湖南师大附中2016届高三第一次月考试题(理科)

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）历史时量：75分钟满分：100分第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．岭南石峡遗址已发掘64座大小不一的墓葬，出土遗物三千余件。

有出七成套的木作工具石锛和石凿，数百件实战用的石镞、石钺；还有礼器如琮、璧等，玉琮与良渚一带相近。

据此可推断，该遗址A.已出现掌握贵重礼器的祭司阶层B.处于石器时代向国家迈进的阶段C.有直接或间接远距离的商品交换D.农业生产水平得到一定程度发展2．图1、2所示文物均被学界命名为“蜻蜓眼玻璃器”。

据此可知图1古埃及玻璃器（前＋4世纪）图2曾侯乙墓玻璃器（战国）A.社会分工发生了进一步细化B.战国手工制造水平超过古埃及C.玻璃器的生产中心发生转移D.玻璃器是中外文明交流的物证3．《史记·儒林列传》记载，“家人子”（宫侍女）出身的窦太后喜好黄老之学，召辕固生问老子书，辕固生答“家人言耳”太后大怒，命他去刺野猪，幸得景帝帮助才脱困。

这一记载最能印证汉初A.无为而治思想发生动摇B.弃道崇儒思想开始抬头C.社会等级意识仍然强烈D.皇权独尊遭受外戚挑战4．王莽改制，根据周朝办法造大钱，后又相继发行契刀、错刀、宝货等货币，民间仍用五铢钱。

王莽下诏：“敢非井田、挟五铢钱者为惑众，投诸四裔以御魑魅。

”可见当时A.制度变革获得法律保障B.币制由复杂走向简单C.托古改制重视民众基础D.政府的货币信用不足5．《公羊传》记载：“桓何以贵？母贵也。

母贵则子何以贵？子以母贵，母以子贵。

”然而汉武帝却在立幼子为太子后杀其生母，北魏时期道武帝将子贵母死立为定制。

这一转变的目的在于A.提高三纲五常的地位B.促进华夏认同C.推动少数民族封建化D.加强集权统治6．唐太宗审查《氏族志》时，认为山东崔氏“世代衰微，全无冠盖”，不配第一等。

他指示“不须论数世以前，止取今日官爵高下作等级”，新修订的《氏族志》以皇族为首，外戚次之，崔干被降为第三等。

2025届师大附中高三月考化学试卷(一)本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 O：16 Sb：122一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1. 化学与生活、生产密切相关，下列说法正确的是A. “酒香不怕巷子深”体现了熵增的原理B. 船体上镶嵌锌块，是利用外加电流法避免船体遭受腐蚀C. 烟花发出五颜六色的光是利用了原子的吸收光谱D. “太阳翼”及光伏发电系统能将太阳能变为化学能2. 下列化学用语或化学图谱不正确的是NH的VSEPR模型：A. 3CH CH OCH CHB. 乙醚的结构简式：3223C. 乙醇的核磁共振氢谱：D. 邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：3. 实验室中，下列实验操作或事故处理不合理的是A. 向容量瓶转移液体时，玻璃棒下端应在容量瓶刻度线以下B. 苯酚不慎沾到皮肤上，先用抹布擦拭，再用65C°水冲洗C. 用二硫化碳清洗试管内壁附着的硫D. 对于含重金属(如铅、汞或镉等)离子的废液，可利用沉淀法进行处理4. 下列有关有机物的说法正确的是A. 聚乙烯塑料的老化是由于发生了加成反应B. 二氯丁烷的同分异构体为8种(不考虑立体异构)C. 核酸可视为核苷酸的聚合产物D. 乙醛和丙烯醛()不是同系物，它们与氢气充分反应后的产物也是同系物5. 下列反应方程式书写不正确的是A. 将223Na S O 溶液与稀硫酸混合，产生浑浊：2-+2322S O +2H =SO +S +H O ↑↓B. 用浓氨水检验氯气泄漏：32428NH +3Cl =6NH Cl+NC. 稀硫酸酸化的淀粉-KI 溶液在空气中放置一段时间后变蓝：-2-+42222I +SO +4H =I +SO +2H O ↑D. ()32Ca HCO 溶液与少量NaOH 溶液反应：-2+-332HCO +Ca +OH =CaCO +H O ↓6. 内酯Y 可以由X 通过电解合成，并可在一定条件下转化为Z ，转化路线如图所示。

湖南省长沙市湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)语文试题本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。

