基于实体变形的六面体网格生成方法研究

有限元六面体网格的典型生成方法及发展趋势吕　军,王忠金,王仲仁(哈尔滨工业大学材料科学与工程学院,黑龙江哈尔滨150001)摘　要:工程问题三维有限元仿真的主要困难是模型的建立,而模型的建立需要采用合适的方法来生成高质量的三维有限元网格.以金属塑性成形过程的三维有限元仿真为例,说明了采用六面体单元的必要性.针对典型的有限元六面体网格生成方法,系统地分析了各种方法的实现原理和发展趋势,并探讨了六面体网格生成总的发展趋势.分析结果说明,复杂域内六面体网格全自动生成的实现是全自动网格生成真正走向实用化、通用化必须解决的难题.关键词:数值仿真;有限元法;网格生成;六面体网格中图分类号:TG 302 文献标识码:A 文章编号:036726234(2001)0420485206G eneration of f inite element hexahedral mesh and its trend of developmentL αJ un ,WAN G Zhong 2jin ,WAN G Zhong 2ren(School of Materials Science and Engineering ,Harbin Institute of Technology ,Harbin 150001,China )Abstract :The major difficulty with the 3-D finite element simulation of an engineering problem lies in the construction of models ,which needs the proper generation of 3-D finite element hexahedral mesh of high quality.The necessity to use a hexahedral unit is justified by taking the 3-D finite element simulation of the plastic formation of metals as an example.The theories behind and trends of development of different ways of generating finite element hexahedral meshes are systematically analysed ,and the general trend of development for generation of hexadedral mesh is discussed as well.It is concluded that the full automatic generation of hexahedral mesh in complex domains is the key to the popularization of full automatic genera 2tion of hexahedral mesh.K ey w ords :numerical simulation ;finite element method ;mesh generation ;hexahedral mesh 有限元法是求解工程问题的一种近似数值方法,近年来在工程领域中得到了广泛的应用[1,2].有限元仿真的一个重要步骤是对连续体进行离散化,为使离散出的网格能更精确地逼近连续区域和有限元计算的结果在预定误差范围内,应保证离散化后得到质量较高的网格.为此提出了许多方法来生成有限元网格[35].目前,二维有限元收稿日期:2001-01-20.基金项目:金属精密热加工重点实验室基金资助项目.作者简介:吕　军(1974-),男,博士研究生;王仲仁(1934-),男,教授,博士生导师.网格生成方面已比较成熟,提出了许多行之有效的方法.但在三维有限元网格尤其是六面体网格的生成方面还没有通用的算法,存在许多难点问题需进一步解决.本文论述了采用六面体单元的必要性,并分析了有限元六面体网格的典型生成方法.最后,对六面体网格生成的发展趋势进行了探讨.1　采用六面体单元的必要性在有限元仿真过程中,单元类型的选择对整个有限元仿真的计算效率、自动化程度、计算精度等都将产生重要影响.因此单元类型的选择在各　第33卷　第4期 哈　尔　滨　工　业　大　学　学　报 Vol.33,No.42001年8月 J OURNAL OF HARB IN INSTITU TE OF TECHNOLO GY Aug.,2001个领域的有限元仿真中都占有重要地位.在体积成形刚塑性/刚粘塑性有限元仿真中,单元类型选择的重要性尤为突出.这是因为刚塑性/刚粘塑性有限元仿真有三个突出的特点:(1)塑性成形往往是一个大变形过程,有限元计算中通常需要进行多次网格重划分,而网格重划分需要耗费大量的时间,且每次都会损失一定的精度.(2)塑性变形过程是一个非线性问题,需要进行迭代求解,计算效率问题更为突出.(3)刚塑性/刚粘塑性有限元仿真时必须进行多次工件与模具间的动态接触处理,每一次的处理都会使得工件的有限元模型产生一定的体积损失而影响计算精度.这三种问题的处理都与单元类型的选择密切相关.选择合理的单元类型,就可用较少的网格重划分次数、相同或较少的高斯积分点数来达到较高的计算精度和计算效率,这在有限元仿真中是非常重要的.六面体单元由于变形特性好、计算精度高等优点而在很多三维有限元仿真领域中得到了广泛的应用.在金属体积成形的三维有限元仿真中,要求单元既要有一定的“刚性”(即抗畸变能力)以避免频繁的网格重划分,又要有一定的“柔性”(即良好的变形特性)以准确地仿真变形过程,还必须有较高的计算精度.在体积成形三维有限元仿真中常采用四面体和六面体单元.大量计算结果表明:采用六面体单元进行三维有限元仿真可采用较少的网格重划分次数达到较高的计算精度,故六面体单元是金属体积成形过程三维有限元仿真的首选单元[6,7].2　有限元六面体网格的典型生成方法六面体网格在三维有限元仿真中有四面体网格无法比拟的优越性,但现有的有关三维有限元网格生成方法的文献往往偏重于介绍四面体网格的生成方法,对六面体网格生成方法介绍得很少.实现可靠的、高质量的六面体有限元网格自动生成是三维有限元仿真领域的瓶颈问题.当前,有限元六面体网格的典型生成方法主要有以下几种.2.1　映射单元法映射单元法是三维网格生成中最早使用的方法之一.这种方法先把三维实体交互地分成几个大的20节点六面体区,然后使用形函数映射技术把各个六面体区域映射为很多细小的8节点六面体单元[8].