2019年高二数学必修五综合测试卷

学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5答案 C解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5.2．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17 答案 A解析 S 4＝1，S 8－S 4＝3而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列，值分别为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.3．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．1a －b >1bB ．a 2<ab C ．a a>b aD ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<|b |＋1|a |＋1答案 D解析 当a ＝－2<b ＝－1<0时，1a －b ＝1b ，a a ＝14<b a＝1，所以 A ，C 都不一定成立．又a <b <0，所以a 2>ab ，所以B 不成立．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a －|b |＋1|a |＋1＝|b |－|a ||a ||a |＋1＝－b ＋a |a ||a |＋1<0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <|b |＋1|a |＋1，故选D ． 4．若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,4)B ．(－2，－1)∪(3,4)C ．(3,4]D ．[－2，－1)∪(3,4] 答案 D解析 由题意，得原不等式可转化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1.当a ＝1时，不符合题意．故实数a 的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]，故选D ．5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为( )A ．12B ．32C ．233D ． 3 答案 C解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝3b 2a .∴c b sin B ＝2ac 3b2＝233. 6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞ ) 答案 A解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x图象上存在区域D 上的点，则y ＝ax的图象过A 点时为一个临界位置．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －11＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9，即A (2，9)，代入y ＝a x满足a 2≤9即a ∈[－3,3]， 又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．7．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A 解析 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域，如图中阴影部分所示．变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0.又直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值，结合图象，知在点A 处取得最大值．由x ＋y ＝1，y ＝mx ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.则1m ＋1＋m ×m m ＋1<2，解得1－2<m <1＋ 2. 又m >1，故m 的取值范围为(1,1＋2)．8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．( )A ．10 2B ．20 3C ．10 3D ．20 2 答案 A解析 根据题意画出示意图，如图所示，由题意，知∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理可得BC ＝ABsin45°×sin30°＝10 2.故选A ．9．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x －22＋12x －2＝x －22＋12x －2.∵x ≥52，∴x －2>0，∴f (x )≥214＝1. 当且仅当x －22＝12x －2，即x ＝3时，取等号． 10．已知△ABC 的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是( )A ．0<x <5B ．1<x <5C ．1<x <3D ．1<x <4答案 C解析 剩余的部分三边长分别为4－x,5－x,6－x (0<x <4)，其为钝角三角形，则(6－x )2>(5－x )2＋(4－x )2，∴1<x <5，∴1<x <4.由两边之和大于第三边得(4－x )＋(5－x )>6－x ，∴x <3，∴1<x <3.故选C ．11．设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a >0且a ≠1，n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200的值为( )A ．100aB ．101a 2C ．101a100D ．100a 100答案 D解析 ∵log a x n ＋1＝1＋log a x n ，∴log a x n ＋1＝log a (ax n )，∴x n ＋1x n＝A ．∴数列{x n }是公比为a 的等比数列．设b 1＝x 1＋x2＋…＋x 100，b 2＝x 101＋x 102＋…＋x 200，则b 2＝b 1a 100＝100a 100.12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1答案 B解析 ∵B ＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得2sin π6＝c sinπ4，即212＝c22，∴c ＝2 2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若不等式3x －k >x －4的解集是{x |x ≥4}，则整数k 最大可取________． 答案 11解析 原不等式等价于3x －k >x －4对x ≥4恒成立，即k <2x ＋4对x ≥4恒成立，得k <2×4＋4＝12，又所求的为满足该不等式的最大整数，故填11.答案 (22，4) 解析15．若1<1a <1b，则有如下结论：①log a b >log b a ；②|log a b ＋log b a |>2；③(log b a )2<1；④|log a b |＋|log b a |>|log a b ＋log b a |. 其中，正确的结论是________(填序号)． 答案 ①②③解析 用特殊值法．由1<1a <1b，知0<b <a <1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定①②③均正确，④不正确．16．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n(n ∈N *)，则b n ＝________.答案 －1n3×2n －1解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3×2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n.∴b n ＝(－1)n·1a n ＝－1n3×2n －1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0. 即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－1或x ＞32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.18．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 满足 1－cos2C2＋sin(B －A )＝2sin2A ． (1)求a b；(2)若AB 是最大边，求cos C 的取值范围． 解 (1)∵1－cos2C2＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ⇒sin B cos A ＝2sin A cos A ． 因△ABC 为锐角三角形，则cos A ≠0，由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝12. (2)∵b ＝2a ，且a <b ≤c ，则π3<C <π2，则0<cos C <12， 又∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≤a 22ab ＝14，∴cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ．(1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的范围． 解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a，即b 2－a 2＝ab ，①又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ． sin A sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.② 由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2. 所以△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋cb>1. 又a ＋c b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2a 2＋c 2b 2＝2b2b 2＝2， 故a ＋cb的取值范围为(1，2]． 20．(本小题满分12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年的总收入为50万美元．设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？ 解 由题意，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )>0， 则－2n 2＋40n －72>0⇒2<n <18. 又n ∈N *，所以从第三年开始获取纯利润． (2)①年平均利润为f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号，故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案获利128＋16＝144(万美元)，此时n ＝10.比较两方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }． (1)求A ；(2)若a >0，以a 为首项，a 为公比的等比数列的前n 项和记为S n ，对于任意的n ∈N *，均有S n ∈A ，求a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }＝{x |(x －1)·(x －a )≤0，a ∈R }． ①a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }； ②a <1时，A ＝{x |a ≤x ≤1}． (2)①当a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }．而S 2＝a ＋a 2>a ，S 2∉A ，故a ≥1时，不存在满足条件的A ．②当0<a <1时，A ＝{a ≤x ≤1}，S n ＝a 1－a n1－a ，S n －a ＝a 1－a n 1－a －a ＝a 2－a n ＋11－a≥0，∴S n ≥a ，又a n>0，∴S n <a 1－a ，对任意的n ∈N *，S n ∈A ，只须a 满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a1－a ≤1，解得0<a ≤12.综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1，故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n- 11 - ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n .。

