HPM视角下“两角和与差的余弦公式”课例研究

案例名称两角差的余弦公式科目数学教学对象高二年级学生提供者课时1课时学号一、教材内容分析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。

这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。

教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识与技能：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、过程与方法：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感、态度与价值：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

三、学习者特征分析本课时面对的学生是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

3.1.1 两角差的余弦公式教学分析本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231-,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ. 0060,30,αβ==如让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示cosβ,AP 表示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos (α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cosα与sinβ的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.解:①当α∈［2π,π)时,且sinα=54,得cosα=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 s inβ=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sinα=54,得 cosα=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯ 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业1、 课本习题3.1 A 组2、3、4任选两题；2、 （选做题）课本习题3.1 B 组第4题.教案说明：1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.。

龙源期刊网 “两角和与差的余弦公式”：从历史中找价值、看证明作者：张益明丁倩文来源：《教育实践与研究·中学课程版》2018年第06期摘要：采用HPM视角来设计“两角和与差的余弦公式”的教学：利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入，让学生感受两角和与差的正、余弦公式产生的必要性；利用帕普斯模型引导学生证明公式，并对帕普斯模型做适当改进；通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景，再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟，体会麦克肖恩当时的想法。

课后反馈表明，这样的教学沟通了历史和现实、数学和人文，体现了“知识之谐”“探究之乐”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

关键词：HPM 价值证明两角和与差的余弦公式“两角和与差的余弦公式”是沪教版高中数学一年级第二学期第5章《三角比》中重要的三角恒等式之一。

教材在引入部分指出，在三角比的计算和化简中常用角α和角β的三角比来表示角α+β或角α-β的三角比，由此引入两角和与差的正、余弦公式。

这里，教材并未清晰地揭示知识产生的必要性，难以激发学生的学习动机。

此外，教材在建立部分利用单位圆，通过旋转，再根据两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式（苏教版教材也给出了这一方法）。

这一方法虽然简洁明了，学生容易掌握，但是不够自然，学生很难想到。

因此许多教师都尝试对“两角和与差的余弦公式”的教学进行改进，然而很少有人从数学史的视角来设计教学。

美国数学史和数学教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）认为，数学史展现了不同方法的成败得失，因而今人可以从中汲取思想养料，少走弯路，获取最佳教学方法。

因此少数教师也尝试从数学史的视角来设计两角和与差的余弦公式的教学，然而在这些教学设计中，数学史的价值没有得到充分的体现。

有鉴于此，我们采用HPM视角来设计本节课的教学，拟定如下学习目标：（1）正确运用两角和与差的余弦公式进行简单的化简和求值；（2）经历两角和与差的余弦公式的产生和推导过程，理解两角和与差的余弦公式的产生背景和两种推导方法；（3）进一步体会数形结合、代换转化等数学思想方法，培养直观想象和逻辑推理等数学核心素养；（4）激发学习兴趣，感悟数学文化，体会数学中的人文精神。

π2）1cos导学案两角和与差的正弦、余弦公式【目标及要求】1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦公式．2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明． 【课前预习案】：2、 诱导公式1）sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 2）sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 3）sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩4）sin()2cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 5） sin()2cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 3、同角三角函数基本关系平方关系（1）_______________ 商数关系（2）_______________ 4、两角差的余弦公式)(βα-Ccos()αβ-=cos15o= 【课内探究案】1、问题一：cos75?o=设计问题解决方案2、探究一：探究两角和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(？)，结合)(βα-C ，推导cos(α＋β)。

)cos(βα+=cos(())α-=________________（学生独立完成，组内核对）思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？ 3、 学以致用（一）求值 cos75= 化简 =+)6cos(απ4、探究二：探究两角和与差的正弦公式 思考3：sin()cos(?)αβ+=诱导公式)2cos(sin απα-=，则?)2cos()sin(-=+πβα。

