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1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
探究离心率问题的几何解法梁启浩(江苏省盐城中学ꎬ江苏盐城２２４００８)摘㊀要:文章举例分析离心率问题的几何解法ꎬ分别从平面向量隐含的几何关系㊁三角形相似㊁三角函数隐含的几何关系㊁切线关系四方面进行阐述.关键词:离心率ꎻ几何关系ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００６５－０４收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:梁启浩(１９９１.７－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀离心率是椭圆和双曲线的重要几何性质ꎬ其定义式为ｅ＝ｃａꎬ反映了椭圆的圆扁程度㊁双曲线的开口大小等几何性质.离心率在高考中占有重要地位ꎬ经常在压轴小题中出现.由于解析几何主要依靠代数运算解题ꎬ已经深入人心.凡是解析几何问题ꎬ学生不假思索ꎬ直接利用圆锥曲线的ａꎬｂꎬｃ的关系式ꎬ采取纯计算的手段求解离心率ꎬ但运算量一般较大.研究发现ꎬ离心率是几何问题的代数表现ꎬ问题往往有几何背景ꎬ利用几何背景建立关系式(方程或不等式)可以避开繁杂的运算ꎬ快速得解.下面分类举例说明ꎬ以期抛砖引玉.１利用平量向量隐含的几何关系求离心率例１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ向双曲线的一条渐近线引垂线ꎬ垂足为点Ｍꎬ交另一条渐近线于点Ｎꎬ若２ＭＦң＝ＦＮңꎬ则双曲线Ｃ的离心率为.分析㊀本题中有直线垂直关系ꎬ还有一个向量关系２ＭＦң＝ＦＮңꎬ一般都会从代数的角度入手ꎬ通过建立ａꎬｃ的关系式得解[１].实际上ꎬ已知的向量关系间接隐含着三角形的重心ꎬ我们可以构造一个以点Ｆ为重心的三角形来解题.解析㊀如图１ꎬ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上取点Ｐꎬ使得｜ＯＭ｜＝｜ＭＰ｜ꎬ连接ＮＰꎬ交ｘ轴于点Ｑꎬ由垂直平分线性质得｜ＯＮ｜＝｜ＮＰ｜.图１㊀例１解析图由２ＭＦң＝ＦＮң知点Ｆ是ΔＯＮＰ的重心ꎬ所以点Ｑ是ＮＰ的中点.结合渐近线的对称性得ｘ轴平分øＮＯＰ.所以｜ＯＮ｜＝｜ＯＰ｜.所以ΔＮＯＰ是正三角形.于是ｂａ＝ｔａｎøＰＯＱ＝ｔａｎ３０ʎ＝１３.因此ａ＝３ｂ.平方ꎬ得ａ２＝３ｂ２.所以ａ２＝３(ａ２－ｃ２).解得ｅ＝２３３.评注㊀一般遇到平面向量我们都会考虑其大小和方向ꎬ而忽略其几何意义.新教材非常重视用平面向量研究几何问题ꎬ只有足够重视平面向量的几何功能ꎬ才能自觉形成数形结合思想ꎬ进而形成解题技巧ꎬ学生的发散思维才能得到培养.２利用三角形相似求离心率例２㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的左顶点和右焦点分别为Ａ和Ｆꎬ过点Ｆ向双曲线的一条渐近线引垂线ｌꎬ与ｙ轴交于点Ｂꎬ以线段ＡＦ为直径的圆过点Ｂꎬ则双曲线Ｃ的离心率为.分析㊀已知 以线段ＡＦ为直径的圆过点Ｂ 意味着øＡＢＦ＝９０ʎꎬ我们容易判断ΔＯＡＢʐΔＯＢＦ.利用此几何关系ꎬ可以得到关于ａꎬｂꎬｃ的代数关系式ꎬ进而求出离心率ｅ.解析㊀如图２ꎬ设直线ｌ与渐近线交于点Ｅꎬ因为以线段ＡＦ为直径的圆过点Ｂꎬ所以ＡＢʅＢＦ.图２㊀例２解析图于是ＡＢʊＯＥ.因此ｔａｎøＢＡＯ＝ｔａｎøＥＯＦ.即｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜＝｜ＥＦ｜｜ＯＥ｜ꎬ其中｜ＥＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＥ｜＝｜ＯＦ｜２－｜ＥＦ｜２＝ｃ２－ｂ２＝ａꎬ所以｜ＯＢ｜＝ｂ.因为øＢＡＯ＝øＥＯＦꎬøＡＢＯ＝øＡＦＢꎬ所以ΔＯＡＢʐΔＯＢＦ.所以ＯＢ２＝ＯＡ ＯＦ.即ｂ２＝ａｃ.于是ｃ２－ａ２＝ａｃ.所以ｅ２－ｅ－１＝０.解得ｅ＝１＋５２.例３㊀已知双曲线Ｃʒｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ在双曲线上存在一点Ｐꎬ使得ＰＦ１与渐近线平行ꎬøＦ１ＰＦ２＝π２ꎬ则双曲线Ｃ的离心率为.分析㊀已知中 ＰＦ１与渐近线平行ꎬøＦ１ＰＦ２＝π２说明了直线斜率的相等关系ꎬ也间接告诉我们本题中有一组相似三角形ꎬ利用其中与ａꎬｂꎬｃ有关的比值关系式可以快速准确求解.解析㊀如图３ꎬ不妨设渐近线ｙ＝ｂａｘ与ＰＦ２相交于点Ｎꎬ所以ΔＯＮＦ２ʐΔＦ１ＰＦ２.图３㊀例３解析图那么øＯＮＦ２＝øＦ１ＰＦ２＝９０ʎ.因为｜ＯＦ２｜＝ｃꎬ｜ＮＦ２｜＝ｂꎬ所以｜ＯＮ｜＝ａ.由三角形相似知｜ＰＦ１｜＝２ａꎬ｜ＰＦ２｜＝２ｂ.由双曲线的定义知｜ＰＦ２｜－｜ＰＦ１｜＝２ａ.所以｜ＰＦ２｜＝４ａ.所以２ｂ＝４ａ.于是ｅ＝１＋(ｂａ)２＝５.