第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形 . 会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 . Ⅱ 基础训练题 选择题若 BC ＝ 2 ，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于(填空题1． 2． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．在△ABC 中， 三个内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c，a ＝2，B ＝45°，C ＝75° ，则b ＝在△ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c，a ＝2，b ＝2 3 ，c ＝4，在△ABC中，三个内角A ， B， C 的对边分别是a ，b ， c，2cos B cos C ＝ 1－ cos A ， 则△ABC 形状是在△ABC 中，(A)60(B)30(C)60或120 ° (D)30 °或150 °在△ABC 中， 三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 1a ＝2，b ＝3，cos C ＝－ ，则c 等于()4(A)2(B)3 (C)4 (D)5在△ABC 中，(A )5432已知 cosB ,sinC，AC ＝2，53(B)5(C)29那么边 AB 等于 ( )12 (D) 125在△ABC 中， 三个内角 A ，B ， C 的对边分别是 a ，b ， c ， 已知 B ＝30°，c ＝150 ，b ＝50 3 ，那么这个三角 形是 ( )(A) 等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D) 等腰三角形或直角三角形在△ABC 中， 三个内角 A ，B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 如果 A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么 a ∶b ∶c 等于 ()(A)1 ∶2 ∶3(B)1∶3 ∶2(C)1 ∶4 ∶9(D)1 ∶ 2 ∶ 3三角形.9．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝3 ，b ＝4 ，B＝60 °，则c ＝ ________ 10．在△ABC 中，若tan A＝2，B＝45 °，BC＝5 ，则AC＝____________ .三、解答题11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC 中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD 的长.13．如图，△ OAB 的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC 中，已知BC＝a，AC＝b ，且a，b 是方程x2－2 3 x＋2＝0 的两根，2cos( A＋B)＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC的面积.测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题、选择题1 ．在△ABC 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A 等于( )π(A) 6ππ(B) 3π2π(C) 23π5π(D) 56πA B C②cos( A ＋ B )＝cos C ③ sin A Bcos C22其中正确的个数是 (则此三角形的形状是 ((A) 直角三角形二、填空题6．在△ABC 中，三个内角 A ，B ， C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝ 2 ，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝ __________________ . 7．在△ABC 中，三个内角 A ，B ， C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝2，b ＝3，c ＝ 19 ，则角 C ＝ _________________ .38．在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 b ＝3，c ＝4，cos A ＝ ，则此三角形的面积为 __________59．已知△ABC 的顶点 A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则 cos A ＝ _______________ .10 ．已知△ABC 的三个内角 A ，B ，C 满足 2B ＝A ＋C ，且 AB ＝1，BC ＝4，那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ____________三、解答题11 ．在△ABC 中， a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且 a ＝3，b ＝4，C ＝60(1) 求 c ； (2)求 sin B .12 ．设向量 a ，b 满足 a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈 a ，b 〉；①sin(A ＋B )＝sin C3．4．5．(A)0在△ABC 中， (A)4在△ABC 中， (A)8在△ABC 中， (B)1(C)2(D)3三个内角 三个内角 三个内角 23A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c .若 a ＝3，sin A ＝ ，sin( A ＋C )＝ ，则 b 等于(3427 (D)(B)83(C)6A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝ 3，b ＝ 4，sin C ＝ 2，则此三角形的面积是 (3(B)6(C)4(D)3A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且 sin A ＝2sin B cos C ， (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形(D) 等腰直角三角形(2)求|a－b|.13．设△OAB 的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA 于D.(1) 求高线BD 的长；(2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A＋sin 2B>sin2C，求证：C为锐角.(提示：利用正弦定理 a b c2R，其中R为△ABC 外接圆半径)Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY相交于O点，且两条路所在直线夹角为60 °，甲、乙两人分别在OX、OY上的A、B两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO方向，乙沿OY方向. 问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)求角B 的值；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积.sinA sin B sinCcosB bcosC 2a c第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1 ．了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式 )，了解数列是一种特殊的函数2 ．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项 .3 ．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项 .Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列｛a n ｝的前四项依次是： 4，44，444，4444 ，⋯则数列｛a n ｝的通项公式可以是 ( )二、填空题6 ．数列的前 5 项如下，请写出各数列的一个通项公式：2121 (1) 1, , , , , ,a n3253(A) a n ＝ 4n(B) a n ＝ 4 n4n(C) a n ＝ (10 n－1)9(D) a n ＝4×11 n2．在有一定规律的数列0 ， 3 ， 8 ，15 ，24，x ，48，63，⋯⋯中，x 的值是 ( )(A)30(B)35(C)36(D)42数列 ｛a n ｝满足： a 1＝1， a n ＝a n －1＋ 3n ，则 a 4 等于 ()3．4． 5．(A)4 (B)13 156 是下列哪个数列中的一项 ( )(A){ n 2＋1}(B){n 2－1}若数列 ｛a n ｝的通项公式为 a n ＝5－ 3n ， (A) 递增数列(B)递减数列(C)28 (D)43(C){n 2＋n }(D){ n 2＋ n －1}则数列 ｛a n ｝是( ) (C) 先减后增数列(D) 以上都不对(2)0 ，1，0，1，0，⋯，a n27．一个数列的通项公式是a n＝n n2 1.(1) 它的前五项依次是 __________ ；(2)0.98 是其中的第__________ 项.8．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝3a n＋1，则a4＝ _____________ .1*9．数列{a n}的通项公式为a n (n∈N *)，则a3＝ _____________1 2 3 (2n 1)10．数列{a n}的通项公式为a n＝2n2－15n＋3，则它的最小项是第_______________ 项. 三、解答题11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝14－3n.(1) 写出数列{a n}的前6 项；(2) 当n≥5 时，证明a n<0.n 2n 112．在数列{a n}中，已知a n＝(n∈N *).3(1)写出a10，a n＋1，a n2 ；(2)79 2是否是此数列中的项？若是，是第几项？3113．已知函数f(x) x ，设a n＝f(n)(n∈N ＋).x(1) 写出数列{a n}的前4 项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四等差数列Ⅰ 学习目标1 ．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系、选择题数列 ｛a n ｝满足： a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则 a 100 等于 ()在等差数列 ｛a n ｝中，若 a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则 a 12 的值是 (二、填空题如果一个数列的前 n 项和 S n ＝ 3n 2＋ 2n ，那么它的第 n 项 a n ＝10 ．在数列 ｛a n ｝中，若 a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，设｛a n ｝的前 n 项和是 S n ，则 S 10＝三、解答题11 ．已知数列 ｛a n ｝是等差数列，其前 n 项和为 S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列｛a n ｝的通项公式 .12 ．等差数列 ｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，已知 a 10＝30，a 20＝50.(1) 求通项 a n ；Ⅱ 基础训练题1． 2． (A)98(B)－195(C) －201(D) －198数列 ｛a n ｝是首项 a 1＝1，公差 d ＝ 3 的等差数列，如果 a n ＝2008 ，那么 n 等于 ((A)667(B)668 (C)669 (D)6703．(A)15(B)30(C)31(D)644． 在 a 和 b (a ≠b )之间插入 n 个数，使它们与 a ， b 组成等差数列，则该数列的公差为5． (A) b an(B)bna1ba (C) bna 1(D)bna2设数列 ｛a n ｝是等差数列，且 a 2＝－ 6，a 8＝6，S n 是数列 ｛a n ｝的前 n 项和，则 ( (A) S 4< S 5(B)S 4＝S 5 (C) S 6< S 5 (D) S 6＝ S 56． 在等差数列 ｛a n ｝中， a 2 与 a 6 的等差中项是7． 在等差数列 ｛a n ｝中，已知 a 1＋a 2＝5 ，a 3＋a 4＝9，那么 a 5＋a 6＝ 8． 设等差数列 ｛a n ｝的前 n 项和是 S n ，若 S 17＝ 102 ，则 a 9＝9．(2)若S n＝242 ，求n.13．数列{a n}是等差数列，且a1＝50，d＝－0.6．(1) 从第几项开始a n<0；(2)写出数列的前n 项和公式S n，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n}的前n 项和为S n，若3a n＋1＝3a n＋2(n∈N *)，a1＋a3＋a5＋⋯＋a99＝90 ，求S100 ．测试五等比数列Ⅰ 学习目标1 ．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2 ．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n}满足：a1＝3，a n＋1＝2a n，则a4 等于( )3(A) (B)24 (C)48 (D)5482．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3 ＋a4＋a5 等于((A)33 (B)72 (C)84 (D)1893．在等比数列{a n}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )(A)4 (B) 3(C) 16(D)3294．在等比数列{a n}中，若a2＝9，a5＝243，则{a n}的前四项和为( )(A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列｛a n｝满足a n＝a1q n－1(q>1) ，给出以下四个结论：①｛a n｝是等比数列；② ｛a n｝可能是等差数列也可能是等比数列；③ ｛a n｝是递增数列；④ ｛a n｝可能是递减数列.其中正确的结论是( )(A) ①③(B)①④(C)②③ (D)②④二、填空题6．在等比数列｛a n｝中,a1，a10 是方程3x2＋7x－9＝0 的两根，则a4a7＝____________ .7．在等比数列｛a n｝中，已知a1＋a2＝3 ，a3＋a4＝6，那么a5＋a6＝____________ .18．在等比数列｛a n｝中，若a5＝9，q＝，则｛a n｝的前5 项和为 _________ .9．