分别用sin ,cos ,sin ,cos ααββ 表示)sin(βα+。

))(2cos()sin(-=+πβα=))()cos((+=____________________________（学生独立完成，组内核对）思考4：如何求)sin(βα-？有哪些方法可以实现？ ①()()sin cos()2παβ=-－ ②sin()sin(())αβα-=+——学生讨论交流方法（组内讨论，邻近组间交流结果）)sin(βα-=____________________________________思考5：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作)(βα+S ，)(βα-S ，这两个公式有什么特点？如何记忆？5、学以致用（二）求值sin 75= 化简=-)43sin(απ【理论迁移与技能提升】例1、 已知3sin ,5αα=-是第四象限的角，sin()4πα-求、cos()4πα-,cos()4πα+、sin()4πα+的值。

两角和与差的余弦公式 :从历史中找价值㊁看证明∗张益明１,丁倩文２(１．上海市奉贤中学,２０１４９９;２．华东师范大学教师教育学院,２０００６２)摘㊀要:采用H P M视角来设计 两角和与差的余弦公式 的教学:利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入,让学生感受两角和与差的正㊁余弦公式产生的必要性;利用帕普斯模型引导学生证明公式,并对帕普斯模型做适当改进;通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景,再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟,体会麦克肖恩当时的想法.课后反馈表明,这样的教学沟通了历史和现实㊁数学和人文,体现了 知识之谐 探究之乐 方法之美 能力之助 文化之魅 德育之效 .关键词:H P M㊀价值㊀证明㊀两角和与差的余弦公式㊀㊀ 两角和与差的余弦公式 是沪教版高中数学一年级第二学期第５章«三角比»中重要的三角恒等式之一.教材在引入部分指出,在三角比的计算和化简中常用角α和角β的三角比来表示角α＋β或角α－β的三角比,由此引入两角和与差的正㊁余弦公式.这里,教材并未清晰地揭示知识产生的必要性,难以激发学生的学习动机.此外,教材在建立部分利用单位圆,通过旋转,再根据两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式(苏教版教材也给出了这一方法).这一方法虽然简洁明了,学生容易掌握,但是不够自然,学生很难想到.因此许多教师都尝试对 两角和与差的余弦公式 的教学进行改进,然而很少有人从数学史的视角来设计教学.美国数学史和数学教育家史密斯(D．E．S m i t h,１８６０~１９４４)认为,数学史展现了不同方法的成败得失,因而今人可以从中汲取思想养料,少走弯路,获取最佳教学方法.因此少数教师也尝试从数学史的视角来设计两角和与差的余弦公式的教学,然而在这些教学设计中,数学史的价值没有得到充分的体现.有鉴于此,我们采用H P M视角来设计本节课的教学,拟定如下学习目标:(１)正确运用两角和与差的余弦公式进行简单的化简和求值;(２)经历两角和与差的余弦公式的产生和推导过程,理解两角和与差的余弦公式的产生背景和两种推导方法;(３)进一步体会数形结合㊁代换转化等数学思想方法,培养直观想象和逻辑推理等数学核心素养;(４)激发学习兴趣,感悟数学文化,体会数学中的人文精神.一㊁历史过程梳理与材料选用两角和与差的正㊁余弦公式被称为平面三角学的基本公式,伴随着三角学的诞生而诞生,有关的历史素材丰富多彩.我们梳理了两角和与差的正㊁余弦公式的产生与发展历史过程,从学生的认知基础出发,选取有关其价值和证明的素材,运用多种方式将这些素材融入教学中.(一)从天文测量到弦表制作三角学起源于天文学中的测量问题.公元前３世纪,古希腊著名天文学家阿里斯塔克斯(A r i s t a r c h u s,前３１５~前２３０)观测得到:在月亮半圆时,日㊁地㊁月的中心S㊁E㊁M恰好为一个直角三角形的三个顶点,且øS E M＝８７ʎ,如图１所示.阿里斯塔克斯想知道的是,地日距离(E S)是地月距离(E M)的几倍.