江苏省无锡一中高三数学文科综合试卷

C 1B 1A 1CBA无锡一中高三数学（文）中档题4 班级____姓名_____________一、填空题1.已知复数122,34z m i z i =+=-，若12z z 为实数， 则实数m =___________．2.执行如图所示的流程图后，输出的结果是___________．3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若37108a a a +-=，1144a a -=，则13S =__________． 4．三棱柱111ABC A B C -所有棱长均等于1， 且11=60A AB A AC ∠=∠， 则该三棱柱的体积是_________．5.已知(sin ,2)a θ=，(cos ,1)b θ=，且a //b ，则sin 2θ=_________．6.如果圆22()()2x a y a -+-=上有且只有两个点到原点的 距离为1，则正实数a 的取值范围是___________．7.()f x 是定义R 上的偶函数，当0x <时，'()()0xf x f x -<，且(4)0f -=，则不等式()0f x x <的解集为___________．8.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值是___________ 二、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M ,N 分别为BC ,PA 的中点，且PA =AB =2.（1）证明：BC ⊥平面AMN ；（2）在线段PD 上是否存在一点E ，使得MN ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.10.在ABC ∆中，113AB AC AB BC ⋅=-⋅=.求：（1）AB 边的长度； （2）求sin()3sin A B C-的值.P N B MCDA xO AB C CD y11. 如图，在半径为30 cm 的半圆形（O 为圆心）铅皮上截取一块矩形材料ABCD . （1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将矩形铅皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求出最大体积.12.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为2x =-,点P 在准线l 上，纵坐标为13(,0)t t R t t-∈≠，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t .（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程.。

2022-2022学年江苏省无锡一中高三（上）第一次质量检测数学试卷（文科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合，n∈R，若直线：mn﹣1=0与轴相交于点A，与轴相交于点B，且与圆22=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 3 ．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2n2的值，再由直线与轴交于A点，与轴交于B点，由直线的解析式分别令=0及=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将m2n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．解答：解：由圆22=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线与圆22=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线的距离d==，∴圆心到直线：mn﹣1=0的距离d==，整理得：m2n2=，令直线解析式中=0，解得：=，∴A（，0），即OA=，令=0，解得：=，∴B（0，），即OB=，∵m2n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S△ABC=OA•OB=≥=3，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．9．（5分）将函数f（）=inω（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是 2 ．考点：由=Ain（ωφ）的部分图象确定其解析式；=Ain（ωφ）中参数的物理意义．专题：计算题．分析：求出图象变换后所得图象对应的函数为=inω（﹣），再由所得图象经过点，可得ω•=π，由此求得ω的最小值．解答：解：将函数=inω（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为=inω（﹣）．再由所得图象经过点可得inω=in（ω）=0，∴ω•=π，∈Z．又ω＞0故ω的最小值是2，故答案为：2．点评：本题主要考查=Ain（ω∅）的图象变换，以及由=Ain（ω∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．10．（5分）满足f（）=f（）f（）1的函数f（）的解析式可以是f（）=﹣1 ．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：开放型．分析：只要写出一个满足所给条件的函数即可．解答：解：当f（）=﹣1时，f（）=﹣1，f（）f（）1=（﹣1）（﹣1）1=﹣1 所以满足条件f（）=f（）f（）1，故函数函数f（）的解析式可以是f（）=﹣1．故答案为f（）=﹣1．点评：此题是一个开放型题目，只要写出满足条件的就好，只要细心得分很容易．11．（5分）（2022•黑龙江）数列{a n}满足，则{a n}的前60项和为1830 ．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：令b n1=a4n1a4n2a4n3a4n4，则b n1=a4n1a4n2a4n3a4n4=a4n﹣3a4n﹣2a4n﹣2a4n16=b n16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n1=a4n1a4n2a4n3a4n4则b n1=a4n1a4n2a4n3a4n4=a4n﹣3a4n﹣2a4n﹣2a4n16=b n16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1a2a3a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列12．（5分）不等式2﹣1≥a|﹣1|对任意的∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：不等式2﹣1≥a|﹣1|含有绝对值，可以分类讨论先去掉绝对值，再利用常数分离法进行求解；解答：解：∵不等式2﹣1≥a|﹣1|对任意的∈R恒成立，若＞1可得，2﹣1≥a|﹣1|=a（﹣1），∴a≤1在＞1上恒成立，∴a≤2；若=1可得0≤0，恒成立；若＜1可得a≤﹣1﹣在＜1上恒成立，∴a≤﹣2，综上取交集可得：a≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]；点评：本题主要考查了不等式的解法以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．合理地进行变量分离，利用不等式的性质求最值，是解决本题的关键13．（5分）（2022•黑龙江）设函数f（）=的最大值为M，最小值为m，则Mm= 2 ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：函数可化为f（）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（）=的最大值与最小值的和．解答：解：函数可化为f（）==令，则为奇函数∴的最大值与最小值的和为0∴函数f（）=的最大值与最小值的和为110=2即Mm=2故答案为：2点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．