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 _________________ .3210．设等比数列｛a n｝的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q＝____________三、解答题11．已知数列｛a n｝是等比数列，a2＝6，a5＝162. 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2)若S n＝242 ，求n.12．在等比数列｛a n｝中，若a2a6＝36，a3＋a5＝15 ，求公比q.13．已知实数a，b，c 成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4 成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c. Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到15(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式测试六数列求和Ⅰ 学习目标1 ．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.2 ．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1 ．已知等比数列的公比为2 ，且前4 项的和为1 ，那么前8 项的和等于( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2112．若数列{a n}是公差为的等差数列，它的前100 项和为145 ，则a1＋a3＋a5＋⋯＋a99 的值为( )2 (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n}的通项公式a n＝(－1)n－1·2n(n∈N*)，设其前n项和为S n，则S100 等于( )(A)100 (B)－100 (C)200 (D) －2004．数列1的前n 项和为( )(2n 1)(2n 1)n 2n n 2n(A) (B)2n(C) n(D)2n2n 1 2n 1 4n 2 n15．设数列{a n}的前n 项和为S n，a1＝1，a2＝2，且a n＋2＝a n＋3(n＝1，2，3，⋯)，则S100 等于( )(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950二、填空题1 1 1 16．＝ ___________ .2 13 24 3 n 1 n17．数列{n ＋n }的前n 项和为____________ .2 2 28．数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1 ＝2a n，则a 12＋a 22＋⋯＋a n2＝ _______ .9．设n∈ N*，a∈R，则1 ＋a＋a2＋⋯＋a n＝_____________ .1 1 1 110 ．1 2 3 n n＝ ________________________________ .2 4 8 2n三、解答题11．在数列{a n}中，a1＝－11，a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，求数列{|a n|}的前n 项和S n.12．已知函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋⋯＋a n x n(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数n 都有f(1) ＝n2成立.(1)求数列{a n}的通项a n；1 1 1(2) 求1 1 1a1a2 a2a3 a n a n 113．在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2 时，a n ＝1 1 1 1n 1，求数列的前2 4 2n 1n 项和S n.Ⅲ 拓展训练题14 ．已知数列 {a n }是等差数列，且 a 1 ＝2 ，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1) 求数列 {a n }的通项公式；(2) 令 b n ＝a n x n(x ∈R)，求数列 {b n }的前 n 项和公式 .测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题、选择题二、填空题1．等差数列 {a n }中， a 1＝1，公差 d ≠0 ，如果 a 1， a 2 ，a 5成等比数列，那么 d 等于 ( ) 2．3． (A)3(B)2(C)－2(D)2 或－ 2等比数列 {a n }中， a n >0，且 a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则 a 3＋a 5 等于( (A)5(B)10(C)15(D)20如果 a 1 ， a 2 ，a 3，⋯， a 8 为各项都是正数的等差数列，公差 d ≠0，则((A) a 1a 8 >a 4a 5(B)a 1a 8<a 4a 5 (C) a 1 ＋ a 8> a 4＋a 5(D) a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数 y ＝ f (x )的图象在下列图中，并且对任意 a 1∈(0， 1) ，由关系式 a n ＋1＝ f (a n )得到的数列 {a n } 满足 a n ＋5．1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是已知数列 {a n }满足 a 1＝ 0 ， a n an(A)0(B) －3 3(n ∈N *)，则 a 20 等于((C) 3(D) 23)7．已知等差数列 ｛a n ｝的公差为 2，前 20 项和等于 150 ，那么 a 2＋a 4＋ a 6＋⋯＋a 20＝ ___________ 8 ．某种细菌的培养过程中，每 20 分钟分裂一次 (一个分裂为两个 )，经过 3 个小时，这种细菌可以由 1 个繁殖成__________ 个.9．在数列 ｛a n ｝中， a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则 a n ＝ __________10 ．在数列 ｛a n ｝和｛b n ｝中， a 1＝2，且对任意正整数 n 等式 3a n ＋1－a n ＝0 成立，若 b n 是 a n 与 a n ＋ 1的等差中项，则｛b n ｝的前 n 项和为 ______ . 三、解答题11．数列｛a n ｝的前 n 项和记为 S n ，已知 a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1) 求 a 1，a 2，a 3；(2) 求数列 ｛a n ｝的通项公式； (3)求 a 1 ＋ a 3 ＋⋯＋ a 2n －1 的和.12 ．已知函数 f (x )＝ 22( x >0) ，设 a 1＝1，a n 21·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列 ｛a n ｝的通项公式 x 2413 ．设等差数列 ｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，已知 a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1) 求公差 d 的范围；(2)指出 S 1 ，S 2 ，⋯， S 12 中哪个值最大，并说明理由 .Ⅲ 拓展训练题14 ．甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动 .甲第 1 分钟走 2m ，以后每分钟比前 1分钟多走 1m ，乙6． 设数列 ｛a n ｝的首项 a 1＝ 1，且 a n1412a n , 1 a n , 4n 为偶数 ,则 a 2＝ ________ ，n为奇数 .每分钟走 5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15 ．在数列 ｛a n ｝中，若 a 1，a 2是正整数，且 a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，⋯则称 ｛a n ｝为“绝对差数列”(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项 )；(2)若“绝对差数列” ｛a n ｝中，a 1＝3， a 2＝0，试求出通项 a n ； (3) * 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项 .测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题、选择题在等差数列 ｛a n ｝中，已知 a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么 a 5＋a 6等于 ()在 50 和 350 间所有末位数是 1 的整数和 ( )在等差数列 ｛a n ｝中，如果前 5 项的和为 S 5 ＝ 20 ，那么 a 3等于 ()若｛ a n ｝是等差数列，首项 a 1>0，a 2007＋a 2008 >0，a 2007 ·a 2008 <0，则使前 n 项和 S n >0 成立的最大自然数 n1． (A)16(B)20 (C)24 (D)362． 3．(A)5880(B)5539(C)5208(D)4877若 a ， b ， c 成等比数列，则函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 的图象与 x 轴的交点个数为 ( ) (A)0(B)1 (C)2(D) 不能确定 4． (A)－2(B)2 (C)－4(D)45．、填空题6．已知等比数列 {a n }中，a 3＝3，a 10＝384 ，则该数列的通项 a n ＝ ________________7．等差数列 {a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78 ，则此数列前 20 项和 S 20＝ ___________________8．数列 {a n }的前 n 项和记为 S n ，若 S n ＝n 2－3n ＋1，则 a n ＝ _______________ 9．等差数列 {a n }中，公差 d ≠0，且 a 1，a 3，a 9 成等比数列，则10 ．设数列 {a n }是首项为 1 的正数数列，且 (n ＋1)a 2n 1－na n 2＋a n ＋1a n＝0(n ∈N *)，则它的通项公式 a n ＝三、解答题11 ．设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 a 3＋a 7－a 10＝8，a 11 －a 4＝4，求 S 13.12 ．已知数列 {a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数 f (x )＝2x ＋1 的图象上 .(1) 求数列 {a n }的通项公式； (2) 求数列 {a n }的前 n 项和 S n ；(3) 设 c n ＝ S n ，求数列 { c n }的前 n 项和 T n .13 ．已知数列 {a n }的前 n 项和 S n 满足条件 S n ＝3a n ＋2.(1) 求证：数列 {a n }成等比数列； (2) 求通项公式 a n .14 ．某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用 12 万元，从第二年开始包括维修 费在内，每年所需费用均比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞的总收入为 50 万元 .(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用 (不包括购买费用 )；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利 (即总收入减去成本及所有费用为正值 )？(A)4012(B)4013 (C)4014 (D)4015a 3 a 6 a 9a4 a 7 a10(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以 8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题(1) 求 a n ；m 的值，若不存在，请说明理由16．已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q ＝f (P ).设 P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，⋯，P n ＝f (P n －1)，⋯.如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ， y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆 .特别地，当 P 1＝ f (P 1) 时，则称点 P 1 为映射 f 下的不动点 .1若点 P (x ， y )在映射 f 下的象为点 Q (－x ＋1， 2y ).(1) 求映射 f 下不动点的坐标；(2)若 P 1 的坐标为 (2 ，2) ，求证：点 P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为 2 的收敛圆 .第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式 (组 )的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小 2 ．理解不等式的基本性质及其证明 .15 ．已知函数 f (x )＝(x <－ 2) ，数列 {a n }满足 a 1＝1 ，1a n ＝f (－ )(n ∈N *).2 2 2(2)设 b n ＝a 2n 1＋a 2n 2 ＋⋯＋a 22n 1 ，是否存在最小正整数m ，使对任意 n ∈N *有 b n < 2m5成立？