2018年高考数学热门考点与解题技巧考点7不等式Word版含解析

第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). 3.三个“二次”间的关系诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞bac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bcB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc .故选B. 答案 B3.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A.(0，4]B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0]解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，∴M ∩N ＝[0，4). 答案 B4.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A.－2B.－3C.－1D.－32解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b＜0，1ab＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0， 所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b－c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb ，①正确；构造函数y ＝xc ，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2＜a ＜0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( ) A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.(2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增，所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0.答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 命题角度三 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. [易错防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b ，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x＞1}.答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx－45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45 8.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为x ∈[0，2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a ＞b ＋1B.a ＞b －1C.a 2＞b 2D.a 3＞b 3解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b －1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上所述答案选A. 答案 A12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}B.{x |ln 2<x <ln 3}C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D.法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.答案 D13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是z b.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3) 解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －55.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.答案 －2考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. (2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m).由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)π24 (2)B规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】 若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案 A考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二 求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y ＝2x －2时，画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx－y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1. 答案 C规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型：形如z ＝y －bx －a.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练2】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A.－5 B.3 C.－5或3D.5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋za 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B. (2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 (1)B (2)4考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D[思想方法]1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确. 法二 结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a－3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是( ) A.[－5，3]B.[3，5]C.[－3，3]D.[－3，5]解析 作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0，1)时，3x ＋5y 有最大值5，平行移动l 0至l 2过点B (－1，0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.答案 D5.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1B.2或12C.2或1D.2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 D6.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B.1C.32D.2解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A.－209B.1C.2D.5解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1).设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8).法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________.解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0：x －2y ＝0，∵y ＝x 2－b2，∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ， 又b min ＝－2，∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时， b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12D.5解析 作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值， z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15. 答案 15第3讲 基本不等式及其应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.。

题型1 不等式的性质及大小比较例1 (1)若a 、b ∈R 、下列命题中：①若|a|＞b 、则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2、则|a|＞b ；③若a ＞|b|、则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2、则a ＞|b|. 其中正确的是________．(2)已知四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0、能推出1a <1b 成立的是________．变式1.（2014 四川理 4）若0a b >>、0c d <<、则一定有（ ）. A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 解析：方法一：不妨令a =3、b =1、c =−3、d =−1、则ac =−1,bd =−1、∴A 、B 不正确； ad =−3,bc =−13、∴C 不正确、D 正确。