14．（5分）已知函数f（）=|2﹣2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：由f（）=|2﹣2|，结合f（a）≥f（b）得出（a2﹣2）2﹣（b2﹣2）2≥0，分解为（a2b2﹣4）（a﹣b）（ab）≥0，又根据且0≤a≤b，在平面直角坐标系第一象限角平分线上方画出满足已知条件的约束条件，然后代入面积公式求出可行域的面积．解解：∵由f（）=|2﹣2|，结合f（a）≥f（b）得出（a2﹣2）2﹣（b2﹣2）2≥0，分解答：为（a2b2﹣4）（a﹣b）（ab）≥0，可得约束条件：其对应的可行域为扇形，如下图示：其大小为八分之一个圆．故所求面积为：故答案为：．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知集合，B={|（﹣2）（﹣3a﹣1）＜0}．（1）若a=2，求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把a=2代入集合A，根据对数函数的性质，可得，从而求出集合A；（2）因为B⊆A，可以解出集合B，根据子集的性质，讨论集合B为空集的情况，从而进行求解；解答：解：（1）集合，把a=2代入A，根据对数函数的性质，可得得集合A=（﹣∞，0）∪（5，∞）；（2）当时，B=∅⊆A，符合题意，当时，有B=（2，3a1），A=（﹣∞，0）∪（a21，∞），由B⊆A得a21≤2，所以，当时，有B=（3a1，2），A=（﹣∞，0）∪（a21，∞），由B⊆A得a21≤3a1，所以，当a=0时，不合题意，舍去，当a＜0时，有B=（3a1，2），A=（0，a21），由B⊆A得，无解，综上，实数a的取值范围是（0，1]．点评：此题主要考查对数函数的定义域，以及子集的性质，是一道基础题，解题过程中用到了分类讨论的思想；16．（12分）已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点与圆M相切，利用圆心到直线的距离等于半径求得m，判断即可．解答：解：（1）设圆心M（a，b），由题意可知，解得，所以圆M的方程为（﹣r﹣3）2=r2；（2）圆心M（r，r3）在直线=23上移动，且半径为r，设直线：=2m与圆M相切，则=r，解得m=3±r，所以不存在定直线与圆相切．点本题考查直线与圆的位置关系，考查理解题意与解方程组的能力，属于中档题．评：18．（14分）（2022•镇江一模）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出coA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=，AF=，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S三角形ABC﹣S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC 上，设CE=，CF=，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．解答：解：（1）因为：AE=CE= AE4＞CE3 所以F不在BC上，AEAFEF=CECBFBEF所以AE=CE AF=CBBF 4﹣BF=BF3 BF=coA==所以EF2=AE2AF2﹣2AE×AF×coA=所以EF=E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上，inA=设AE=，AF=，所以S2=inA=S1=S三角形ABC﹣S2=2﹣S2因为=3﹣4﹣3所以=5=﹣1≤当且仅当==时取等号所以=当且仅当==时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上，inC=设CE=，CF=同上可得≥当且仅当==取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及利用基本不等式求最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．19．（14分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n1=2S n2（n∈N*），（1）求a2以及数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d n的等差数列．（ⅰ）求证：（n∈N*）；（ⅱ）求证：在数列{d n}中不存在三项d m，d，d t成等比数列．（其中m，，t依次成等比数列）考点：数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a1=2，a n1=2S n2（n∈N*），知a2=2S12=6，由a n1=2S n2，得a n2=2S n12，由此能求出．（2）（ⅰ）由题意可知，，通过错项相减能够证明（n∈N*）．（ⅱ）假设数列{d n}中存在三项d m，d，d t成等比数列，则，推导出m==t，由题设知m==t不成立，故在数列{d n}中不存在三项d m，d，d t成等比数列．解答：解：（1）∵a1=2，a n1=2S n2（n∈N*），∴a2=2S12=2×22=6，由a n1=2S n2，得a n2=2S n12，两式相减得a n2=3a n1，又a2=3a1，且a n≠0，所以数列{a n}是等比数列，且a1=2，q=3，∴．（2）（ⅰ）由题意可知，，通过错项相减求得；（ⅱ）假设数列{d n}中存在三项d m，d，d t成等比数列，则，即，整理，得（=，∴，∴m，，t依次成等比数列，且m，，t依次成等差数列，∴m==t，∵，在a n与a n1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d n的等差数列，∴m==t不成立，∴在数列{d n}中不存在三项d m，d，d t成等比数列．点评：本题考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明和数列不可能是等比数列的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和反证法的合理运用．20．（16分）已知a为实数，函数，g（）=（1a）e，记F（）=f（）•g（）．（1）若函数f（）在点（0，1）处的切线方程为﹣1=0，求a的值；（2）若a=1，求函数g（）的最小值；（3）当时，解不等式F（）＜1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）对f（）进行求导，根据已知条件函数f（）在点（0，1）处的切线方程为﹣1=0，可得f′（0）=﹣1，可以求出a值；（2）a=1代入g（），对其进行求导，得到极值点，利用导数研究函数的单调性问题；（3）把a=﹣代入f（）和g（），从而得到F（），再代入不等式F（）＜1进行求解；解答：解：（1）∵函数，g（）=（1a）e，可得，∵f'（0）=a=﹣1，所以a的值为﹣1；（2）由g'（）=e（1）e=0得=﹣2，当＜﹣2时，g'（）＜0，g（）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，当＞﹣2时，g'（）＞0，g（）在（﹣2，∞）上单调递增，所以函数g（）的最小值为g（﹣2）=﹣e﹣2；（3）当时，，即，设，则m（0）=0，，所以m（）的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）和（﹣2，∞），而当＜﹣2时，总有成立，所以不等式F（）＜1的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，∞）．点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性和最值问题，前两问比较简单，第三问考查解不等式，不是一元二次不等式，可以根据导数进行求解，是一道中档题；。