时量150分钟。

得分：_一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1～5题。

对于大部分人来说，隐喻不是寻常的语言，而是诗意的想象和修辞多样性的一种策略，非同寻常。

而且，隐喻通常被看成语言文字的特征，而非思想和行为的特点。

由于这个原因，大多数人认为没有隐喻的存在，他们依然可以自如地生活，而我们发现事实恰恰相反。

不论是在语言上还是在思想和行动中，日常生活中隐喻无所不在，我们思想和行为所依据的概念系统本身是以隐喻为基础。

这些支配着我们思想的概念不仅关乎我们的思维能力，它们也同时管辖我们日常的运作，乃至一些细枝末叶的平凡细节。

这些概念建构了我们的感知，构成了我们如何在这个世界生存以及我们与其他人的关系。

因此，我们的这个概念系统在界定日常现实中扮演着举足轻重的角色。

我们的概念系统大部分是隐喻——如果我们说的没错的话，那么我们的思维方式，我们每天所经历所做的一切就充满了隐喻。

但是我们的概念系统不是我们平时能够意识到的。

我们每天所做的大部分琐事都只是按照某些方式或多或少地在自动思维和行动。

这些方式是什么却并非显而易见。

要搞清这些，一个方法就是研究语言。

既然交流是基于我们用以思考和行动的同一个概念系统，那么语言就是探明这个系统是什么样子的重要证据来源。

基于语言学证据(linguistic evidence),我们已经发现我们普通的概念系统，究其实质，大都是隐喻的，并且找到了一种方式来仔细鉴定那些建构我们如何感知、如何思考、如何行动的隐喻究竟是什么。

为了说明什么样的概念是隐喻，这样的概念又如何建构我们的日常活动，让我们从“争论”(ARGUMENT)以及“争论是战争”这个概念隐喻开始阐述吧。

日常生活中总是能见到这类表达：争论是战争你的观点无法防御。

他攻击我观点中的每一个弱点。

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）地理得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）职住关系是指居住地与工作地的空间位置关系，下图为城郊轨道交通沿线两种职住关系模式图。

完成下面小题。

1. 极化型职住关系主要反映了轨道交通沿线（）A. 交通方式多样B. 逆城市化严重C. 生产要素集中D. 居住用地短缺2. 与极化型相比，平衡型职住关系的突出优点是（）①减缓就业型站点的拥堵②强化中心城区核心地位③缩短职工平均通勤时间④人口趋向轨道沿线集聚A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④加车村位于贵州省黔东南苗族侗族自治州，村庄依山而建，至今保留着诸如祭祀等完整的少数民族文化。

大、小芦笙堂是加车村重要的公共活动空间，其位置和功能有明显的差异。

随着乡村振兴战略的提出，加车村立足自身发展特点，积极打造商业街、扩建基础设施等，经济发展迅速。

下图示意加车村位置和村庄区位布局。

据此完成下面小题。

3. 在加车村可以见到的景象是（ ）A. 水满田畴的梯田B. 漫山遍野的牦牛C. 静静流淌的小河D. 纵横交错的车道4. 与大芦笙堂相比较，推测小芦笙堂功能特点是多承担（ ）A. 大型祭祀及休闲、娱乐活动B. 大型祭祀及农事、商贸活动C. 小型祭祀及休闲、娱乐活动D. 小型祭祀及农事、商贸活动5. 适于加车村发展的方向是（ ）A. 加快人口聚集，提高城镇化水平B. 促进村庄生产、生活、生态融合 C 下寨建筑集中连片，拓展商业街 D. 协调第一、二、三产业均衡发展 下图为2024年元旦跨年时刻江苏某同学查询到的太阳和月亮高度轨迹示意图，该同学在元旦（农历二十）日出时刻观察到了日、月同天景象。

据此回答下面小题。

6. 跨年钟声响起时，东半球新年的范围占全球的（ ）A. 5/6B. 2/9C. 1/6D. 1/97. 该同学观察到的日、月同天景象位置示意图是（ ）A. B. C.D.倒暖锋是我国东北地区的一种特殊天气类型，一般出现在强寒潮过境2～3天后。

湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 【答案】C考点：复数及其运算.2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1-D ．[]7,1- 【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或，{}Q 41x x =-<<．因为p 是q 的必要不充分条件，则Q 是P 的真子集，所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，选B ． 考点：1、充要条件；2、二次不等式.3.已知sin cos 2αα+=，且()0,απ∈，则cos2α的值为（ ）A ．．14- CD ．14【答案】A 【解析】试题分析：由已知，()23sin cos 4αα+=，即31s i n 24α+=，则1s i n 24α=-．因为()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则cos sin αα-=，所以()()cos 2cos sin cos sin ααααα=-+=，选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题. 本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于1为工具，以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于（ ）A ．60B ．240C ．300D ．360【答案】D考点：程序框图.5.用1，2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有（ ）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2，4，6，8中各选一个数，连同5组成三位数，有113443C C 96A =个；第二类，从2，4，6，8中任选两个数，连同5组成三位数，有2343C 36A =个，所以符合条件的三位数共有9636132+=个，选B ． 考点：排列组合.6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．43πB CD ．3π【答案】C考点：1、三视图；2、正方体的外接球.7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示， 则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-【答案】A考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象．【易错点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由,T π=可排除A 、C ，再由()06f π-=可排除B ，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解）；2、排除法（抓住部分特征进行排除）.8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）A ．45万件B ．48万件C ．50万件D ．55万件参考公式：在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．【答案】C考点：回归直线的方程. 9.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：令()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦．设()f x t =，则()1f t =-．由图知，方程()1f t =-有两解1t ，2t ，且11t k=-，201t <<．从而方程()1f x t =有两解，方程()2f x t =也有两解．所以方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个解，选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点.10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D考点：1、向量及其运算；2、函数的最值.11.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F关于直线1l 的对称点P 在2l 上，在双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD【答案】A 【解析】试题分析：不妨设1:l b y x a =-，2:l b y x a =，点()F ,0c -，00,b x x a ⎛⎫P ⎪⎝⎭．因为1F l P ⊥，则001bx b a x c a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()2200b x a x c =+．因为F P 的中点00,22x c bx a -⎛⎫M ⎪⎝⎭在1l 上，则0022bx x c b a a -=-⋅，即02c x =．所以2222c c b a c ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，即223b a =．所以2e ==，选A ．12.对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0baf x f x dx =⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“积分 点”为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π【答案】B考点：1、定积分；2、三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查定积分、三角函数的性质，题型较新，属于较难题型.解决本题时，要求考生细读题干，弄清“积分点”这个概念，再计算220011cos 2sin 26262x dx x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，然后令()001cos 262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，结合072,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦可得02263x ππ+=，即04x π=．解此类题型关键是紧扣新概念，作为解题的突破口.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A =B，且a b +=，则角C 的大小为 ． 【答案】60考点：1、正弦定理；2、余弦定理.14.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大 值为1，则113a b+的最小值为 ． 【答案】9 【解析】试题分析：作可行域，得当3x =，4y =时，目标函数z ax by =+取得最大值．由已知，341a b +=，则()11114334559333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当19a =，16b =时取等号，所以min1193a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭．考点：1、线性规划；2、重要不等式.15.设直线:l 20x y m --=与椭圆C:2214x y +=相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点，若∆ABM 的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是 ．【答案】(2,考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数x 得到228440y my m ++-=，降低计算量，再由()22163240m m ∆=-->⇒ 28m <⇒m -<<122my y +=-⇒()121222x x y y m m +=++=．又由∆ABM 的重心在y 轴右侧⇒1220x x +->⇒2m >⇒m 的取值范围是(2,．16.如图，记棱长为1的正方体为1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，⋅⋅⋅，以此类推．则正方体9C 的 棱长为 ．【答案】18考点：1、空间几何体的结构特征；2、等比数列及其通项公式.【方法点晴】本题主要考查空间几何体的结构特征、等比数列及其通项公式，涉及合情推理思想，属于较难题型.先计算2122a a ==，在计算3222113233a a =⋅==，同理得46a =，519a =，⋅⋅⋅．由此猜想，数列1a ，3a ，5a ，⋅⋅⋅，21n a -是首项为1，公比为13的等比数列，所以4911381a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，本题的关键是观察出奇次项数列的规律.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2nnS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】(1)是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-. 【解析】试题分析：（1）已知可得121242n n n a --=⋅= 2log 21n a n ⇒=- ()21212n n S n n +-⇒=⋅= 24nnS S ⇒=；（2）由已知可得前n 项和()122n n n n d -T =+()()()()222148*********n n n n n d n d p n n n d n d-++-T ⇒===-T +-+恒成立()()()4240p dn p d ⇒-+--=恒成立()()()40240p d p d -=⎧⎪⇒⎨--=⎪⎩4p ⇒=，4d = ()24142n b n n ⇒=+-=-．（2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d-++-T ==-T +-+．…………………（8分）因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n dp n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．…………………（10分） 所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩．因为0d ≠，则4p =，4d =．所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-．…………………（12分） 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和公式；3、对数的基本运算. 18.（本小题满分12分）某工厂有120名工人，其年龄都在2060岁之间，各年龄段人数按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1) 应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）均年龄约为37岁；（3）分布列见解析，期望()712E X =．试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15．…………………（1分）因为400.312⨯=，400.3514⨯=，400.28⨯=，400.156⨯=，所以年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60应抽取的人数分别为12，14，8，6．…………………（3分） （2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=．由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁…………………（6分）由题设，X 的可能取值为0，1，2．其中()111011342⎛⎫⎛⎫P X ==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11115111343412⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11123412P X ==⨯=．…………………（10分）所以X 的分布列是…………………（11分） 期望()151701212121212E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分） 考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，1A A ⊥底面CD AB ，各侧棱长和底边长都为2，D 60∠BA =，E 为侧棱1BB 的延长线上一点，且11B E =． （1）求二面角1D C -A -E 的大小；（2）设点F 在线段1D E 上，若1F//A 面C A E ，求1D F :F E 的值．【答案】(1)45；(2)1D F :F 3:2E =．试题解析：（1）取C A 的中点O ，连结1D O ，OE ．因为1D D D ⊥A ，1D D CD ⊥，D CD A =，则11D CD A =，所以1D C O ⊥A ． 同理C OE ⊥A ，所以1D ∠OE 为二面角1D C -A -E 的平面角．…………………（2分） 由已知，D ∆AB 是边长为2的正三角形，则D 1OB =O =．在1Rt DD ∆O 中，1DD 2=，则1D O ==．…………………（3分）在Rt ∆OBE 中，3BE =，则OE ==4分）连结11D B ，在11Rt D ∆B E 中，11D 2B =，11B E =，则1D E ==……………（5分）显然，22211D D O +E =OE ，则1D ∆O E 为等腰直角三角形，所以1D 45∠OE =，故二面角1D C -A -E 的大小为45．