解法二：∵c <d <0、∴−c >−d >0、∵a >b >0、∴−ac >−bd 、∴−accd >−bdcd 、∴ad <bc . 选D. 变式2.（2016全国丙理6）已知432a =、233b =、1325c =、则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<解析：选A. 由423324a ==、233b =、得a b >、由1223332554c ==>、则c a >因此c a b >>.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，、则（ ）. A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <对于选项C 、要比较log b a c 与log a b c 的大小关系、只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小、即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =、()ln 1f x x '=+.令()0f x '=、得1ex =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增、因此、若1a b >>、得ln ln a a b b >、故11ln ln a a b b <.又ln 0c <、所以ln ln ln ln c c a a b b >、即ln ln ln ln b c a ca b>、得log log a b b c a c >.故选项C 正确； 对于选项D 、比较log a c 与log b c 的大小、只需比较ln ln c a 与ln ln cb 的大小、即比较ln a 与ln b 的大小.又1a b >>、得ln ln 0a b >>、所以11ln ln a b <.又ln 0c <、得ln ln ln ln c c a b>、即log log a b c c >.故选项D 不正确. 综上可得、故选C.例2 （2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数、且a b c d +=+. 证明：(1) 若ab cd >>(2)>||||a b c d -<- 的充要条件.解析：（1）因为2a b =++、2c d =++由题设a b c d +=+、ab cd >、得22>、>（2）( i)若a b c d -<-、则()()22a b c d -<-、即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+、所以ab cd >.( ii)22>、即a b ++c d >++因为a b c d +=+、所以ab cd >、于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-、因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.变式1 . (1)设x<y<0、试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小． (2)比较a ＋m b ＋m 与ab (其中实数b>a>0、实数m>0)的大小．(3)已知a>0、b>0、且a ≠b 、试比较a bab与2()a b ab +的大小．（3）22()()a b a ba b a b a bab -+=、 ①若a>b>0、则a b >1、a －b>0.由指数函数的性质(ab )a －b 2>1.②若b>a>0、则0<a b <1、a －b<0.由指数函数的性质(ab )a －b 2>1.∴21()a ba b a b ab +>、∴2()a b a ba b ab +>.题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3、则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)方法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b 2.∴2x －3y ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－3⎝⎛⎭⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3、8)．方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y<4，2<x －y<3确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3、由线性规划知识可求出z ＝2x －3y 的取值范围是(3、8). 【解题技巧】 (1)由a<f 1(x 、y)<b 、c<f 2(x 、y)<d 、求g(x 、y)的取值范围、可利用待定系数法解决、即设g(x 、y)＝λf 1(x 、y)＋μf 2(x 、y)、求得λ、μ、再利用不等式的性质求出g(x 、y)的范围．(2)本例若先分别求x 、y 的取值范围、再求2x 和－3y 的范围、从而得2x －3y 的范围、则会导致取值范围扩大、错误．变式1. 设f(x)＝ax 2＋bx 、且1≤f(－1)≤2、2≤f(1)≤4、求f(－2)的取值范围．解析：方法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b≤2，2≤a ＋b≤4.①②设4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)(m 、n 为待定系数)、即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b 、于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3、n ＝1. 由①×3＋②×1、得5≤4a －2b≤10.即5≤f(－2)≤10、方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1），得⎩⎨⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)、后面同方法一．题型3 不等式的解法 例4 求下列不等式的解集(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(3)若a ＝0、原不等式等价于－x ＋1<0、解得x>1. 若a<0、则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0、解得x<1a 或x>1. 若a>0、原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0. ①当a ＝1时、1a ＝1、(x －1a )(x －1)<0无解； ②当a>1时、1a <1、解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1； ③当0<a<1时、1a >1、解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a .综上所述：当a<0时、解集为{x|x<1a 或x>1}；当a ＝0时、解集为{x|x>1}；当0<a<1时、解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时、解集为∅；当a>1时、解集为{x|1a <x<1}． 【解题技巧】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形、使一端为0且二次项系数大于0、即ax 2＋bx ＋c>0(a>0)、ax 2＋bx ＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式；③当Δ≥0时、求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像、写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式、要把握好分类讨论的层次、一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类、其次根据根是否存在、即Δ的符号进行分类、最后在根存在时、根据根的大小进行分类．例5 （1） (2017·辽阳统考)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞、－1)∪(－1、2)B ．[－1、2]C ．(－∞、－1)∪[2、＋∞]D ．(－1、2]（2）设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1、13)、则ab 的值为( ) A ．－6B ．－5C ．6D ．5变式1.已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或、求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.解析：解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或、得0a <、20ax bx c --->、1252b b x x a a -+=-=-=--、121c x x a =-=、则521b ac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、得52b a =、c a =（(0)a <、关于x 的不等式2502aax x a -+>可变形为22520x x -+<、故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数、若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或、所以0a <、且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-、因此方程20a x b xc -+=两根''1212,2x x =-=-、不等式20a x b x c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域、并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．结合图中可行域得x ∈[－52、3]、y ∈[－3、8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧－x≤y≤x ＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时、－3≤y≤8、有12个整点；当x ＝2时、－2≤y≤7、有10个整点； 当x ＝1时、－1≤y≤6、有8个整点；当x ＝0时、0≤y ≤5、有6个整点； 当x ＝－1时、1≤y ≤4、有4个整点；当x ＝－2时、2≤y ≤3、有2个整点． ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． (3)由(1)知、x ∈[－52、3]、y ∈[－3、8]、∴S ＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【解题技巧】 (1)确定Ax ＋By ＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法、一般代入原点；②化为y≥kx ＋b(y≤kx ＋b)的形式．不等式y≥kx ＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的上方、不等式y≤kx ＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的下方．(2)在封闭区域内找整点数目时、若数目较小时、可画网格逐一数出；若数目较大、则可分x ＝m 逐条分段统计．题型5 求解目标函数的取值范围或最值 例7 已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －3y≤－4，3x ＋5y≤30.(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值； (2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个、求实数a 的值；(4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．【解析】作出不等式组表示的可行域如图：(2)作直线l ：2x ＋y ＝0、并平移此直线、当平移直线过可行域内的A 点时、z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时、z 取最大值、解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A(1、53)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B(5、3)．∴z max ＝2×5＋3＝13、z min ＝2×1＋53＝113.(4) z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5）、可看作区域内的点(x 、y)与点D(－5、－5)连线的斜率．由图可知、k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45、k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615、∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45、2615]．(5)z ＝x 2＋y 2、则z 为点(x 、y)与原点(0、0)的距离、结合不等式的区域、易知A 点到原点距离最小为343、最大值为|OB|、|OC|、原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一、计算得、最大值为|OC|＝7545.∴x 2＋y 2的取值范围为[349、75425]． 【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求z ＝ax ＋by 的最值时、一般先化为y ＝－a b x ＋z b 的形式.z b 为直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距、当b>0时将直线上移z 变大、当b<0时将直线下移z 变大．