无锡一中高三数学（文）中档题6 班级____姓名_____________一、填空题1.设集合{}25(3)A a =+，log ，{},B a b =（,a b R ∈），若{}1A B =，则A B =_______．2.若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．3.某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号应该是___________．4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,A B C 成等差数列.若3,2AB BC b ⋅=-=a c +的值为________． 5.已知数列{}n a 对任意的,p q *∈N 满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a =_______．6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上的一点，且1212,PF PF PF F ⊥∆的面积为2ab ，则双曲线的离心率e =___________．7.已知函数32()(1)3f x x a x x b =+-++的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是___________．8.设ABC ∆的BC 边上的高,,,AD BC a b c =分别表示角,,A B C 对应的三边，则b c c b+的取值范围是___________．二、解答题9.已知函数2()1f x x =-， ()1g x a x =- ，（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围.（2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数实数a 的取值范围.10.某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如ABC ∆的支架，要求60,ACB BC ∠=︒的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为节省材料，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，且当AC 最短时，BC 的长度为多A少米？.11.过椭圆22412x y +=的右焦点F 作直线l 与该椭圆分别交于,A B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =，求过,,O A B 三点的圆的方程.12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且102055,210S S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n n a b a +=，是否存在,(2,,)m k k m k m *>≥∈N ，使得1,,m k b b b 成等比数列.若存在，求出所有符合条件的m ,k 的值；若不存在，请说明理由.。

江苏省无锡市第一高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.或参考答案：B2. 在下列四个命题中①是幂函数；②“”是“”的充分不必要条件；③命题“存在，”的否定是：“任意，”④若，则函数只有一个零点。

其中错误的个数有（）个A．4 B．2 C．3 D．1参考答案：B略3. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样参考答案：C【考点】分层抽样方法．【专题】阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4. 已知集合, 则∩（）A． B． C． D．参考答案：D略5. 点为不等式组表示的平面区域上一点，则取值范围为（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6. 已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是()A．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)B．f(－0.5)<f(0.6)<f(0)C．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)参考答案：A7. △ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．8. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9. 已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R上为减函数，则在命题和中，真命题是 ( )A. B. C.D.参考答案：C略10. 下列命题正确的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题B．命题“若，则”的逆命题为真命题C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设直线与圆相交于A、B两点，且弦长，则=________。

无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期阶段性质量检测试卷高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若虚数z 使得2z z +是实数，则z 满足（ ）A. 实部是12- B. 实部是12C. 虚部是12-D. 虚部是12【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），计算2z z +，由其为实数求得a 后可得．【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+-++=+-++，2z z +是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =-．故选：A ．2. 已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤．若M N ⋂≠∅，则实数a 的取值集合为（ ）A. (],0-∞ B. (]0,4 C. ()0,∞+ D. [)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式可求得集合,M N ，由交集结果可构造不等式求得结果.【详解】由20x a -≤得：2a x ≤，则,2a M ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦；由2log 1x ≤得：02x <≤，则(]0,2N =；M N ⋂≠∅ ，02a∴>，解得：0a >，即实数a 的取值集合为()0,∞+.故选：C.3. 已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是+≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合基本不等式进行判断即可．【详解】充分性：∵0a >，0b >，1a b +≤，212a b +≤≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴211222a b =++≤+⨯=，当且仅当12a b ==时，等号成立，≤.必要性：当1a =，116b =≤成立，但1a b +≤不成立，即必要性不成立，所以“1a b +≤”是≤”的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（ ）A. 116-B.72C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}11,n n a S na =+为常数列，则n a =（ ）A. 113n - B.2(1)n n + C.2(1)(2)++n n D.523n -【答案】B 【解析】【分析】由条件可得11(1)n n n n S na S n a +++=++，然后可得12n n a na n +=+，然后用累乘法求出答案即可.【详解】因为数列{}n n S na +是常数列，所以11(1)n n n n S na S n a +++=++，因为11n n n a S S ++=-，所以1(2)n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，所以当2n ≥时1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ 12321211143(1)n n n n n n n n ---=⋅⋅⋯⋅⨯⨯=+-+，1n =时也满足上式，所以2(1)n a n n =+.