若存在，求出1Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a，b ，c∈ R，则下列命题为真命题的是( )(A)a>b a－c>b－c (B)a>b ac>bc(C) a> b a2>b2(D) a>b ac2>bc22．若－1< < < 1，则－的取值范围是( )(A)( －2，2) (B)(－2，－1) (C)( －1，0) (D)( －2，0)3．设a>2，b >2，则ab与a＋b 的大小关系是( )(A) ab >a＋b (B)ab<a＋b (C) ab＝a＋b (D)不能确定4．11使不等式a> b 和ab同时成立的条件是( )(A) a>b > 0 (B)a>0>b (C)b>a>0 (D)b>0>a5．设1<x<10 ，则下列不等关系正确的是()(A)lg 2x>lg x2>lg(lg x) (B)lg 2x>lg(lg x)> lg x2 (C)lg x2>lg 2x>1g(lg x) (D)lg x2> lg(lg x)>lg 2x二、填空题6．已知a<b<0 ，c<0，在下列空白处填上适当不等号或等号：cc(1)( a－2)c __________ b( －2)c；(2) _______________ ；(3)b－a ______________ a||－|b|.ab7．已知a<0，－1<b<0，那么a、ab 、ab 2按从小到大排列为 ______________ .、选择题18第20 页共83 页a8．已知60 <a<84，28<b<33，则a－b 的取值范围是 ________________ ；的取值范围是 ____________ .bab9．已知a，b ，c∈ R，给出四个论断：① a>b；②ac2>bc2；③ a b；④ a －c> b －c.以其中一个论断作条件，cc 填上论断序号）.310．设a>0，0<b<1，则P＝b 2与Q b （a1）（a 2）的大小关系是______________________三、解答题11．若a>b>0，m>0，判断b与 b m的大小关系并加以证明.a a m22ab 12．设a>0，b>0，且a≠b，p b a,q a b.证明：p>q.注：解题时可参考公式x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）.Ⅲ 拓展训练题13．已知a>0，且a≠1，设M＝log a（a3－a＋1），N＝log a（a2－a＋1）.求证：M>N.14 ．在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，试比较a5和b5的大小.测试十均值不等式Ⅰ 学习目标1 ．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.Ⅱ 基础训练题另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是____________ __________ ____________ .在（“ ”的两侧1．已知正数 a ，b 满足 a ＋b ＝1，则 ab ()11(A) 有最小值 1(B)有最小值 142(C) 有最大值14(D)有最大值122．若 a >0，b >0，且 a ≠b ，则 ( )3．若矩形的面积为 a 2(a >0) ，则其周长的最小值为 ( )(A)a(B)2a (C)3 a (D)4 a4．设 a ，b ∈R ，且 2a ＋b －2＝0，则 4a＋2b的最小值是 ( )(A) 2 2(B)4(C) 4 2(D)85．如果正数 a ，b ，c ，d 满足 a ＋ b ＝cd ＝4，那么 ()(A) ab ≤c ＋ d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值唯一(B) ab ≥c ＋ d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C) ab ≤c ＋ d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值不唯一(D) ab ≥c ＋ d ，且等号成立时 a ， b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题96．若 x > 0 ，则变量 x 9的最小值是 ______________ ；取到最小值时， x ＝ ________x4x7．函数 y ＝ 2 (x >0) 的最大值是 _______________ ；取到最大值时， x ＝ ___________ .x 2 1168．已知 a < 0，则 a 的最大值是 __________________ .a3 9．函数 f (x ) ＝ 2log 2(x ＋2) －log 2x 的最小值是 ___________ .10．已知 a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且 a ，b ，c 成等比数列，则 b 的取值范围是 _______________三、解答题(A) a 2baba22b 2(B) aba2 b2a b(C) ab2 2(D)a bab ab 2ab11．四个互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，判断 a d和bc的大小关系并加以证明21 t 1 12 ．已知a>0，a≠1，t >0，试比较log a t 与log a2a2Ⅲ 拓展训练题13 ．若正数x，y 满足x＋y＝1，且不等式x y a恒成立，求a 的取值范围a14 ．(1)用函数单调性的定义讨论函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞ )上的单调性；xa(2) 设函数f(x)＝x＋(a>0) 在(0 ，2］上的最小值为g(a)，求g (a)的解析式.x测试十一一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的大小.2 ．会解简单的一元二次不等式.一、选择题1．不等式5x＋4>－x2的解集是( )(A){ x|x>－1，或x<－4}(C){x|x>4，或x< 1}2．不等式－x2＋x －2> 0 的解集是( )(A){ x|x>1，或x<－2}(C)R3．不等式x2>a2(a<0) 的解集为( )(A){ x|x >±a}(C){x|x>－a，或x<a}Ⅱ 基础训练题(B){x|－4<x<－1}(D){ x|1 <x<4}(B){ x|－2< x< 1} (D)(B){x|－a<x<a}(D){ x|x> a，或x<－a}已知不等式 ax 2＋bx ＋c >0 的解集为 ｛x| 1x 2｝ ，则不等式 cx 2＋bx ＋a <0 的解集是 ( )3填空题4．5．6．7． 8． 9． 10 11121314不等式 x 2＋x －12<0 的解集是 不等式 23x x 150 的解集是不等式|x 2－ 1|< 1 的解集是 不等式0< x 2－3x <4 的解集是 1．已知关于 x 的不等式 x 2－(a ＋ )x ＋ 1<0 a 的解集为非空集合｛1x |a < x < ｝，则实数 a 的取值范围是a解答题 ．求不等式 x 2－2ax －3a 2<0(a ∈R)的解集 . ． k 在什么范围内取值时，方程组 22x 2 y 22x 0有两组不同的实数解？3x 4y k 0Ⅲ 拓展训练题．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝｛x |x 2－x －6<0｝，B ＝｛x |x 2＋2x －8>0｝，C ＝｛x |x 2－ 4ax ＋3a 2<0｝. (1)求实数 a 的取值范围，使 C (A ∩B )； (2)求实数 a 的取值范围，使 C ( U A )∩( U B ). ．设 a ∈ R ，解关于 x 的不等式 ax 2－2x ＋1<0. 测试十二 不等式的实际应用1 (A){ x |－ 3<x < } 1 (C) {x －2<x < 3 }3(B){x |x <－3，或 x > 1} x >13}(D)｛ x |x <－ 2，或若函数 y ＝px 2－ px －1(p ∈R)的图象永远在 x 轴的下方，则 p 的取值范围是 ( )(A)( －∞，0)(B)(－4，0](C)( －∞，－ 4)(D)[ － 4， 0)Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题11 ．函数y 2的定义域是( )4x2(A){ x|－2<x<2} (B){ x|－2 ≤x≤2 }(C){x|x>2，或x<－2} (D){ x|x≥2，或x≤－2} 2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300 －2 x，生产x 件的成本r＝500 ＋30x(元)，为使月获利不少于8600 元，则月产量x 满足( )(A)55 ≤x≤60 (B)60 ≤x≤65(C)65 ≤x≤70 (D)70 ≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70 元，不征收附加税时，每年大约产销100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100 元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112 万元，那么r 的取值范围为( )(A)2 ≤r ≤10 (B)8 ≤r≤10(C)2 ≤r ≤8 (D)0 ≤r≤84．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M ，则对任意实常数k，总有( )(A)2 ∈M，0∈M (B)2 M ，0 M(C)2 ∈M ，0 M (D)2 M ，0∈M二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为 __________ .6．不等式2x2＋ax＋2>0 的解集是R，则实数a 的取值范围是 _______________ .Ⅰ 学习目标23第25 页共83 页7．已知函数f(x)＝x|x－2| ，则不等式f(x)<3 的解集为 _____________ .8．若不等式|x＋1|≥kx对任意x∈R 均成立，则k的取值范围是 ___________ .三、解答题9．若直角三角形的周长为2 ，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离” 刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m. 已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h) 之间分别有如下关系：s甲＝0.1 x＋0.01 x2，s乙＝0.05 x＋0.005 x2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x∈［－1，3］时，不等式－x2＋2x＋a>0 恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形) 的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标23第 27 页 共 83 页1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决Ⅱ 基础训练题、选择题已知点 A (2，0)，B (－1，3)及直线 l ：x －2y ＝ 0，那么 ()7．若不等式 |2x ＋ y ＋m |<3 表示的平面区域包含原点和点 (－ 1 ，1) ，则 m 的取值范围是1． (A) A ， B 都在 l 上方 (B) A ，B 都在 l 下方 (C) A 在 l 上方， B 在 l 下方(D) A 在 l 下方， B 在 l 上方2． 在平面直角坐标系中，不等式组x 0,y 0, 所表示的平面区域的面积为 ( ) xy2(A)1 (B)2 (C)3 (D)4三条直线 y ＝ x ，y ＝－x ，y ＝2 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是y x, y x, y x, y x, (A) y x,(B) y x,(C) y x,(D) y xy 2.y 2. y 2.y 2.4． x y 5 0,若 x ， y 满足约束条件 x y 0,x 3,z ＝2x ＋4y 的最小值是5． (A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元， 70 元的单片软件和盒装磁盘 .根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有(A)5 种(B)6 种(C)7 种(D)8 种二、填空题 6．在平面直角坐标系中，不等式组x0x y所表示的平面区域内的点位于第3．( )x 226x 1,8．已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件 y 3, 那么 z ＝ x － y 的取值范围是 _____________________3x y 3 0,x 1,y9 ．已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件 y 2, 那么 的取值范围是 ______________________ .x2x y 2 0, 10 ．方程|x |＋ |y |≤1 所确定的曲线围成封闭图形的面积是 ___________ .三、解答题11 ．画出下列不等式 （组）表示的平面区域：x 1,（1）3 x ＋ 2y ＋6>0（2） y 2,x y 1 0.12 ．某实验室需购某种化工原料 106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35kg ，价格为 140 元；另一种是每袋 24kg ，价格为 120 元 .在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13 ．商店现有 75 公斤奶糖和 120 公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋0.9 元 .问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？1 公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装 250 克奶糖和 750 克硬糖，每袋可盈利0.5 元；第二种每袋装 500 克奶糖和 500 克硬糖，每袋可盈利14．