…………………（6分）（2）分别以OA ，OB 为x 轴，y 轴，过点O 与平面CD AB 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0OA =，()0,1,3OE =，()D 0,1,0O =-，()1D 0,1,2O =-．…………………（8分）设(),,n x y z =为平面C A E 的法向量，则00n n ⎧⋅OA =⎪⎨⋅OE =⎪⎩，即030y z =+=⎪⎩．取1z =，则()0,3,1n =-．…………………（9分）设11D F D λ=E ，则()()111111F D D F D D D D λλA =A +=A +E =O -OA +OE -O()()()1,00,2,11,λλλ=-+=-．…………………（10分）因为1F//A 面C A E ，则1F n A ⊥，即1F 0n A ⋅=，所以()3210λλ--+=，解得35λ=．………（11分）所以113D F D 5=E ，故1DF :F 3:2E =．…………………（12分）考点：1、二面角的平面角；2、线面平行.20.（本小题满分12分）如图1，已知抛物线E 的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上，准线与y 轴的交点为T ．过点T 作圆C:()2221x y +-=的两条切线，两切点分别为D ，G ，且DG 3=．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）如图2，过抛物线E 的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别交抛物线E 于P ，Q 两点和M ，N 两点，A ，B 分别为线段Q P 和MN 的中点，求∆AOB 面积的最小值．【答案】(1) 24x y =；(2)6.试题解析：（1）由对称性知，DG y ⊥轴，设DG 与y 轴的交点为H ，则D 3H =．连CD ，则R t C D ∆H 中， CD 1=，则1C 3H ==．…………………（1分） 因为D T 为圆C 的切线，则CD D ⊥T ．由射影定理，得2C C CD H T =，则C 3T =．…………（3分）因为圆心C 的坐标为()0,2，则C 2O =，所以1OT =，即12p=，得2p =． 所以抛物线E 的标准方程为24x y =．…………………（5分）（2）设直线1l 的斜率为k ，因为1l 过焦点()F 0,1，则直线1l 的方程为1y kx =+．代入24x y =，得2440x kx --=．设点()11,x y P ，()22Q ,x y ，则124x x k +=．因为A 为线段Q P 的中点，则点()22,21k k A +…………………（7分）因为12l l ⊥，则直线2l 的方程为11y x k =-+．同理可得点222,1k k ⎛⎫B -+ ⎪⎝⎭．…………………（8分）直线AB 的方程为2222122222y k x k k k k k---=---，即13y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然过定点()D 0,3．…………（10分）设∆AOB 的面积为S ，AB 与y 轴的交点为K ，则11332S S S x x k k ∆AOK ∆BOK A B =+=⨯⨯-=+36≥⨯=，当且仅当1k =±时取等号．所以∆AOB 的面积的最小值为6．…………………（12分考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆；3、射影定理；4、直线与抛物线；5、三角形的面积；6、重要不等式.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题.本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型.21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--，其中a 为常数且0a >．（1）若曲线()y f x =与直线2ay =相切，求a 的值； （2）设1x ，2x 为两个不相等的正数，若()()12f x f x =，证明：12x x a +>．【答案】(1) 2a =；（2）证明见解析.（2）不妨设120x x <<，由()()12f x f x =⇒ ()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒ ()2222112211ln ln 22a x x x x x x x x +--=+--⇒ 222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为22221112221122ln ln x x x x x x x x x x +--+>⇒+--()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+-- ()()()122121ln ln 2x x x x x x ⇒+->-⇒()2121122ln ln x x x x x x -->+ 21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒>+．令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．设()()21ln 01t g t t t -=->⇒+()()()()22211411t g t t t t t -'=-=⇒++当1t >时，()0g t '>⇒()g t 在()1,+∞内单调递增()()10g t g ⇒>=⇒原不等式成立．试题解析：（1）()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==（0x >）．………（1分） 因为0a >，由()0f x '>，得2a x >．则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以2ax =为()f x 的唯一极值点．…………………（2分） 因为曲线()y f x =与直线2ay =相切，则22a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()22ln 4222a a a a a a -+-=．因为0a >，则1ln 0422a a-+=．…………………（3分） 设()1ln 422a a h a =-+，则()1104h a a'=+>，所以()h a 在()0,+∞内单调递增．因为()20h =，所以2a =．…………………（5分）因为()()22112121ln ln ln ln 0x x x x x x x x +--=-+->，则不等式再化为()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+--，即()()()122121ln ln 2x x x x x x +->-，即()2121122ln ln x x x x x x -->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．…………………（9分）令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．…………………（10分）设()()21ln 01t g t t t -=->+，则()()()()22211411t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>， 则()g t 在()1,+∞内单调递增，所以()()10g t g >=，故原不等式成立．…………………（12分）考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、函数的单调性；4、导数的综合运用.【方法点晴】本题主要考查函数的极值、函数的最值、函数的单调性和导数的综合运用，综合程度高，属于难题. 第一小题要懂得利用22a af ⎛⎫=⎪⎝⎭建立方程进行求解；第二小题由()()12f x f x =⇒()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．再用换元法进一步化为()21ln 1t t t ->+，再利用导数工具进行求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在O 的内接四边形CD AB 中，D C A =B ，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ．（1）证明：C C D ∠BE =∠A ；（2）若4AB =，C 3A =，CD 1=，求C E 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）C E =试题解析：（1）因为D C A =B ，则劣弧D C A =B ， 所以CD C ∠A =∠BA ．因为C E 是O 的切线，则C C ∠B E =∠BA ，从而C CD ∠BE =∠A ．…（3分）因为C ∠BE 是四边形CD AB 的一个外角，则C DC ∠BE =∠A ． 所以()()C 180C C 180CD DC C D ∠BE =-∠B E+∠BE =-∠A +∠A =∠A ．…………………（5分）（2）由（1）知，C CD ∠EA =∠A ，C C D ∠AE =∠A ，则C∆A E CD ∆A ，所以CC CDAE A =A ． 因为C 3A =，CD 1=，则2C CD 9AE =A ÷=．…………………（8分）因为4AB =，则5B E =A E -A B =．由切割线定理，2C 45E =AE⨯BE =，所以C E = …………………（10分）考点：1、三角形的相似；2、切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为cos 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 所截得的线段长． 【答案】(1)22123sin ρθ=+；(2)165．【解析】试题分析：（1）由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩⇒得22143x y +=⇒2222cos sin 143ρθρθ+=，即22223cos 4sin 12ρθρθ+=⇒()223sin 12ρθ+=⇒22123sin ρθ=+；（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒cos sin θρθ-=⇒直线l的直角坐标方程为y -=⇒)1y x =-⇒其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=，得223141222t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒254120t t +-=⇒1245t t +=-，12125t t =-⇒12165t t -===．（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θρθ-=． 所以直线ly -=)1y x =-．…………………（6分）显然，直线l 过点()1,0，倾斜角为60，则其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．…………………（7分）代入22143x y +=，得22314122t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即254120t t +-=．设方程的两根为1t ，2t ，则1245t t +=-，12125t t =-，12165t t -===． 故直线l 被曲线C 所截得的线段长为165．…………………（10分） 考点：1、参数方程；2、极坐标方程；3、弦长公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =-++-，其中m 为常数． （1）当7m =时，求不等式()0f x >的解集；（2）设实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，若函数()f x 的最小值为2-，证明：222210a b c ++≥．【答案】（1）()(),43,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由7m =⇒()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．再由()0f x >⇒1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩⇒3x >或4x <-⇒解集为()(),43,-∞-+∞；（2）由()()12123x x x x -++≥--+=⇒当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时取等号，⇒()min 3f x m =-⇒32m -=-，则5m =．解法一：由题设5a b c ++=⇒5a c b +=-⇒()()2222522a cb ac +-+≥=⇒()()222222255120251052210222b b b b a b c b --+-+++≥+==≥．解法二：由题设，5a b c ++=，⇒()()222212112a b c a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭⇒即()22252252a b c ++≥，⇒222210a b c ++≥．试题解析：（1）当7m =时，()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．…………………（3分） 由()0f x >，得1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩，即3x >或4x <-．所以不等式()0f x >的解集为()(),43,-∞-+∞．…………………（5分）考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.。

