2008届中考数学“主题复习”数形结合篇专题全辅导重点

2008年中考试题压轴题精选讲座一-几何与函数问题D- 2 -- 3 -- 4 -客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】【例1】（上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求 线段BE 的长．【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。

【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在Rt ACB△中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设B A D M EC BAD C 备用图- 5 -运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？ （2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）如图（2），连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 图（1）图（2）【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． （3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。

中考数学复习考点解密第四讲数形结合【专题精讲】数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．【解题策略】数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.【解法精讲】数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.【考点精讲】考点一：方程类例题1：（2017湖南邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，根据题意可得：，解得：，答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a+35（11﹣a）≥300+30，解得：a≤3，符合条件的a最大整数为3，答：租用小客车数量的最大值为3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．考点二：函数类例题2：（2017内江）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y=，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为y=﹣，把B（n，﹣4）代入y=﹣，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得，解得，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．考点三：几何类例题2：（2017宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A．=a2﹣abC．（a﹣b）【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选D．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．考点四：规律类例题2：如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为　（0，（）2016）或（0，21008）　．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2017=（）2016，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴的特点可得到点A2017在y轴的正半轴上，即可确定点A2017的坐标．【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2017=（）2016，∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，2017÷8=252…1，∴点A2017在第一象限，∵OA2017=（）2016，∴点A2017的坐标为（0，（）2016）即（0，21008）．故答案为（0，（）2016）或（0，21008）．【真题演练】1. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有　135　个点．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；当n=9时， =135个点，故答案为：135．2.（2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ）A．13B．14C．15D．16【考点】RA：几何变换的类型；KQ：勾股定理．【分析】根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN=20，∴20÷3=，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．3. （2017齐齐哈尔）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）a=　10　，b=　15　，m=　200　；（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程÷时间，即可求出m的值；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）分别求出当OD过点B、C时，小军的速度，结合图形，利用数形结合即可得出结论．【解答】解：（1）1500÷150=10（分钟），10+5=15（分钟），÷（22.5﹣15）=200（米/分）．故答案为：10；15；200．（2）线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x﹣15）=200x﹣1500；线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．联立两函数解析式成方程组，，解得：，∴3000﹣2250=750（米）．答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．（3）根据题意得：|200x﹣1500﹣120x|=100，解得：x1==17.5，x2=20．答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．（4）当线段OD过点B时，小军的速度为1500÷15=100（米/分钟）；当线段OD过点C时，小军的速度为3000÷22.5=（米/分钟）．结合图形可知，当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．4.（2017哈尔滨）随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若洪祥中学共有1350名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可；（2）根据题意作出图形即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）10÷20%=50（名），答：本次调查共抽取了50名学生；（2）50﹣10﹣20﹣12=8（名），补全条形统计图如图所示，（3）1350×=540（名），答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．5. （2017广西河池）直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是　y=﹣2x+6　．（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=　　．【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），当x=0时，y=2，即点B（0，2），如图，直线AB即为所求；（2）如图，直线l1即为所求，直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，故答案为：y=﹣2x+6；（3）如图，直线l2即为所求，∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），设直线l2解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，解得：，∴直线l2的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，∴直线l2与y轴的交点E（0，﹣），∴tan∠CAD=tan∠EAO===，故答案为：．6.（2017四川南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m， m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a （x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图1中，设E（m，0），则C（m， m2﹣m），B（﹣m2+m，0），∵E′在抛物线上，∴E、B关于对称轴对称，∴=2，解得m=1或6（舍弃），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．。

中考数学数形结合思想专题知识点概述数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.例题解析与对点练习【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =1+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

