共29分）21、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度．（结果取整数）（参考数据：sin⁡50°≈0.766，cos⁡50°≈0.643，tan⁡50°≈1.192；sin⁡57°≈0.839，cos⁡57°≈0.545，tan⁡57°≈1.540）22、如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC//MN．(1) 求证：∠BAC=∠DOC．(2) 如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．23、某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50⩽x⩽80，(1) 求y关于x的函数解析式．(2) 若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？五、解答题（本大题共3小题，共34分）24、如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA−AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC−CD运动，设运动时间为t秒．(1) 求AC的长．(2) 若S△BPQ=S，求S关于t的解析式．25、已知AB=BD，AE=EF，∠ABD=∠AEF．(1) 找出与∠DBF相等的角并证明．(2) 求证：∠BFD=∠AFB．(3) AF=kDF，∠EDF+∠MDF=180°，求AEMF．26、已知函数y={−12x2+12x+m(x<m)x2−mx+m(x⩾m)，记该函数图象为G．(1) 当m=2时．①已知M(4,n)在该函数图象上，求n的值．②当0⩽x⩽2时，求函数G的最大值．(2) 当m>0时，作直线x=12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ=45°时，求m的值．(3) 当m⩽3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作BC⊥BA交直线x=m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a=−3c，求m的值．答案解析：1 、【答案】 C;【解析】根据相反数的定义得：−5的相反数为5．故选C．2 、【答案】 D;【解析】扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥．故选：D．3 、【答案】 C;【解析】科学记数法是一种记数的方法．把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1⩽|a|< 10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．7100000用科学记数法表示为7.1×106．故选C．4 、【答案】 B;【解析】∵AB//CD，∠A=40°，∴∠D=∠A=40°．∵CE⊥AD，∴∠CED=90°．又∵∠CED+∠C+∠D=180°，∴∠C=180°−∠CED−∠D=180°−90°−40°=50°．故选：B．5 、【答案】 B;【解析】选项A．(a2)3=a2×3=a6，故本选项不符合题意；选项B．a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项符合题意；选项C．(−3a)2=9a2，故本选项不符合题意；选项D．2ab2+3ab2=5ab2，故本选项不符合题意．故选B．6 、【答案】 C;【解析】∵13岁3人，14岁5人，15岁2人，=13.9（岁），∴该健美操队队员的平均年龄为：13×3+14×5+15×210故选：C．7 、【答案】 B;【解析】A．(−√3)2=3，故此选项不符合题意；B．√12=2√3，正确，故此选项符合题意；3=−1，故此选项不符合题意；C．√−1D．(√2+1)(√2−1)=2−1=1，故此选项不符合题意．故选：B．8 、【答案】 D;【解析】水稻亩产量的年平均增长率为x，根据题意得：500(1+x)2=800，故选：D．9 、【答案】 C;【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到ΔA′B′C，∴AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90∘，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45∘，∵∠BAC=α，∴∠CA′B′=α，∴∠AA′B′=45∘−α．故选：C．10 、【答案】 A;【解析】①反比例函数y=2中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；x②因为−3×2=−6，故说法正确；的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；③因为k=3>0，反比例函数y=3x故选A．11 、【答案】x<3;【解析】3x<x+6，移项，得3x−x<6，合并同类项，得2x<6，系数化成1，得x<3，故答案为：x<3．12 、【答案】(2,3);【解析】点A(−2,3)向右平移4个单位长度后得到点A′的坐标为(−2+4,3)，即(2,3)．故答案为：(2,3)．;13 、【答案】14【解析】画树状图如图：共有4种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4的结果有1种，．∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为14．故答案为：1414 、【答案】6x+14=8x;【解析】设有牧童x人，依题意得：6x+14=8x．故答案为：6x+14=8x．15 、【答案】2√2;【解析】∵菱形ABCD，∴AB=AD，AD//BC，∵∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，∵AB′⊥BD，∠BAD=30∘，∴∠BAB′=12∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE=B′E，AB=AB′，×(180∘−30∘)=75∘，∴∠ABB′=12∴∠EBB′=∠ABE−∠ABB′=120°−75°=45°，∴∠EB′B=∠EBB′=45°，∴∠BEB′=90°，在Rt△BEB′中，由勾股定理得：BB′=√22+22=2√2，故答案为：2√2．