这种方法易于实现,可以生成规整的结构化网格;缺点是当三维实体的表面是十分复杂的自由曲面时,该方法的逼近精度不高,且人工分区十分麻烦、难以实现自动化.近年来,一些研究者采用“整体规划技术(Integer programming technique)”来进行实体的自动分区[9],但该技术很难对复杂形体(如塑性加工中的复杂锻件)进行自动分区.曲面映射是三维映射的特例,采用曲面映射技术可以对几何曲面进行离散化处理[10,11].文献[12]详细研究了基于映射单元法的有限元六面体网格自动生成技术,采用加权因子控制网格生成过程中自然坐标的分割,可以生成密度不同的有限元网格.对原域为单连通凸区域的简单形体及原域为复连通凹区域的复杂形体,该种方法均可生成质量较高的网格,生成的六面体网格如图1所示.图1　映射单元法Fig.1　Mapped element method 映射单元法的发展趋势是:实现简单、规则形状形体的自动分区,提高手工分区的交互性,能方便地进行复杂的三维形体的分区.2.2　基于栅格法这种方法预先产生网格模板,然后将要进行网格化的物体加到其上,并在实体内部尽可能多地填充规则的长方体或正方体网格,在实体的边界上根据实体边界的具体特征更改网格的形状和相互连接关系,使得边界上的六面体单元尽可能地逼近物体的边界形状.文献[13]采用这种方法生成了六面体单元.这种方法能实现网格生成的自动化,网格的生成速度也非常快.其最大弱点是边界单元的质量较差;另一个缺点是所生成的单元尺寸相近,网格密度很难得到控制.1998年发布的MARC/HexMesh模块中采用了基于栅格法,并对这种方法进行了改进,使得初始填充在实体内部的单元尺寸较大、实体边界单元的尺寸较小,这样可以较好地控制网格密度[14].但是,对于复杂三维形体,MARC/ HexMesh模块产生的边界六面体网格的质量仍然不够理想.Tekkaya[15]将改进八叉树法与基于・684・哈　尔　滨　工　业　大　学　学　报 第33卷栅格法相结合来生成边界过渡网格,首先根据工件的边界来区分内部网格和边界网格,然后应用网格细化和均匀化处理来改进边界单元的质量,如图2所示.图2　基于栅格法Fig.2　Grid 2based method 这种方法的发展趋势是:控制实体内部的初始规则网格的尺寸,以控制最终形成的网格的密度;采用网格结构重组(包括拆分和合并单元)和网格优化算法来提高边界单元的质量.2.3　几何变换法这种方法由二维四边形网格经过旋转、扫描、拉伸等几何变换而形成六面体网格,几何变换后删除重节点及四边形、进行单元及节点的重新编号[16].这种方法生成的六面体网格如图3所示;优点是比较容易实现,在当今大多数的大型CAD 软件前置处理中均有此功能.但是,这种方法只适用于形状简单的三维形体,且主要依靠人机交互的方式来实现.图3　几何变换法Fig.3　G eometry transformation method 这种方法的发展趋势是使四边形有限元网格能够以自由曲线为路径进行扫描,尽量减少人机交互的步骤.2.4　改进八叉树法这种方法的基础是三维物体的八叉树表示.所作的改进类似于四叉树法的改进,但三维物体的边界处理更加复杂;它具有改进四叉树法同样的利弊.Y erry 等[17]首先提出并实现了这种方法,他们将物体边界简化为42种可能的模式(18种单平面和24种双平面切割八叉元).这种方法与基于栅格法结合生成“过渡网格”,效果较好[15].著名的有限元分析软件MARC/Auto 2Forge 模块中采用了这种方法,生成的六面体网格如图4所示.图4　改进八叉树法Fig.4　Modified 2octree method 这种方法的发展趋势是:与基于栅格法结合使用来提高过渡网格的质量,并减少仿真过程中的畸形单元,提高形体尖角处单元的质量.2.5　模块拼凑法Yang 等[18,19]把工件分为一定数量的子模块,然后对每一类形状简单的子模块规定一种六面体网格生成方法,整个工件的有限元网格即可由这些子模块内的网格拼凑而成,如图5所示.但是,实际生产中的工件(尤其是模锻件)的形状往往非常复杂,很难对其进行子模块的自动划分,采用专家系统的方法往往也是不可行的.因此,这种方法只能针对形状相对简单和变化较少的工件来生成六面体网格. 这种方法的发展趋势是完善专家系统的知识库,使其能适应更复杂形状工件的子模块自动划分.2.6　单元转换法由于多种四面体网格自动生成算法已经达到实用化的程度,在自动生成四面体网格后,可以把一个直边四节点四面体单元分成四个六面体单元[20,21],这样可以把四面体网格自动地转化为六面体网格,如图6所示.这种方法的缺点是得到的网格是杂乱无章的非结构化六面体网格,网格的质量不高;为了较好地逼近复杂物体的曲面边界,需要生成较多的直边四面体单元,因而也将得到数量极多的六面体单元,这会使得有限元仿真的时间过长.对同时具有内外复杂边界的三维问题(如内部有空洞缺陷的复杂锻件分析),该方法是实现六面体网格自动生成的一种比较有效的方・784・　第4期 吕　军,等:有限元六面体网格的典型生成方法及发展趋势法.文献[22]对单元转换法进行了改进,将十节点曲边四面体转换为六面体,并采用非线性约束优化算法大幅度提高了六面体网格的单元质量.图5　模块拼凑法Fig.5　Modular method图6　单元转换法Fig.6　Element conversion method 这种方法的发展趋势是减少不必要的四面体单元的数量,采用网格结构重组技术以剔除不必要的单元,采用约束优化算法提高六面体单元的质量.2.7　B 样条曲面拟合插值法这种方法基于三维物体的边界曲面B 样条表示,采用插值拟合曲面来生成六面体网格[23].在几何构形确定的情况下,这种方法即可自动生成六面体网格.通过调整B 样条函数中的参数可以控制网格密度,生成的六面体网格如图7所示.这种方法的优点是边界曲面逼近好,形体的几何表示与网格生成在数学方法上一致;缺点是局部网格的处理比较困难,这是整体域剖分所带来的问题.图7　B 样条曲面拟合插值法Fig.7　B 2spline surface interpolation method 这种方法的发展趋势是采用B 样条曲面和实体造型相结合的方式来描述三维物体,采用模块法来处理物体内部的局部网格.2.8　采用波前法逐层由实体表面向实体内部生成六面体网格(Plastering algorithm)Blacker 和Meyers [24]于1993年提出了这种方法,该方法实际上是二维四边形网格逐层推进生成法[25](Paving algorithm )在三维空间上的拓展.在三维实体内部,各个六面体单元的边与边、面与面之间的相互关系十分复杂,并且只有满足一定条件的实体表面上的节点才能生成完全的六面体网格,故这种方法的实现具有很高的难度.生成的网格如图8所示.