2008 年中考总复习（初中数学）衢江区峡川镇中心学校胡荣进目录第一章实数与代数式1.1 有理数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 41.2 实数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 61.3 整式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯81.4 因式分解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯101.5 分式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯121.6 二次根式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 第二章方程与不等式2.1 一次方程（组）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯202.2 分式方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯232.3 一元二次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯252.4 一元一次不等式（组）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯282.5 方程与不等式的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯30● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33 第三章函数3.1 平面直角坐标系与函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯373.2 一次函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯393.3 反比例函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.4 二次函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.5函数的综合应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四章图形的认识4.1简单空间图形的认识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.2线段、角、相交线与平行线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.3三角形及全等三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.4等腰三角形与直角三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.5平行四边形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.6矩形、菱形、正方形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.7梯形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五章圆5.1圆的有关性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5.2与圆有关的位置关系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5.3圆中的有关计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5.4几何作图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第六章图形的变换6.1图形的轴对称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.2图形的平移与旋转⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.3图形的相似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.4图形与坐标⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.5锐角三角函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.6锐角三角函数的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第七章统计与概率7.1数据的收集、整理与描述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7.2数据的分析⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7.3概率⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯● 单元综合评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第八章拓展性专题8.1数感与符号感⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.2空间观念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.3统计观念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.4应用性问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.5推理与说理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.6分类讨论问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.7方案设计问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.8探索性问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8.9阅读理解问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1.1有理数【教学目标】1. 理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.2. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.3. 理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.4. 能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.【重点难点】重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.【考点例解】例 1 （ 1）-5 的绝对值是（）A. -5B. 51 1C. D.5 5（ 2）2007 年 3 月 5 日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费.这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（）A. 52 107B. 5.2 107C. 5.2 108D. 52 108（ 3）2008 年 2 月 4 日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（）城市杭州福州北京哈尔滨广州平均气温-4 0 -9.5 -17.5 8A. 广州B. 福州C. 北京D. 