例４㊀已知Ｏ为坐标原点ꎬＦ是椭圆Ｃʒｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点ꎬＡꎬＢ分别为Ｃ的左㊁右顶点.Ｐ为Ｃ上一点ꎬ且ＰＦʅｘ轴.过点Ａ的直线ｌ与线段ＰＦ交于点Ｍꎬ与ｙ轴交于点Ｅ.若直线ＢＭ经过ＯＥ的中点ꎬ则椭圆的离心率为.分析㊀如图４ꎬ本题中线条较多ꎬ让人眼花缭乱.但是也有了较多的三角形ꎬ我们可以去寻找与ａꎬｃ相关的相似三角形ꎬ以便找到离心率的桥梁.不难发现｜ＡＦ｜＝ａ－ｃꎬ｜ＢＦ｜＝ａ＋ｃꎬ于是瞅准әＡＦＭ和әＡＯＥꎬәＢＦＭ和әＢＯＮꎬ利用相似性三角形ꎬ可以顺利推进解答[２].图４㊀例４解析图解析㊀由已知得әＡＦＭʐәＡＯＥ.所以｜ＦＭ｜｜ＯＥ｜＝｜ＡＦ｜｜ＡＯ｜.即｜ＦＭ｜｜ＯＥ｜＝ａ－ｃａ.同理ꎬәＢＦＭʐәＢＯＮ.所以｜ＦＭ｜｜ＯＮ｜＝｜ＢＦ｜｜ＢＯ｜.即｜ＦＭ｜｜ＯＥ｜＝ａ＋ｃ２ａ.于是ａ－ｃａ＝ａ＋ｃ２ａ.整理ꎬ得ａ＝３ｃ.解得ｅ＝１３.例５㊀已知双曲线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)ꎬＦ１ꎬＦ２分别是双曲线的左㊁右焦点ꎬ点Ｐ位于第一象限的渐近线上ꎬ满足ＰＦ１ʅＰＦ２ꎬＰＦ１与另一条渐近线交于点Ｑꎬ若｜ＰＱ｜ʒ｜ＱＦ１｜＝３ʒ２ꎬ则双曲线的离心率为(㊀㊀).Ａ.５４㊀㊀Ｂ.４３㊀㊀Ｃ.５３㊀㊀Ｄ.２解析如图５ꎬ设点Ｐ关于ｙ轴的对称点为Ｐᶄꎬ结合前文得Ｐᶄ(－ａꎬｂ).图５㊀例５解析图同时ꎬＰＰᶄʊＯＦ１.所以ΔＱＰＰᶄʐΔＱＯＦ１.于是｜ＰＱ｜ʒ｜ＱＦ１｜＝｜ＰＰᶄ｜ʒ｜ＯＦ１｜.因为｜ＰＱ｜ʒ｜ＱＦ１｜＝３ʒ２ꎬ所以｜ＰＰᶄ｜ʒ｜ＯＦ１｜＝２ａʒｃ＝３ʒ２ꎬ解得ｅ＝ｃａ＝４３.评注㊀圆锥曲线中的相似关系往往比较隐蔽ꎬ需要我们去发现ꎬ去挖掘ꎬ去利用.由直线间的垂直㊁平行关系表现出来的直线斜率关系(代数式)已经被学生熟知ꎬ甚至先入为主ꎬ遮蔽了强大的几何功能.解析几何的本质是几何ꎬ能够将解析几何问题的数量关系转化为几何位置关系ꎬ通常会大大降低运算量ꎬ使解题显得简洁明了.当然ꎬ这种转化还是很不容易的ꎬ以上几例如果用纯代数的方法计算ꎬ都比较繁杂ꎬ甚至可能找不到出口.因此ꎬ我们要主动往几何方向去思考ꎬ利用解析几何的几何本质属性ꎬ简化运算[３].３利用三角函数隐含的几何关系求离心率分析㊀例２中øＢＦＯꎬøＢＦｘ的正切值均与ａꎬｂꎬｃ有直接或间接关系.在图２中ꎬ由于øＢＦＯ＋øＢＦｘ＝πꎬ利用其互补关系ꎬ借助诱导公式ꎬ可以建立代数等式ꎬ我们也可以快速求解ꎬ此所谓 条条道路通罗马 .另解例２㊀由上面解法知｜ＯＢ｜＝ｂ.所以ｔａｎøＢＦＯ＝ｂｃ.因为øＢＦＯ＋øＢＦｘ＝πꎬ所以ｔａｎøＢＦＯ＝－ｔａｎøＢＦｘ.因此ｔａｎøＢＦＯ＝－ｋＢＦ.而ｋＢＦ＝－１ｋＯＥꎬ１ｋＯＥ＝ａｂꎬ所以ｂｃ＝ａｂ.以下同例２.评注㊀一些题目中的几何关系往往不止一种ꎬ我们只有在比较中才能发现最简洁的办法ꎬ思维不仅需从代数中跳出来ꎬ还要在几何领域中多角度㊁多方位去思考ꎬ方可让解析几何的几何属性充分暴露ꎬ为我所用.４利用切线关系求离心率例６㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２ｃꎬ以点Ｏ为圆心ꎬａ为半径作圆Ｍꎬ若过点Ｐ(ａ２ｃꎬ０)所作圆Ｍ的两条切线互相垂直ꎬ则椭圆的离心率为.分析㊀本题的已知元素比较丰富ꎬ直线㊁圆㊁椭圆都有了.位置关系比较复杂ꎬ直线和圆相切ꎬ圆和椭圆相切.椭圆㊁圆㊁圆的切线等知识融合在一个比较复杂的图形中ꎬ单纯从代数角度运算ꎬ问题不易解决.恰当利用切线性质构造一个正方形ꎬ再利用正方形中的数量关系以及椭圆和圆位置关系带来的数量关系ꎬ使问题暴露无遗ꎬ解法也简洁易行.解析㊀如图６所示ꎬ设切点为ＥꎬＦꎬ连接ＯＥꎬＯＦꎬ由平面几何知识可知｜ＰＥ｜＝｜ＰＦ｜ꎬＯＥʅＰＥꎬＯＦʅＰＦ.图６㊀例６解析图所以四边形ＯＥＰＦ是边长为ａ的正方形.于是｜ＯＰ｜＝２ａ＝ａ２ｃ.解得ｅ＝ｃａ＝２２.评注㊀本例充分显示了几何法求离心率的优越性.只要能发现几何关系ꎬ恰当应用几何关系ꎬ问题就会迎刃而解.通过以上几例ꎬ我们都可以发现几何法求解离心率要比代数法简捷[４].我们应扭转思维ꎬ避免凡是解析几何问题都要硬算到底.几何法不仅可以简化运算ꎬ还可以提高准确率ꎬ同时可以开发学生的思维ꎬ锻炼学生一题多解ꎬ增强学生学习数学的兴趣ꎬ自觉探寻问题的本质ꎬ达到提升学生的数学核心素养的目的.参考文献:[１]李昌成.由一道教师业务考试题引发的思考[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０１７(０６):３２－３２.[２]余本顺.浅谈新课标下椭圆离心率的教学与反思[Ｊ].数学教学研究ꎬ２０１１ꎬ３０(０２):１２－１４.[３]金铁强.例析离心率问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(２２):４５－４７.[４]肖琳婧.高考圆锥曲线离心率问题的基本解析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１０):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]。