(2)代数式(x －a)2＋(y －b)2为点(x 、y)与点(a 、b)距离的平方；y －b x －a 为点(x 、y)与点(a 、b)连线的斜率；|Ax ＋By ＋C|表示点(x 、y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．变式1. (2017北京理4)若x 、y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………、则2x y +的最大值为（ ）.A.1B. 3C.5D.9解析 作出不等式组的可行区域、如图所示、令2z x y =+、则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值、由()3,3A 、故max 369z =+=.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………、则32z x y =-的最小值为 .变式 3.（2015全国1理15）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………、则yx 的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示、由斜率的意义知、yx是可行域内一点与原点连线的斜率、由图可知、点()1,3A与原点连线的斜率最大、故yx的最大值为3.变式4．（2016江苏12）已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………、则22x y +的取值范围是 ．4=0=0题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨、每次购买x 吨、运费为6万元/次、一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小、则x 的值是 ．解析 一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…、当且仅当36004x x=、即30x =时取等号．故填30．【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设:1<<2p x 、:21xq >、则p 是q 成立的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由0212x >=得0x >、所以p q ⇒、但q p ⇒/、所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．2.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加 (0)m m >个单位长度、得到离心率为2e 的双曲线2C 、则（ ）．A ．对任意的,a b 、12e e >B ．当a b >时、12e e >；当a b <时、12e e <C ．对任意的,a b 、12e e <D ．当a b >时、12e e <；当a b <时、12e e >3.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<、若p f =、()2a bq f +=、 1(()())2r f a f b =+、则下列关系式中正确的是（ ）． A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>解析 解法一：依题意、()()()()111ln ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=、ln2a bq p +=>=、所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==、ln3p ==、19lnln 52q +==、()1ln1ln 9ln 32r =+=、 所以p r q =<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数、记()0.5log 3a f =、()2log 5b f =、()2c f m =、则a 、b 、c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B ．a c b << C ．c a b << D.c b a << 解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数、所以0m =、即()21xf x =-、所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭， ()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，. 所以c a b <<.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>、则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知、取一组特殊值且,,a b c 为整数、如1a =-、2b =-、3c =-. 6.（2017山东理7）若0a b >>、且1ab =、则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<7. (2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或、则()10>0x f 的解集为（ ）.A. {}<1>lg2x x x --或B. {}1<<lg2x x -- C. {}>lg2x x - D. {}<lg2x x - 解析：D8.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为 ． 解析：{|21}x x -<<9.（2016上海理1）设x ∈R 、则不等式31x -<的解集为_____________.解析 由题意131x -<-<、即24x <<、则解集为()2,4.故填()2,4.10.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… 、则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B.4C.18D. 4011.（2015湖南理4）若变量x 、y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………、则3z x y =-的最小值为（ ）.A. 7-B. 1-C. 1D. 2 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示、由图可知、当直线3y x z =-过点A 时、纵截距最大、即此时z 有最小值. 联立11x y y +=-⎧⎨=⎩、解得21x y =-⎧⎨=⎩、即()2,1A -. 所以()min 3217z =⨯--=-. 故选A.12.（2015北京理2）若x、y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………、则2z x y=+的最大值为（）.A. 0B. 1C. 32D. 2解析不等式组表示的可行域如图所示.因此、可知目标函数在()0,1处取得最大值2. 故选D.13.（2015福建理5）若变量,x y满足约束条件20220x yx yx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩………、则2z x y=-的最小值等于（）.A．52-B．2-C．32-D．2x-14.（2015广东理6）若变量x 、y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟、则32z x y =+的最小值为（ ）.A ．4B ．235 C ．6 D ．315即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ．415.（2015全国2理14）若x 、y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………、则z x y =+的最大值为______．解析 根据题意、画出可行域、如图所示、将目标函数z x y =+变形为y x z =-+、当z 取到最大值时、直线y x z =-+的纵截距最大、故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处、则z x y =+有最大值32．16.（2016全国丙理13）若x、y满足约束条件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………则z x y=+的最大值为_____________.27.32解析可行域如图所示.当直线z x y=+经过11,2C⎛⎫⎪⎝⎭时、z取最大值为32.17.(2016北京理2)若,x y满足203x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………、则2x y+的最大值为（）.A.0B.3C.4D.5x +y =318.（2017全国2理5）设x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………、则2z x y =+的最小值是（ ）.A ．15-B ．9-C ．1D ．9 解析 目标区域如图所示、当直线2y =x +z -过点()63--，时、所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,319.（2017全国3理12）若x 、y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………、则34z x y =-的最小值为__________．20.（2017山东理4）已知x 、y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………、则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………、作出可行域及直线20x y +=、如图所示、平移20x y +=发现、当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时、2z x y =+取最大值为m a x 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 221.(2017浙江理4)若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………、则2z x y =+的取值范围是（ ）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞解析 如图所示、22x z y =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=、没有最大值、故[)4,z ∈+∞．故选D ．22. (2015山东理6) 已知x 、y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥、若z ax y =+的最大值为4、则a =( ).A ．3B ．2C ．2-D ．3-则2a =、经检验、符合题意．故选B ．23.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg 、乙材料1kg 、用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg 、乙材料0.3kg 、用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元、生产一件产品B 的利润为900元、该企业现有甲材料150kg 、乙材料90kg 、则在不超过600个工时的条件下、生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩、得60100x y =⎧⎨=⎩、即()60,100A .移动目标函数73900z y x =-+、 可得到当其经过点()60,100A 时、z 有最大值216000.故填216000.24.（2016上海理10）设0,0a b >>、若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解、则a b +的取值范围是 ．解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线、故由条件1ab =、且1a b ≠≠、所以2a b +>=．故填()2,+∞． 解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-、代入②式整理得()11ab x b -=-、 方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠、所以1ab =且1b ≠、所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．25.(2017浙江理17)已知a ∈R 、函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5、则a 的取值范围是 .解法二：如图所示、当0a <时、()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时、()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时、()5f t t a a a t a =-+=-+…成立、即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.26. （2015湖南理16-3）设0a >、0b >、且11a b a b +=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.解析 证明： 由abb a b a b a +=+=+11、0,0>>b a 得 1=ab（1）由基本不等式及1=ab 、有2a b +=…、即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立、则由22<+a a 及0>a 得10<<a ； 同理、10<<b 、从而10<<ab 、这与1=ab 相矛盾.故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。