当时,人们还不知道８７ʎ角的余弦或正弦值,阿里斯塔克斯通过冗长的几何推理,才得出这㊀㊀㊀㊀图１个倍数在１８和２０之间的结果.解决天文学中的测量问题,需要计算任意角的三角函数值.２世纪,古希腊天文学家㊁数学家托勒密(C．P t o l e m y,约１００~１７０)利用基于托勒密定理(圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积)得到的相当于两角和与差的正㊁余弦公式的结果,制作了现存最早的弦表(从０ʎ到９０ʎ每隔半度比较精确的正弦函数值).这一过程体现了两角和与差的正㊁余弦公式的起源和作用.因此,本节课利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入,让学生感受两角和与差的正㊁余弦公式产生的必要性.这是顺应式使用数学史.(二)帕普斯模型成为主流３世纪末,古希腊数学家帕普斯(P a p p u s)在«数学汇编»中提出一个几何命题,其中蕴含了丰富的三角学知识,为三角公式的证明提供了几何模型.如图２所示,设øA O B＝α,øB O C＝β(０＜β＜α＜π,０＜α＋β＜π),O A ＝O B＝O C＝１;过C作C DʅO A于D,作C H ʅO B于H,交半圆于E;过H作H GʅO A于G,作HMʅC D于M;过E作E FʅO A于F,作E NʅH G于N.于是有O D＝c o s(α＋β), O F＝c o s(α－β),O H＝c o sβ,C H＝H E＝s i nβ,O G＝c o sαc o sβ,D G＝MH＝s i nαs i nβ, G F＝N E＝s i nαs i nβ.由O D＝O G－D G,O F ＝O G＋G F,得c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ,c o s(α－β)＝c o sαc o sβ＋s i nαs i nβ.该模型的核心思想是用线段的长度去表示两角和与差的正㊁余弦公式中的三角比的值,进㊀㊀㊀㊀图２而得到锐角情形下的两角和与差的正㊁余弦公式.２０世纪中叶以前,绝大多数西方教材都采用帕普斯的几何模型来推导锐角情形下的两角和与差的正㊁余弦公式,再利用诱导公式得出任意角情形下的两角和与差的正㊁余弦公式.这一模型符合三角学的历史发展,也符合学生的认知过程:三角公式脱胎于几何命题,学生学习三角函数是从直角三角形中的边长比(初中)和单位圆中的三角函数线(高中)开始的.因此,本节课利用帕普斯模型引导学生证明公式.当然,帕普斯模型中角的始边并不都在x轴的正半轴上,这一点与学生的认知基础有冲突.于是,我们对帕普斯模型做了三点改进:第一,让学生在猜测公式的基础上自然地利用三角函数线表达三角比的值,避免刻意地给出帕普斯模型;第二,将两个角的始边同时与x轴的正半轴重合,从两角差的余弦公式入手降低认知难度;第三,利用该模型得到两角差的余弦公式后再利用三角代换得到其他公式,突出三角代换的重要性.这是重构式使用数学史. (三)从多种方法到麦克肖恩方法１８~１９世纪,意大利数学家卡诺里(A．C a g n o i l,１７４３~１８１６)㊁美国数学家伍德豪斯(R．W o o d h o u s e,１７７３~１８２７)㊁瑞士数学家哈斯勒(F．R．H a s s l e r,１７７０~１８４３)㊁英国数学家克雷斯维尔(D．C r e s s w e l l,１７７６~１８４４)㊁法国数学家萨吕斯(P．F．S a r r u s,１７９８~１８６６)相继给出了各自的证明.和基于托勒密定理的证明方法一样,这些证明方法对于平面几何的变换技巧要求比较高,而且有些用到了学生还没学到的正㊁余弦定理.考虑到学生的实际情况,本节课通过微视频简单介绍这些证明方法.这是附加式使用数学史.１９４１年,美国数学家麦克肖恩(E．J．M c s h a n e,１９０４~１９８９)又对萨吕斯的证明做了改进.他在«美国数学月刊»上发表论文,避开弦长公式,重新推导了两角差的余弦公式.如图３所示,在单位圆O中(限于篇幅,只画半圆)构造øA O B＝α,øA O C＝β,将әB O C顺时针旋转,使得O C与O A重合,O B 与O D重合,由A D＝C B,利用两点间的距离公式即得c o s(α－β)＝c o sαc o sβ＋s i nαs i nβ.