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c c2＝a2＋b21．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：252．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________. 解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ab＝3，②由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a 2－33a2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x .答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C 的值为____________．解析：由正弦定理知，BCsin A＝ACsin B＝ABsin C，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C ＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x .答案：y ＝±33x角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝62.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12c ，32c在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m＋y 24－m＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2.故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2) 解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12C.133＋1D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c－x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标 1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k－9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．23C ．6D ．43解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选 B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B.3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b2＝c 2·sin 2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin ∠FNP ＝12，所以∠FNP＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(2)求证：MF 1·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．23 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b a x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc ，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k1－3k2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.∴m＜－2 2.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义:平面内到两个定点F1 、F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.注1:在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线;（ⅲ)当2a 2c 时，点的轨迹不存在;高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线.特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支.MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为F1F2 2c），即M F1 MF F F2 12。
2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （e 1)的点的轨迹叫做双曲线.二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是0 ，b 0）;ab1高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a0 ）注：若题目已给出双曲线的标准方程, 那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴, 主要看实半轴跟谁走. 若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A. 10 B. 5 C. 310 D. 25二、变用公式)c e a ==双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45 D. 231.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( )A B3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．12D ．13三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u r u u r ，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．2 C ．13 D ．121.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．32.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B26 C 36 D 333.设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ．31+4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ） A.22 B. 212- C. 22- D. 12-6.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D7.设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C 25D 13+9. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ） A213- B 21 C 215- D 2210.设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.33211.知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
当a =b =c ，且O 、A 、B 共线.由已知条件易得a =b =c =槡10，x 2=y 2=z 2=12.故a +2b +3c3x 2+2y 2+z 2=槡1012.评析：例4，例5和例6的求解关键，是利用空间距离的三角形不等式等号成立的条件找出变量之间的关系或者求出变量的值，从而使得目标函数的求值如行云流水.构造空间距离，借助三角形不等式求解一类满足约束条件下的目标函数的值域等问题，具有思路简洁，方法独特，学生容易接受和掌握等特点.因而不失为解题的一种好方法櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.例析离心率的几种常规求法江苏省江浦高级中学 （211800） 肖浩春圆锥曲线中求离心率的问题在高考中占有很重要的地位，其解法较灵活，方法较多.综观2008年以后的江苏省高考题，有三年考到了离心率的问题.很多学生怕学解析几何，因为这一块知识方法多，题型多，计算繁.而离心率在解析几何中属于一类比较常见、比较基本的题型，做好这一类题是很重要的.本人根椐多年课堂教学的经验，对这类题型的方法进行了归纳和总结，望给以大家参考.1直接法这种方法就是直接求出a ，b ，c 的值或者直接根据题目条件列出a ，b ，c 之间的方程，求出离心率.例1 （2013江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2=槡6d 1，则椭圆的离心率为 .解：由题意知d 1=bc a ，d 2=a 2c -c =b 2c，所以有b 2c =槡6bca ，两边平方得到a 2b 2=6c 4，即a 4-a 2c 2=6c 4，两边同除以a 4得到1-e 2=6e 4，解得e 2=13，即e =槡33.