甲、乙两个粮库要向A，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100 吨，乙库可调出80 吨，而A 镇需大米70 吨，x 2263． 4． (A)32(B)3 (C)4 某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场是((A)50m设函数 f (x )＝(D)6.若圆的半径为 10m ，则这个矩形的面积最大值(B)100m 2(C)200m 2(D)250m 2x2 x 2，若对 x >0 恒有 xf (x ) ＋a >0 成立，则实数 a 的取值范围是 ( )B 镇需大米 110 吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问： (1)这两个粮库各运往 A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题、选择题设 a ，b ， c ∈ R ， a >b ，则下列不等式中一定正确的是 ( )1． (A) ac 2>bc 2(B) 1aa(C) a － c > b － c (D)| a |>|b |2． 在平面直角坐标系中，不等式组x y 4 0,2x y 4 0, 表示的平面区域的面积是 ( ) y2(A)a<1－2 2 (B)a<2 2 －1 (C) a> 2 2 －1 (D)a>1－2 25．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)<0，b(a＋b－1)<0，则( )(A) a>1 (B)a<－1 (C)－1<a<1 (D)| a|>1二、填空题a6．已知1< a<3，2<b<4，那么2a－b 的取值范围是 ________________ ，的取值范围是 _________ .b7．若不等式x2－ax－b<0 的解集为{x|2<x<3}，则a＋b＝ __________________ .8．已知x，y∈ R＋，且x＋4y＝1，则xy 的最大值为____________ .9 ．若函数f(x)＝2x 2ax a1的定义域为R，则a 的取值范围为_________ .10 ．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax 在［1，12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 __________ .三、解答题x811．已知全集U＝R，集合A＝{x| |x－1|<6} ，B＝{x| >0}.2x 1(1) 求A∩B；(2) 求( U A)∪B.12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000 元，运费500 元，可得产品90 千克；若采用乙种原料，每吨成本1500 元，运费400 元，可得产品100 千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000 元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题a j 13．已知数集A＝{a1，a2，⋯，a n }(1 ≤a1< a 2<⋯< a n，n ≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与j两a i数中至少有一个属于A.(1) 分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6} 是否具有性质P，并说明理由；a1 a2 a n(2)证明：a1＝1，且a11 a21 a1n a n.x226测试十五必修 5 模块自我检测题、选择题1．函数y x2 4 的定义域是( )2．3．(A)( －2，2)(C)[ －2 ，2]设a>b > 0，(A) a－b < 0(C) ab <设不等式组11(A) (21,13)(B)( －∞，－2) ∪ (2 ，＋∞ )(D)( －∞，－2] ∪ [2 ，＋∞ )则下列不等式中一定成立的是a(B)0 < < 1bab2(D) ab > a＋bx 1,y 0, 所表示的平面区域是xy0W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )11(B) ( 21,13)4．11(C)( 2, 3)11(D) (12, 13)设等比数列{a n}的前n 项和为S n，则下列不等式中一定成立的是(A) a1＋a3> 0 (B)a1a3>0 (C)S1＋S3< 0 (D) S1S3 < 05．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1 ∶2∶3 ，则a∶b(A)1∶ 3∶2 (B)1 ∶2 ∶3 (C)2 ∶ 3∶1 (D)3 ∶2∶16．已知等差数列{a n}的前20 项和S20 ＝340 ，则a6＋a9＋a11＋a16 等于( )c 等于( )(A)31 (B)34 (C)68 (D)707．已知正数x、y 满足x＋y＝4，则log 2x＋log 2y 的最大值是( )(A) －4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A 的距离为终点B的距离为0.05 km ，且∠APB＝60 °.现测得某辆汽车从A 点行驶到B点所用的时间为0.08 km ，距测速区3s，则此车的速度介于( )(A)60 ～ 70km/h (C)80 ～90km/h(D)90 ～ 100km/h二、填空题9．不等式 x (x － 1)<2 的解集为 ___________ .10 ．在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 成等差数列，则 cos( A ＋C )的值为 ___________ . 11．已知｛a n ｝是公差为－ 2的等差数列，其前 5 项的和 S 5＝0，那么 a 1等于 ___________ .212 ．在△ABC 中， BC ＝ 1，角 C ＝120 °，cos A ＝ ，则 AB ＝ _____________ .3x 0,y 013 ．在平面直角坐标系中，不等式组 2x y 4 0 ，所表示的平面区域的面积是 _________________ ；变量 z ＝x ＋3y 的最大x y 3 0值是 _________ .14 ．如图， n 2(n ≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵，符号 a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N)表示位于第 i 行第 j 列的正数 .11已知每一行的数成等差数列， 每一列的数成等比数列， 且各列数的公比都等于 q .若 a 11＝ ，a 24＝1，a 32＝ ，24则 q ＝ _______ ；a ij ＝ __________ .三、解答题15 ．已知函数 f (x )＝x 2＋ax ＋6.(B)70 ～ 80km/h(1) 当a＝5 时，解不等式f(x)<0 ；(2)若不等式f(x)>0 的解集为R，求实数a 的取值范围16．已知｛a n｝是等差数列，a2＝5，a5＝14.(1)求｛a n｝的通项公式；(2)设｛a n｝的前n项和S n＝155 ，求n 的值.(1) 证明角C＝90(2)求△ABC的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56 吨，供电至多45 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？119．在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos A＝1. 32 B C(1)求sin2cos2 A的值；2(2)若a＝3，求bc 的最大值.20．数列｛a n｝的前n 项和是S n，a1＝5，且a n＝S n－1(n＝2，3，4，⋯).(1) 求数列{a n}的通项公式；1 1 1 1 3(2)求证：a 1a2a3an517 ．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10 ，且cosA b cosB a37第32 页共83 页参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4 ．D 5．B提示：34．由正弦定理，得 sin C ＝ 2，所以 C ＝60°或C ＝120 °，当 C ＝60 °时，∵B ＝30 °，∴A ＝ 90 °，△ABC 是直角三角形； 当 C ＝120 °时，∵B ＝30 °，∴A ＝ 30 °，△ABC 是等腰三角形 .5．因为 A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以 A ＝30 °，B ＝ 60 °，C ＝ 90 °， 由正弦定理a b c＝k ，sin A sinB sinC13得 a ＝k ·sin30 °＝ k ，b ＝ k ·sin60 °＝ k ，c ＝ k ·sin90 °＝k ， 22所以 a ∶b ∶c ＝1∶ 3 ∶2. 二、填空题6．2367．30° 8 ．等腰三角形 9．323710．54提示：8 ．∵A ＋ B ＋ C ＝ π，∴－cos A ＝ cos （ B ＋ C ）.∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos （ B ＋C ）＋1，∴2cos B cos C ＝ cos B cos C － sin B sin C ＋ 1，∴cos （ B － C ） ＝ 1 ，∴B － C ＝ 0 ，即 B ＝C .9 ．利用余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .三、解答题11．c ＝2 3 ，A ＝30°，B ＝90 12 ． (1)60 °；(2) AD ＝ 7 .210．由 tan A ＝2，得 sinA，根据正弦定理，得 5ACsinBBCsinA ，得 AC ＝ 52413 ．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝(5 0)2 (2 0)229 ，同理得OB 145, AB 232 .由余弦定理，得OA2 AB 2 OB2 2 cosA＝2 OA AB 2，∴A＝45 °.14．（1）因为2cos（A＋B）＝1，所以A＋B＝60 °，故C＝120 （2）由题意，得a＋b＝2 3 ，ab＝2，又AB2＝c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C1 ＝12－4－4×( )＝10.2所以AB＝10 .(3) S△ABC＝1ab sin C＝1·2· 3＝3.2 2 2 2测试二解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4 ．C 5 ．B提示：5．化简（a＋b＋c）（b ＋c－a）＝3bc ，得b2＋c2－a2＝bc，b 2c2a21由余弦定理，得cos A＝ b c a 1，所以∠ A＝602bc 2因为sin A＝2sin B cos C，A＋B＋C＝180所以sin( B＋C)＝2sin B cos C，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C.2所以 sin( B － C )＝0，故 B ＝ C . 故△ABC 是正三角形 二、填空题三、解答题(2) 由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝ 7， 故 |a － b |＝ 7 .13 ． (1)如右图，由两点间距离公式，22得 OA (5 0)2 (2 0)229 ， 同理得 OB 145 , AB232 .由余弦定理，得所以 A ＝ 45故 BD ＝AB ×sin A ＝2 29 .6．30 7．120 8．24 59．10 ． 3cosA OA 2 AB 2OB2 OA AB 11． (1)由余弦定理，得 c ＝ 13 ；(2)由正弦定理，得sin B ＝21339.1312． (1)由 a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得 a ， b 〉＝60 °；11（2） S △OAB ＝ ·OA ·BD ＝ · 29 ·2 29 ＝ 29.2 bc2R ， sinB sinC sinB, csinC .2R因为 sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，即 a 2＋b 2>c 2.由 C ∈ (0 ， π)，得角 C 为锐角 .(1)设 t 小时后甲、乙分别到达 P 、Q 点，如图，故当 t ∈[0 ， ]时，4|PQ |2＝（3－4t ）2＋（1＋ 4t ）2－2×（3－4t ）×（1＋4t ）×cos60当 t > h 时， |PQ |2＝（4t －3）2＋（1＋4t ）2－2 ×（4 t －3） ×（1＋4t ）×cos1204故得 |PQ |＝ 48t 2 24t 7 （t ≥0）.24 1(2)当 t ＝h 时，两人距离最近，最近距离为 2km.2 48 4abc(1) 由正弦定理2R ，sin A sin B sinC得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .cosB sin B cosC 2sin A sinC2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－ cos C ·sin B ，14．2 由正弦定理 asin A 得a sinA,b2R 2R 所以 （2aR）2 （2b R）2 （2c R）2，a2 b2所以 cos C ＝ a b2abc> 0， 15． °；16． 所以等式cosB cosCb 2a c可化为cosB cosC2Rsin B2 2Rsin A 2R sin C4O 重合 .则|AP |＝ 4t ，|BQ |＝4t ，故 2sin A cos B ＝－ cos C sin B －sin C cos B ＝－ sin( B ＋C )， 因为 A ＋ B ＋ C ＝ π，所以 sin A ＝ sin( B ＋C )， 故 cos B ＝－ 1，2所以 B ＝120 °.(2)由余弦定理，得 b 2＝13 ＝a 2＋c 2－2ac ×cos120 °，即 a 2＋ c 2 ＋ ac ＝13 又 a ＋ c ＝ 4，a1，或c 3，或解得a3 c1所以1S △ABC ＝ ac sin B ＝21×1×3× 3＝3 32、选择题第二章 数列测试三 数列1． C2．3．C4．5．B二、填空题2 n11 4 9 16 257．(1)1,4, 9,16,252 5 10 17 266． (1) a n(或其他符合要求的答案(2)7 8 ．67(2)a n1 ( 1)9 ．115n 2( 或其他符合要求的答案 ) 10．4提示：9．注意 a n 的分母是 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝ 15.10 ．将数列 ｛a n ｝的通项 a n 看成函数 f (n )＝2n 2－15n ＋3， 利用二次函数图象可得答案三、解答题11．(1)数列｛a n ｝的前 6 项依次是 11，8，5，2，－1，－4； (2)证明：∵ n ≥5，∴－3n ＜－ 15 ，∴14 －3 n ＜－ 1，。