例1 (1)若a ，b ∈R ，下列命题中：①若|a|＞b ，则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2，则|a|＞b ；③若a ＞|b|，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b|. 其中正确的是________．(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b ；④a>b>0，能推出1a <1b成立的是________．变式1.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）. A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 解析：方法一：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac=−1,bd=−1，∴A 、B 不正确； ad=−3,bc=−13，∴C 不正确，D 正确。

解法二：∵c<d<0，∴−c>−d>0，∵a>b>0，∴−ac>−bd ，∴−accd>−bdcd ，∴ad<bc. 选D. 变式2.（2016全国丙理6）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析：选A. 由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，，则（ ）.A.c c a b <B.c cab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <对于选项C ，要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=，得1ex =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此，若1a b >>，得ln ln a a b b >，故11ln ln a a b b <. 又ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a a b b >，即ln ln ln ln b c a ca b>，得log log a b b c a c >.故选项C 正确； 对于选项D ，比较log a c 与log b c 的大小，只需比较ln ln c a 与ln ln cb的大小，即比较ln a 与ln b 的大小.又1a b >>，得ln ln 0a b >>，所以11ln ln a b <.又ln 0c <，得ln ln ln ln c c a b>，即log log a b c c >.故选项D 不正确. 综上可得，故选C.例2 （2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+. 证明：(1) 若ab cd >>>||||a b c d -<- 的充要条件.解析：（1）因为2a b =++，2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >( ii)>，则22>，即a b ++c d >++.因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.a b c d -<-的充要条件.变式1 . (1)设x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小． (2)比较a ＋m b ＋m 与ab (其中实数b>a>0，实数m>0)的大小．(3)已知a>0，b>0，且a ≠b，试比较a bab与2()a b ab +的大小．（3）22()()a b a ba b a b a bab -+=， ①若a>b>0，则a b >1，a －b>0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.②若b>a>0，则0<a b <1，a －b<0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.∴21()a ba ba b ab +>，∴2()a b a ba b ab +>.题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)方法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2. ∴2x －3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8)．方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y<4，2<x －y<3确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出z ＝2x －3y 的取值范围是(3，8).【解题技巧】 (1)由a<f 1(x ，y)<b ，c<f 2(x ，y)<d ，求g(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x ，y)＝λf 1(x ，y)＋μf 2(x ，y)，求得λ，μ，再利用不等式的性质求出g(x ，y)的范围． (2)本例若先分别求x ，y 的取值范围，再求2x 和－3y 的范围，从而得2x －3y 的范围，则会导致取值范围扩大，错误．变式1. 设f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：方法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a－b≤2，2≤a ＋b≤4.①②设4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1，得5≤4a－2b≤10.即5≤f(－2)≤10，方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)，后面同方法一．题型3 不等式的解法 例4 求下列不等式的解集(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x<1a 或x>1.若a>0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a>1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1；③当0<a<1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a.综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a 或x>1}；当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a <x<1}．【解题技巧】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c>0(a>0)，ax 2＋bx ＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．例5 （1） (2017·辽阳统考)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，2)B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞]D ．(－1，2] （2）设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( )A ．－6B ．－5C ．6D ．5变式1.已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.解析：解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，得0a <，20ax bx c --->，1252b b x x a a -+=-=-=--，121c x x a =-=，则521b ac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得52b a =，c a =（(0)a <，关于x 的不等式2502a ax x a -+>可变形为22520x x -+<，故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数，若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-，因此方程20ax bx c -+=两根''1212,2x x =-=-，不等式20ax bx c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．结合图中可行域得x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点． ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)由(1)知，x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]，∴S ＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【解题技巧】 (1)确定Ax ＋By ＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx ＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式y≥kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的上方，不等式y≤kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的下方．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．题型5 求解目标函数的取值范围或最值 例7 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －3y≤－4，3x ＋5y≤30.(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值； (2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值； (4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．【解析】作出不等式组表示的可行域如图：(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A(1，53)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B(5，3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(4) z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y)与点D(－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为点(x ，y)与原点(0，0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB|，|OC|，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OC|＝7545. ∴x 2＋y 2的取值范围为[349，75425]．【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求z ＝ax ＋by 的最值时，一般先化为y ＝－a b x ＋z b 的形式.z b 为直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距，当b>0时将直线上移z 变大，当b<0时将直线下移z 变大．(2)代数式(x －a)2＋(y －b)2为点(x ，y)与点(a ，b)距离的平方；y －b x －a 为点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率；|Ax ＋By ＋C|表示点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．变式1. (2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.1B. 3C.5D.9 解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x z y -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .变式3.（2015全国1理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则yx 的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.CBA144Oyx变式4．（2016江苏12）已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………，则22x y+的取值范围是．x-2y+4=02x+y-2=03x-y-3=0B2,3()A12xyO题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x xx x⨯+=+236004240⨯=…，当且仅当36004xx=，即30x=时取等号．故填30．【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设:1<<2p x，:21xq>，则p是q成立的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．2.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加 (0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）．A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >3.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）． A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>解析 解法一：依题意，()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ==+=+=，ln2a bq p +=>=，所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==，ln3p ==，19lnln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B ．a c b << C ．c a b << D.c b a << 解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭， ()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，. 所以c a b <<.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-. 6.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<7. (2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，则()10>0x f 的解集为（ ）.A. {}<1>lg2x x x --或 B. {}1<<lg2x x -- C. {}>lg2x x - D. {}<lg2x x - 解析：D8.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为 ． 解析：{|21}x x -<<9.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_____________.解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.故填()2,4.10.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B.4C.18D. 4011.（2015湖南理4）若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………，则3z x y =-的最小值为（ ）.A. 7-B. 1-C. 1D. 2 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，由图可知，当直线3y x z =-过点A 时，纵截距最大，即此时z 有最小值. 联立11x y y +=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1A -. 所以()min 3217z =⨯--=-. 故选A.12.（2015北京理2）若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为（ ）.A. 0B. 1C.32D. 2 解析 不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2.故选D.13.（2015福建理5）若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩………， 则2z x y =- 的最小值等于（ ）. A ．52-B．2- C ．32- D ．2x-14.（2015广东理6）若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（ ）.A ．4B ．235 C ．6 D ．315即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ．415.（2015全国2理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则z x y =+的最大值为______．解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处，则z x y =+有最大值32．16.（2016全国丙理13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩……… 则z x y =+的最大值为_____________.27.32 解析 可行域如图所示.当直线z x y =+经过11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取最大值为32.17.(2016北京理2)若,x y 满足2030x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.0B.3C.4D.5x +y =318.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,319.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．20.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 221.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞解析 如图所示，22x z y =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．22. (2015山东理6) 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =( ). A ．3B ．2C ．2-D ．3-则2a =，经检验，符合题意．故选B ．23.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为元.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A .移动目标函数73900zy x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000.故填216000.24.（2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab =，且1a b ≠≠，所以2a b +>=．故填()2,+∞． 解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-，代入②式整理得()11ab x b -=-， 方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．25.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.26. （2015湖南理16-3）设0a >，0b >，且11a b a b +=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.解析 证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （1）由基本不等式及1=ab，有2a b +=…，即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。

例1 (1)若a ，b ∈R ，下列命题中：①若|a|＞b ，则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2，则|a|＞b ；③若a ＞|b|，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b|. 其中正确的是________．(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b ；④a>b>0，能推出1a <1b成立的是________．变式1.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）. A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 解析：方法一：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac=−1,bd=−1，∴A 、B 不正确； ad=−3,bc=−13，∴C 不正确，D 正确。

