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第三章 线性方程组本章包含两个内容：向量和线性方程组.研究线性方程组的解是《线性代数》的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系.§1 线性方程组定义3.1 由m 个方程n 个未知量组成的线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 矩阵形式是：b Ax =其中矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a aa a a A 212222111211，b =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m b b b 21, x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m x x x21分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称()b A 为增广矩阵，满足线性方程组的有序数组n x x x ,,,21 称为线性方程组的解，线性方程组的全部解组成解集，求解的过程称为解线性方程组.对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换.显然，以下三种变换是同解变换：(1) 交换两个方程的位置；(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边；(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上. 2 线性方程组的消元解法 线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换，逐步消去未知量化为一元一次方程，得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。
也就是两个过程：消元和回代。
观察下面的例子，体会同解变换和消元法：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=++42321321321321x x x x x x x x x 〔1〕 先把第1个方程的〔-1〕，〔-2〕倍分别加到第2，3个方程上去，消去1x ：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=++6334213232321x x x x x x x 〔2〕 把第3个方程两边同乘〔-1/3〕并且和第2个方程换位置：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=++42213232321x x x x x x x 〔3〕 再把第2个方程的2倍加到第3个方程上去，消去2x ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++0321332321x x x x x x 〔4〕 在中学时，我们一般从第3个方程得到3x 回代到第2个方程得到2x ，再把2x 和3x 回代到第1个方程中，得到1x 。
现在我们把第3个方程乘〔1/3〕，再将其〔-1〕倍加到第1，2个方程上去，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+0213221x x x x 〔5〕 然后把第2个方程的〔-1〕倍加到第1个方程上去，得到⎪⎩⎪⎨⎧=-==021321x x x 〔6〕 以上的解法中，方程组〔1〕变化到〔4〕的过程是消元，后面2个步骤是回代。
无论是消元还是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量本身并未改变；而且对方程组所作的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换。
因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换。
通过对消元法解线性方程组的观察和分析〔可以写出每个过程对应的矩阵〕，我们必须建立以下的观念：✧ 线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程；✧ 在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些方程组都是同解方程组〔也可以叫做等价方程组〕！ ✧ 消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵； ✧ 回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； ✧ 解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！ 对增广矩阵()b A 作行初等变换，可以化为矩阵B ：()B d d c c d c c c d c c c c b b b a a a a a a a a a b A r r rn rr nrn r r m mn m m n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+0000000000000000122222111121121212222111211 观察到⇔≠+01r d 方程组无解；⇔=+01r d 方程组有解。
并且1)(,)(01+==⇔≠+r b A R r A R d r ，即)()(b A R A R ≠； r b A R A R d r ==⇔=+)()(01进一步地分析，当n r b A R A R ===)()( 时，方程组有唯一解；当n r b A R A R <==)()( 时，方程组含有r n -个自由未知量n r x x ,1+，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。
因此我们得到下面的定理。
定理 非齐次线性方程组b x A n m =⨯有解的充分必要条件是)()(A R b A R = ，并且n A R b A R ==)()( 时有唯一解，n A R b A R <=)()( 时有无穷多解。
定理3.2 齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解的充分必要条件是 ()n A R <，=Ax 0仅有零解的充分必要条件是()n A R =.推论1 当n m <时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解. 这是因为当n m <时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0的系数矩阵的秩一定小于n .推论2 当n m =时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解的充要条件是0=A ；仅有零解的充要条件是0≠A 。
要清楚以上定理中的n 是未知量的个数，m 是方程的个数。
但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数。
3 线性方程组的消元解法步骤解非齐次线性方程组b x A n m =⨯的步骤：(1) 写出b x A n m =⨯对应的增广矩阵)(b A ；(2))()(A R b A R = ?假设不相等，得出无解的结论，假设相等就进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，n A R b A R ==)()( 时可直接写出它的唯一解，n A R b A R <=)()( 时，进行下一步；(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的r n -个自由未知量〔非首元所在列〕为任意常数：r n c c c -,,,21 ，并把其它未知量〔首元所在列〕用r n c c c -,,,21 表示.增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简形矩阵用于求解.解齐次线性方程组=⨯x A n m 0的步骤：(1) 写出=⨯x A n m 0对应的系数矩阵A ；(2)n A R =)(?假设n A R =)(，得出仅有零解的结论，假设n r A R <=)(进行下一步； (3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的r n -个自由未知量〔非首元所在列〕为任意常数：r n c c c -,,,21 ，并把其它未知量〔首元所在列〕用r n c c c -,,,21 表示.无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最简形矩阵.例3.1 解下面的线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x 解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=80311102132124)(Ab⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----6000102138331 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----600034111008331得到3)(,2)(==Ab R A R ，说明秩不相等，所以方程组无解.例3.2 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-=-+=+-16334053332321321321321x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1631311405133312)(Ab ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1631362138212941 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------115701320517602941 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----517601*********41 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----292900770042102941B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110042102941发现3)()(==Ab R A R ，说明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵：B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110020107041 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110020101001 得到解：21r r - ()2132r r r +- 123r r - 1223r r r r -- 41r r - 1312r r r r -- 14r r - 24r r - 24r r ↔ 232r r - 246r r - 322r r - 319r r - 214r r +⎪⎩⎪⎨⎧===121321x x x 例3. 