(0<x<2);16 、【答案】y=4+x22x【解析】过点F作FM⊥AE，垂足为M，∵AF=EF，∴AM=ME，在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=√4+x2,∴AM=√4+x22,∵∠B=∠AMF=90°，∠FAM=∠AEB，∴△ABE∽△FMA，∴AEAF =BEAM，即√4+x2y=√22，∴xy=4+x 22，即y=4+x 22x(0<x<2)，故答案为：y=4+x 22x(0<x<2)．17 、【答案】1．;【解析】原式=a+3a−3⋅a(a+3)(a+3)2−3a−3=aa−3−3a−3=a−3a−3=1.18 、【答案】 (1) 10;40;(2) 50;5;(3) 240人．;【解析】 (1) 由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为10人，由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为40%．故答案为：10，40．(2) 被调查的学生总数为10÷0.2=50（人），50×0.1=5（人）．故答案为：50，5．(3) 样本中参加爱国征文活动的学生人数：50×40%=20（人），样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：50−10−20−5=15（人），800×1550=240（人）．答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．19 、【答案】 证明见解析．;【解析】 ∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =DE ，∵AC//DF ，∴∠A =∠EDF ，在△ABC 与△DEF 中，{AB =DE∠A =∠EDF AC =DF，∴△ABC =∽△DEF(SAS)，∴BC =EF ．20 、【答案】 (1) 大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． ;(2) 2880元．;【解析】 (1) 设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元， 依题意{2x +4y =6006x +8y =1560， 解得：{x =180y =60， 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．(2) 180×8+60×24=2880（元）．答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．21 、【答案】7m．;【解析】在Rt△BCD中，tan⁡∠BDC=BC，CD∴BC=CD⋅tan⁡∠BDC=20×tan⁡50°≈20×1.192=23.84(m)，在Rt△ACD中，tan⁡∠ADC=AC，CD∴AC=CD⋅tan⁡∠ADC=20×tan⁡57°≈20×1.540=30.8(m)，∴AB=AC−BC=30.8−23.84≈7(m)．答：旗杆AB的高度约为7m．22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) AE=2√7．;【解析】 (1) 连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC//MN，∴OD⊥BC∴BD⌢=CD⌢，∴∠BOD=∠COD，∠BOC，∵∠BAC=12∴∠BAC =∠COD ．(2) ∵E 是OD 的中点，∴OE =DE =2，在Rt △OCE 中，CE =√OC 2−OE 2=√42−22=2√3，∵OE ⊥BC ，∴BE =CE =2√3，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∴AB =√AC 2−BC 2=√82−(4√3)2=4，在Rt △ABE 中，AE =√AB 2+BE 2=√42+(2√3)2=2√7．23 、【答案】 (1) y =−2x +200(50⩽x ⩽80)． ;(2) 该商品售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． ;【解析】 (1) 设y =kx +b ，将(50,100)、(80,40)代入，得：{50k +b =10080k +b =40， 解得：{k =−2b =200， ∴y =−2x +200(50⩽x ⩽80)．(2) 设电商每天获得的利润为w 元，则w =(x −40)(−2x +200)=−2x 2+280x −8000=−2(x −70)2+1800，∵−2<0，且对称轴是直线x=70，又∵50⩽x⩽80，∴当x=70时，w取得最大值为1800，答：该商品售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．24 、【答案】 (1) 5．;(2) S={t2(0<t⩽1.5)−3t25+12t5(1.5<t⩽4)2t−8(4<t⩽7)．;【解析】 (1) ∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∴AC的长为5．(2) 当0<t⩽1.5时，如图，S=12×BP×BQ=12×2t×t=t2;当1.5<t⩽4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP=8−2t，∵sin⁡∠BCA=ABAC =PHPC，∴35=PH8−2t，∴PH=245−6t5，∴S=12×BQ×PH=12×t×(245−6t5)=−3t 25+12t5；当4<t⩽7时，如图，点P与点C重合，S=12×4×(t−4)=2t−8．综上所述：S={t2(0<t⩽1.5)−3t25+12t5(1.5<t⩽4)2t−8(4<t⩽7)．25 、【答案】 (1) ∠BAE；证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) k−1．;【解析】 (1) 根据题意可知∠AEF=∠ABF+∠BAE，∠ABD=∠ABF+∠DBF，∵∠ABD=∠AEF，∴∠DBF=∠BAE．