故选：B6. 已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为 （ ）A. 24 B. 32C. 20D. 28【答案】C 【解析】【分析】转化()()112246()[(2)(2)]422x y x y x y x y +=+++-=++++-++，结合均值不等式，即可得解.【详解】,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20.故选：C.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,9B. 48[,]99C. 48(,]99D. 8(0,9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k=0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k=1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤.所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.8. 已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A. 31ln4+ B. 41ln3+ C. 3ln 3- D. 3ln 3+【答案】A 【解析】【分析】根据解析式研究()f x 、()g x 的函数性质，由()F x 零点个数知，曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，数形结合可得01m <<，12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，进而可得112123ln ,,333t t tx x x ===代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.【详解】由()f x 解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞，函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===，所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<，令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,)4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断()g x 与y m =的交点横坐标12,t t 的范围，进而得到123,,x x x 与12,t t 的关系，代入目标式并构造函数研究最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，20002022S S =，则（ ）A. 0d > B. 20110a = C. 40220S = D. 2011n S S ≥【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列下标性质和单调性即可解答.【详解】∵20002022S S =，∴201120120a a +=，又∵10a <，则0d >，A 正确；∴201120120,0a a <>，B 错误；∵()()140224022201120124022201102a a S a a +==+=，C 正确；∵201120120,0a a <>，0d >则等差数列{}n a 前2011项均为负数，从2012项开始均为正数，∴2011n S S ≥，D 正确.故选：ACD.10. 若函数f (x )=A sin (ωx +φ)，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是πB. 函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D. 若圆C 的半径为5π12，则()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由图象得到π3C x =，进而得到()f x 的最小正周期；B 选项，求出2π2πω==，π3ϕ=，从而得到π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，判断出函数不单调；C 选项，求出平移后的解析式，得到当π4x =时，0cosπ2y A ==，故不关于π4x =对称；D 选项，由圆的半径求出π0,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，进而代入解析式，求出A ，得到答案.【详解】A 选项，由图象可知，,M N 关于点C 中心对称，故2π0π323C x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，A 正确；B 选项，因为0ω>，所以2π2πω==，故()()sin 2f x A x ϕ=+，将π,03C ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得，sin 02π3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以2π2π5π333ϕ<+<，故2ππ3ϕ+=，解得π3ϕ=，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，因为sin y z =在5ππ,36z ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；C 选项，函数()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到s πππ63sin 22in 2cos 2y A x A x A x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π4x =时，0cos π2y A ==，故不关于π4x =对称，C 错误；D 选项，圆C 的半径为5π12，由勾股定理得4πOM ==，故π0,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得4sin 0ππ3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得A =，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD11. 已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A. 当0k >时，121x x +>B. 当0k >时，21e 2ex x +<C. 当0k <时，121x x +< D. 当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-【答案】ACD 【解析】【分析】求出()f x ¢，则可得f(x)在()0,e 上单调递增在()e,+∞上单调递减，则可画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne e x x x k x ==，结合图像则可判断AB 选项，当0k <时，则可得21e x x =，()10,1x ∈，构造函数即可判断CD 选项.