哈尔滨分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（ 1 ）小题考查绝对值的意义；第（ 2 ）小题考查科学记数法；第（ 3 ）小题考查有理数的大小比较 .解答：（ 1） B ；（2）B；（3）D.例2 计算：1 ( 1)3 32 ( 1)2.3分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序.解答：原式 1 ( 1) 9 1 1 1 80 .9 81 81数学教师之家（浙教版）/userlog24/168151例 3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中 a 、b、c 的值分别是（）1 2 3 4 ⋯2 4 6 8 ⋯183 6 9 12 ⋯1220 24 c4 8 12 16 ⋯1525 b 32⋯⋯⋯⋯ ⋯ a表①表②表③表④A. 20 ， 29， 30B. 18 ， 30，26C. 18 ， 20， 26D. 18 ， 30，28 分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下面各行依次是第一行的 2 倍、 3 倍、 4 倍、⋯；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、 3、4、⋯ .解答： D.【考题选粹】1. （ 2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（ a ，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2 b 1.如把（3，-2）放入其中，会得到 32 ( 2) 1 8.现将实数对（ -2 ，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中得到的数是.2. （ 2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水 2 分钟；②洗菜 3 分钟；③准备面条及佐料 2 分钟；④用锅把水烧开7 分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用分钟 .【自我检测】见《数学中考复习一课一练》 .数学教师之家（浙教版）/userlog24/1681511.2 实数【教学目标】1. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.2. 了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围 .3. 会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算.【重点难点】重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算.难点：实数的分类及无理数的值的近似估计.【考点例解】例 1 （ 1）下列实数：22， sin 60 ，， ( 2) 0 ，3.14159 ，9 ， ( 7)2，8 中，7 3无理数有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个（ 2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ②④分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解.解答：（ 1） C；（2）C.1 0 1 2例2 计算： 1 2 1 sin 30 18 .2008 2分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算.解答：原式 2 1 1 14 3 2 2 1 1 2 3 2 2 2 . 2例 3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前 3 天是法定数学教师之家（浙教版）/userlog24/168151 休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300% 支付加班工资 ;后 4 天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200% 支付加班工资 . 小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）. 如果小王的月平均工资为 2800 元，那么小王加班三天的加班工资应不低于元 .分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力. 要注意的是今年的法定假期共有11 天，因此日工资标准的计算方法是：2800 21.75 .解答： 2800 21.75 2 300% 1 200% 1030 （元）.【考题选粹】1.（ 2007·内江）若a，b均为整数，且当x 3 1时，代数式 x2 ax b 的值为0，则 a b的算术平方根为.2. （ 2007·嘉兴）计算：8 3 2tan 45 .1 21 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一排23. （ 2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二排下去 . 若用有序实数对（n ， m ）表示第 n 排、 4 5 6 ⋯⋯⋯⋯⋯第三排从左到右第 m 个数，如（4， 3）表示实数9，则7 8 9 10 ⋯⋯⋯第四排（ 7， 2）表示的实数是. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【自我检测】见《数学中考复习一课一练》 .1.3 整式【教学目标】1. 了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.2. 掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.3. 会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便 .4. 会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值.【重点难点】重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值.难点：乘法公式的灵活运用 .【考点例解】例 1 （ 1）已知整式 1 x a 1y3与3x b y2 a b是同类项，那么 a ，b的值分别是（）2A.2 ，-1B. 2 ，1C. -2 ， -1D. -2 ， 1（ 2）下列运算中正确的是（）x3 2 x 9 C. x4x3 x7 D.x 3 2 x 2 9A. x3 x 5 x8B.（ 3）如果x m 5 ， x n 25 ，那么代数式x5m 2 n的值是.分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算.解答：（ 1） A ；（ 2）C；（3）5.例 2 （ 1）王老板以每枝 a 元的单价买进玫瑰花100 枝. 现以每枝比进价多两成的价格卖出 70 枝后，再以每枝比进价低 b 元的价格将余下的30 枝玫瑰花全部卖出，则王老板的全部玫瑰花共卖了元（用含 a ，b的代数式表示）.（ 2）如图 3-1 所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案：①第 4 个图案中有白色纸片张；②第 n 个图案中有白色纸片张 . 分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前 70 枝玫瑰花的单价和后 30 枝的单价分别是多少；第（ 2 ）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有 4 张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多 3 张白色纸片 .解答：（ 1）70 1 20% a 30 a b 114a 30b .（2）① 13；② 3n 1.例 3 先化简，再求值：3x 2 3x 2 5x x 1 2 12x 1 ，其中 x .3分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值. 