(2) 如图，在BF上截取BP，使AE=BP，由（1）得∠DBF=∠BAE，即∠DBP=∠BAE，在△ABE和△BDP中，{AB=BD∠BAE=∠DBPAE=BP，∴△ABE=∽△BDP，∴BE=DP，∠AEB=∠BPD，∵BP=AE，AE=EF，∴BP=EF，∴BP−EP=EF−EP，即BE=PF，∵BE=PD，∴PF=PD，∴△AEF和△FPD均为等腰三角形，又∵∠AEB=∠BPD，∴∠AEF=∠FPD，∴△AEF和△FPD为顶角相等的等腰三角形，∴∠EAF=∠EFA=∠PFD=∠PDF，∴∠BFD=∠AFB．(3) 又（1）可知△AEF∽△FPD，∵AF=kDF，∴AFDF =EFPF=k，设PF =PD =a ，则AE =EF =ka ，∵∠EDF +∠MDF =180°，∠MDF =∠MDP +∠PDF ，∠EDF =180°−∠FED −∠PFD ，则180°=∠MDP +∠PDF +180°−∠FED −∠PFD ， ∵∠PDF =∠PFD ，∴∠MDP =∠FED ，∵∠EPD =∠DPM ，∴△PMD ∽△PDE ，∴PD PE =PM PD ，即PD 2=PM ⋅PE ，由此得a 2=PM ⋅(k −1)a ，则PM =a k−1，AE MF =kaa+a k−1=k −1．26 、【答案】 (1)① 10．② 218．;(2) 6．;(3) 209．;【解析】 (1)① 当m =2时，y ={−12x 2+12x +2(x <2)x 2−2x +2(x ⩾2)，∵M (4,n )在该函数图象上，∴n =42−2×4+2=10．②当0⩽x<2时，y=−12x2+12x+2=−12(x−12)2+218，∵−12<0，∴当x=12时，y有最大值是218，当x=2时，y=22−2×2+2=2，∵2<218，∴当0⩽x⩽2时，函数G的最大值是218．(2) 如图1，由题意得：OP=12m，∵∠POQ=45°，∠OPQ=90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP=PQ，∴12m=−12⋅(12m)2+12⋅12m+m，解得：m1=0，m2=6，∵m>0，∴m=6．(3) 如图2，过点C作CD⊥y轴于D，当x =0时，y =m ，∴OB =m ，∵CD =m ，∴CD =OB ，∵AB ⊥BC ，∴∠ABC =∠ABO +∠CBD =90°，∵∠CBD +∠BCD =90°，∴∠ABO =∠BCD ，∵∠AOB =∠CDB =90°，∴△ABO =∽ △BCD (ASA )，∴OA =BD ，当x <m 时，y =0，即−12x 2+12x +m =0， x 2−x −2m =0，解得：x 1=1−√1+8m 2，x 2=1+√1+8m 2， ∴OA =√1+8m−12，且−18⩽m ⩽3，∵点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若a =−3c ， ∴OD =c =−13a ，∴BD =m −OD =m +13a ，∵OA =BD ，∴√1+8m−12=m+13⋅1−√1+8m2，解得：m1=0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2=209．。

2021年沈阳市中考数学试题＊试题满分150分 考试时间120分钟参考公式： 抛物线c bx ax y ++=2的顶点是(a b 2-，ab ac 442-)，对称轴是直线a bx 2-=.一、选择题 （下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共24分）1.下列各数中比0小的数是 A.－3 B.311 C.3 D. 32.左下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是3.沈阳地铁2号线的开通，方便了市民的出行.从2012年1月9日到2月7日的30天里，累计客运量约达3040000人次，将3040000用科学记数法表示为A ．3.04×105B ．3.04×106C ．30.4×105D ．0.304×107 4.计算(2a )3·a 2的结果是A ．2a 5B ．2a 6C ．8a 5D ．8a 65.在平面直角坐标系中，点P （－1，2 ） 关于x 轴的对称点的坐标为 A.（－1，－2 ） B.（1，－2 ） C.（2，－1 ） D.（－2，1 ）6.气象台预报“本市明天降水概率是30%” ，对此消息下列说法正确的是 A.本市明天将有30%的地区降水 B.本市明天将有30%的时间降水 C.本市明天有可能降水 D.本市明天肯定不降水 7．一次函数y =－x +2的图象经过A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.一、三、四象限D.二、三、四象限 8．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰直角三角形有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个二、填空题（每小题4分，共32分）9.分解因式：m 2－6m +9=____________.10.一组数据1，3，3，5，7的众数是____________. 11.五边形的内角和为____________度.12.不等式组⎩⎨⎧>->+02101x x 的解集是____________.13.已知△ABC △△A ′B ′C ′，相似比为3△4，△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C 的周长为____________.14.已知点A 为双曲线y = kx 图象上的点，点O 为坐标原点过点A 作AB △x 轴于点B ，连接OA .若△AOB 的面积为5，则k 的值为____________.15.有一组多项式：a +b 2，a 2－b 4，a 3+b 6，a 4－b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为____________.16.如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，△A =60°，DE △AB 于点E ，DF △BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为____________cm 2.三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分 ）17.计算：(－1)2+|12|-+2sin 45°18.小丁将中国的清华大学、北京大学及英国的剑桥大学的图片分别贴在3张完全相同的不透明的硬纸板上，制成名校卡片，如图.小丁将这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再随机抽取一张卡片．