【详解】()ln xf x x =，()ex x g x =，()21ln x f x x -∴='，∴当0e x <<时，()0f x ¢>，f(x)在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x ¢<，f(x)在()e,+∞上单调递减，所以()ln xf x x=图像如图所示：又()()12f x g x k ==，即2211ln lne ex x x k x ==，∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确；又1x 与2e x 均可趋向于+∞，故B 错误；的当2210,0e <1,e x xk x <<=，且()112110,1,ln x x x x x ∈∴+=+，记l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈，1()10h x x'=+>恒成立，即()h x 在(0,1)上单调递增，所以()(1)1h x h <=，即当()112110,1,ln 1x x x x x ∈+=<+成立，故C 正确；21e e kk x k x ⋅=，令()()()e ,0,1e k k g k k k g k k =+'=<，()g k ∴在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，()()11eg k g ∴≥-=-，故D 正确，故选：ACD.点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne ex x x k x ==，则可求出判断出AB 选项，构造函数l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈则可判断C 选项，构造函数()e ,0,k g k k k =<则可判断D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥．则||a b += ____________．【答案】5【解析】【分析】根据a b ⊥得到220m ⨯+=，解得4m =-，然后利用坐标求模长即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以220m ⨯+=，解得4m =-，所以()4,3a b +=- ，5a b +== .故答案为：5.13. 复平面上两个点1Z ，2Z 分别对应两个复数1z ，2z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______．【答案】8【解析】【分析】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，结合条件求参数，进而确定12,OZ OZ的位置关系及模【长，即可求12Z OZ △的面积.【详解】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，由212i z z =⋅，则i (i)2i a b m n +=+⋅，即i 22i a b n m +=-+，故22a nb m =-⎧⎨=⎩①，由两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，则1232a mb n +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即26a m b n +=-⎧⎨+=⎩②，联立①②，可得44a b =-⎧⎨=⎩，且22m n =⎧⎨=⎩，即()12,2OZ = ，()24,4OZ =- ，由2142420OZ OZ ⋅=-⨯+⨯=，即12OZ OZ ⊥ ，故12Z OZ △为直角三角形，又1OZ =，2OZ = 12Z OZ △的面积为182⨯=.故答案为：814. 若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为__________.【答案】3e 【解析】【分析】根据极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系以及题意得20x ax b -+=有两个不相等的正根12,x x，故而利用辨别式和韦达定理求得a >(01x x =∈以及()f x在(上的单调性，又由()00f x '=得()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，接着研究()g x在(上的最值即可得解.【详解】由题意得()2(0)b x ax bf x x a x x x'-+=-+=>，因为()f x 存在极大值点0x ，所以20x ax b -+=有两个不相等的正根，则有21212=4000a b x x a x x b ⎧->⎪+=>⎨⎪=>⎩ ，由此可得a >120x x <=<=，所以()()()()()12120,,,0;,,0x x x f x x x x f x ''∈+∞>∈< ，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，从而可得()f x 的极大值点为10x x =，因为1x==22a x=<=<<=，所以(0x ∈，且()f x 在()00,x 上单调增，在(0x 上单调减，当0x x =时()f x 取得极大值()0f x ，又由()00f x '=得2000x ax b -+=，所以()()2222000000000111ln ln ln 222f x x ax b x x x b b x x b b x =-+=-++=--+，令()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，则原命题转化为()0g x <在(上恒成立，求导得()20b b x g x x x x-=-+=>'，所以()y g x =在(上单调增，故()13ln 022g x gb b b <=-≤，即ln 3b ≤，从而得30e b <≤，所以b 最大值为3e .故答案为：3e .【点睛】关键点睛：解决本题关键点1在于抓住极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系结合一元二的次函数的性质求得a >(01x x =∈以及()f x 在(上的单调性，关键点2是利用()00f x '=求得极大值()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，于是研究()g x 在(上的最值得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．【答案】（1）π（2【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出()f x m n =⋅，然后利用三角公式整理为()sin y A ωx φ=+的形式，就可以求出周期了；（2）先通过πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 求出πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通过ππsin 2sin 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开计算即可.【小问1详解】()()2cos sin sin f x x x x x=--22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由（1）得π12sin 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由ππ62x ≤≤得ππ72π266x ≤+≤，所以π5cos 2613x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=⨯=．16. 已知数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n *---=≥∈N ，nS表示数列{}n a 的前n 项和（1）求证：21n n a S -=+（2）求使得211100k k a S --≥成立的正整数()3,k k k *≥∈N 的最大值【答案】（1）证明见解析 （2）11【解析】分析】（1）根据累加法即可证明；（2）结合数列特点根据穷举法即可求解.【小问1详解】证明：由12n n n a a a ---=得12n n n a a a ---=123n n n a a a ----=234n n n a a a ----=321a a a -=累加得223412n n n n n a a a a a a S -----=+++⋅⋅⋅+=于是2221n n n a S a S --=+=+.