评注：本题利用d 2=槡6d 1直接列出a ，b ，c 方程，求出离心率.例2 （2014江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.图1解：直线BF 2的方程为xc+y b =1，联立椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0），得A （2a 2c a 2+c 2，-b 3a 2+c 2），则C （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c 2），又因为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），则k F 1C =b 3a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c=b 33a 2c +c 3，又因为k AB =k BF 2=-bc，由F 1C ⊥AB ，得k F 1C k AB =-1，即b 33a 2c +c3（-bc ）=-1化简得b 4=3a 2c 2+c 4，即（a 2-c 2）2=3a 2c 2+c 4，展开得a 4=5a 2c 2，所以a 2=5c 2，解得e =槡55.所以椭圆的离心率为e =槡55.评注：本题根据F 1C ⊥AB ，直接列出a ，b ，c 之间的方程，不过在求A ，C 坐标和利用垂直关系的时候，过程较繁，需要较强的计算能力.2代入点坐标法这种方法就是根据题目条件把椭圆（或双曲线）上的某点坐标求出来，然后代入椭圆（或双曲线）方程中，找出a ，b ，c 之间的关系，进而求出离心·14·2015年第2期中学数学研究率.例3 （2009江苏卷）如图2，在平面直角坐标系中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的四个顶点，F 为右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .图2解：由题意，得直线A 1B 2方程为x -a +yb=1，直线B 1F 方程为x c +y-b =1，两直线联立解得T （2aca -c，b （a +c ）a -c ），则M 为（aca -c，b （a +c ）2（a -c ）），因为点M 在椭圆上，所以c2（a -c ）2+（a +c ）24（a -c ）2=1，整理得3a 2-10ac -c 2=0，即e 2+10e -3=0，解得e =槡27-5，所以椭圆的离心率为e =槡27-5.评注：本题根据题目条件直接求出T 的坐标，进一步求出M 的坐标，再把M 代入椭圆方程中，列出a ，b ，c 的等式，然后求出离心率.例4 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）左焦点为F ，上顶点为A ，过A 作与AF 垂直的直线分别交椭圆C 和X 轴正半轴于P ，Q ，且AP →=85PQ →，求椭圆的离心率.解：设Q （x 0，0），由F （-c ，0），A （0，b ）知，FA →=（c ，b ），AQ →=（x 0，-b ），因为FA →⊥AQ →，所以cx 0-b 2=0，得到x 0=b 2c .设P （x 1，y 1），由AP →=85PQ →，得x 1=8b 213c ，y 1=5b 13，因为点P 在椭圆上，所以（8b 213c ）2a 2+（5b 13）2b 2=1，整理得2b 2=3ac ，所以2e 2+3e -2=0，解得e =12，故椭圆的离心率为12.评注：本题是平面向量与解析几何结合的一道题，平面向量起到一个辅助工具的作用，用坐标进行转化，求出点Q 和P 的坐标，再把点Q 坐标代入椭圆方程，得到a ，b ，c 之间的一个等式，进而求出离心率.注：前面例2也可用代入点坐标法来求.解：设焦点F 1（-c ，0），F 2（c ，0），C （x ，y ）.ȵA ，C 关于x 轴对称，ʑA （x ，-y ）.ȵB 、F 2、A 三点共线，ʑb-c =b +y -x，即bx -cy -bc =0①，ȵF 1C ⊥AB ，ʑy x +c ·b-c=-1，即xc -by +c 2=0②，①②联立方程组，解得x =ca 2b 2-c 2，y =2bc 2b 2-c 2，ʑC （a 2cb 2-c 2，2bc 2b 2-c 2）.ȵC 在椭圆上，ʑ（a 2c b 2-c 2）2a 2+（2bc 2b 2-c 2）2b 2=1，化简得5c 2=a 2，ʑc a =槡55，故离心率为槡55.3焦点三角形法这种方法是根据焦点三角形中椭圆（或双曲线）的离心率e =F 1F 2PF 1+PF 2（或e =F 1F 2︴PF 1-PF 2︴）来求，其中F 1，F 2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，P 是椭圆（或双曲线）上任一点.