(1) 小丁第一次抽取的卡片上的图片是剑桥大学的概率是多少？（请直接．．写出结果）(2) 请你用列表法或画树状图（树形图）法，帮助小丁求出两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学、一个是国外大学的概率.（卡片名称可用字母表示）19.已知，如图，在荀ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：△AEM△△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.四、（每小题10分，共20分）20.为了提高沈城市民的节水意识，有关部门就“你认为最有效的节水措施”随机对部分市民进行了问卷调查.其中调查问卷设置以下选项（被调查者只能选择其中的一项）：A.出台相关法律法规；B.控制用水大户数量；C.推广节水技改和节水器具；D.用水量越多，水价越高；E.其他.根据调查结果制作了统计图表的一部分如下：(1)此次抽样调查的人数为△ 人；(2)结合上述统计图表可得m= △ ，n= △ ；(3)请根据以上信息直接．．在答题卡中补全条形统计图.21.甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？22.如图，△O是△ABC的外接圆，AB是△O的直径，D为△O上一点，OD△AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分△ABC；(2) 当△ODB=30°时，求证：BC=OD.六、（本题12分）23．已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24 ），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）.(1)求直线l1，l2的表达式；(2)点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD△y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF.△设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；△若矩形CDEF的面积为60，请直接．．写出此时点C的坐标．24．已知，如图△，△MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点4，在△MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，△APB=120°. O重合），且AB=3（1）求AP的长；（2）求证：点P在△MON的平分线上；（3）如图△，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.△当AB△OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；△若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出t的取值范围．25.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(－2，0)，点B 坐标为 （0，2 ），点E 为线段AB 上的动点(点E 不与点A ，B 重合)，以E 为顶点作△OET =45°，射线ET 交线段OB 于点F ，C 为y 轴正半轴上一点，且OC =AB ，抛物线y =2-x 2+mx +n 的图象经过A ，C 两点.（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：△BEF =△AOE ；（3） 当△EOF 为等腰三角形时，求此时点E 的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1） 中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（122+） 倍.若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.参考答案一、选择题(每小题3分，共24分）1.A2.D3.B4.C5.A6.C7.B8.C 二、填空题（每小题4分，共32分）9. (m －3)2 10.3 11. 540 12.－1＜x ＜2113.8 14.10 或 －10 15.a 10－b 20 16. 316三、解答题 （第17、 18小题各8分， 第19小题10分，共26分） 17．原式=1+ 2－1+2×22＝22 18.解： （1）31 （2） 列表得或画树状 （形） 图得由表格 （或树状图/树形图） 可知， 共有9种可能出现的结果， 每种结果出现的可能性相同，其中两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学， 一个是国外大学的结果有4种： （A ， C ）（B ， C ）（C ， A ）（C ， B ）△P （两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学一个是国外大学） ＝94. 19.证明:(1） △四边形ABCD 是平行四边形△△DAB =△BCD △△EAM =△FCN 又△AD △BC △△E =△F △AE =CF △△AEM △△CFN（2） 由（1） 得AM =CN ，又△四边形ABCD 是平行四边形△AB CD △BM DN △四边形BMDN 是平行四边形四、（每小题10分，共20分） 20.解： （1） 500 （2） 35%， 5% （3）21.解：设乙每小时加工机器零件x 个， 则甲每小时加工机器零件（x +10） 个， 根据题意得：xx 12010150=+ 解得x =40 经检验， x =40是原方程的解 x +10=40+10=50 答： 甲每小时加工50个零件， 乙每小时加工40个零件. 五、（本题10分）22.证明： （1） △OD △AC OD 为半径△△△CBD =△ABD △BD 平分△ABC（2） △OB =OD △△OBD =△ODB =30°△△AOD =△OBD +△ODB =30°+30°=60° 又△OD △AC 于E △△OEA =90°△△A =180°－△OEA －△AOD =180°－90°－60°=30° 又△AB 为△O 的直径 △△ACB ＝90°则在Rt △ACB 中BC =21AB △OD =21AB △BC =OD 六、（本题12分）23.