图３这一证明方法就是教材给出的方法,它适用于任意角的情形.因此,本节课通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景,再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟,体会麦克肖恩当时的想法.这是复制式使用数学史.二㊁教学设计与实施(一)问题引入,猜想公式教师利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入,然后指出: 显然,如果能算出c o s８７ʎ的值,就能知道准确的倍数了.可见,仅知道初中里学过的特殊角(３０ʎ㊁４５ʎ㊁６０ʎ㊁９０ʎ)的三角比是不够的,还需要计算任意角的三角比.古希腊天文学家㊁数学家在制作弦表(计算任意角的三角比)时,采用了一个新的方法,用今天的话来说,就是根据已知角的正㊁余弦值来求未知角的正㊁余弦值.这便是我们今天要研究的课题.接着,教师让学生利用同角三角比的关系,由c o s３０ʎ求s i n３０ʎ和t a n３０ʎ,再利用诱导公式,由c o s３０ʎ求c o s１５０ʎ和c o s３９０ʎ,进而提问: 能否用４５ʎ和３０ʎ的正㊁余弦来求c o s１５ʎ?根据计算器上读出的结果,学生猜测c o s１５ʎ＝６＋２４＝３２ˑ２２＋１２ˑ２２＝c o s４５ʎc o s３０ʎ＋s i n４５ʎs i n３０ʎ或s i n４５ʎc o s３０ʎ＋c o s４５ʎs i n３０ʎ.由此,教师进一步提问: 对于任意角α和β,c o s(α－β)＝c o sαc o sβ＋s i nαs i nβ或c o s(α－β)＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ是否成立?究竟哪一个等式成立? (二)模型建立,证明公式师㊀假设α㊁β为锐角.(出示图４)如图所示,两个角的终边与单位圆分别交于点A和B,请你在图上找出与c o sα㊁c o sβ㊁s i nα㊁s i nβ相等的线段.生㊀(出示图５)分别过点A和B作x轴的垂线,交点分别为M和P,则AM＝s i nα, O M＝c o sα,B P＝s i nβ,O P＝c o sβ.图４㊀图５师㊀严格来说,正弦线是M A而不是AM,但是我们有个前提,即α是锐角,所以问题不大.三角函数线的作用就是利用有向线段的长度来表示三角比.我们今天也利用这种方法来证明两角差的余弦公式.请同学们在图中找到一条线段,使其长度等于c o s(α－β).生㊀(出示图６)过点A作A NʅO B,垂足为N,因为O A＝１,所以O N＝c o s(α－β).师㊀请同学们通过他的方法用一条线段表示c o sαc o sβ㊁s i nαs i nβ.生㊀把c o sα看成斜边,以β为一个内角构造直角三角形;把s i nα看成斜边,以β为一个内角构造直角三角形.(出示图７)过点M作O B的垂线,垂足为H,则在R tәO MH中, O H＝c o sαc o sβ;不难发现øM A N＝β,所以过点M作A N的垂线,垂足为Q,则在R tәAM Q中,M Q＝s i nαs i nβ.图６㊀图７师㊀由此,你能证明两角差的余弦公式吗?生㊀通过O N＝O H＋HN,HN＝M Q可以得到c o s(α－β)＝c o sαc o sβ＋s i nαs i nβ.师㊀没错,关键就是O N＝O H＋HN.我们回头看证明过程,证明的思想是用线段的长度表示三角比.当然,我们的证明有个前提:α㊁β为锐角.那么,如果角的范围变化了,结论还成立吗?比如,设αɪ２π,５２πæèçöø÷,β为锐角,请问:如何计算c o s(α－β)?生㊀由c o s(α－β)＝c o s(α－２π－β),再展开,即可得到公式.我们发现,公式也成立.因此,当α㊁β在其他范围内时,可以利用诱导公式证明公式成立.师㊀这里,我们用到了一种思想,即用α－２π去代换α.代换思想在三角学研究中非常重要.请同学们利用这种思想计算c o s(α＋β).生㊀c o s(α＋β)＝c o s[α－(－β)]＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ.师㊀这样,我们就得到了两角和的余弦公式.今天,我们也学会了一种解决问题的方法:先猜想,再证明.