解答这一类题目时，一般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算.解答：原式9x2 4 5x2 5x 4x2 4x 1 9x 5 .当 x 1915 8 . 时，原式33【考题选粹】1. （ 2006·济宁）8 200682005( )能被下列数整除的是A. 3B. 5C. 7D. 92. （ 2007·淄博）根据以下10 个乘积，回答问题：11 29 ；12 28 ；13 27 ； 14 26 ；15 25； 16 24；17 23；18 22；19 21； 20 20.（ 1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（ 2）将以上10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（ 3）试由（ 1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）.【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.4 因式分解【教学目标】1. 理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.2. 掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题 .【重点难点】重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.【考点例解】例 1 （ 1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下 4 道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（）A. x3 x x x2 1B. x2 2xy y2 x2 yC. x2 y xy2 xy x yD. x2 y 2 x y x y .（ 2）因式分解x29 的结果是（）1A. x 8 x 1B. x 2 x 4C. x 2 x 4D. x 10 x 8 .分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止.解答：（1）A；（2）B.例 2利用因式分解说明：257512能被120整除.分析：要说明 257512能被120整除，关键是通过因式分解得到257512含有因数120 ，可将 257512化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.解答：∵ 257512514512512 52 1 51224 511120 ，∴ 257512能被120整除.例 3在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等.有种用“因式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是x y x y x2y2，若取 x 9 ，y 9 ，则各因式的值分别是：x y 0 ， x y 18 ， x2 y2 162 ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式 4a3 ab 2，若取 a 10 ， b 10 ，则产生的密码是：（写出一个即可） .分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了.解答： 4a3 ab2 a 4a2 b2 a 2a b 2a b ，当 a 10 ， b 10 时，各因式的值分别是： a 10 ， 2a b 10 ， 2a b 30，所以密码可以为101030 （也可以为103010 或 301010 ）.【考题选粹】1. （ 2006·南通）已知 A a 2 ， B a2 a 5， C a2 5a 19 ，其中a 2 .（ 1）求证：B A 0 ，并指出 A 与 B 的大小关系；（ 2）指出A与C的大小关系，并说明理由 .2.（ 2007·临安）已知a、b、c是ABC 的三边，且满足a4 b2 c2 b4 a2c2，判断ABC的形状 .阅读下面的解题过程：a4b2 c2b4a2c2 a4b4a2 c2b2c2即a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2，②∴ a2 b2 c2，③∴ABC 是直角三角形. ④试问：以上解题过程是否正确？. 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题的正确结论应该是.【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.5 分式【教学目标】1. 了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0 时，分式中所含字母的条件 .2. 掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.3. 掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值 .【重点难点】重点：分式的基本性质和分式的化简.难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.【考点例解】例 1 （ 1）在函数y x 中，自变量x 的取值范围是（）2x 3 A. x 0 B.3C.x30 D.x 03 x 且 x 且 x.2 2 2（ 2）若分式x23 的值为零，则x 的值为. x 3（3）下列分式的变形中，正确的是（）a 1 a 1 B. x y x y C. 2x y D.2x y x yA. x yb 1 b 1 x y x y x2 y2 x y 2x y x y 分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0 ，则要求分子的值为0 且分式有意义 .解答：（ 1） B ；（ 2 ）x 3 ；（3）C.例 21 x，再选择一个恰当的x 的值代入求值. 先化简： 1x2 1x 1分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的x不能取 0 和±1.解答：原式x x 1 x 1x 1 ，当x 2时，原式＝ 3. x 1 x例 3 （ 1）已知一个正分数n m n 0 ，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大m减小？请证明你的结论；（ 2）若正分数nm n 0 中分子和分母同时增加2，3，⋯，mk （整数 k ＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解题意，得到正确的结论 .解答：（1 ）正分数nm n 0 中，若分子、分母同时增加 1 ，分数的值增大，证明如下：m∵ m n 0 ，∴ m n 0 ， m m 1 0∴ n 1 n m n 0 ，即n 1 n .m 1 m m m 1 m 1 m（2 ）正分数nm n 0 中分子和分母同时增加 2 ，3，⋯，k（整数k＞ 0）时，m分式的值也增大 . （3）住宅的采光条件变好，理由略.【考题选粹】1.（ 2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目： “先化简a 2 11，a 1a 2 1a 1再求值 . ”小明代入某个数后求得值为 3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗 ?为什么 ?2. （ 2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为 3 和4，求矩形的周长” ，求出周长等于 14 后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为 14，且一边长为3，求另一边的长” ；也可以是“若矩形的周长为 14，求矩形面积的最大值”等等 .3x x x 24（1）设 Ax 2， B ，求 A 与 B 的值；x 2x（ 2）提出（ 1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.1.6 二次根式【教学目标】1. 