湖南师大附中2016届高三月考卷（四）命题：湖南师大附中高三物理备课组一、选择题（本题包含12个小题，每小题4分，共48分，其中1~8小题只有一个选项正确，9~12小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选得0分，将答案填在答题卡上）1、我国古诗很多包含着丰富的物理知识，如北宋大词人辛弃疾（1140——1207）曾有一首别具一格的吟X 星球的名词，其中有“飞镜无根谁系？嫦娥不嫁谁留？”，那么以下关于前一句的回答正确的是（ A ）A ．飞镜无根“（地球的）引力”系(月亮被地球的引力吸住)B ．飞镜无根“（太阳的）引力”系 (地球被太阳的引力吸住）C ．是描绘太阳绕地球运动的情景（古时候认为太阳绕地球转）D ．是描绘飞来之镜（别人抛来的定情铜镜）好像被人用绳牵着一样而没做平抛运动。

2、有一只小虫重为G,不慎跌入一个碗中,如图所示.碗内壁为一半径为R 的球壳的一部分,其深度为 D.碗与小虫脚间的动摩擦因数为μ.,若小虫可以缓慢顺利地爬出碗口而不会滑入碗底.则D 的最大值为多少?(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)( D ) A.2R B.R 211μ+ C.R )(2111μ++ D.R )(2111μ+-解析：要使小虫顺利爬出碗口，只须小虫能到达碗边沿A ，设碗边沿的半径与竖直方向夹角为φ，则（受力图如下）由平衡条件得：N=Gcosφ ① f=Gsinφ ②又f=μN 所以μ=tanφ由几何关系有D=R(1-cosφ) ③所以D=3、如右图，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。

对于该运动过程，若用x 、a 、p E 、k E 、分别表示滑块下滑的位移的大小、加速度的大小、重力势能（以斜面底面所在平面为零势面）和动能，t 表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是（ D ）解析：A 、B 在下滑过程中，物体的加速度μmgcos θ-mgsin θ=ma ，a= μgcos θ- gsin θ，加速度的大小保持不变，所以加速度图像应是与时间轴平行的直线．物体做匀减速直线运动，故位移随时间变化越越慢，位移-时间关系的图象是向右弯曲的线，故A 、B 错误；C 、物体做匀减速直线运动，下降的高度为h=ssin θ，也是向右弯曲的线，故C 错误；D 、下滑过程中速度大小关系为v=0v +at =0v +（gsin θ-μgcos θ）t ，动能221mv E k =，故动能变化越越慢，故D 正确，故选D 。