3 k 为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小k 值时方程组的通解.()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(206202253121321x k x x k x x x x k 解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的方便，令t k =-5，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=10201222402062225t t t k kkA⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-01222102t tt ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----t t t t t 110)4(21201022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----t t t t t 110)4(401022 B t t t t t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)9(4100)4(4010232 令0)9(413=-t t ，得0=t 或3±=t ，即852===k k k 或或时，32)(<=A R ，齐次线性方程组有非零解.当2=k 时，3=t ， ⎝⎛-=→000240202B A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫-0002110101,等价方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02103231x x x x 令自由未知量c x =3，c 为任意常数，得到全部解：⎪⎩⎪⎨⎧==-=cx c x c x 32121如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可行性.在本例中，如果不先换行，而作变换：122r tr -使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不能确定是否0=t 作初等行变换，有时计算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以13r r ↔ 32r r ↔ 22r -用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值〔克莱姆法则〕，再用矩阵的初等行变换〔消元法〕求出解. 本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式：令09102012224020622253=-=-+=---=t t t t t k kkA 〔记t k =-5〕 得0=t 或3±=t ，即852===k k k 或或； 当2=k 时，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0002110101202042223r A得到方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧==-=cx c x cx 321213.2 向量及其运算1 向量的定义定义3.2 n 个有序的数n a a a ,,,21 组成的数组称为n 维向量 ，n 称为向量的维数，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数i a 是第i 个分量，每个分量都是实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量. 本课程仅讨论实向量.向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α或 ),,,(21n a a a =α一个行向量的转置是一个列向量，一个列向量的转置是一个行向量.一个列〔行〕向量可以看成一个列〔行〕矩阵.对于向量，我们有以下的说明：(１) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； (２) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；(３) 当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.定义3.3 每个分量都是零的向量称为零向量，记作0；将向量α的每个分量变成相反数得到的向量称为α的负向量，记作α-. 有不同维数的零向量.定义3.4 假设干个维数相同的向量组成的集合称为向量组.线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量，解的集合称为解向量组.向量组：)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21 ===Tn TTεεε称为初始单位向量组，有不同维数的初始单位向量组.2 向量的线性运算定义3.5 当且仅当两个向量βα,的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等，记作：βα=.即：假设有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 21β，那么),,2,1(n i b a i i ==⇔=βα下面我们定义向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算.(1) 加法设有两个n 维向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 21β，称向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n b a b a b a2211为α与β和，记作：βα+，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+n nb a b a b a 2211βα(2) 数乘设有n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α和数k ，称向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ka ka ka21为数k 与向量α的乘积，记作αk ，即:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ka ka ka k 21α 根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=-n n b a b a b a 2211βαβα行向量的线性运算类似上述列向量的运算.定义3.6 向量的加法和数乘运算统称为线性运算.既然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同，也就具有相同的算律，这里不再重复.3 向量与矩阵、方程组的关系一个矩阵n m A ⨯的每一行元素可以构成一个向量，得到m 个n 维的行向量，称为矩阵n m A ⨯的行向量组.每一列元素可以构成一个向量，得到n 个m 维的列向量n ααα,,,21 ，称为矩阵n m A ⨯的列向量组.用分块矩阵的观点看，矩阵n m A ⨯以列向量为子块：)(21n A ααα =，也可以以行向量为子块Tm A )(21ααα =.如果矩阵)(21n A ααα =是n 阶方阵，那么它的行列式可以写成n A ααα 21=. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到n 个m 维列向量Tm j j j j a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n j =，常数项也组成一个m 维列向量β，用向量的线性运算表示为：βααα=+++n n x x x 2211那么齐次线性方程组可表示为=+++n n x x x ααα 22110在方程组中n ααα,,,21 是未知量n x x x ,,,21 的系数，而在向量的运算中，可以把n x x x ,,,21 看成是向量n ααα,,,21 的系数.这在向量关系的讨论中很重要.例 3.4 已知向量()()()1,3,5,1,5,3,2,0,3,0,1,2321--=-==ααα，求一个向量α使得()()()αααααα+=-++321432成立.解 先将所求向量α用向量321,,ααα表示出来，再作向量的线性运算.由于()()()()3213214251432αααααααααα++=⇒-=-++ 所以()()()[]1,3,5,145,3,2,03,0,1,2251--+-+=α ()()3,3,4,015,15,20,051-=-= 例3.5已知向量()()()4,5,,,0,1,0,,2-=-==c b a γβα，且=++γβα0.求：c b a ,,的值. 解 ()()()4,5,,0,10,,2-+-+=++c b a γβα()=+-+=4,5,1b a c 0根据向量相等的定义04,05,01=+=-=+⇒b a c 1,4,5-=-==⇒c b a§3.3 向量组的线性相关性1 线性组合线性组合研究一个向量与一个向量组的关系.定义3.7 对于给定的向量组n ααα,,,21 和向量β，如果存在一组数n k k k ,,,21 使得n n k k k αααβ+++= 2211 ()成立，那么称向量β是向量组n ααα,,,21 的一个线性组合，或者说向量β可以由向量组n ααα,,,21 线性表示，数n k k k ,,,21 称为组合系数。
