17-18版 第3章 第3节 洛伦兹力的应用

第4讲 洛伦兹力的应用[目标定位] 1.知道洛伦兹力做功的特点.2.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律和分析方法.3.知道回旋加速器、质谱仪的原理以及基本用途．一、带电粒子在磁场中的运动1．垂直射入匀强磁场中的运动电荷受到的洛伦兹力不仅与磁感应强度方向垂直，而且与速度方向垂直，这表明，洛伦兹力对粒子不做功，它不改变粒子的速率，只改变粒子的运动方向． 2．当运动电荷垂直射入匀强磁场中． (1)洛伦兹力提供向心力．即q v B ＝m v 2r .(2)轨道半径r ＝m vqB .(3)运动周期T ＝2πmqB .二、回旋加速器和质谱仪 1．回旋加速器回旋加速器的工作原理如图1所示，D 1和D 2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差U .A 处粒子源产生的带电粒子，在两盒间被电场加速．匀强磁场B 与两个D 形盒面垂直，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动．经过半个圆周后再次到达两盒间的缝隙处，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再次被加速．如此反复，粒子的速度就能增加到很大．图1想一想 随着粒子速度的增加，缝隙处电势差的正负改变是否越来越快，以便能使粒子在缝隙处刚好被加速？答案 虽然粒子每经过一次加速，其速度和轨道半径就增大，但是粒子做圆周运动的周期不变，所以电势差的改变频率保持不变就行． 2．质谱仪 (1)原理如图2所示图2(2)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理： qU ＝12m v 2①(3)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场，洛伦兹力提供向心力：q v B ＝m v 2r ②(4)由①②两式可以求出粒子的比荷、质量、磁感应强度等． (5)应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素． 想一想 质谱仪是如何区分同位素的呢？ 答案 由上述①②两式可求得r ＝1B2mUq，同种同位素电荷量相同，质量不同，在质谱仪荧光屏上显示的半径就不同，故能通过半径大小区分同位素.一、带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v 做匀速直线运动2．匀速圆周运动：若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力．设粒子的速度为v ，质量为m ，电量为q ，由于洛伦兹力提供向心力，则有q v B ＝m v 2r ，得到轨道半径r ＝m vqB.由轨道半径与周期的关系得周期T ＝2πrv ＝2π×m v qB v ＝2πm qB.温馨提示 ①由公式r ＝m v qB 知，轨道半径跟运动速率成正比；②由公式T ＝2πmqB 知，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷qm成反比．例1 质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各运动量间的关系正确的是( ) A ．速度之比为2∶1B ．周期之比为1∶2C ．半径之比为1∶2D ．角速度之比为1∶1答案 B解析 由qU ＝12m v 2 ① q v B ＝m v 2r ②，得r ＝1B2mUq，而m α＝4m H ，q α＝2q H ，故r H ∶r α＝1∶2，又T ＝2πmqB ，故T H ∶T α＝1∶2.同理可求其他物理量之比．二、带电粒子在有界磁场中的运动1．着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法． (1)圆心的确定方法：两线定一“心” ①圆心一定在垂直于速度的直线上．如图3甲所示已知入射点P (或出射点M )的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心.图3②圆心一定在弦的中垂线上．如图3乙所示，作P 、M 连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心． (2)“求半径”方法① 由公式q v B ＝m v 2r ，得半径r ＝m vqB方法② 由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r (3)“定时间”方法① 粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t ＝α360°T (或t ＝α2πT )． 方法② t ＝sv (其中s 为粒子轨迹的长度，即弧长)，在周期T 不可知时可考虑上式． 2．圆心角与偏向角、圆周角的关系两个重要结论：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道PM 对应的圆心角α，即α＝φ，如图4所示．图4②圆弧轨道PM 所对圆心角α等于PM 弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图4所示．例2 如图5所示，一束电荷量为e 的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B )并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间．图5答案23dBe 3v 23πd9v解析 过M 、N 作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O 点，O 点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连接ON ，过N 作OM 的垂线，垂足为P ，如图所示．由直角三角形OPN 知，电子的轨迹半径r ＝d sin60°＝233d ①由圆周运动知e v B ＝m v 2r ②解①②得m ＝23dBe3v.电子在无界磁场中运动周期为T ＝2πeB ·23dBe 3v ＝43πd 3v. 电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t ＝16T ＝16×43πd 3v ＝23πd9v.三、回旋加速器问题1．