了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件 .2. 了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.【 重点难点】重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.难点：二次根式的化简.【考点例解】例 1 （ 1）若代数式x 2 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A. x2 B.x 2C.x 2D. x 2 .（ 2）若 x 为实数，则下列各式中一定有意义的是（）A. 2 xB. x2 1C. 1D. x 2 2x 2分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数.解答：（ 1） B ；（2）B.例 2 （ 1）计算：12 75 3 1 48 .3（ 2）比较大小： 3 7 2 15.分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（ 1 ）题中，可先利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（ 2 ）题要先逆用性质：a2 a a 0 ，再进行两个数的大小比较.解答：（ 1）原式 2 3 5 3 3 4 3 2 3 2 3 12 .（2）∵ 3 7 63 ， 2 15 60 ，且63 60 ，∴ 3 7 2 15.例 3 已知ABC 的三边a， b ，c满足a2 b c 1 2 10a 2 b 4 22 ，则ABC 为（） .A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式 a 中，a 0且 a 0 .a 2 ab 2 bc . 解答：将原式变形，得2 5 4 2 4 1 1 2 01 0即 a 5 22c 1 2 0 .b 4 1∴ a 5 0， b 4 1 0 ， c 1 2 0 .∴ a b c 5 . ∴ A B C为等边三角形，故选 B.【考题选粹】1. （ 2006·南充）已知a 0 ，那么化简 a 2 2a 的正确结果是（）A. aB. aC. 3aD. 3a2. （ 2007·烟台）观察下列各式：1 1 21， 213 1 ， 3 14 1，⋯，请将你发现的规律用含自然33445 5数 n n 1 的等式表示出来：.【 自我检测】见《数学中考复习一课一练》 .第一单元综合测试（数与式）班级学号姓名得分.一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1. 如果水库的水位高于标准水位3m 时，记作 +3m ，那么低于标准水位 2m 时，应记作（ ）A. -2mB. -1mC. +1mD. +2m2. 2007 年我国某省国税系统完成税收收入为3.45065 × 1011 元，也就是收入了（）A. 345.065 亿元B. 3450.65 亿元C. 34506.5亿元D. 345065 亿元3.若整式 x 22 m3 x 16 是一个完全平方式，那么m 的值是（）A. -5B. 7C. -1D. 7或 -14. 估计 88 的大小应在 ()A. 9.1 ～ 9.2 之间B. 9.2 ～ 9.3 之间C. 9.3 ～ 9.4 之间D. 9.4 ～9.55. 如图 1，点A ， B 在数轴上对应的实数分别是m ，n ，那么A，B两点间的距离是（）A. m nB. m nA BC. n mD. n mm 0 n6. 下列运算中，错误的是（）A. a ac c 0B. a b 1C. 0.5a b 5a 10bD. x y y xb bc a b 0.2a 0.3b 2a 3b x y y x7. 某种细胞开始有 2 个， 1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个， 2 小时后分裂成 6 个并死去 1个，3 小时后分裂成 10 个并死去1 个，⋯，按此规律， 5 小时后细胞存活的个数是（）A.31 个B. 33 个C.35 个D.37 个8. 如果代数式 3x2 4x 6 的值为9，则代数式x2 4 x 6 的值为（）3A. 7B. 9C. 12D. 189. 如图 2，图中阴影部分的面积是（） 2.5xA. 5xyB. 9xyC. 8.5xyD. 7.5xy10. 已知 m ， n 是两个连续自然数（m ＜ n ），且q mn ，设3 y2 yp q n q m ，那么 p 的值是（）3xA. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 有理数或无理数二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共30 分）11. 写出一个小于 2 的无理数：.12. 列代数式表示：“数 a 的2 倍与 10 的和的二分之一”应为.13. 已知 x y 7 ，且 xy 12 ，则当x y 时，代数式11 的值为. x y14. 一个矩形的面积是x2 9 米2，它的一条边为 x 3 米，那么它的另一边为米 .15. 数学家发现一个魔术盒，当任意实数对a 2b 1.．．． a,b 进入时，会得到一个新的实数：例如把（ 3，-2 ）放入其中后，就会得到32+（ -2 ）+1=8.现将实数对（-2，3）放入其中．．．得到实数 m ，再将实数对m,1 放入其中后，得到的实数是.．．．16. 如果2007个整数a1,a2,⋯,a2007满足下列条件： a10 ,a2a1 2 ，a3 a2 2 ，⋯， a2007 a2006 2 ，则a1a2a3a2007 .三、解答题（本题有7 小题，共80 分）17. （ 10 分）计算：8 2sin 45 2 10 3.14.a b a2 b21，然后选择一个使原式有意义的 a ，18. （10 分）先化简代数式：2b a2 4ab 4b2ab 值代入求值.19. （ 10 分）观察下面一列数，探求其中的规律：1 1 ，，，1 ，，，，⋯， 1 1 ， 12 3 4 5 6（ 1）请在上面的横线上填出第7，8， 9 个数；（2）第 2008 个数是什么？第n个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么与哪个数越来越接近？20. （ 10 分）分解因式：（ 1）x4y4（2）4 xy28xy 4x21. （ 12 分） 2007 年 4 月 18 日是全国铁路第六次大提速的第一天.这一天，小明爸爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表：2007 年 4 月 18 日起××次列车时刻表始发站发车时间终点站到站时间A 站上午8:20B 站次日12:20小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下：2006 年 3 月 20 日××次列车时刻表始发站发车时间终点站到站时间A 站下午14:30B 站第三日8:30比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答：（1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？（2）如果该次列车提速后的平均时速为200 千米 / 小时，那么该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）22. （ 14 分）下面的图(1) 是由边长为a的正方形剪去一个边长为 b 的小正方形后余下的图形 . 把图 (1) 剪开后 , 再拼成一个四边形 , 可以用来验证公式：a2 b2 (a b)(a b) .（ 1）请你通过对图(1) 的剪拼 , 画出三种不同拼法的示意图 . a要求：①拼成的图形是四边形； ab②在图 (1) 上画出剪裁线 ( 用虚线表示 ) ；b③在拼出的图形上标出已知的边长.图 (1) （ 2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程.2008 年初中数学中考总复习教案第19 页数学教师之家（浙教版）/userlog24/16815123.（ 14 分）设a1 32 12 ，a2 52 322 2, ⋯ , a n2n 1 2n 1 （n≥0的自然数）.