模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( ) A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0， ∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D.6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2错误!＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4， ∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0，－x ＋2，x>0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0， 所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝错误!，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝asin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列， 所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝23.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x2＋x ＋1x ＋2＝错误!＝错误!＝t ＋错误!－3≥2错误!－3， ∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝错误! ＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则bn ＋1bn ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝错误!(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180km/h ，飞机在A 处先看到山顶的俯角为15°，经过420s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n.(2)∵a n ＝13n， ∴b n ＝－log313n＝2n ， 从而1bnbn ＋1＝错误!＝错误!错误!，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝错误!.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝错误! 因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )， 所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥错误!＝错误!， 又因为错误!≤错误!错误!2， 所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。

1 ∪B=(0,+∞) B.(∁R A )∪B=(-∞,0]R A )∩B={-1,0}D.(∁R A )∩B={1}∵A={y|y>0},∴∁R A={y|y ≤0},∴(∁R A )∩B={-1,0}.C2在等差数列{a n }中,若a 2+a 8=12,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 9等于( )A.48 B.54 C.60 D.66S 9==54.9(a 1+a 9)2=9(a 2+a 8)23A.541∴cos C==-.2ab =2·3k ·2k 4D5已知c<d ,a>b>0,则下列不等式中必成立的一个是( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dad>bcD.a c >bd因为c<d ,所以-c>-d.又a>b>0,所以a+(-c )>b+(-d ),即a-c>b-d.B6 A.87A.38A.-3当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.1x -1B9已知x ,y 为正实数,且x ,a 1,a 2,y 成等差数列,x ,b 1,b 2,y 成等比数列,则的取值范围是( )(a 1+a 2)2b 1b 2A.RB.(0,4]+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)原式=+2,(x +y )2xy=x 2+2xy +y 2xy =x y +y x 又x ,y>0,∴+2≥2+2=4,当且仅当,即x=y 时,等号成立.x y +y x x y ·y x x y =yx 10的坐标为由画出可行域,如图阴影部分所示.{x ≤2y 作直线l 0:y=-x ,平移直线l 0至l 1位置时,z 取得最大值,此时l 1过点(,2),故z max =+2=4222×2C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=1,c=,∠C=,则∠A= .3π3由正弦定理,得⇒sin A=,所以∠A=.a sinA =c sinC asinC c =323=12π6π612若关于x 的方程x 2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则m 的取值范围是 . 解析1314设数列{a n }为公比q>1的等比数列,若a 2 013和a 2 014是方程4x 2-8x+3=0的两根,则a 2 015+a 2 016解方程4x 2-8x+3=0得方程的两个根是x 1=,x 2=,1232因为a 2 013和a 2 014是方程4x 2-8x+3=0的两个根,数列{a n }的公比q>1,所以a 2 013=,a 2 014=,1232所以q=3.所以a 2 015+a 2 016=a 2 013q 2+a 2 014q 2=(a 2 013+a 2 014)q 2=×32=18.(12+32)181516通项公式故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d=0,此时S n =0,不合题意;若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d=0或d=2.因此数列{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n-1.17(本小题满分12分)已知关于x 的不等式>1+.x +2m x -5m 2(1)当m>0时,解这个不等式;若此不等式的解集为{x|x>5},试求实数m 的值.(1)解含参不等式要就参数的取值范围进行讨论,本题在系数化为1时,要注意m-1的符号.(2)不等式于是=5,解得m=7.m -118(本小题满分12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边长.已知a ,b ,c 成等比数列,且a 2c 2=ac-bc ,求(1)∠A的大小;(2)的值.bsinBc 由题意,可知b 2=ac ,将此式代入a 2-c 2=ac-bc ,然后利用余弦定理求出∠A ;再由正弦定理或三角形面积公式求出的值.bsinBc (1)因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac.又因为a 2-c 2=ac-bc ,所以b 2+c 2-a 2=bc.在△ABC 中,由余弦定理,得19(本小题满分12分)△ABC 的内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c.(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C );若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值.证明∵a ,b ,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理,得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C )]=sin(A+C ),∴sin A+sin C=2sin(A+C ).解∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac.由余弦定理,得cos B=,a 2+c 2-b 22ac=a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =1220上,起初甲在离点的路线的夹角发生了变化,因此,讨论的依据是t与的大小关系.这是本题应注意的一个方面.34(1)设甲、乙两人起初的位置分别是A 与B ,则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OB cos 60°=32+12-2×3×1×=7.12故起初甲、乙两人的距离是 km .7(2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P ,Q ,则AP=4t ,BQ=4t ,当0≤t ≤时,PQ 2=(3-4t )2+(1+4t )2-2(334t )cos 60°,当t>时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t )2-2(4t-3)(1+4t )cos 120°,注意到,上面的两式实际上是统一的34PQ 2=48t 2-24t+7,t ∈[0,+∞),即PQ=,t ∈[0,+∞).48t 2-24t +721(1)求数列从而+…+1a 1+1a 21a m=5[(3)]1-13=<1.910·[1-(13)m]<910若a n=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故数列是首项为-,公比为-1的等比数列,从而+…+1a n 15{1a n}151a 1+1a 2{-15,m =2k -1(k ∈N +),0,m =2k (k ∈N +),故+…+<1.1a 1+1a 21a m 综上所述,对任何正整数m ,总有+…+<1.1a 1+1a 21a m 故不存在正整数m ,使得+…+≥1成立.1a 1+1a 21a m。

模块综合测评(二)满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x <0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}，若S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．(－1,1]C ．[0,1]D ．(0,1]C [S ＝{x |0<x <2}，T ＝{x |x ≤a 或x ≥a ＋1}，由题意a ＋1≤2且a ≥0，得0≤a ≤1.] 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( )【导学号：9143396】A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 C [b sin A ＝4×sin 60°＝4×32＝2 3. sin B ＝b sin A a ＝23a， 又a ＝6，且6<23，故△ABC 无解．]3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243A [因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A 项．]4．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2ax <23x ＋a 2对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是( )【导学号：91432397】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D ．(0,1)A [原不等式化为22ax －x 2<23x ＋a 2，故2ax －x 2<3x ＋a 2对任意实数x 都成立，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2>0恒成立．∴(3－2a )2－4a 2＝9－12a <0.∴a >34.]5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋1，则a 4b 4等于( )A.2215 B.1522 C.1223 D.3129B [在等差数列a n ，b n 中，a 4b 4＝7×a 1＋a 727×b 1＋b 72＝S 7T 7＝2×7＋13×7＋1＝1522.]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( )【导学号：91432398】A ．－14B.14 C ．－23D.23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k2＋k 2－k22·3k ·2k＝－14.]7．已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 等于( ) A ．