周期：周期T ＝2πmqB ，由此看出：带电粒子的周期与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场．2．带电粒子的最大能量：由r ＝m vqB 得，当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，若D形盒半径为R ，则带电粒子的最终动能E m ＝q 2B 2R 22m .可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B 和D 形盒的半径R .例3 回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D 形金属盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q ，质量为m ，粒子最大回旋半径为R max .求： (1)粒子在盒内做何种运动； (2)所加交变电流频率及粒子角速度； (3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能． 答案 (1)匀速圆周运动 (2)qB 2πm qBm(3)qBR max m q 2B 2R 2max 2m解析 (1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要符合粒子回旋频率，因为T ＝2πm qB ，回旋频率f ＝1T ＝qB 2πm ，角速度ω＝2πf ＝qBm .(3)由牛顿第二定律知m v 2maxR max ＝qB v max则R max ＝m v max qB ，v max ＝qBR maxm最大动能E kmax ＝12m v 2max ＝q 2B 2R 2max2m借题发挥 (1)洛伦兹力永远不做功，磁场的作用是让带电粒子“转圈圈”，电场的作用是加速带电粒子．(2)两D 形盒窄缝所加的是与带电粒子做匀速圆周运动周期相同的交流电，且粒子每次过窄缝时均为加速电压，每旋转一周被加速两次．(3)粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D 形盒的半径决定，与加速电压无关． 四、质谱仪原理：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量、轨道半径确定其质量，粒子由加速电场加速后进入速度选择器，匀速运动，电场力和洛伦兹力平衡qE ＝q v B 1，v ＝EB 1粒子匀速直线通过进入偏转磁场B 2，偏转半径r ＝m v qB 2，可得比荷q m ＝EB 1B 2r.温馨提示 ①速度选择器两极板间距离极小，粒子稍有偏转，即打到极板上． ②速度选择器对正负电荷均适用．③速度选择器中的E 、B 1的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对速度做出选择．例4 质谱仪的构造如图6所示，离子从离子源出来经过板间电压为U 的加速电场后进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，沿着半圆周运动到达记录它的照相底片上，测得图中PQ 的距离为L ，则该粒子的比荷qm为多大？图6答案8UB 2L 2解析 粒子在电压为U 的电场中加速时，根据动能定理得： qU ＝12m v 2①粒子进入磁场后做圆周运动，根据牛顿第二定律有： q v B ＝m v 2r ②r ＝L 2③ 解①②③得q m ＝8UB 2L2.带电粒子在磁场中的圆周运动1．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( ) A ．轨道半径减小，角速度增大 B ．轨道半径减小，角速度减小C ．轨道半径增大，角速度增大D ．轨道半径增大，角速度减小 答案 D解析 由于速度方向与磁场方向垂直，粒子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，即q v B ＝m v 2r ，轨道半径r ＝m vqB ，从较强磁场进入较弱磁场后，速度大小不变，轨道半径r 变大，根据角速度ω＝v r ＝qBm可知角速度变小，选项D 正确．带电粒子在有界磁场中的运动2．如图7所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x 轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为( )图7A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶3D ．1∶1答案 B解析 正、负电子在磁场中运动轨迹如图所示，正电子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为120°，负电子圆周部分所对应圆心角为60°，故时间之比为2∶1.回旋加速器问题3．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源相连接的两个D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图8所示，要增大带电粒子射出时的动能，下列说法中正确的是( )图8A ．增加交流电的电压B ．增大磁感应强度C ．改变磁场方向D ．增大加速器半径答案 BD解析 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律q v B ＝m v 2r ，得v ＝qBrm .若D 形盒的半径为R ，则R ＝r 时，带电粒子的最终动能E km ＝12m v 2＝q 2B 2R 22m .所以要提高加速粒子射出的动能，应尽可能增大磁感应强度B 和加速器的半径R .质谱仪问题4．A 、B 是两种同位素的原子核，它们具有相同的电荷量、不同的质量．为测定它们的质量比，使它们从质谱仪的同一加速电场由静止开始加速，然后沿着与磁场垂直的方向进入同一匀强磁场，打到照相底片上．如果从底片上获知A 、B 在磁场中运动轨迹的半径之比是1.08∶1，求A 、B 的质量比． 答案 1.17∶1解析 A 、B 是两种同位素的原子核，电荷量相同、质量不同．其运动过程分为两步：一是在电场中加速，二是在磁场中偏转．设A 、B 的电荷量皆为q ，质量分别为m A 和m B 则经电压为U 的电场加速时：qU ＝12m v 2在磁感应强度为B 的磁场中偏转时：r ＝m vqB联立解得：m ＝qB 2r 22U即m A m B ＝(r A r B )2＝(1.081)2≈1.17∶1.。