该方法生成的六面体网格的单元质量(尤其是边界单元的质量)是所有算法中最好的,但该方法的实现仍需解决一些技术细节上的问题.图8　Plastering 算法Fig.8　Plastering algorithm 这种方法的发展趋势是优化实体表面的布点,避免在向实体内部逐层推进时产生尺寸过小和形状不合理的单元,避免单元间的裂缝.2.9　采用中轴面分解和整体规划技术生成六面体网格这种方法首先将三维实体分解成一定数量的简单子域,然后在每个子域内生成六面体网格[26].在将实体分解成子域过程中采用中轴面(Medial Surface )分解技术,并采用整体规划技术来确定每条边的分割数,进而控制六面体网格的密度[9].根据形体的中轴面可以确定必要的子域,子域可以定义为13种可能类型中的一种[27].中轴面分解方法也可以拓展应用于带有凹边或凹顶点的实体及退化情况,从而可以实现复杂实体(如带有孔、凹角等)的六面体网格生成[28].该方法生成的六面体网格的单元质量很高并且疏密有致,如图9所示. 这种方法的发展趋势是实现复杂形体的全自动中轴面分解;尽可能形成容易网格化的子域;提高边界单元的质量,避免产生形状不好的单元(如・884・哈　尔　滨　工　业　大　学　学　报 第33卷狭长单元).图9　中轴面分解法Fig.9　Medial surface subdivision method3　六面体网格生成的发展趋势有限元六面体网格生成问题近年来成为三维网格生成方法研究的热点和难点,出现了许多种算法,但至今尚未提出一种通用的有限元六面体网格自动生成方法.下列问题将成为六面体网格生成的研究前沿,也将是未来的发展趋势.3.1　开发复杂域六面体网格的全自动生成方法全自动网格生成方法因其高效性、处理复杂情况的能力和便于集成到计算机集成制造系统(CIMS )等优点,已成为网格生成的发展趋势.现有的网格自动生成方法在时效、稳定性和通用性等方面与实用要求都有一些差距,六面体网格生成方面尤为突出,问题的关键在于开发有效、高效的自动生成方法.复杂域的网格生成是全自动网格生成的前提,人们正在研究能在任意复杂域内生成六面体网格的方法,并注重方法的可靠性.复杂域内六面体网格全自动生成的实现是全自动网格生成真正走向实用化、通用化必须解决的难题.3.2　网格密度定义和控制技术的研究三维网格密度定义和控制一直没有行之有效的方法,生成疏密有致的六面体网格并且使密网格和疏网格之间的单元均匀过渡将是六面体网格生成的发展趋势之一.3.3　基于几何造型的六面体网格生成及其集成基于几何造型的网格生成是通往有限元仿真技术集成到计算机集成制造系统的必由之路,目前的网格生成方法大都从造型系统中得到形体描述,但几乎都与造型系统松散结合.实现六面体网格生成与几何造型系统的集成将是未来的发展方向.3.4　六面体网格显示技术及正确性检测六面体网格缺乏有效的显示技术.正因为缺乏直观的显示来验证其正确性,其正确性的检测就显得格外重要;目前在这方面尚缺乏快速有效的方法.六面体网格显示技术的关键是提出正确、可靠和高效的消隐处理算法.4　结　论在三维有限元仿真中采用六面体单元有很多优点,实现可靠、高质量的有限元六面体网格自动生成一直是CAD/CAE 领域内的一个难点,也是制约三维有限元仿真走向实用化的瓶颈问题.解决这个问题的关键是在现有方法的基础上提出稳定、高效和通用的复杂域六面体网格全自动生成方法,以使得六面体网格在三维有限元仿真领域中的应用真正走向实用化.参考文献:[1]GHOUAL I M A ,DUVAU T G.Local analytical de 2sign sensitivity analysis of the forging problem using FEM[J ].Comput Methods Appl Mech Eng ,1998,163:55270.[2]FISH F ,PANDHEERADI M ,BEL SKY V.E fficient solutions schemes for interface problems[J ].Finite El 2ements in Analysis and Design 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第28卷 第6期 计算机辅助设计与图形学学报Vol. 28 No.6 2016年6月Journal of Computer-Aided Design & Computer GraphicsJun. 2016收稿日期: 2015-04-30; 修回日期: 2016-04-08. 基金项目: 中国工程物理研究院预研专题(2011-0514); 中国工程物理研究院战略科技课题(2013-0531). 于长华(1983—), 男, 博士, 工程师, 主要研究方向为有限元网格生成; 熊 敏(1980—), 女, 博士, 高级工程师, 主要研究方向为有限元网格生成; 方 维(1983—), 男, 博士, 高级工程师, 主要研究方向为有限元前处理、并行计算; 郑 澎(1972—), 女, 博士, 研究员, 硕士生导师, 主要研究方向为有限元前处理技术、虚拟现实; 张先红(1970—), 男, 学士, 高级工程师, 主要研究方向为计算机应用.基于栅格法的多体六面体网格自动生成于长华, 熊 敏, 方 维, 郑 澎, 张先红(中国工程物理研究院计算机应用研究所超算中心 绵阳 621900) (10030431@163com)摘 要: 基于栅格法的六面体网格生成算法由于多体模型复杂的边界几何特征, 导致稳定性较差和产生一些质量较差的边界六面体单元. 针对这一问题, 提出一套以栅格法为基础的全六面体网格自动生成算法. 在边界拟合环节, 利用Embedding 技术提出一种边界拟合算法, 建立了实体模型边界元素和核心网格外围边界元素的对应关系, 使得六面体网格很好地描述实体模型的几何特征; 在拓扑优化环节, 利用Pillowing 技术给出一种消除网格中拓扑连接关系较差的六面体单元的方法. 若干实体模型算例结果表明, 该算法实用性强, 效果良好.