2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德&#183;英才大考）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）2．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣15．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣36．执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥97．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）8．已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜19．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=10．已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C． D．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36πB．48πC．56πD．64π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为．15．如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．16．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i，则S=．与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）20．如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．21．已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德&#183;英才大考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．∴B=（﹣2，2），又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，∴A∪B=（﹣2，3]，故选：B．2．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故答案选：B．4．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．5．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．6．执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9【考点】程序框图．【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3， 第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4， 第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5， …第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17=80，n=9． 退出循环． 故选：A ．7．函数f （x ）=sin2x 和函数g （x ）的部分图象如图所示，则函数g （x ）的解析式可以是（ ）A ．g （x ）=sin （2x ﹣）B ．g （x ）=sin （2x +） C ．g （x ）=cos （2x +）D ．g （x ）=cos （2x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得g （x ）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f （）=sin=，由图象可得g （x ）的图象经过点（，），代入验证可得选项A ，g （）=sin ≠，故错误；选项B ，g （）=sin ≠，故错误；选项D ，g （）=cos =﹣cos =≠，故错误；选项C ，g （）=cos=cos=，故正确．故选：C ．8．已知loga ＜logb ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．D ．3a ﹣b ＜1【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可得a ＞b ＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0．当0＜a﹣b＜1时，ln（a﹣b）＜0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≥0，∴A错误；∵，∴，B错误；∵是定义域R上的减函数，∴，又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，∴，∴，C正确；∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．故选：C．9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=【考点】函数的图象与图象变化．【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．10．已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】三角函数的最值；函数的值域．【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36πB．48πC．56πD．64π【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：∵该多面体的所有顶点都在球O，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，AB=BD==，AC=，设△ABC的外接圆的半径为r，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB===，∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，由正弦定理可得，2r===2，则r=，即球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=56π，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为（2，3）．【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m ﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），解得m的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），则0＜m﹣2＜1＜2m，解得：m∈（2，3），故答案为：（2，3）．15．如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据=（p，q），的模长为1，进而求出（p+q）2﹣pq=1，再利用ab≤，即可得答案．【解答】解：∵=（p，q），的模长为1，∴||=|p+q|=1，∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2．∴（p+q）2﹣pq=1，即（p+q）2=1+pq≤1+，则，故﹣≤p+q≤．∴p+q的最大值是：．故答案为：．16．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i，则S=．+1【考点】数列的求和．【分析】由题意可知：则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，求得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，P2（，），则Q3（，0），则P i（，），Q i（，0），根据三角形面积公式，=丨=（1﹣）×=（﹣），采用“裂项法”即可求得丨DQ i丨丨P i Q i+1S的值．【解答】解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，联立可得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，联立直线BD和直线AQ2，可得P2（，），则Q3（，0），…可得P i（，），Q i（，0），则=丨DQ i丨丨P i Q i丨=（1﹣）×=（﹣），+1S=（﹣），= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），=，则S=，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用，通过平方求出BC边上的中线长．【解答】解：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]．∴≤sin（2x+）≤1．∴f（x）∈[0，1+]．（2）由，得，又A为锐角，∴．设BC的中点为D，则，∴，∴，∴BC边的中线长为．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC交BD于M，连结MN，推导出MN∥AF，由此能证明AF∥平面BDN．（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BN与平面ABF 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC交BD于M，连结MN，∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．解：（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，∵BC⊥FP，BC⊥PQ，PQ∩FP=P，∴BC⊥面EFPQ，FO⊂面EFPQ，∴BC⊥FO，又FO⊥PQ，PQ∩BC=P，∴FO⊥平面ABCD．如图，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，∵△ADE，△FBC为等边三角形，∴梯形EFPQ为等腰梯形，∴，∴，∴．∴．设平面ABF的法向量为，则，∴，令得，∴，∴，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．19．某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．1Y Y的分布如下：A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；X20．如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则．由已知有，化简得P的轨迹方程为．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）＞0，∴b2＜2k2+1，…（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∵，∴，整理得，∵1+k2≥1，∴，即0＜2（1﹣b2）≤1，即，满足（*）式，∴，∴当时，h2取得最大值为，即h的最大值为．21．已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．（2）由已知得在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣klnx（x≥1），∴．①当﹣2≤k≤2时，k2﹣4≤0，x2﹣kx+1≥0恒成立，所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．②当k＜﹣2或k＞2时，f'（x）=0，解得，且x1+x2=k，x1•x2=1．（ⅰ）若k＜﹣2，则x1＜0，x2＜0，∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．（ⅱ）若k＞2，则x1＜1，x2＞1，当x∈（1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，这与f（x）≥0恒成立矛盾，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，2]．（2）由（1）得在[1，+∞）上恒成立，取得，即，由（1）得k＞2时，在时恒成立，令，解得，取，则有在上恒成立，取得，∴，（精确到0.001）．取．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，解得t=﹣4或t=﹣54，所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．又将直线l的方程化为，所以或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf （x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．2017年1月12日。