解法二：∵c<d<0，∴−c>−d>0，∵a>b>0，∴−ac>−bd ，∴−accd>−bdcd ，∴ad<bc. 选D. 变式2.（2016全国丙理6）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析：选A. 由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，，则（ ）. A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <对于选项C ，要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=，得1ex =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此，若1a b >>，得ln ln a a b b >，故11ln ln a a b b <. 又ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a a b b >，即ln ln ln ln b c a ca b>，得log log a b b c a c >.故选项C 正确； 对于选项D ，比较log a c 与log b c 的大小，只需比较ln ln c a 与ln ln cb的大小，即比较ln a 与ln b 的大小.又1a b >>，得ln ln 0a b >>，所以11ln ln a b <.又ln 0c <，得ln ln ln ln c c a b>，即log log a b c c >.故选项D 不正确. 综上可得，故选C.例2 （2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+. 证明：(1) 若ab cd >>>||||a b c d -<- 的充要条件.解析：（1）因为2a b =++，2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >( ii)>，则22>，即a b ++c d >++.因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.a b c d -<-的充要条件.变式1 . (1)设x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小． (2)比较a ＋m b ＋m 与ab (其中实数b>a>0，实数m>0)的大小．(3)已知a>0，b>0，且a ≠b，试比较a bab与2()a b ab +的大小．（3）22()()a b a ba b a b a bab -+=， ①若a>b>0，则a b >1，a －b>0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.②若b>a>0，则0<a b <1，a －b<0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.∴21()a ba ba b ab +>，∴2()a b a ba b ab +>.题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)方法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2. ∴2x －3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8)．方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y<4，2<x －y<3确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出z ＝2x －3y 的取值范围是(3，8).【解题技巧】 (1)由a<f 1(x ，y)<b ，c<f 2(x ，y)<d ，求g(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x ，y)＝λf 1(x ，y)＋μf 2(x ，y)，求得λ，μ，再利用不等式的性质求出g(x ，y)的范围． (2)本例若先分别求x ，y 的取值范围，再求2x 和－3y 的范围，从而得2x －3y 的范围，则会导致取值范围扩大，错误．变式1. 设f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：方法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a－b≤2，2≤a ＋b≤4.①②设4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1，得5≤4a－2b≤10.即5≤f(－2)≤10，方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)，后面同方法一．题型3 不等式的解法 例4 求下列不等式的解集(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x<1a 或x>1.若a>0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a>1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1；③当0<a<1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a.综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a 或x>1}；当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a <x<1}．【解题技巧】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c>0(a>0)，ax 2＋bx ＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．例5 （1） (2017·辽阳统考)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，2)B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞]D ．(－1，2] （2）设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( )A ．－6B ．－5C ．6D ．5变式1.已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.解析：解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，得0a <，20ax bx c --->，1252b b x x a a -+=-=-=--，121c x x a =-=，则521b ac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得52b a =，c a =（(0)a <，关于x 的不等式2502a ax x a -+>可变形为22520x x -+<，故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数，若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-，因此方程20ax bx c -+=两根''1212,2x x =-=-，不等式20ax bx c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．结合图中可行域得x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点． ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)由(1)知，x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]，∴S ＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【解题技巧】 (1)确定Ax ＋By ＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx ＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式y≥kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的上方，不等式y≤kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的下方．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．题型5 求解目标函数的取值范围或最值 例7 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －3y≤－4，3x ＋5y≤30.(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值； (2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值； (4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．【解析】作出不等式组表示的可行域如图：(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A(1，53)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B(5，3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(4) z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y)与点D(－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为点(x ，y)与原点(0，0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB|，|OC|，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OC|＝7545. ∴x 2＋y 2的取值范围为[349，75425]．【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求z ＝ax ＋by 的最值时，一般先化为y ＝－a b x ＋z b 的形式.z b 为直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距，当b>0时将直线上移z 变大，当b<0时将直线下移z 变大．(2)代数式(x －a)2＋(y －b)2为点(x ，y)与点(a ，b)距离的平方；y －b x －a 为点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率；|Ax ＋By ＋C|表示点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．变式1. (2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.1B. 3C.5D.9 解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x z y -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .变式3.（2015全国1理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则yx 的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.CBA144Oyx变式4．（2016江苏12）已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………，则22x y+的取值范围是．x-2y+4=02x+y-2=03x-y-3=0B2,3()A12xyO题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x xx x⨯+=+236004240⨯=…，当且仅当36004xx=，即30x=时取等号．故填30．【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设:1<<2p x，:21xq>，则p是q成立的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．2.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加 (0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）．A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >3.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）． A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>解析 解法一：依题意，()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ==+=+=，ln2a bq p +=>=，所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==，ln3p ==，19lnln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B ．a c b << C ．c a b << D.c b a << 解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭， ()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，. 所以c a b <<.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-. 6.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<7. (2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，则()10>0x f 的解集为（ ）.A. {}<1>lg2x x x --或 B. {}1<<lg2x x -- C. {}>lg2x x - D. {}<lg2x x - 解析：D8.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为 ． 解析：{|21}x x -<<9.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_____________.解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.故填()2,4.10.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B.4C.18D. 4011.（2015湖南理4）若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………，则3z x y =-的最小值为（ ）.A. 7-B. 1-C. 1D. 2 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，由图可知，当直线3y x z =-过点A 时，纵截距最大，即此时z 有最小值. 联立11x y y +=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1A -. 所以()min 3217z =⨯--=-. 故选A.12.（2015北京理2）若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为（ ）.A. 0B. 1C.32D. 2 解析 不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2.故选D.13.（2015福建理5）若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩………， 则2z x y =- 的最小值等于（ ）. A ．52-B．2- C ．32- D ．2x-14.（2015广东理6）若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（ ）.A ．4B ．235 C ．6 D ．315即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ．415.（2015全国2理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则z x y =+的最大值为______．解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处，则z x y =+有最大值32．16.（2016全国丙理13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩……… 则z x y =+的最大值为_____________.27.32 解析 可行域如图所示.当直线z x y =+经过11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取最大值为32.17.(2016北京理2)若,x y 满足2030x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.0B.3C.4D.5x +y =318.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,319.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．20.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 221.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞解析 如图所示，22x z y =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．22. (2015山东理6) 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =( ). A ．3B ．2C ．2-D ．3-则2a =，经检验，符合题意．故选B ．23.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为元.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A .移动目标函数73900zy x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000.故填216000.24.（2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab =，且1a b ≠≠，所以2a b +>=．故填()2,+∞． 解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-，代入②式整理得()11ab x b -=-， 方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．25.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.26. （2015湖南理16-3）设0a >，0b >，且11a b a b +=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.解析 证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （1）由基本不等式及1=ab，有2a b +=…，即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。