关键词：六面体网格; 多体模型; 边界拟合; 质量优化 中图法分类号：TP391.41An Automatic Mesh Generator for Hexahedral Mesh of Multi-solid Models Using a Grid-based MethodYu Changhua, Xiong Min, Fang Wei, Zheng Peng, and Zhang Xianhong(Supercomputer Center, Institute of Computer Application, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900)Abstract: Because of the complicated boundary geometric features of multi-solid models, the algorithm for grid-based hexahedral mesh generation had very weak stability and generated some poor boundary elements. Ac-cording to these problems, an algorithm for the automated generation of grid based all-hexahedral element meshes is developed. In the surface matching process, a surface matching algorithm combining the embedding technique is proposed, establishing the corresponding the boundary element relation between solid models and core mesh, and making the hexahedral mesh accurately describe the geometric features of multi-solid models. In the topological optimization process, an optimization technique eliminating the hexahedral elements with bad topological connection is proposed. The effectiveness and robustness of the algorithm in this paper are tested by means of some solid model examples.Key words: hexahedral mesh; multi-solid model; surface matching; quality improvement 随着计算机技术的发展, 基于偏微分方程的数值模拟技术, 有限元法(finite element method, FEM)、有限差分法(finite difference method, FDM)和有限体积法(finite volume method, FVM)被广泛应用于很多领域的计算模拟, 如金属成形、机械、静力学、动力学、生物医学工程等前沿领域. 在使用数值分析方法进行求解分析之前, 网格生成是数值模拟结果的主要性能瓶颈, 对其自动生成算法的研究944 计算机辅助设计与图形学学报第28卷一直被广泛关注. 相对于四面体网格, 六面体网格在计算精度、划分网格数量、抗畸变程度及再划分次数等方面具有明显的优势[1-2], 因此, 六面体网格成为三维问题分析的首选网格.多体全六面体网格的生成问题非常复杂, 其中最具挑战的是处理不同子区域间共享边界曲面处的网格的几何拓扑一致性问题. 相邻子区域间的网格生成问题通过共享曲面耦合在一起, 这种耦合会通过共享曲面传递到整个剖分体的六面体网格生成问题中[3]. 传统方法, 如扫掠法[4-5]、铺层法[6]和须段编织法[7]在多体剖分上取得了一些成果,但由于自动生成全六面体网格问题的复杂性, 仍有许多难题未能解决, 而基于栅格法的六面体网格在共享曲面上的网格有着天然的一致性, 因此栅格法在多体的六面体网格生成中具有明显的优势. 改善六面体网格表面单元的拓扑关系、提高网格质量和增强提高算法的鲁棒性一直是栅格法研究的主线.近年来, 许多学者研究了基于栅格法的单体六面体网格生成, 并取得了较大的进展[8-12], 但关于多体的网格生成算法却很少, 主要原因是多体模型的几何特征要比单体复杂得多, 特别是交界面的存在导致六面体网格生成中的边界拟合算法和质量优化算法需要做特别的处理. Qian等[13]针对CAD装配模型提出一套基于八叉树分解法的全六面体网格生成算法, 首先将对偶等值面提取法与栅格法相结合, 提取装配体模型边界网格的等值面, 然后在等值面网格上进行边界拟合, 其中特征点拟合采用的是最短距离法, 边界边拟合采用的是反复搜索法, 该边界拟合算法相对简单, 导致稳定性不好; 在质量优化环节中提出两步Pillowing 技术, 该技术虽然能消除六面体网格中的“doublet”单元和退化单元, 但同时也新生成了大量质量较差的六面体单元, 给后面的节点平滑技术带来了很多困难. Owen等[14]提出一种的边界拟合技术, 根据几何拓扑嵌入理论将特征镶嵌入网格中(称之为Embedding技术). 其做法是在构建了模型区域内的栅格, 得到模型核心网格后, 将实体模型边界元素(点、线、面和体)和模型核心网格外围边界元素(网格点、网格线、网格面和网格单元)对应起来, 再将核心网格外围边界元素投影到实体模型的外边界上. Embedding技术能有效地使得模型边界元素在最终网格中得以体现, 并且可推广到多体的六面体网格生成中; 但该技术的稳定性也存在问题, 特别是对特征点的拟合仅仅是采用了最短距离法, 使得特征点的拟合存在几何特征丢失的情形,导致Embedding后面的过程进行不下去. 本文利用Embedding和Pillowing技术对边界拟合算法和拓扑优化算法进行改进, 提出一套基于栅格法的多体六面体网格自动生成算法.1基本概念核心网格. 根据网格单元与实体模型的位置关系删除不符合要求的网格单元, 生成的“锯齿”状六面体网格. 根据所删除网格单元的属性, 将栅格法分为: 从外向内栅格法、从内向外栅格法和混合栅格法3类.Doublet单元. 若六面体网格单元的2个面都与另一网格单元相邻, 则称该单元为doublet单元, 如图1所示.图12个doublet单元退化单元. 表面六面体单元退化成五面体单元或四面体单元的情形, 如图2所示.a. 二面退化b. 三面退化图2退化六面体单元Pillowing. Pillowing是在网格集合(记为网格收缩集)的边界增加一层网格单元的技术, 目的是用来消除doublet单元. 因为doublet单元的2个面的二面角很大, 导致产生质量较差的六面体单元, 而由于这些六面体单元的特殊拓扑结构, 在后面的节点平滑技术也无法修正, 利用Pillowing技术, 可将doublet单元分解为几个六面体单元, 二维Pillowing技术流程如图3所示. 