【小问2详解】解：由121a a ==，21n n n a a a --=+，得：对任意n *∈N ，210n n n a a a --=+>，进而120n n n a a a ---=>，故数列{}n a 单调递增，由（1）可知21n n a S -=+，故2211101k k k k a S S a ---==>-，于是只需求使得111100k a >-最大的正整数k ，【从而只需求使得101k a <最大的正整数k ，由121a a ==，21n n n a a a --=+，列举得：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，934a =，1055a =，1189a =，12144a =结合数列{}n a 单调递增，于是使得101k a <最大的正整数k 为11.17. 已知函数()3231f x x x ax =+++，1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点．（1）若0a =，()()13f x f x =，13x x ≠，求132x x +的值；（2）若()()125f x f x +≤，求a 的取值范围．【答案】（1）1323x x +=- （2）132a ≤<【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出1x 和2x ，利用()()135f x f x ==，求出3x ，从而求出答案；（2）对()f x 求导，根据1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，得到1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，化简()()12f x f x +，最终求出答案．【小问1详解】当0a =时，()3231f x x x =++，所以()()23632f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-．列表如下：x(),2-∞-2-()2,0-0()0,∞+()f x '+-+()f x极大值极小值所以()f x 在2x =-处取极大值，即12x =-，且()15f x =．由()()135f x f x ==，所以3233315x x ++=，即3233340x x +-=，所以()()233120x x -+=．因为13x x ≠，所以31x =，所以1323x x +=-．【小问2详解】由()236f x x x a '=++，因为1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，所以1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，且36120a ∆=->，即3a <，所以12122,.3x x ax x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩因为()()()()3232121112223131f x f x x x ax x x ax +=+++++++()()()()221212121212123322x x x x x x x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-+++⎣⎦⎣⎦()()()()22223322226233a a a a ⎡⎤⎡⎤=---⨯+--⨯+⨯-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()()125f x f x +≤，所以625a -≤，解得12a ≥．综上，132a ≤<．18. 如图，在ABC V 中，2π3BAC ∠=，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC V 面积的最小值．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求解即可；（2）设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，求出2sin BP θ=，1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以三角形ABC 面积的可表示为只含θ的函数，利用二次函数的性质可得最大值.【小问1详解】因为2πππ2,326AP PC CAP ==∠=-=，所以在ACP △中由余弦定理可得2222cos PC AP AC AP AC CAP =+-⋅∠，所以21344AC AC =+-，解得AC =，由正弦定理得sin sin PA PC C CAP =∠，即22in 1s C =sin C =，所以cos C ==，()sin sin sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=在三角形ABC 中由正弦定理得：sin sin BC AC BAC B=∠=，解得BC =PB BC PC =-=【小问2详解】设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，由于2AP =，则2sin sin AP BP θθ==，在ACP △中由正弦定理得：°πsin 30sin 3AP PC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过A 点做BC 的垂线，交BC 于M 点，设三角形的面积为S，则π2PAM BAM ABM BAM ∠+∠=∠+∠=，所以PAM ABM θ∠=∠=，所以cos 2cos AM AP θθ==，所以121cos cos π2sin sin 3S AM BC θθθθ⎛⎫ ⎪⎪=⨯⨯=+=⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos θ===≥ABC.19. 定义函数()()()23*1123nn n x x xf x x n n=-+-++-∈N ．（1）求曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率；（2）若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，求k 取值范围；（3）讨论函数()n f x 的零点个数，并判断()n f x 是否有最小值．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【答案】（1）12n - （2）(],1-∞- （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成n 为奇数，n 为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数()n f x 的零点个数及最值.【小问1详解】由()()2111nn n f x x x x -'=-+-++- ，可得()2112212221212nn n n f --'-=-----=-=-- ,的所以曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率12n -.【小问2详解】若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，所以()22122e e x xx x f x k --+-≤=对任意x ∈R 恒成立，令212()e xx x g x --+=，则()4()2ex x x g x -'=，由()0g x '<解得0x <，或4x >；由()0g x '>解得04x <<，故在(),0-∞上单调递减，在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，又(0)1g =-，且当4x >时，()0g x >，故()g x 的最小值为(0)1g =-，故1k ≤-，即k 的取值范围是(],1-∞-.