1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D ). (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D ). (3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件.( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.(教材改编)若0<x <1，则x (3－2x )的取值范围是____________. 答案 (0，324]解析 由0<x <1知3－2x >0，故x (3－2x )＝12·2x (3－2x ) ≤12·2x ＋(3－2x )2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立.∴0<x (3－2x )≤324.3.(教材改编)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，函数z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是____. 答案 9解析 z ＝3x ＋33y ＋3≥23x ·33y ＋3＝23x ＋3y＋3＝232＋3＝9，当且仅当3x ＝33y ，即x ＝1，y＝13时，z 取最小值. 4.若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______. 答案 2 2解析 因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22， 当且仅当x ＝2y 时取等号， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5.(教材改编)①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x ≥2；②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________. 答案 ①③解析 ①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立； ③⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪4x ＝4，当且仅当x ＝±2时“＝”成立.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋(4－3x )2]2＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立.命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________.答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 引申探究1.条件不变，求(1＋1a )(1＋1b )的最小值.解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.2.已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝4，求a ＋b 的最小值.解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1.∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号.3.将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b 的最小值.解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________.(2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________.答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立.又a ＋b ＝2，b >0，∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值. 题型二 基本不等式的实际应用例3 (1)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________.(2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，且点P 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y 的最小值是____.答案 (1)98(2)2＋ 3解析 (1)由题意得z 2＝xy ，lg x >0，lg y >0， ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝12(lg x ＋lg y )4lg x ＋12(lg x ＋lg y )lg y ＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58＋2116＝98， 当且仅当lg y 8lg x ＝lg x2lg y ，即lg y ＝2lg x ，即y ＝x 2时取等号.(2)过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 为△BCD 的重心，所以OB ＝23×32×6＝2，所以AO ＝(6)2－(2)2＝2. 又V P —BCD ＋V P —ACD ＝V A —BCD ， 所以13S △BCD ·y ＋13S △ACD ·x ＝13S △BCD ·2，即x ＋y ＝2.所以3x ＋1y ＝12(3x ＋1y )(x ＋y )＝12(4＋x y ＋3yx)≥2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝3－1时取等号.思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(1)设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y≥m 恒成立，则实数m 的最大值为_____.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 答案 (1)94(2)8解析 (1)1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y 4)＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2×2)＝94，当且仅当y ＝2x ＝83时等号成立.(2)年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－(x ＋25x )＋18，∵x ＋25x≥2x ·25x＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25x )≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号.题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________. 答案5＋12解析 由题意得a ≥x ＋2xyx ＋y＝1＋2yx 1＋y x 恒成立.令t ＝y x (t >0)，则a ≥1＋2t 1＋t 2，再令1＋2t ＝u (u >1)，则t ＝u －12，故a ≥u 1＋⎝⎛⎭⎫u －122＝4u ＋5u －2.因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立)，故u ＋5u －2≥25－2，从而0<4u ＋5u －2≤425－2＝5＋12，故a ≥5＋12，即a min ＝5＋12.命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (1)12 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(2016·江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解 (1)设每件定价为t 元， 依题意得(8－t －251×0.2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元. (2)依题意知，x >25，且ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，等价于a ≥150x ＋16x ＋15(x >25).由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10， 当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.8.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________.(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________.错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x ≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26].答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为[1＋26，＋∞). 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.1.(教材改编)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的序号是________. ①a 2＋b 2>2ab ； ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b >2ab ； ④b a ＋a b ≥2. 答案 ④解析 因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2.对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误. 2.(教材改编)用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是_____ cm 2. 答案 16解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x )cm ，面积S ＝x (8－x ).由于x >0,8－x >0，可得S ≤(x ＋8－x 2)2＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2.3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________. 答案 92解析(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为______.答案 2解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取到最小值2.5.设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”).答案 ≤解析 因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1， 又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .6.设f (x )＝x 2＋x ＋1，g (x )＝x 2＋1，则f (x )g (x )的取值范围是________.答案 [12，32]解析 f (x )g (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋xx 2＋1，当x ＝0时，f (x )g (x )＝1；当x >0时，f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝32；当x <0时，x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2，则f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝12.∴f (x )g (x )∈[12，32]. 7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是________.答案 4解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立， 即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件. 8.(2016·南京一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为_____. 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号). 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号). 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9.已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值为_____.答案 4解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立.10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a ；2016年计划在2015年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b2的大小关系是________. 答案 q ≤a ＋b 2解析 设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1＋a )(1＋b )， ∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴q ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”.11.(2016·泰州模拟)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为______.答案 3解析 因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b ＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立.12.(2016·南通模拟)设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________.答案 6＋4 2解析 方法一 因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xy x 24－y 2＝3－2y x 14－(y x)2，令k ＝y x ∈(－12，12)，则3x 2－2xy ＝3－2k 14－k 2＝4(3－2k )1－4k 2，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t－t 2＋6t －8＝4－(t ＋8t)＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立. 方法二 令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4－6t )2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋322满足题意.方法三 因为x 24－y 2＝1＝(x 2＋y )(x2－y )，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t，从而⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝12(t －1t )，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立.13.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是____. 答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得： tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.14.已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数).(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值. 解 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，整理为(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，(x ＋3a)(x －a )<0，∴解集为{x |－3a <x <a }；当a <0时，(x ＋3a )(x －a )>0，解集为{x |x >－3a 或x <a }.(2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0). ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a . 当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有：2a 2＋3＋2a ＝6， 解得a ＝1.。

1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念【知识拓展】1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(6)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4. 4．(2017·杭州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥0，若z ＝2x ＋y ，则z 的最大值等于________，z 的最小值等于________． 答案 2 0解析 作出可行域(图略)，由y ＝－2x ＋z ，知当z ＝2x ＋y 经过点(1,0)时，z max ＝2； 当z ＝2x ＋y 经过点(0,0)时，z min ＝0.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3B ．1C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k的值是_________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，不满足题意应舍去， ∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．－1,1] C ．(－∞，3]D ．3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (1)(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．(2)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A ．53，5]B ．0,5]C ．0,5)D ．53，5)答案 (1)32(2)C解析 (1)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝⎛⎭⎫1，12时Z 取得最大值32. (2)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B (13，23)．令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x－u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B (13，23)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53. ∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈0,5)．命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，∴z max ＝5，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，(PQ )2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ )2min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值范围例5 (1)(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1)B (2)12解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； ②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)(2016·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C.32D ．3(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)A (2)1，32]解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．(2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，a ，b ∈N ，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x 等于( )A ．10B ．12C ．13D ．16 答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x max ＝a ＋b ＝13.．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域． (2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)． z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ， 因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案 B解析 由3×(－3)－2×(－1)－a ]·3×4－2×(－6)－a ]<0， 得(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.2．(2016·诸暨高三期末)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．2B ．1C.255 D.45答案 A解析 可行域表示的是以(0,0)，(1,0)，(0,2)为顶点的三角形区域(含边界).x 2＋y 2表示可行域内一点(x ，y )到原点的距离，易知(0,2)到原点的最大距离为2，故选A. 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.4．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则AB 等于( )A ．22B ．4C ．32D ．6 答案 C解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成线段AB ，则AB ＝PQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得Q (2，－2)． 所以AB ＝PQ ＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.5．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2800(元)．故选C.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 8．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为______． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.11．(2017·宜春中学、新余一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________． 答案 3,11]解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2(y ＋1)x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈k DA ，k DB ]，即z ′∈1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈3,11]．*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示的平面区域为M ，点P (x ，y )是平面区域内的动点，则z ＝2x －y 的最大值是________，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是________． 答案 2 13，1]解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形，当z ＝2x －y 经过点(2,2)时取得最大值2.又k ＝y x ＋2经过点(1,1)时取得最小值13，经过点(1,3)时取得最大值1，所以k 的取值范围是13，1]．13.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0. 原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有4×(－1)－3×(－6)－a ]4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．14．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z 2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。