另外, Pillowing技术也被成功用来消除六面体网格单元中的退化单元.第6期于长华, 等: 基于栅格法的多体六面体网格自动生成 945图3Pillowing技术流程2本文算法本文算法步骤如下:Step1. 读入剖分实体模型. 如图4所示, 该模型包含2个子体: 识别CAD模型的几何特征, 建立模型的点、线、面和体的拓扑连接关系.图4剖分实体模型实例Step2. 对实体模型进行非正则并布尔运算, 得到一新的实体, 记为布尔实体, 并建立布尔实体与实体模型的拓扑映射关系.Step3.计算实体模型的最小包围盒, 在包围盒内生成包络实体的全六面体网格. 如果包络网格是结构化网格, 则通过计算单元的大小直接在包围盒内生成结构六面体网格; 否则, 应用八叉树分解法生成非结构化六面体网格.Step4. 生成核心网格. 先判断网格节点与实体模型的位置关系; 然后根据六面体单元顶点和重心点的位置划定该单元属于哪个子体, 并删除剖分实体外六面体单元, 得到多体的核心网格, 如图5所示.图5核心六面体网格Step5.边界拟合. 利用Embedding技术提出一种边界拟合算法, 首先建立实体模型边界元素和核心网格外围边界元素的拓扑对应, 再将核心网格外围边界元素投影到实体模型的外边界上.Step6. 消除doublet单元和退化单元. 利用Pillowi ng 技术提出一种拓扑优化算法, 首先以实体模型每个子体对应的六面体网格为收缩集, 在收缩集表面增加一层表面六面体单元; 然后遍历布尔实体模型的子表面, 提取与该子表面相邻的六面体单元集, 若该集合中含有退化单元, 则以该集合为收缩集, 并在收缩集表面增加一层六面体单元.Step7. 采用节点平滑技术对六面体网格进行优化,消除质量较差的六面体单元. 为保证节点平滑算法的效率, 采用基于Laplacian平滑和局部优化两者相结合的平滑技术.其中, Step1~Step4, Step7详见文献[8-12,15-17],本文不再赘述. Step5和Step6是本文的重点, 将在第3, 4节详细讨论.3边界拟合为了保证有限元分析的精度, 使得生成的网格模型真实地反映所分析多体模型的几何特征, 网格的表面边界应当尽可能地逼近实体模型的表面边界. 本文利用Embedding技术提出一种边界拟合算法, 建立了实体模型边界元素和核心网格外围边界元素的对应关系, 提高对应关系的稳定性, 算法清晰, 实现简单.本文算法中, 进行边界拟合流程的输入网格是六面体核心网格, 由Step4可知, 生成的核心网格已建立了六面体网格单元与实体模型之间体元素的对应. 因此, 在后续的边界拟合中, 还需建立实体模型的点、线和面元素与核心网格外围网格点、网格线和网格面的对应, 根据Step2中实体模型与布尔实体模型的拓扑映射关系, 只需建立布尔实体模型的点、线、和面元素与核心网格外围网格点、网格线和网格面的对应. 以图5所示的核心网格为例, 边界拟合流程如下:Step1. 读取布尔实体模型的表面顶点及以该顶点为端点的边界线和子表面, 计算该顶点的法向, 边界线在该顶点处的切向和子表面的法向.Step2. 读取布尔实体模型的表面顶点附近的子表面,计算子表面在该顶点处拐角的角度θ, 根据θ判断该顶点附近表面四边形面片的可能数目ver surfver surfN N∈=∑;946计算机辅助设计与图形学学报 第28卷其中,surf3π1,43π5π2, 445π3, 4N θθθ⎧<⎪⎪⎪= .⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤Step3. 建立六面体核心网格的拓扑连接关系, 并计算外围网格节点的平均法向及该节点附近的网格面数目.Step4. 建立布尔实体模型的顶点与六面体核心网格外围网格节点的对应, 如图6所示. 首先遍历包络该模型的六面体单元, 提取包含该顶点的六面体单元集hex S ; 然后根据单元集hex S 与六面体核心网格的外围网格点; 提取与该顶点对应的候选节点集node S ; 再根据网格节点附近的网格面数目和该顶点的ver N 对候选节点集node S 进行筛选, 得到新的节点集nodeS '; 最后在节点集node S '内利用2个模数1f 和2f 来筛选120(1), .max(,)c i if d f d C =-⋅=t t 其中,c t 表示该顶点处的法向,i t 表示节点集nodeS '内第i 个网格节点的法向;i d 表示第i 个网格节点到该顶点处的距离;d 表示节点集nodeS '到该顶点处的最大距离;0C 表示与六面体核心网格有关的常数, 一般为核心网格六面体单元对角线的平均长度. 满足1f 最小者, 表示与方向c t 最近的i t 方向上的节点, 被选作下一个合适的拟合点. 满足2f 最小者, 表示通过用0max(,)d C 单位化得到与该顶点最近的节点, 被选作下一个合适的拟合点.图6 模型顶点和网格节点的对应Step5. 提取布尔实体模型任一顶点处的边界线和对应该顶点的表面网格节点处的相邻表面节点, 利用模数1f 满足最小者. 其中, c t 取该顶点沿模型边界线的切向, i t 取节点到候选节点的方向, 建立模型顶点附近边界线与网格节点之间的对应关系, 如图7所示, 网格节点附近所标记的相邻表面节点分别对应相应顶点处的一条边界线.Step6. 提取布尔实体模型任一顶点处的子表面和对应该顶点的表面网格节点处的外围网格面, 利用模数1f 满足最小者. 其中, c t 取该顶点沿模型子表面的法向,图7 模型顶点附近边界线与网格节点的对应i t 取节点在外围网格面处的法向, 建立两者之间的对应关系, 如图8所示, 网格节点附近所标记的相邻网格面分别对应相应顶点处的一子表面.图8 模型顶点附近子表面与网格面的对应Step7. 提取布尔实体模型的任一条边界线和对应该特征线内部的2个表面网格节点, 利用2个模数1f 和2f 满足最小者. 其中, c t 取该顶点沿模型边界线的切向,i t 取节点到候选节点的方向, i d 表示候选节点到边界线处的距离, 建立布尔实体模型的特征线和六面体网格表面节点的对应, 如图9所示, 任意两个顶点对应的网格节点之间附近所标记表面节点分别对应实体模型的一条边界线.图9 边界线与网格表面节点的对应Step8. 根据Step6和核心网格外围边界网格点集的拓扑连接关系, 利用递归算法建立布尔实体模型的子表面和六面体网格的表面四边形面片的对应关系, 如图10所示.图10 模型子表面与网格面的对应第6期于长华, 等: 基于栅格法的多体六面体网格自动生成 947Step9. 根据布尔实体模型边界元素(点、线和面)和核心网格边界元素(网格点、网格线、网格面)的对应关系, 将六面体网格表面节点投影到实体模型上, 拟合后的六面体网格如图11所示.