（1）探究：a n是 8 的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，⋯， a n，⋯，这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并求：当n 满足什么条件时，a n为完全平方数？2.1一次方程（组）【教学目标】1. 理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念.2. 掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解 .3. 能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性 .【重点难点】重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法.难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组.数学教师之家（浙教版）/userlog24/168151【考点例解】例 1 （1）若关于 x 的一元一次方程2x k x 3k 1 的解是 x1，则 k 的值是（）23 2 13B. 1C.D. 0.A.177（ 2）若二元一次方程组x ay 3x 2 b 的值为（3xby 4 的解为，则 a）y1A. 1B. 3C. -1D. -3分析 ：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法.解答：（ 1） B ；（2）C.例 2 已知方程组2a 3b 13的解是 a 8.32 x 23 y 1 13的3a 5b 30.9b，则方程组 3 x25 y 11.230.9解是.分析 ：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想. 在解答时，既可以直接求方程组的解， 也可以利用整体思想， 分别把x 2 和y 1 “看作”和b ，a通过解一元一次方程来解决 .x 6.3解答：.y 2.2例 3陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说： “我买了两种书，共 105 本，单价分别为 8 元和 12 元，买书前我领了 1500 元，现在还剩余 418 元 . ⋯”王老师算了一下说： “你肯定搞错了”.（ 1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释.（ 2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了， 因为他还买了一个笔记本 . 但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10 元的整数 .问：笔记本的单价可能是多少元？分析： 本题考查了列一元一次方程解应用题. 列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、设元、列方程、解方程、检验和作答. 在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题.数学教师之家（浙教版）/userlog24/168151 解答：（ 1）设单价为8 元的书买了x 本，则单价为12 元的书买了105 x 本.由题意得8x 12 105 x 1500418 .解这个方程，得x44.5 .因为书的本数一定是正整数，所以x 44.5（本）不合题意，因此陈老师错了.（2 ）设笔记本的单价为y 元，则由题意得8x 12 105 x 1500 418 y .解这个关于 y 的方程，得y 4x 178 .∵ 0 y 10 ，∴0 4x 178 10 ，178x188 解得.4 4又∵ x 为正整数，∴x 可以取45、 46.当 x 45时，y 4 x 178 4 45 178 2 （元）；当 x 46 时，y 4x 178 4 46 178 6（元）.答：笔记本的单价可能是2元或 6 元.例4 新星学校的一间阶梯教室内，第1 排的座位数为a，从第 2 排开始，每一排都比前一排增加b 个座位.（1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式：第 1 排的座位数第 2 排的座位数第 3 排的座位数第 4 排的座位数⋯a ab a 2b ⋯（ 2）已知第 4 排有 18 个座位，第 15 排的座位数是第 5 排的座位数的 2 倍，则第 21 排有多少个座位？分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题. 解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻找出一定的规律，再利用规律求出 a 和b的值.解答：（ 1）a 3b .a 3b 18 a 12.（2 ）根据题意，得，解得2008 年初中数学中考总复习教案第22 页∴12 20 2 52.答：第 21 排有 52 个座位 .【考题选粹】1. （ 2007·济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙两人上山的速度比是6:4 ，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的 1.5 倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是.2. （ 2007·北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004 年起就鼓励农民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100 棵的农户，当年都可得到生活补贴1200 元，且每超出一棵，政府还给予每棵 a 元的奖励.另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有 b 元的果实收入.下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况：年份新增果树的棵数年总收入2004 年130 棵1500 元2005 年150 棵4300 元（注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋果实收入）【自我检测】见《数学中考复习一课一练》.2.2 分式方程【教学目标】1. 了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来.2. 会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根.3. 能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性 .【重点难点】重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法.难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性.【考点例解】例 1如果关于x的分式方程11a无解，那么 a 的值是（）x 3x 3A.1B.-1C.3D.-3.分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程.解答： A.例 2 解分式方程：x11 x2 2.x 4分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根 .解答：去分母，得x x 2 x 2 x 2 1去括号，得x2 2x x2 4 1移项，合并同类项，得2x 3方程两边同时除以 2，得x 3 23经检验， x 是原方程的解 .2例 3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的 2 倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20 天，甲队每天的工作费用为1000 元，乙队每天的工作费用为 550 元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承。