【小问3详解】()()1111n f n '-=----=- ，当1x ≠-时，()()()()()21111111n nnn n x x f x x x x x x -----'=-+-++-=-=--+ ，因此当n 为奇数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-++-- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧--≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减，此时()010n f =>，()11f x x =-显然有唯一零点，无最小值，当2n ≥时，()2312222212231n nn f n n -=-+-++-- ()2123212220321n n n n -⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且当2x >时，()()2311231n n n x x x x f x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()21311321n x x n x x x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-<- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ，由此可知此时()n f x 不存在最小值，从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值，当2n k =()*k ∈N 时，即当n 为偶数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-+-+- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧-≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩，由()0n f x '>，解得1x >；由()0n f x '<，解得1x <，则()n f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()1111111102321n f n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，即()()10n n f x f ≥>，所以当n 为偶数时，()n f x 没有零点，即当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值，综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值.【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则：（1）()0f x >恒成立()min ()0,0f x f x ⇔><恒成立max ()0f x ⇔<；（2）()f x a >恒成立()min (),f x a f x a ⇔><恒成立max ()f x a ⇔<；（3）()()f x g x >恒成立()()min []0f x g x ⇔->，()()f x g x <恒成立()()max []0f x g x ⇔-<；（4）()()1212,,x M x N f x g x ∀∈∀∈>恒成立()()12min max f x g x ⇔>．。

无锡一中高三数学（文）中档题8 班级____姓名_____________一、填空题1.已知集合{}211,log (1)224x A x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=-<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = ___________．2.已知点P 是双曲线222x y -=上的点，该点关于实轴的对称点为Q ， 则OP OQ ⋅= ____．3.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21n nS n T n =- 对任意n *∈N 恒成立，则105a b 的值为___________．4.如图是一个算法的流程图，则最后输出的W 的值为__________．5.用半径为，面积为2cm 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是___________．6．已知a R ∈，且sin 2cos αα+=tan 2α=______． 7.函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21()f x x x =+∈R 是单函数.下列命题:①函数2()()f x x x =∈R 是单函数；②指数函数()2()x f x x =∈R 是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是___________．（写出所有真命题的序号）8．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时， 212x y z+-的最大值是________． 二、解答题9.如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q.（1）求tan(2)αβ-的值； （2）若,022ππαπβ<<<<，求αβ+.10.如图，ABCD 为直角梯形，90BCD CDA ∠=∠=︒,22AD BC CD ==，P 为平面ABCD 外一点，且PB BD ⊥.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若PC 与CD 不垂直，求证：PA PD ≠.P D CBA11.已知椭圆2222:1(0)xy C a b a b +=>>(1,1)P . （1）求椭圆C 的方程； （2）若点00(,)A x y 为圆221x y +=上任一点，过A 作圆的切线交椭圆C 于,E F两点，求证：EO OF ⊥(O 为坐标原点) .12.已知函数2()(1)x f x x e -=+ ，求证：当[]0,1x ∈时，11()1x f x x -≤≤+。

无锡市第一中学2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A ．3B ．3C ．1D ．52．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．306C ．66D ．2553．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．834．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183B ．163C ．143D ．1235．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．154C ．265D ．156．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<7．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 8．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．329．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件10．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．810511．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B．2CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省无锡市高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（）A．210种B．180种C．120种D．95种参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】利用排列组合的方法即可得到结论．【解答】解：从7个专业选3个，有种选法，甲乙同时兼报的有种选法，则专业共有35﹣5=30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法为×30=180，故选：B【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用对立法是解决本题的关键．2. 三棱锥及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为A. B.C. D. 