(播放时长４分钟的微视频:由两角和与差的余弦公式引入,指出公式本身呈现出对称之美,而历代数学家不遗余力地去证明它,更是体现了他们对方法之美的追求;接着追溯两角和与差的余弦公式推导的历史.)师㊀(视频播放到介绍完帕普斯模型时,暂停)同学们的思想和数学家们的思想差不多.可见,只要在数学中付出更多的努力,就能在数学上取得更大的成就.(学生兴奋.)师㊀(视频播放到介绍完麦克肖恩方法时,结束)他的方法就是课本给出的方法.现在请大家看一下课本上的证明.(学生阅读.)师㊀麦克肖恩为什么会想到将图形进行旋转?生㊀将角α－β的始边旋转到x 轴的正半轴上.师㊀非常好!这个也是我们将角推广到任意角的常见方法.那么,他又是怎样想到用线段长度来计算的呢?旋转过程中,图形位置发生变化,也有一些不变的量,是什么?生㊀角与线段长度不变.生㊀利用|A B |＝|A ᶄB ᶄ|,再利用两点间的距离公式展开,即可得到公式.(三)练习巩固,深化认识首先,利用例１所示的具体求值问题,引导学生简单应用公式.其次,通过例２所示的一般证明问题,引导学生熟练运用公式,并体会三角的代换思想.例１㊀利用两角和与差的余弦公式求值:(１)c o s ７５ʎ;(２)c o s π１２.例２㊀证明下列恒等式:(１)c o s π２－αæèçöø÷＝s i n α;(２)s i n π２－αæèçöø÷＝c o s α.(四)回顾总结,盘点收获首先,引导学生总结本节课主要运用的两种推导两角和与差的正㊁余弦公式的方法:帕普斯模型方法的核心思想是利用三角函数线去表示三角比的值,而麦克肖恩的方法是利用图形的旋转以及两点间的距离公式.其次,引导学生总结本节课主要学到的重要的数学思想:数形结合㊁代换转化等.最后,引导学生感悟:历史上数学家们孜孜不倦地改进两角和与差的正㊁余弦公式的证明方法,反映了他们对于真善美的不懈追求,体现了他们的创新精神;只要我们深入思考,努力探究,我们也能想数学家之所想,在不知不觉中成为课堂上的 小小数学家.三㊁学生反馈课后,我们收集了全班４０名学生对于本节课的反馈信息.对于这节课的教学内容,全部学生都表示听懂了,其中７０％的学生表示完全听懂了.对于数学史融入课堂的教学方式,９５％以上的学生表示喜欢.对于两角和与差的余弦公式的推导,喜欢帕普斯模型的学生给出的理由如下:直观㊁清晰;由锐角的情形推广到任意角的情形,可以对公式理解得更深刻一些;与初中知识结合,更容易想到;有引导性,能带动大家的思考,可以培养思维.喜欢麦克肖恩方法的学生给出的理由如下:巧妙运用图形的旋转㊁两点间的距离公式等常见数学方法和知识,通俗易懂且适用于任意角;建立在众多前人的证明方法的基础上,达到了完美的地步.对于两角和与差的余弦公式的运用,绝大多数学生都是正确的.对于本节课所体现的数学思想,大部分学生提到了数形结合㊁代换㊁化归等数学思想,另外还有学生提到了 学贵有疑 的一般思想.对于本节课中印象最深的内容,大部分学生提到了数学文化,例如:让人愉悦的小视频追溯了公式的历程,其中推导方法由繁至简,让我对公式来源有了一定的了解,并从中找到了自己喜欢的证法;比较深入地引入了数学史作为公式理解的辅助,让我比较直观地了解了两角和与差的余弦公式的精神;数学家们勇于质疑㊁不断改进的精神,实现了从难以理解的方法到通俗易懂的方法的转变;两角和与差的余弦公式十分整齐且有对称美.四㊁教学反思任何数学公式都不是凭空产生的,其背后都有漫长的历史,都蕴含着精彩的思想方法和丰富的人文元素.如果仅仅让学生机械地记忆公式,那么,公式就是静态的㊁冰冷的㊁枯燥的㊁无生命的.从历史的视角来呈现公式,可赋予公式以鲜活的生命.本节课让学生 穿越时空,与数学家对话 ,既沟通了历史和现实,也沟通了数学和人文.本节课中,借鉴历史,从猜想到证明㊁从几何到三角㊁从锐角到任意角的过程,实际上再现了两角和与差的余弦公式自然发生和发展的过程,体现了 知识之谐 ;而在知识的发生和发展过程中,教师给予学生探究机会,引导他们解决问题,从而获得成功的体验,体现了 探究之乐 ;除了帕普斯模型的证明方法,微视频还展现了数学史上丰富多彩的证明方法,并利用麦克肖恩的证明来衔接教材上的证明,体现了 方法之美 ;而帕普斯模型彰显了几何与代数之间的联系,有助于培养学生的直观想象和逻辑推理等数学核心素养以及表征转化能力,体现了 能力之助 ;两角和与差的余弦公式的起源揭示了数学与天文学之间的联系,不同时空的数学家对两角和与差的余弦公式给出的不同的证明方法揭示了数学文化的多元性以及数学家追求真善美的人文精神,体现了 文化之魅 ;而引导学生穿越时空,走进数学家的心灵之中,亲近数学,建立自信,体现了 德育之效 .