青年科学3搭起成功阶梯加分秘诀中考试题中约有60%至80%的题是用来考查学生数学基础知识和基本技能的,都是常见题,在解题时要尽量少失分,提高解题速度和准确性,养成自我检查和反思的习惯,防止只做难题而忽略基础题现象的发生。

方程、函数、圆是数学的核心知识,应重点复习。

一、考点透视在初中数学总复习中,要依据教学大纲和《考试说明》,确定中考必须掌握的知识点有多少,具体是什么,然后,结合教材进行系统复习,对教材中必须掌握的基础知识、基本技能有一个明确的目标,考生在复习备考的过程中应感受到初中数学应掌握的约220多个知识点。

二、题型分析研究中考数学题型,探求中考命题的规律,把握命题的动向,这对于中考数学,有着及其重要的指导作用。

因此,在完成按知识块分类复习的基础上,题型分析具体可以从以下三方面进行操作:①题型介绍。

就是对每种题型的特点、考查内容的目的和意义作详细的说明,并对每一种题型常见的各种解法重点介绍,以明确解法对题型的适用性和可操作性。

②考题分析。

选取与题型有关的各类考题进行分析,以体现各种解法的可行性。

一般地说,每一种题型选择的考题都有可能涉及到初中数学应考的各部分基础知识。

③题型训练。

围绕每一种题型,选配一套与之有关的练习题进行练习,以检查对本题型的掌握情况。

通过对题型进行全面的、针对性的分析研究,做到能适应题型的变化,掌握各种题型的多种解题思路,特别是对开放型试题、探究型试题和解意自编题。

三、制定计划1、制定复习计划,(根据自身的实际确定单元课时安排、阶段安排),理顺知识结构,编织自己的知识网络。

科学剖析知识结构,布列知识结构图表,梳理知识点,把分散的各知识点归纳整理,形成一个清晰的、完整的、有机的知识体系。

2、从数学思想方法方面分类设计每一个专题。

※转化的思想;数形结合的思想;分类讨论的思想;方程的思想。

※平移、翻折、旋转、对称、辅助线的添加、补形法、延长与截取、面积法、构造特殊图形、拆分与组合、整体与部分。

中考百分百——备战中考专题（动手操作型专题）一．知识网络梳理操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。

因此。

实验操作问题将成为今后中考的热点题型。

题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起。

题型2证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。

题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系。

此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。

二、知识运用举例（一）动手问题例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（C ）(第1题) (第2题)例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（B ）A．85°B．90°C．95°D．100°例3．（广州市）如图（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图（2）的图案，则图（2）中阴影部分的面积是整个图案面积的（D ）A22B．14C．17D．18(第3题) (第4题)例4．（河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE=4，CE=3BF，•那么这个四边形的面积是___________．（二）证明问题例5．（07浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

数形联合思想【中考热门剖析】数形联合思想是数学中重要的思想方法，它依据数学识题中的条件和结论之间的内在联系，既剖析其数目关系，又揭露其几何意义，使数目关系和几何图形奇妙的联合起来，并充足利用这类联合，探究解决问题的思路，使问题得以解决的思虑方法。

几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于掌握。

【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线y3x3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线14yx22x5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线2y 3x3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．4例2.（2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，极点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．1）求抛物线的分析式与极点C的坐标．2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点APB、挪动后对应的点分别记为、，能否存在t ，使得首尾挨次连结、、、所PC AB组成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．分析：（1）待定系数法求分析式即可，求得分析式后变换成极点式即可．2）由于AB为直径，因此当抛物线上的点P在⊙C的内部时，知足∠APB为钝角，因此-1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′对于x轴对称点的坐标为C″，获得直线P″C″的分析式，而后把A点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得:;解得:抛物线分析式为极点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设挪动（向右，向左）连结22则又的长度不变四边形周长最小，只要最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左挪动单位时，此时四边形ABP’C周’长最小。