炎德 英才大联考 湖南师大附中2016届高三月考试卷（三）数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,2,3,5,7},{|26}A B x N x ==∈<≤，全集U A B =，则()U A C B =A ．{1,2,7}B ．{1,7}C ．{2,3,7}D ．{2,7}2、已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是A ．4πθ= B ．2πθ= C ．34πθ= D ．54πθ= 3、已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4、为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示，例如：明文()1,2,3,4对应的密文是()5,7,18,16，则当接受方收到密文()14,9,23,28时，解密得到的明文是A ．()4,6,1,7B ．(7,6,1,4)C ．(6,4,1,7)D ．(1,6,4,7)5、已知实数,x y 满足余数条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是 A ．1[1,]3- B ．11[,]23- C ．1[,)2-+∞ D ．1[,1)2-6、已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-，则(2015)f 的值为A ．-2B ．0C ．2D ．87、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个交点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A ．6B ．4C ．3D ．28、现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生有且仅有两人相邻，在不同的站法种数是A ．12B ．24C ．36D ．489、已知函数()22f x x x m =-+，在区间[]2,4-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发生的概率为23，则m 的值为 A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-310、已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n n a b a +=，若10112b b =，则21a = A ．92 B ．102 C ．112 D ．12211、设点,,A B C 为球O 的球面上三点，O 为球心，若球O 的表面积为100π，且ABC ∆是边长为O ABC -的体积为A ．12 B．．．12、已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量,OA OBa b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB ⋅的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z 满足i z i +=⋅+1)2321(（其中i 为虚数单位），则z 为 A.2 B.2 C.)13(2+ D.)13(2- 2.“23cos =α”是“212cos =α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x 都有f (x+1)=f (1-x )，且函数f(x)在),1[+∞上单调.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}n a 的前25项之和为A.0B.225C.25D.50 4.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 A.101 B.253 C.151 D.301 5.如图，若Ω是长方体1111D C B A ABCD -被平面EFGH 截去几何体11C EFGHB 后得到的几何体，其中E 为线段11B A 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11D A EH ∥，则下列结论中不正确的是 A.EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.四边形EFGH 可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2a ，⋅⋅⋅，50a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A ，男生平均分M ，女生平均分W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，50W M A +=B.T<0？，50WM A +=C.T<0？，50WM A -=D.T>0？，50WM A -=7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A.π16B.π12C.π8D.π48.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x x y z +=的取值范围是A.]310,31[ B.]25,31[ C.]25,2[ D.]310,2[ 9.设)4sin()2sin(22sin 2cos 1)(ππ+++++=x a x x x x f 的最大值为3，则常数a =A.1B.a =1或a =-5C.a =-2或a =4D.7±=a10.已知菱形ABCD 的边长为2，︒=∠120BAD ，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC BE λ=，DC DF μ=.若1=⋅AF AE ，32-=⋅CF CE ，则=+μλA.21B.32C.65D.127 11.已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221=，G 为三角形21F PF 的内心，若2121F G F G PF G PF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 A.2221+ B.132- C.12+ D.12- 12.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,log ,0,2)(2x x x x f x 对任意给定的),2(+∞∈y ，都存在唯一的R x ∈，满足ay y a x f f +=222))((，则正实数a 的最小值是A.41 B.21C.2D.4 选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若62)(xb ax +的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值为_____.14.在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为_____. 15.在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,其中a 为最大边，如果C B C B 222sin sin )(sin +<+，则角A 的取值范围为_____.16.设数列{}n a 满足：31=a ，{}n n n a a a 1][1+=+，其中，][n a 、{}n a 分别表示正数n a 的整数部分、小数部分，则=2016a _____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S S a a +=22对一切正整数n 都成立. （1）求1a ，2a 的值； （2）设01>a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量（吨）1 1.52 频数 10 25 15 频率0.2ab（1）求表中a ，b 的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求： ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形E SE '∆，F SF '∆，G SG '∆，H SH '∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH ，其中A ，B ，C ，D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （1）求证：平面SEG ⊥平面SFH ； （2）当25=AE 时，求二面角E-SH-F 的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分) 已知函数),(1ln )(R b a b x ax x f ∈+++=在定义域上单调且函数的零点为1. （1）求)2(+b a 的取值范围； （2）若曲线)(x f y =与x 轴相切，求证n nln 21514131<+⋅⋅⋅+++（N n ∈且2>n )．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥DC ，DC 的延长线交PQ 于点Q . （1）求证：AB CQ AC ⋅=2；（2）若AQ ＝2AP ，AB ＝2，BP ＝2，求QD .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知射线)0(6:1≥=ρπθC C ，动圆)(04cos 2:020022R x x x C ∈=-+-θρρ.