9 B ．21 C ．27D ．36C [S 3＋a n ＋a n －1＋a n －2＝4＝3(a 1＋a n )，∴a 1＋a n ＝43，又S n ＝n a 1＋a n2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝18，∴n ＝27.]8．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x －3y 的最小值为( )【导学号：91432399】A ．9B ．－6C ．－9D ．6 B [作出可行域如图所示的阴影部分． 由目标函数z ＝x －3y 得：y ＝13x －z 3， ∴－z3为直线在y 轴上的截距．∴平移直线l 0：y ＝13x ，当直线经过点A 时，z 取得最小值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y －9＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，∴A (3,3)．∴z min ＝3－3×3＝－6.]9．如图1，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船行驶方向与距离分别为( )图1A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC ＝102＋102－2×10×10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝10 3.]10．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )【导学号：91432400】A ．(－∞，6)B ．(－∞，6]C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)A [由题意得：当x >0时，mx <x 2＋9，即m <x ＋9x恒成立．设函数f (x )＝x ＋9x (x >0)，则有x ＋9x≥2x ·9x ＝6 ，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立．则实数m 的取值范围是m <6.]11．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3D [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.]12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )【导学号：91432401】A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 22 [因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝2xy2＝22，当且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.]14．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.【导学号：91432402】153 [由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0， ∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.]15．设S n 是数列{a n }的前 n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. －1n[∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.]16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号) 【导学号：91432403】①③④ [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥a ＋b22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，所以④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d ＝242，得12n ＋n n －2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故 n ＝11.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围.【导学号：91432404】[解] (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2. 19．(本小题满分10分)解关于x 的不等式x 2－x ＋3x 2＋ax>0(a ≠0)．[解] ∵x 2－x ＋3>0对x ∈R 恒成立， ∴原不等式可化为x 2＋ax >0，即x (x ＋a )>0. 又a ≠0，∴当a <0时，解得x <0或x >－a ； 当a >0时，解得x <－a 或x >0. 综上，当a <0时，原不等式的解集为{x |x <0或x >－a }；当a >0时，原不等式的解集为{x |x <－a 或x >0}．20．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.【导学号：91432405】[解] (1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，即2sin B ＝sin A ＋sin C ，因为sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c ＝b 时，cos B 取得最小值12，此时三角形为正三角形．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形． [解] (1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理， 有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得sin B ＝AC sin A BC ＝12. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC ＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <34.【导学号：91432406】[解] (1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)．∴{a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n.(2)证明：c n ＝a n b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，则T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，由错位相减，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以T n ＝34－34×⎝⎛⎭⎫13n－12n ×⎝⎛⎭⎫13n＝34－2n ＋34×13n <34.。

综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋ (2)＝2n ＋1－1．∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．3．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(x ＋12)·(32－x )≥0的解集是( A )A ．{x |－12≤x ≤32}B ．{x |x ≤－12或x ≥32}C ．{x |－12＜x ＜32}D ．{x |x ＜－12或x ＞32}[解析] ∵(x ＋12)(32－x )≥0，∴(x ＋12)(x －32)≤0，∴－12≤x ≤32，故选A ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法二：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13．∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D.故选C ．解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故选C ．7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a或⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a．当⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0．∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝a 1＋a 132＝13×2a 72＝13a 7，故选C ．10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521 mB ．10 mC ．4 90013mD ．35 m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝htan60°＝33h ，OB ＝h ．AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B ) A ．9 B ．92 C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝__4__． [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4．14．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为2．[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得ABsin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562．15．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为__4__．[解析] ∵3是3a与3b的等比中项， ∴3＝3a·3b＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l．(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． [解析] (1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121v，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤76 00022＋18＝1900(辆/小时)，故答案为1 900．(2)l ＝5，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是aq ，a ，aq ，且q ≠1，则a q＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q＋(4－1)·d ． 则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a －a q ②由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98．18．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2．(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin2A sin2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25． (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝35．又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9．19．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－＝6－＋－＝2k，∴k ＝－25．(2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k >66或k <－66，∴k <－66． 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 20．(本题满分12分)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1、a 7、a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 7，a 4成等差数列， ∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0，∴q 3＝－12或q 3＝1．当q 3＝1，即q ＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝12a 1－6a 1＝6a 1，∴S 62S 3＝S 12－S 6S 6， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 当q 3＝－12时，S 62S 3＝a 1－q 61－q·1－q2a 1－q3＝1＋q 32＝14，S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 1－q 121－q ·1－q a 1－q 6－1 ＝q 6＝(q 3)2＝14，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列， 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝23．22．(本题满分12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C ，D 用强光柱进行辅助照明，其中A ，B ，C ，D 在同一平面内，现测得CD 长为100m ，∠ADN ＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°．(1)求△BCD 的面积； (2)求船AB 的长．[解析] (1)由题意知∠BDM ＝30°，∠BCM ＝60°， 得∠CBD ＝30°，∠BCD ＝120°，所以BC ＝CD ＝100(m)，所以S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×sin120°＝2 5003(m 2)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠ACD ＝45°，∠BDA ＝45°，在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝ADsin45°，所以AD ＝10036(m)．在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD＝1002＋1002－2×100×100×cos120°＝1003(m)， 在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100362＋32－2×10036×1003×cos45°＝100315(m)，即船长为100315m ．。