专题03 不等式（热点难点突破）2018年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a >bD.3a >3b2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ，又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B.答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C.答案 C4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0<x <4} 解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D.655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 29．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.答案 C11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜ba B.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －c ac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧ba ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．4，＋∞)C ．(0,1]D ．1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B. 答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．－4,2] B ．(－4,2) C ．－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x－x 在1,5]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A21．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y 的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y ，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.答案：51222．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪1，＋∞) 23．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．解 由⎩⎨⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x3y ≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ， 解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a5，lg y ＝2b －6a5.∴lgx 33y ＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5＝1615b －15a . 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3， 得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.∴2615≤1615b －15a ≤3， 即2615≤lg x 33y ≤3. ∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3.24．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．+网(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝ （100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax100＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．25．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？26．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解 (1)设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x)＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000 ＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立． 即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g (x )＝x ＋225x(0<x ≤14.5)，显然是减函数， ∴x ＝14.5时，g (x )有最小值，相应造价f (x )有最小值，此时宽也不超过14.5米．25．设函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：1x 2<k <1x 1. (1)解 f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e. (2)解 F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)，F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)， 当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令F ′(x )>0，得2ax 2＋1>0，解得0<x <－12a； 令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0，解得x >－12a. 综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，F (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (3)证明 由题意k ＝f ′（x 2）－f ′（x 1）x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1. 要证明不等式1x 2<k <1x 1成立， 即证x 1<1k<x 2成立， 也就是证明x 1<x 2－x 1ln x 2－ln x 1<x 2成立， 等价于证明不等式1<x 2x 1－1ln x 2x 1<x 2x 1成立． 令t ＝x 2x 1(t >1)，则只要证明1<t －1ln t<t 成立即可， 由t >1，知ln t >0，故等价于证明不等式ln t <t －1<t ln t (t >1)恒成立．(*)①令函数g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)， 则g ′(t )＝1－1t≥0(t ≥1)， 故g (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0，即t －1>ln t (t >1)成立．②令函数h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)，则h′(t)＝ln t≥0(t≥1)，故h(t)在1，＋∞)上是增函数，∴当t>1时，h(t)＝t ln t－(t－1)>h(1)＝0，即t－1<t ln t(t>1)．+网由①②知(*)成立，得证。