参考答案：由正视图和侧视图可知底面,底边上的高为，所以为得为.3. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：D作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D．4. 设曲线C是双曲线,则“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若C的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5. 设集合，则（）A B．C． D．参考答案：A6. 阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线? 处应填入语句为（）（A）（B）（C）（D）S=0n=2i=1DOS=S+1/nn=n*2i=i+1LOOP UNTIL _?_PRINTEND 参考答案：B7. 设，则（）．．．．参考答案：A略8. 表示的曲线方程为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.【详解】可看作动点到点的距离可看作动点到点的距离则表示动点到和的距离之差为符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双曲线的下半支则：，曲线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.9. 极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆参考答案：C 解析：则或10. 如图所示，两半径相等的圆A，圆B相交，CD为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点M，则M在线段EF上的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意先求出矩形ABCD的面积，从而求出AB,EF即可【详解】设圆的半径为。

无锡一中高三数学（文）中档题5 班级____姓名_____________一、填空题1.已知虚数z 满足216z z i -=+，则z =___________．2.已知,x y R ∈，且21x y +=，则24x y +的最小值为_______．3.把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的频率之和为0.79，而剩下三组的频数成公比为2的等比数列，则剩下三组中频数最高的一组频数为___________．4.已知函数()sin cos 1f x a x x =++，其图像关于直线4x π=对称，则实数a =________．5.渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的离心率为________．6.已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线互相垂直，则a b=_______．7.设,E F 分别是直角ABC ∆的斜边BC 上的两个三等分点，已知3AB =,6AC =,则AE AF ⋅=_______．8.设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值为[],b a --，那么()y f x =叫做对称函数.现有()f x =k -是对称函数，则k 的取值范围是___________．二、解答题9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线:30l y -++=和圆221:8C x y x ++0F +=.若直线l 被圆1C截得的弦长为 （1）求圆1C 的方程；（2）设圆1C 和x 轴相交于A ,B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ,B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于M ,N 两点.当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论.10．如图，O 为坐标原点，点,,A B C 均在O 上，点34(,)55A ，点B 在第二象限，点C (1,0)．（1）设COA θ∠=，求44sin cos θθ-的值；（2）若AOB ∆为等边三角形，求点B 的坐标．11.如图，在直角梯形ABCD 中，DAB ADC ∠=∠=AB CD <，SD ⊥平面ABCD ，,AB AD a SD ===.（1）求证：平面SAB ⊥平面SAD ；（2）设SB 的中点为M ，且DM ⊥MC ，试求出四棱锥 S -ABCD 的体积.12.已知等差数列{}n a 的公差为1-，且27126a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使对任意n *∈N 总有n m S T λ<+恒成立，求实数λ的取值范围.MDCBAS。

无锡一中高三数学（文）中档题31 班级____姓名_____________ 1．若()f x ，则()f x 的定义域为______________．2．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为______________．3．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OA AB AC ++=OA AB =,______________．4．如图，已知定点(1,0)N ，动点,A B 分别在图中抛物线24y x =及椭圆22143x y +=的实现部分上运动，且//AB x 轴，则 NAB ∆的周长l 取值范围是______________．5．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中为真命题的是______________．（写出所有真命题的序号） 6．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，该圆锥体的体积是_____________．7．已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-，则220cx x a -+->的解集为______________．8．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =，则AF =______________．9．有下列四个命题：①函数cos()cos()44y x x ππ=-+的图像中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31x y x +=-的图像关于点(1,1)-对称；③关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个实数根，则实数1a =-；④对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤．其中为真命题的是______________．（写出所有真命题的序号） 10．已知点(3,0)A -，圆O 的方程为224x y +=，是否存在不同于点A 的定点B ，对于圆O 上任意一点M ，都有MB MA为常数？若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.11．已知(sin ,1),(1,cos )a x b x →→==，且函数()f x a b →→=，'()f x 是()f x 的导函数. （1）求函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期；（2）若()2'()f x f x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值.12．某企业生产,A B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2.（利润与投资的单位：万元）（1）分别将,A B两种产品的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B两种产品的生产.试问：怎样分配这10。