例5 已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）上任一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，则此椭圆的离心率为 .解：设PF 2=m ，由PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，得PF 1=2m ，又因为PF 21+PF 22=F 1F 22=4c 2，解得m =槡255c ，所以PF 1=槡455c ，PF 2=槡255c ，所以e =F 1F 2PF 1+PF 2=2c 槡455c +槡255c =槡53，椭圆的离心率为槡53.评注：本题是典型的利用e =F 1F 2PF 1+PF 2来解题的题目，要注意这种方法的灵活性和局限性（必须要有焦点三角形）.例6 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，四边形ABCD 的各顶点都·24·中学数学研究2015第2期在椭圆上，AB ，CD 分别经过F 1，F 2，且AB ，CD 都垂直于x 轴，四边形ABCD 为正方形，求椭圆的离心率.解：连接DF 1，DF 2，因为四边形ABCD 为正方形，所以DF 2=12F 1F 2=c ，DF 1=DF 22+F 1F 槡22=槡5c ，所以e =F 1F 2DF 1+DF 2=2c 槡5c +c =槡5-12.椭圆的离心率为槡5-12.评注：本题要构造焦点三角形DF 1F 2，再利用三角形DF 1F 2三边之间的关系不难解出DF 2，DF 1，进而用e =F 1F 2DF 1+DF 2去求离心率.（也可由正方形条件得2b 2a=2c 求出e ）.4通径法这种方法是利用通径的长度2b 2a 来求离心率.例7 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，AB 是过F 2且垂直于x 轴的一条弦，它的长度等于F 2到椭圆右准线的距离，求此椭圆的离心率.解：因为AB 是椭圆的通径，所以AB =2b 2a，又F 2到椭圆右准线的距离为a 2c -c ，所以2b 2a =a 2c -c=b 2c ，化简得a =2c ，所以e =12，此椭圆的离心率为12.评注：此题可求出A ，B 的坐标，然后再求出AB 的长度，但如果直接利用通径的长度就非常方便了.注：前面例6也可利用通径法或利用代入点坐标法来做.解：DF 2=b 2a =12F 1F 2=c ，可求离心率.代入点坐标法：D 坐标为（c ，c ）代入椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）中，可求离心率.通过以上例题我们不难发现，求离心率的方法有很多，另外还有一些其他方法在这里就不赘述了.掌握了求离心率的常规方法，再加以多练习巩固，那么这一类重要问题就变得不再“重要”了櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.2014年辽宁理科第12题的解法研究黑龙江省大庆实验中学 （163316） 伊 波2014年辽宁理科卷第12题已知定义在［0，1］上的函数满足：①f （0）=f （1）=0；②对所有x ，y ∈［0，1］，且x ≠y ，有︴f （x ）-f （y ）︴<12︴x -y ︴.若对所有x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，则k 的最小值为（ ）.A.12B.14C.12πD.18笔者刚接触本题时出现了理解“偏差”，后来与组里老师沟通，也有老师和我的想法一致.我的起初想法是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的，所以我就想构造常值函数，则k 无限靠近0，没有答案，所以我的理解和出题者的本意是相违背的.出题者的意思是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的k.所以我认为本题的表述并不是特别清楚，应该稍以修正：对所有满足条件的函数f （x ）以及所有的x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，求k 的最小值.本题的难度在于不仅变量x ，y 不定，并且函数f （x ）也是不定的，所以命题者把它作为选择题的压轴题来设置.下面笔者给出几种解法，供大家参考.解法一：（数形结合法）由题设知︴f （x ）-f （0）︴=︴f （x ）︴<12x ，︴f （x ）-f （1）︴=︴f （x ）︴<12（1-x ），x ∈（0，1）.·34·2015年第2期中学数学研究例析离心率的几种常规求法作者：肖浩春作者单位：江苏省江浦高级中学 211800刊名：中学数学研究英文刊名：Studies in Middle School Math Guangdong年，卷(期)：2015(2)引用本文格式：肖浩春例析离心率的几种常规求法[期刊论文]-中学数学研究 2015(2)。
