函数与u(t)卷积

一、实验目的1. 理解信号卷积的概念及其物理意义。

2. 掌握信号卷积的图解方法及结果分析。

3. 通过实验加深对信号处理中卷积运算的理解和应用。

二、实验原理信号卷积是信号处理中一个重要的概念，它描述了两个信号相互作用的结果。

卷积运算可以表示为：y(t) = x(t) h(t)其中，y(t)是输出信号，x(t)是输入信号，h(t)是系统的冲激响应。

卷积运算的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。

三、实验仪器与设备1. 双踪示波器2. 信号发生器3. 信号源及频率计模块4. 数字信号处理模块5. 计算机及MATLAB软件四、实验数据1. 输入信号x(t)（1）方波信号：周期为T，幅度为A。

（2）三角波信号：周期为T，幅度为A。

2. 冲激响应h(t)（1）矩形脉冲信号：宽度为τ，幅度为B。

（2）高斯脉冲信号：标准差为σ，幅度为B。

3. 输出信号y(t)（1）方波信号与矩形脉冲信号的卷积（2）三角波信号与高斯脉冲信号的卷积五、实验步骤1. 使用信号发生器产生方波信号、三角波信号、矩形脉冲信号和高斯脉冲信号。

2. 将信号输入数字信号处理模块，进行信号处理。

3. 使用双踪示波器观察输入信号、冲激响应和输出信号的波形。

4. 使用MATLAB软件对信号进行卷积运算，并与示波器观察到的波形进行对比分析。

六、实验结果与分析1. 方波信号与矩形脉冲信号的卷积输入信号x(t)为方波信号，冲激响应h(t)为矩形脉冲信号。

根据卷积公式，输出信号y(t)为：y(t) = x(t) h(t) = A (u(t) - u(t-τ))其中，u(t)为单位阶跃函数。

从示波器观察到的波形可以看出，输出信号y(t)为方波信号，且周期与输入信号相同。

MATLAB仿真结果与示波器观察到的波形一致。

2. 三角波信号与高斯脉冲信号的卷积输入信号x(t)为三角波信号，冲激响应h(t)为高斯脉冲信号。

单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积推导概述1. 卷积是信号处理中非常重要的一种数学运算，用于描述两个信号之间的相互影响关系。

而单位阶跃函数是一种特殊的信号，其在信号处理中具有重要的作用。

本文将对单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积进行推导和分析，以便读者更好地理解这一概念。

单位阶跃函数的定义2. 单位阶跃函数通常用u(t)表示，其定义如下：\[ u(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ 1, t\geq0 \end{cases} \]这意味着在t=0时，单位阶跃函数跃升为1，在t<0时为0。

单位阶跃函数在信号处理中常常用于描述系统的开关情况，以及描述某些事件从无到有的瞬间过渡。

卷积的定义3. 两个信号f(t)和g(t)的卷积表示为：\[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \]其中*表示卷积运算，f(t)和g(t)为两个信号，τ为积分变量。

卷积的物理意义是在时刻t时，信号f(t)与平移后的信号g(t-τ)的乘积在整个时间轴上的积分。

单位阶跃函数的卷积推导4. 接下来我们将推导单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积。

设f(t)=u(t)，g(t)=u(t)，根据卷积的定义，单位阶跃函数的卷积为：\[ (u*u)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)u(t-\tau)d\tau \]5. 根据单位阶跃函数的定义，可以得知u(τ)在τ<0时为0，在τ≥0时为1，而u(t-τ)在t<τ时为0，在t≥τ时为1。

因此在积分区间内，当τ<0或者t-τ<0时，u(τ)u(t-τ)为0；当0≤τ≤t时，u(τ)u(t-τ)为1。

因此上述积分可以被简化为：\[ (u*u)(t) = \int_{0}^{t} u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t} 1d\tau \]6. 对上述积分进行求解，得到：\[ (u*u)(t) = \left. \tau \right|_0^t = t \]7. 单位阶跃函数与单位阶跃函数的卷积结果为：\[ (u*u)(t) = t \]这表明两个单位阶跃函数的卷积是一个斜坡信号，其斜率为1。

信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。

信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。

1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。

4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。

5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。

第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。

121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。

单位冲激函数和冲击函数是信号与系统理论中常见的两种函数形式，它们在控制理论、信号处理、电路分析等领域中有着重要的应用。

虽然它们在名称上非常相似，但它们的数学定义和物理意义却有着明显的区别。

本文将从数学定义、性质和应用等方面对单位冲激函数和冲击函数进行比较，帮助读者清晰地理解它们之间的区别。

一、单位冲激函数的定义和性质1.1 单位冲激函数的数学定义单位冲激函数通常用δ(t)来表示，其数学定义为：δ(t) = \begin{cases} 0, t\neq 0 \\ +\infty, t=0 \end{cases}单位冲激函数在t=0时取无穷大，在其他时刻取零。

在实际应用中，单位冲激函数常常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号。

1.2 单位冲激函数的性质（1）面积为1：单位冲激函数的面积为1，即∫δ(t)dt=1。

（2）零相位：单位冲激函数的频谱幅度恒为1，相位为0。

（3）与任意函数的卷积：单位冲激函数与任意函数f(t)的卷积满足δ(t)*f(t)=f(t)。

二、冲击函数的定义和性质2.1 冲击函数的数学定义冲击函数通常用u(t)来表示，其数学定义为：u(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ 1, t\geq 0 \end{cases}冲击函数在t=0时从0跃迁到1，表征了一个瞬时的冲击信号。

冲击函数也常被称为跃变函数。

2.2 冲击函数的性质（1）面积为½：冲击函数的面积为½，即∫u(t)dt=½。

（2）无相位：冲击函数的频谱幅度恒为1，相位不确定。

（3）与任意函数的卷积：冲击函数与任意函数f(t)的卷积满足u(t)*f(t)=∫f(τ)dτ。

三、单位冲激函数和冲击函数的区别3.1 数学定义的区别单位冲激函数在t=0时取无穷大，其他时刻取零；冲击函数在t=0时从0跃迁到1，其他时刻取1。

3.2 物理意义的区别单位冲激函数常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号，用于描述系统的冲击响应；冲击函数常被用于表示系统的跃变响应，表征系统由静止到激活的瞬时过程。