解：(1)设直线l 1的表达式为y =k 1x ，它过B （18， 6） 得18k 1=6 k 1=31 △y =31x设直线l 2的表达式为y =k 2x +b ，它过A （0， 24）， B (18， 6)得⎩⎨⎧=+=618242b k b 解得⎩⎨⎧=-=212b ky =－x +24 （2） △△点C 在直线l 1上， 且点C 的纵坐标为a ，△a =31x x =3a △点C 的坐标为 （3a ， a ） △CD △y 轴△点D 的横坐标为3a △点D 在直线l 2上 △y =－3a +24 △D （3a ， －3a +24） △C （3， 1） 或C (15， 5) 七、（本题12分）24.解： (1) 过点P 作PQ △AB 于点Q △P A =PB ， △APB =120° AB =43△AQ =21AB =21×43=23 △APQ = 21△APB =21×120°=60°在Rt △APQ 中， sin △APQ =AP AQ △AP = 233260sin 32sin =︒=∠APQ AQ =sin 60°＝4 （2） 过点P 分别作PS △OM 于点S ， PT △ON 于点T △△OSP =△OTP =90° 在四边形OSPT 中，△SPT =360°－△OSP －△SOT －△OTP =360°－90°－60°－90°=120°△△APB =△SPT =120° △△APS =△BPT又△△ASP =△BTP =90° AP =BP△△APS △△BPT △PS =PT△点P 在△MON 的平分线上（3） △8+43 △4+43＜t ≤8+43八、 （本题14分）25.解：（1） 如答图△， △A （－2， 0） B （0， 2）△OA =OB =2 △AB 2=OA 2+OB 2=22+22=8△AB =22△OC =AB △OC =22， 即C （0， 22） 又△抛物线y =－2x 2+mx +n 的图象经过A 、C 两点 则可得⎪⎩⎪⎨⎧==+--220224n n m 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=222n m △抛物线的表达式为y =－2x 2－2x +22 （2） △OA =OB △AOB =90° △△BAO =△ABO =45°又△△BEO =△BAO +△AOE =45°+△AOE△BEO =△OEF +△BEF =45°+△BEF △△BEF =△AOE（3） 当△EOF 为等腰三角形时，分三种情况讨论△当OE =OF 时， △OFE =△OEF =45°在△EOF 中， △EOF =180°－△OEF －△OFE =180°－45°－45°=90°又△△AOB ＝90°则此时点E 与点A 重合， 不符合题意， 此种情况不成立.△如答图△， 当FE =FO 时，△EOF =△OEF =45°在△EOF 中，△EFO =180°－△OEF －△EOF =180°－45°－45°=90°△△AOF +△EFO =90°+90°=180°△EF △AO △ △BEF =△BAO =45° 又△ 由 (2) 可知 ，△ABO =45°△△BEF =△ABO △BF =EF △EF =BF =OF =21OB =21×2＝1 △ E (－1， 1) △如答图△， 当EO =EF 时， 过点E 作EH △y 轴于点H 在△AOE 和△BEF 中， △EAO =△FBE ， EO =EF ， △AOE =△BEF △△AOE △△BEF △BE =AO =2△EH △OB △△EHB =90°△△AOB =△EHB △EH △AO △△BEH =△BAO =45°在Rt △BEH 中， △△BEH =△ABO =45° △EH =BH =BEcos 45°=2×22=2 △OH =OB －BH =2－ 22△ E (－2， 2－2)综上所述， 当△EOF 为等腰三角形时， 所求E 点坐标为E (－1， 1)或E (－2， 2－ 22)（4） P (0， 22)或P （－1， 2 2）。

2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷一。

选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）1．（3分）（2021•沈阳）比0大的数是（）C．﹣0。

5 D．1A．﹣2 B．﹣2．（3分）（2021•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）（2021•沈阳）下列事件为必然事件的是（）A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．明天一定会下雨C．抛出的篮球会下落D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数4．（3分）（2021•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°5．（3分）（2021•沈阳）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2=a8B．（a5）2=a7C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2 6．（3分）（2021•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3。

5，5 B．4，4 C．4，5 D．4。

5，47．（3分）（2021•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形8．（3分）（2021•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．二。

填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）（2021•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2=．10．（4分）（2021•沈阳）不等式组的解集是．11．（4分）（2021•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm 为半径作⊙A，当AB=cm时，BC与⊙A相切．12．（4分）（2021•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为S甲2=65。