图11 边界拟合后的六面体网格4 消除doublet 单元和退化单元在消除2类单元之前, 先引入本文采用的六面体单元质量评价标准sJ [18]min((),0,,7).s s I J J I ==其中,T ˆˆˆ()det{,,},,,min(||,||,||),,>,s I f i j kss t tf s i j k t s ts J S e e S S S e S e S e =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩E E E E E E ≤ t S 是六面体单元的平均长度, ,,i j k E E E 分别是单元节点I 与相邻节点所产生的向量, 如图12所示, 并且满足右手法则. 对于一个六面体单元, 其s J 的值域为[-1,1], 对于一个理想的规则正方体六面体单元, =1s J , 正值是有限元网格的最小容许值. 若0s J >, 说明该单元满足有限元分析的基本要求, 能够保证有限元分析的精度; 若s J ≤0, 说明该单元不符合有限元分析的基本要求. 在0~1内, s J 越大说明单元的质量越好.图12 六面体单元中由点1处产生,,i j k E E E在六面体单元进行边界拟合之后, 六面体网格的表层可能会出现doublet 单元和退化单元, 这2类单元的s J 值均不满足有限元分析的要求. 到目前为止, 没有一种节点平滑算法能够提高此类单元的质量, 只能通过增加新单元或将退化单元进行分解的拓扑优化算法来提高网格单元的质量. 本文在文献[13]的基础上提出一种拓扑优化算法, 该算法能够较好地消除六面体网格中的doublet 单元和退化单元, 步骤如下:Step1. 提取实体模型的每个子体对应的六面体网格为收缩集, 利用Pillowing 技术在收缩集的表面增加一层表面六面体单元, 以此来消除doublet 单元.Step2. 遍历布尔实体模型的子表面, 提取与子表面相邻的六面体单元集. 若该集合中含有退化单元, 则以该集合为收缩集, 利用Pillowing 技术在收缩集的表面增加一层六面体单元, 以此来消除退化单元.图11所示的六面体网格经过优化后的效果图如图13所示, 经过Step1消除了六面体网格内部的doublet 单元, 但消除不了外层表面网格的退化单元, 而Step2可将外层表面的退化单元消除. 由本文算法所产生的s J 值为负的六面体单元如图14a 所示, 共有489个单元. 图14b 所示为由文献[13]中的两步Pillowing 算法所产生的s J 值为负的六面体单元, 共有879个单元. 因此, 与文献[13]中的两步Pillowing 算法相比, 本文算法由于增加的六面体单元数量相对较少, 从而减小了后续节点平滑算法的难度.图13 优化后的六面体网格a. 本文算法b. 文献[13]算法图14 s J 值为负的六面体单元948 计算机辅助设计与图形学学报第28卷5实例采用本文算法对工程领域的不同实体模型进行了六面体划分, 验证了该算法的有效性和实用性. 图15a所示为三维造型软件生成的机械模型1,该模型有2个子体, 采用本文网格划分方法生成的六面体单元如图15b所示, 单元数目为50406, 节点数目为57048. 图16a所示为三维造型软件生成的机械模型2, 该模型有3个子体, 采用本文网格划分方法生成的六面体单元如图16b所示, 单元数目为199019, 节点数目为216440. 图17所示为离心机模型,该模型有34个子体, 采用本文网格划分方法生成的六面体单元如图18所示, 单元数目为988668, 节点数目为1064454.a.实体模型b.六面体网格图15剖分实例1a. 实体模型b.六面体网格图16 剖分实例2图17 离心机模型图18离心机六面体网格及其局部放大图图19所示为图15b, 16b, 18中3个六面体网格的质量图. 对于图14b, 最小sJ值为0.01327,s J值小于0.1的六面体单元仅占总单元数的0.006%,sJ值大于0.9的单元占总单元数的73.78%. 对于图15b,最小sJ值为0.088,s J值小于0.1的六面体单元仅占总单元数的0.001%,sJ值大于0.9的单元占总单元数的83.80%. 对于图17, 最小sJ值为0.03,s J值小于0.1的六面体单元仅占总单元数的0.0013%,s J值大于0.9的单元占总单元数的82.41%. 由此可见, 由本文算法生成的六面体网格经过节点平滑后, 最小sJ值大于零, 可以满足有限元分析的要求, 另外, 如图19所示, 通过分析数据可知,sJ值小于0.2的六面体单元很少. 因此, 结合本文算法对已有节点平滑算法进行修改, 可能会大幅度提高六面体单元的质量, 这也会成为我们以后的重点研究方向之一.图19 3个算例的网格质量图由于本文采用统一的Pillowing技术来消除doublet单元和退化单元,导致在剖分模型的凹形(或小尖角)特征处产生较少(或较多)的六面体单元,从而使得六面体单元的形状很差, 进而影响后续节点平滑的效率. 因此, 本文对剖分的模型进行了特殊分块处理, 尽量避免或较少出现凹形(或小尖角)的特征(如图18的局部放大区域所示). 在凹形(或小尖角)特征处的拓扑优化技术,将是我们的重点研究方向之一.6结语针对多体几何模型的六面体网格稳定性、网格质量差的问题, 本文提出一套基于栅格法的全六面体网格自动生成算法, 利用Embedding技术将模型边界元素和核心网格边界元素的对应算法进行了修改,提高了边界拟合算法稳定性、可靠性和可操作性. 经边界拟合之后, 对如何消除doublet第6期于长华, 等: 基于栅格法的多体六面体网格自动生成 949单元和退化单元提出一种拓扑优化算法, 该算法可操作性强, 并且与已有的两步Pillowing算法相比, 增加的六面体单元数量相对较少, 这样就减小了后续节点平滑算法的难度, 使得优化后的网格更易满足有限元数值分析的要求. 本文算法还有以下内容需要进一步研究:1) 在凹形(或小尖角)特征处的拓扑优化技术.2)六面体网格的节点平滑技术.3)完善该六面体网格生成算法, 使其能够解决更复杂装配体几何模型的离散问题.参考文献(References):[1] Steven E B, Perry E, Merkley K, et al. 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基于映射法的六面体网格生成算法王东风,翟建军,陈文亮(南京航空航天大学机电学院,江苏南京　210016)摘要:六面体网格划分技术是三维有限元仿真软件处理的关键环节之一,等参映射法既可适应特殊的区域边界形状,又可控制所生成单元的形状和密度。