高二数学必修5综合测试卷时间:120分钟 总分:150分班级: 姓名 : 得分:一、选择题（10道小题，每题5分，共50分），请将正确答案填入表格中适当的位置。

题号 1 2345678911 得分 答案1、在ABC ∆中，,3b ,2 ,45===a A o 则B 等于A o o 13545或B o o 12060或C o60 D o 1202、ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若o B b c 120 ,6 ,2===， 则 a 的大小为A 6B 2C 3D 2 3、已知数列{}n a 的首项为31=a ，且满足nn a a 111-=+，则此数列的第2018项是 A21 B 3 C 32D 21-4、已知数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，且290=n a ，则 n 等于 A 95 B 96 C 97 D 985、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果92 ,2284==S S ，则 12S 等于A 117B 118C 210D 211 6、已知等比数列{}n a 中，81 ,352==a a ，则7a 等于A 243B 729C 2187D 65617、{}n a 是单调递增等比数列，且42 ,a a 满足方程0324602=+-x x ，则数列{}n a 的前4项和等于A 80B 80-C 82D 40 8、若b a R,c , ,<∈b a ，则下列不等式成立的是 A 22bc ac < B 22b a < C 1122+>+c bc a D )1()1(+<+c b c a9函数m mx x x f -+=2)(对一切R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是A 0>mB 4-<mC 04<<-mD 04≤≤-m 10、已知0>a ，则34++a a 得最小值等于 A 2 B 1- C 1 D 4二、填空题 （本题有5道小题，每题5分，总分25分）11、已知等差数列{}n a 中，28 ,326251-=+-=+a a a a ，则 前n 和=n S 。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】 22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________.【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26，∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立．【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为： 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝4n n ＋1.【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14， ∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n ＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17， 令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8，当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)，∴对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2(x－1)×4x－1－2＝2(当x＝3时等号成立)．∴实数m的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25)22 ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x≤19－2x·25x＝9，当且仅当x＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。

2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.√24D.√23答案:B2下列结论正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若√a<√b,则a>b答案:C3等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13的值是() A.130 B.65C.70D.75解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.所以S13=13(a1+a13)2=13(a7+a7)2=13a7=130.答案:A4已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=125.∵A∈(0,π2),∴cos A=15.∵cos A=36+b2-492×6b ,∴b=5或b=−135(舍).故选D.答案:D5若在等比数列{a n}中,a4=7,a6=21,则a8等于()A.35B.63C.21√3D.±21√3 答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=4√3,A=30°,则角B 的度数等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ) A .(0,π3]B.[π3,π] C .(0,π6]D.[π6,π) 答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z ,则z=1 600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36 800.故选C .答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( )A.x+y ≥2(√2+1)B.xy ≤√2+1C.x+y ≤(√2+1)2D.xy ≥2(√2+1) 解析:∵xy=1+(x+y )≤(x+y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0, ∴x+y ≥2(√2+1),当且仅当x=y =√2+1时等号成立. 答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n -√3√3a n +1(n ∈N *),则a 20等于( )A.0B .−√3C.√3D.1解析:由a 1=0,a n+1=n √3√3a +1n ∈N *),得a 2=−√3,a 3=√3,a 4=0,…由此可知数列{a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=−√3. 答案:B11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1. 答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值. 于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1. 答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列, 所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100.所以2n ≥51,n ≥6.答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO|的最小值等于 ,最大值等于 . 答案:√2 √1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =√2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos 120°.∵c =√2a,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n. (2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2a =10n-n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10√7海里,求B船的速度.解如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10√7,∠ABC=120°.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos 120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为8060=43(小时),路程为BC=20海里,则有v=2043=15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba =cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2√5,求△ABC面积的最大值.解(1)因为2c-ba =cosBcosA,所以(2c-b)cos A=a cos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B, 整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B)=sin C.在△ABC中,0<C<π,所以sin C≠0.所以cos A=12.又0<A<π,故A=π3.(2)由(1)得A=π3,又a=2√5,则cos A=b 2+c2-a22bc=12,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=12bcsin A=12bcsinπ3=√34bc≤√34×20=5√3.所以△ABC面积的最大值为5√3.20(12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n2n-1}的前n项和.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得{a 1=1,d =-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)设数列{an2n -1}的前n 项和为S n , 即S n =a 1+a 22+⋯+a n 2n -1,则S 1=a 1=1,S n 2=a 12+a 24+⋯+a n2n . ∵当n>1时,S n 2=a 1+a 2-a 12+⋯+a n -a n -12n -1−a n 2n=1−(12+14+…+12n -1)−2-n 2n=1−(1-12n -1)−2-n 2n=n2n ,∴S n =n2n -1.当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数列{an2n -1}的前n 项和S n =n2n -1.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率? 解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可. 由{21x +11y =86,x +y =6,得M (2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万. 故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n 为数列{1an a n+1}的前n 项和,若Tn ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得d=1或d=0(舍去),因此a 1=2.故a n =n+1. (2)∵由(1)可知1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,∴T n =12−13+13−14+⋯+1n -1−1n+2=n2(n+2). ∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴n 2(n+2)≤λ(n+2),即λ≥n2(n+2)2对任意n ∈N *恒成立.又n 2(n +2)2=n 2(n 2+4n +4)=12(n +4n+4)≤116,当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值为116.。