不等式 备战2018年高考数学（文）高频考点解密考点1 不等式的性质与一元二次不等式 题组一 不等式的性质调研1 若1a <1b<0，则下列结论不正确的是A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【答案】D【解析】依题意得b <a <0，A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D ． ☆技巧点拨☆不等式的一些常用性质：(1)有关倒数的性质 ①a >b ，ab >0 1a <1b.②a <0<b 1a <1b.③a >b >0,0<c <d a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0 1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ，b a >b －m a －m (b －m >0)；②a b >a ＋m b ＋m ，a b <a －mb －m(b －m >0)． 题组二 一元二次不等式调研 2 已知函数()2(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式()f x c <的解集为(),6m m +,则实数c 的值为.【答案】9【解析】因为()f x 的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即24a b =,所以2204a x ax c ++-<的解集为(),6m m +,易得m ,m +6是方程2204ax ax c ++-=的两根,由根与系数的关系，得()22664m a a m m c+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩,解得c =9. 调研3 若不等式(a 2+4a-5)x 2-4(a-1)x+3>0恒成立,则a 的取值范围是 . 【答案】[1,19)【解析】①当a 2+4a-5=0时,有a =-5或a =1.若a =-5,不等式可化为24x+3>0,不满足题意;若a =1,不等式可化为3>0,满足题意.②当a 2+4a-5≠0时,不等式恒成立,需满足()22245016(1)12450a a a a a ⎧+->⎪⎨--+-<⎪⎩，解得1<a <19. 综上,可得a 的取值范围是1≤a <19. ☆技巧点拨☆1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论． 考点2 线性规划题组一 线性目标函数的最值及范围问题调研1 已知变量x ,y 满足约束条件,则2z x y =+的最大值为A ．0B ．32C ．4D ．5【答案】C【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,即为三角形OBC 的边界及其内部,作直线y =-2x ,平移直线y =-2x ,当直线y =-2x +z 经过点C 时的截距最大,此时的z 最大,由得x =1,y =2,即C (1,2),代入z =2x +y 得max 4z =,故选C ．调研 2 已知不等式组240300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω (其中,x y 是变量).若目标函数6(0)z ax y a =+>的最小值为-6，则实数a 的值为A ．32B ．6C ．3D ．12【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由()60z ax y a =+>得66ax zy =-+，则直线斜率06a -<，平移直线66ax z y =-+，由图象可知，当直线66ax zy =-+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，为-6，由2400x y y -+=⎧⎨=⎩，得2x y =-⎧⎨=⎩，即()2,0A -，此时206a -+=-，解得3a =，故选C ．☆技巧点拨☆求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数. 题组二 非线性目标函数的最值及范围问题调研3 设x ,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则z =的最大值是A ．52B ．34 C ．43D ．25【答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(三角形ABC 及其内部)，可得A (2,1)，B (3,4)，C (5,2).y x 可看作区域内的点(x ,y )与原点O 连线的斜率，则25=k OC ≤z ≤k OB =43.可得z 的最大值为43.故选C ．☆技巧点拨☆常见的非线性目标函数的几何意义表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率； (4) y b x a--表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．题组三 线性规划的实际应用调研4 某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A ,B ,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品的有关数据如下表:则使总预计收益达到最大时,A ,B 两种产品的搭载件数分别为A．9,4 B．8,5C．9,5 D．8,4【答案】A【解析】设“神舟十一号”飞船搭载新产品A,B的件数分别为x,y,最大收益为z万元,则目标函数为z=80x+60y.根据题意可知,约束条件为2030300105110,x yx yxyx y+≤⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩N，即2330222,x yx yxyx y+≤⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩N.不等式组所表示的可行域为如下图中阴影部分(包含边界)内的整数点,作出目标函数对应的直线l,显然直线l过点M时,z取得最大值.由2330222x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得94xy=⎧⎨=⎩，故M(9,4).所以目标函数的最大值为z max=80×9+60×4=960,此时搭载产品A有9件,产品B有4件.故选A．☆技巧点拨☆对于线性规划的实际问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．题组四线性规划与其他知识的交汇调研 5 已知点O是坐标原点，点A(－1，－2)，若点M(x，y)是平面区域212x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】1(,0)[,)3-∞+∞U【解析】因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →＝－x －2y . 所以不等式OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值为1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m≤x ＋2y 恒成立，只需1m≤3，解得m ≥13或m <0，故实数m 的取值范围是1(,0)[,)3-∞+∞U . ☆技巧点拨☆线性规划是代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现．传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点．但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向，即将它与函数、方程、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起考查． 考点3 基本不等式题组一 利用基本不等式求最值 调研1 已知正数满足=,则＋的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵正数满足=,∴＋＋=＋,当且仅当=时等号成立.故选A. ☆技巧点拨☆基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(4)a ＋1a≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．题组二 基本不等式的综合应用 调研2 在ABC △中,角的对边分别为,若,则角的最大值为 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】由题意得,当且仅当时等号成立.∴由余弦定理得,==,∴角的最大值为强化集训1．（2017-2018学年辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三12月联考）已知集合,则A ．B ．C ．D ．【答案】B2．（北京市朝阳区2018届高三第一学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式()()2130x y x y +--+>表示的平面区域内的是A ．()00，B ．()20-，C ．()01-，D ．()02，【答案】D【解析】将()0,0代入()()213x y x y +--+，得30-<，不合题意；将()2,0-代入()()213x y x y +--+，得30-<，不合题意；将()0,1-代入()()213x y x y +--+，得120-<，不合题意；将()0,2代入()()213x y x y +--+，得30>，符合题意，故选D ． 3．（2017-2018学年内蒙古包头市第一中学高三上学期期中考试）若实数满足,则的最小值为 A ． B ．2 C ．2D ．4【答案】C【解析】易知a>0,b >0,则,所以,当且仅当时,等号成立,取得最小值.4．（2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高三上学期期中考试）下列不等式一定成立的是 A ．lg(x 2+>lg x (x >0) B ．x +≥2(x ≠0)C ．a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a ,b ∈R ) D ．a 4+b 4≥a 3b +ab 3(a ,b ∈R )【答案】D5．（2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高三年级第一学期期中考试）已知实数满足，若的最大值为10,则A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示：目标函数可化为,作出直线,移动直线,当直线过点B 时,取得最大值10,所以,解得m=2,故选C ．6． （广西桂林市、贺州市2018届高三上学期期末联考数学）已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得2116m n a a a =，则14m n+的最小值为 A ．43 B ．9 C ．32D ．不存在【答案】C7．（2017-2018学年云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷）设实数满足,则的最小值为A ．4B ．C ．D ．0【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,目标函数的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以的最小值为,故选B ．8．（黑龙江哈尔滨市第三十二中学2018届高三上学期期末考试数学）不等式11x x->的解集为________． 【答案】(),0-∞【解析】由11x x->0x <.故所求不等式的解集为()0-∞，.9．（2017-2018学年山东省曲阜市高三上学期期中考试）若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为,所以当且仅当时取等号,所以10．（2017-2018学年天津市实验中学高三上学期第二次阶段考试）已知集合,且()B A ⊆R ð,则实数的取值范围是________．【答案】11．(2017济南模拟)已知点(x ，y )满足不等式|x |＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，则Z 的最小值为________．【答案】92【解析】|x |＋|y |≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y )到点P (2,2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P (2,2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(2＋2－12)2＝92.12．（2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考）已知向量满足:,且,若,其中且,则的最小值是 ________．【答案】13．（2017-2018学年甘肃省天水市第一中学高三上学期第二学段期中考试）已知,不等式恒成立,则的取值范围是________．(答案写成集合或区间格式)【答案】【解析】不等式恒成立，即∵，∴当且仅当时取等号.∴解得.即的取值范围是14．（2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考）已知函数).(1)若,求当时函数的最小值;(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.【答案】(1)3；(2)4.15．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知二次函数关于实数的不等式的解集为.(1)当时,解关于的不等式(2)是否存在实数使得关于的函数的最小值为若存在,求实数的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析；(2).(2)假设存在满足条件的实数，由(1)得,,令,则,对称轴为,因为所以,所以函数在上单调递减,所以当时取得最小值，为,解得.16．（2017-2018学年天津市实验中学2018届高三上学期第二次阶段考试）某工艺厂有铜丝5万米,铁丝9万米,准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售,已知一只花篮需要用铜丝200米,铁丝300米;编制一只花盆需要100米,铁丝300米,设该厂用所有原料编制个花篮个花盆.(1)列出满足的关系式,并画出相应的平面区域;(2)若出售一个花篮可获利300元,出售一个花盘可获利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)见解析；(2) 该厂编制200个花篮,100花盆所获利润最大,最大利润为8万元.(2)设该厂所得利润为z元,则目标函数为z=300x+200y,将变形为32200zxy+=-,这是斜率为-,在y 轴上的截距为、随z变化的一族平行直线.又因为x、y满足约束条件,所以由图可知,当直线32200zxy+=-经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组2350033900x yx y+=⎧⎨+=⎩得点M的坐标为(200,100)且恰为整点,即所以.故该厂编制200个花篮,100个花盆所获利润最大,最大利润为8万元.1．（2016新课标全国Ⅱ文科）已知集合{123},A =,,2{|9}B x x =<，则A B = A ．{210123},,,,,-- B ．{21012},,,,-- C ．{1,2,3} D ．{12},【答案】D【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B = ，故选D.2．（2017新课标全国Ⅰ文科）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．3．（2015重庆文科）设,0,5a b a b >+=,___________．3【答案】24．（2016新课标全国Ⅰ文科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

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2018高考数学异构异模复习考案第七章不等式 7。

2 不等式的解法撬题理1．设集合M＝{0,1,2}，N＝｛x｜x2－3x＋2≤0｝，则M∩N＝（)A．｛1} B．{2｝C．{0,1｝D．{1，2｝答案D解析∵M＝｛0,1，2}，N＝｛x|x2－3x＋2≤0}＝｛x|1≤x≤2｝，∴M∩N＝{0，1,2}∩{x|1≤x≤2｝＝｛1,2｝．故选D.2。

当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－5，－3］B。

错误!C．［－6，－2]D．[－4，－3］答案C解析∵当x∈［－2，1］时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立,即当x∈[－2，1］时，不等式ax3≥x2－4x－3（*)恒成立．（1)当x＝0时，a∈R。

（2)当0〈x≤1时，由（*）得a≥x2－4x－3x3＝错误!－错误!－错误!恒成立．设f（x)＝错误!－错误!－错误!，则f′（x）＝－错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!。

当0<x≤1时，x－9〈0,x＋1〉0，∴f′(x）>0，∴f(x)在（0,1]上单调递增．当0<x≤1时，可知a≥f（x)max＝f(1）＝－6。

（3）当－2≤x<0时，由(＊）得a≤1x－错误!－错误!。