对基于等参映射法的六面体网格划分原理进行了深入研究,并在此研究基础上对等参映射法的计算过程进行了细致的分析,利用VC++开发了该算法的相应程序,最后给出了2个等参映射法具体的应用实例,计算结果表明该程序的计算精度已经达到了工程要求。

关键词:等参映射法;六面体网格;有限元中图分类号:TP391 文献标识码:A 文章编号:1672-1616(2009)05-0025-03 在有限元仿真过程中,单元类型的选择对整个有限元仿真的计算效率、自动化程度、计算精度都将产生重要影响。

六面体单元由于变形特性好、计算精度高等优点在三维有限元仿真领域中得到了广泛应用[1]。

映射法是三维网格划分中最早使用的方法,和扫略法、基于栅格法等其他方法相比,该方法生成网格速度快、生成的网格单元质量好、网格密度可控制[2～4]。

映射法对复杂实体生成三维有限元网格有两大难点,一是子区域划分问题,二是子区域之间网格相容性问题。

Price与Armstrong等提出中面法,将三维复杂区域分解成可映射子区域[5～7],但是该算法存在一些问题,特别是几何适应能力问题。

李华和程耿东提出了三维组合式模板,一定条件下解决了子区域之间的网格相容性问题[2]。

还有学者提出了Embedded Voronoi Graph[8]和BLOBs[9],对复杂实体利用映射法划分六面体网格。

映射法在众多有限元分析软件中占有重要地位,美国Altair公司Hyper-Mesh软件中的Solid Mesh Panel就是利用映射法生成六面体网格。

本文对基于等参映射法的六面体网格划分技术进行了详细研究。

通过形函数映射技术将物理域映射到参数空间域,对规则参数域进行网格剖分,将参数域的网格反向映射回物理空间,从而得到物理空间六面体网格。

六面体网格剖分算法的研究现状∗李丹金灿刘晓平合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算（VCC）研究室，安徽合肥 230009摘 要：总结了有限元六面体网格生成方法的研究进展。

首先，指出了六面体网格不同于其他网格的优点。

其次对当前的主要研究热点——全六面体网格生成进行了阐述。

最后简要地探讨了该领域的发展趋势。

关键词：有限元面体网格格生成Present Situation of Research on Finite Element All-hexMesh Generation MethodsLi Dan Jin Can Liu Xiao-pingVCC Division, School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei,230009, ChinaAbstract: This paper presents the advances of research in all-hex mesh generation for finite element computation. Firstly, the advantages of all-hex mesh different from other meshes are presented. Secondly, the main research fields-all-hex mesh generation are discussed in detail. Finally, the trends of this field are presented briefly.Keywords: Finite Element; all-hex mesh; mesh generation1 前言有限元分析是结合工业建模、计算机技术和数值计算而产生的新兴学科。

有限元分析的基本过程可以分为三个阶段：有限元模型的建立(工业建模，即前处理)、有限元分析（数值计算）、结果处理和评价(即后处理)。

分类号密级中国地质大学（北京）本科毕业论文题目基于FLAC3D 的六面体网格质量影响研究英文题目Study on the Effect of Hexahedral Mesh Quality Based on FLAC3D学生姓名张化杰学号1002132110学院工程技术学院专业土木工程指导教师梅钢职称副教授2017 年6 月中国地质大学（北京）摘要由于近年来计算机技术的发展和广泛应用以及数值模拟分析方法的逐渐成熟，数值模拟分析技术在今天得到了越来越广泛的运用。

但是，现今的数值模拟分析技术尚且有着一个显著的不足之处，即可以很好的定性分析问题但涉及到定量时则有定量程度较低的问题。

有很多因素可能会对计算结果可靠性造成影响，例如在建模时网格的大小和质量等因素，都会对数值模拟计算结果产生直接的影响。

因此，如何合理的剖分计算网格是前处理中的十分重要的一步。

笔者借助于FLAC3D软件，通过理想化的地层模型的建立，来研究在六面体网格情况下不同的工作面宽度和不同的矿层埋深时，网格尺寸、工作面宽度和网格大小比和网格水平面积和高度比这三种因素对磷矿开采沉陷数值模拟计算结果的影响规律，并以此为出发点为实际开采沉陷问题中建立正确合理的计算模型提供科学的根据。

研究发现，大体上看来，网格尺寸更小，计算的精度就更高，但与之相对应的此时所需要的计算时间也就更多。

出于对效率的考量，假如减小网格的尺寸对计算结果影响不大时，就可以不用再减小网格的尺寸；地表的最大沉降值与工作面宽度和网格大小比成正相关；在实际中对磷矿层开采进行数值模拟分析时，应该保证工作面宽度和网格大小比的比值大于15，因为如果工作面宽度和网格大小比大于15，此时的地表沉降值已经没有太大的变化。