（1）求C 1，C 2的直角坐标方程；（2）若射线C 1与动圆C 2相交于M 与N 两个不同点，求x 0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. （1）求a ＋b ＋c 的取值范围；（2）若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACCDDBDBCDA二、填空题13.2 14.5 15.)2,3(ππ 16.2133023-+ 三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，2112122a a S S a a +=+=，当n=2时212222a a a +=，两式相减2122)(a a a a =-，0,012==∴a a 或1,0122=-≠a a a ， ...............3分解方程组可得：0,021==a a ，或22,1221+=+=a a ，或22,2121-=-=a a . ..........5分 （2）由（1）及01>a 知22,1221+=+=a a ， ................6分 当n≥2时，n n S S a +=+2)22(，121)22(--+=+n n S S a ，1)22()21(-+=+∴n n a a ，)2(21≥=∴-n a a n n ，111)2)(21()2(--+==∴n n n a a ， ..............8分令112100lg 2110lg-==n n n a a b ， 所以数列{}n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg 21-， .........10分 ∴0810lg721>=>⋅⋅⋅>>b b b ， 所以当n≥8时，0128100lg218<=≤b b n ， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前7项和最大，2lg 22172)(7717-=+=b b T . .........12分 18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， 设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以ξ的可能取值为4，5，6，7，8， 则：04.02.0)4(2===ξP ，2.05.02.02)5(=⨯⨯==ξP ，37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP ， 09.03.0)8(2===ξP ， ............9分∴ξ的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵⊂FH SO ,平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵⊂EG 平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分ξ4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09(2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分 当25=AE 时，即25=OE ，Rt △SHO 中，SO ＝5，255=SH ，∴5=⋅=SH OH SO OM ，Rt △EMO 中，25322=+=OM EO EM ，322535cos ===∠EM OM EMO . 所以所求二面角的余弦值为32. ......................12分 法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，25=AE ，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴)0,0,25(-H ，)0,25,0(-E ，)0,25,0(G ，)0,25,25(-=HE ，)0,25,0(=OG .在原平面图形中，可求得255=SE ，在Rt △SOE 中，可求得522=-=OE SE SO ， ∴S (0，0，5)，)5,0,25(--=SH . ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=--=⋅,02525,0525y x HE n z x SH n 得⎪⎩⎪⎨⎧==,21,x z x y 令x ＝2，则)1,2,2(-=n ，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴OG 是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则32cos =⋅⋅=OGn OG n θ，∴二面角E －SH －F 的余弦值为32.12分20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ，圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m . 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k 2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m 21＋4k 2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m 21＋4k 2＝1，∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ，∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2.∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k 2， ∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N2＋2y 2N ＝1. ...............10分 假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y N x N －s ，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N 2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st .当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，222)1(1)2()1(1)(++--=+-='x x x a x x a x x f . 又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故02=+b a ，2ab -=. ...............2分 ∵函数)(x f 单调，若)(x f 为增函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≥'x f 且)(x f '不恒为0，∴01)2(2≥+--x a x ，xx a 1)2(+≤-，∴22≤-a ，∴4≤a . 若)(x f 为减函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≤'x f 且)(x f '不恒为0，则01)2(2≤+--x a x ，x x a 1)2(+≥-，又21≥+=x x y ，∴xx a 12+≥-不恒成立．综上所述，∴4≤a . 又∵2a b -=，∴2)2(21)2(2+--=+a b a . ∴)2(+b a 的取值范围是]2,(-∞. ............6分（2）∵曲线)(x f y =与x 轴相切，切点为(1，0)且0)1(='f ，∴2,4-==b a . 由(1)得函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，又0)1(=f ，∴当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ， ∴142ln +-≥x x .令)(11*∈+=N k k x ，有k k 11142)11ln(++-≥+， ∴122ln )1ln(+>-+k k k ； ∴当2≥n 时，令k ＝1，2，3，…，n －1，321ln 2ln >-，522ln 3ln >-， (1)22)1ln(ln ->--n n n ， 以上各式累加得：n n ln 1225232<-+⋅⋅⋅++． ...............10分 ∵k k 21121>-，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴n n ln 21514131<+⋅⋅⋅+++成立. ...............12分 22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ， ∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴ACAB CQ AC =，即AB CQ AC ⋅=2. ............... 5分 (2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴31===QC AB PQ AP PC BP ， (3)由2=AB ，BP ＝2，得23=QC ，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴122=⋅=PC PB AP ，∴32=AP ，∴34=QA ， 又∵AQ 为圆O 的切线 ， ∴282=⇒⋅=QD QD QC AQ . ...............10分23.【解析】∵)0(6,tan ≥==ρπθθx y ，∴)0(33≥=x x y ．所以1C 的直角坐标方程为)0(33≥=x x y . ......2分 ∵⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x所以2C 的直角坐标方程04220022=-+-+x x x y x . .....4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧∈=-+-≥=),(04cos 2),0(602002R x x x θρρρπθ 关于ρ的一元二次方程)(04302002R x x x ∈=-+-ρρ在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+>--=∆,04,03,0)4(4320210212020x x x x ρρρρ ..........8分得⎪⎩⎪⎨⎧-<>><<-,22,0,440000x x x x 或即420<<x . .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴33≤++≤-c b a ，∴a ＋b ＋c 的取值范围是]3,3[-. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式2)(11c b a x x +-≥++-对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为),23[]23,(+∞--∞ . ...............10分。