∗本文系本刊连载的汪晓勤教授团队开发的H P M案例之一,也系华东师范大学H P M工作室开发的系列课例之一.参考文献:[１]胡晓莉． 两角差的余弦公式 教学设计[J]．中小学数学(高中版),２００９(７~８)．[２]杨育池．多一点精心预设,融一份动态生成 两角差的余弦公式 教学设计[J]．数学通报,２００９(１１)．[３]臧立本．两角和与差的余弦公式教学实录与反思[J]．中学数学月刊,２０１０(４)．[４]刘次律,张维忠． 两角差的余弦公式 教学设计研究[J]．中学数学教学参考(上旬),２０１５(１２)．[５]朱胜强．两角和差余弦公式的探究性教学[J]．数学通报,２０１３(９)．[６]李杰平．让课堂生成变得更高效 以 两角差余弦公式 的教学为例[J]．中国数学教育,２０１３(１２)．[７]高洪武．基于学情㊁关注学法的数学公式课设计 两角差的余弦公式 的教学及反思[J]．中小学数学(高中版),２０１４(５)．[８]魏韧．追求自然朴实的数学教学 以两角和与差的余弦公式教学为例[J]．数学通报,２０１４(１１)．[９]吕兆勇．追求自然㊁发展的探究式教学 以 两角和与差的余弦 教学为例[J]．中小学数学(高中版),２０１５(４)．[１０]戴圩章． 以生为本 从新课导入开始 以两角和与差的余弦公式教学为例[J]．数学通报,２０１５(９)．[１１]汪晓勤．H P M:数学史与数学教育[M]．北京:科学出版社,２０１７．[１２]张小明．两角和差的三角公式推导 数学史融入数学教学的实例研究[J]．数学教学,２００７(２)．[１３]张海强．基于数学史的 两角和与差的余弦 的教学设计[J]．数学通讯,２０１４(６)．[１４]陈清华,徐章韬．既基于历史,又与时俱进 高观点下的 两角和与差的正㊁余弦公式 教学设计[J]．中小学数学(高中版),２０１３(９)．[１５]汪晓勤．２０世纪中叶以前西方三角学文献中的和角公式[J]．数学通报,２０１６(６)．。

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：市经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学根本流程：。

教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。

由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教A 版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。

本节课的作用承前启后,非常重要。

二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。

但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C (α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。

由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。

根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下： 1．知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。

（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。

2．过程与方法（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。

（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。

3．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。