关键词：数值模拟；六面体网格；网格质量；开采沉陷ABSTRACTDue to the recent development of computer technology and extensive application and numerical simulation analysis method is gradually mature, numerical simulation analysis technology in today has been more and more widely used. However, today's numerical simulation analysis technology has a significant shortcomings, that is, a good qualitative analysis of the problem, but related to quantitative when there is a lower degree of quantitative problems. There are many factors that may have an impact on the reliability of the results, such as the size and quality of the grid during modeling, which can have a direct effect on the numerical simulation results. Therefore, how to rationally divide the calculation grid is a very important step in the pre-processing.In this paper, we use the FLAC3D software to study the difference between the width of the working face and the depth of the slab in the case of hexahedral meshes. The grid size, the face width and the mesh size ratio and the network Lattice level and height ratio of these three factors on the numerical simulation of phosphate mining subsidence calculation results, and as a starting point for the actual mining subsidence problem in the establishment of a reasonable and reasonable calculation model to provide a scientific basis.The study found that, in general, the grid size is smaller, the accuracy of the calculation is even higher, but corresponding to the time required to calculate more time. In view of the efficiency of the consideration, if the size of the grid to reduce the size of the calculation results are not, you can no longer reduce the size of the grid; the maximum settlement value of the surface and the face width and grid size ratio is positively correlated; In practice, the numerical simulation analysis of phosphate rock mining should ensure that the ratio of face width to grid size ratio is greater than 15, because if the face width and grid size ratio is greater than 15, the surface subsidence value at this time is no Too much change.Key words：numerical simulation; hexahedral mesh; grid quality; mining subsidence目录第1章绪论 (1)1.1选题研究目的及意义 (1)1.2研究现状 (1)1.2.1开采沉陷数值模拟方法 (1)1.2.2网格划分方法 (2)1.3研究内容 (3)1.4研究方法及技术路线 (3)第2章磷矿开采沉陷的数值模拟方法以及计算模型的建立 (5)2.1数值模拟方法概述 (5)2.2本文模拟开采沉陷的方法 (5)2.3计算模型 (5)2.4本构关系以及计算参数 (6)第3章六面体网格对磷矿开采数值模拟计算结果的影响 (7)3.1网格尺寸对磷矿开采数值模拟结果的影响 (7)3.1.1模拟方案 (7)3.1.2不同工作面宽度下数值模拟结果 (7)3.1.3不同磷矿层埋深下数值模拟结果 (24)3.1.4结果分析 (33)3.2工作面宽度与网格尺寸比对磷矿开采数值模拟结果的影响 (33)3.2.1模拟方案 (33)3.2.2不同工作面宽度下数值模拟结果 (33)3.2.3不同磷矿层埋深下数值模拟结果 (34)3.2.4结果分析 (34)第4章结论与展望 (35)4.1结论 (35)4.2展望 (35)致谢 (36)参考文献 (37)第1章绪论1.1选题研究目的和意义数值模拟分析技术处理实际问题，一般大体分成三步：模型的建立阶段、求解及结果的处理阶段和最后的评定阶段。

基于栅格法的多体六面体网格自动生成I. 引言A. 研究背景B. 研究意义C. 研究目的D. 研究内容II. 相关技术A. 栅格法概述B. 多体六面体网格生成技术C. 网格质量评估方法III. 栅格法模型拟合A. 模型建立B. 模型参数调整C. 拟合结果分析IV. 网格优化算法A. 网格初始生成B. 网格光滑处理C. 网格剖分处理V. 网格质量评估A. 基本质量指标B. 特定质量指标C. 质量评估方法比较VI. 结论与展望A. 结果回顾B. 存在问题C. 进一步研究建议D. 结论总结附：参考文献I. 引言在工程设计领域中，六面体网格作为一种最基本的网格类型，被广泛应用于有限元分析、流体力学模拟等领域。

随着计算机科学的发展，大规模的数字化模型制作和分析已经成为一种趋势。

因此自动化的六面体网格自动生成已成为当前探究的重点之一。

然而，在多体模型生成六面体网格的过程中，传统方法往往需要大量的人工操作，且时间耗费巨大，施工成本高。

因此，许多学者和工程师致力于研发一种高效、准确的自动化六面体网格生成方法，以降低施工成本和提高产品品质。

本文旨在介绍一种基于栅格法的多体六面体网格自动生成方法，并对其关键技术进行详细的讨论和探究。

本文以模型拟合、网格优化算法、网格质量评估方法等作为关键研究点，对方法进行了理论分析、实验验证和实际应用。

本文的组织结构如下：首先，介绍研究背景，包括六面体网格生成的意义和当前的研究现状。

其次，分析基于栅格法的多体六面体网格自动生成技术，包括栅格法概述、多体六面体网格生成技术、网格质量评估方法等。

接着，详细介绍栅格法模型拟合技术，包括模型建立、模型参数调整和拟合结果分析。

然后，阐述网格优化算法，包括网格初始生成、网格光滑处理和网格剖分处理。

最后，介绍网格质量评估，包括基本质量指标、特定质量指标和质量评估方法比较。

本文旨在为六面体网格生成领域的学者和工程师提供参考，让他们更好地了解基于栅格法的多体六面体网格自动生成方法，并为这一领域的进一步研究提供基础。

一种适用于任意复杂结构的曲六面体网格生成算法作者：盛天爽来源：《数码设计》2018年第01期摘要：曲六面体网格自动生成是时域谱元法发展的瓶颈问题。

本文采用基于体基函数的协变投影算法，将一个10节点曲四面体单元分解为四个20节点曲六面体单元，从而形成一种适用于任意复杂结构的曲六面体网格生成算法。

使用该算法能够将曲四面体单元均匀分割，且确保新形成的曲六面体单元的翘曲最小。

典型算例表明，使用该算法建立的曲六面体离散模型，完全满足时域谱元法的计算精度要求。

关键词：网格自动生成；曲四面体；曲六面体；协变投影中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2018）01-0022-03An Algorithm for Generating Curved Hexahedron Mesh for Arbitrary Complex StructuresSHENG Tianshuang*（High School Affiliated to Nanjing Normal University， Grade 2， Class 4， Jiangsu Nanjing， 210094， China）Abstract：Automatic generation of curved hexahedron mesh is a bottleneck in the development of spectral-element time-domain method. In this paper， the covariant projection algorithm based on volume basis function is adopted to decompose a 10-node curved tetrahedron element into four 20-node curved hexahedron elements. Thus， a curved hexahedron mesh generation algorithm suitable for arbitrary complex structures is proposed. Using this algorithm， the curved tetrahedron element can be partitioned evenly and the minimal warping can be ensured for these new hexahedron elements. The typical example shows that the curved hexahedron model established by this algorithm fully meets the precision requirement of the spectral-element time-domain method.Keywords：Automatic mesh generation； Curved tetrahedron； Curved hexahedron；Covariant projection引用：盛天爽. 一种适用于任意复杂结构的曲六面体网格生成算法[J]. 数码设计， 2018， 7（1）： 22-24.Cite：SHENG Tianshuang. An Algorithm for Generating Curved Hexahedron Mesh for Arbitrary Complex Structures[J]. Peak Data Science， 2018， 7（1）： 22-24.引言在计算电磁学领域，时域谱元法（SETD）是一种较为新型的数值仿真算法。