北京市第四中学2017年中考数学总复习专题训练二次函数3二次函数y=ax^2+bx+ca≠0的图象与性质

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）．3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为( )．A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝-2，c ＝-1D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++ 5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题 第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数a y x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )．8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____．11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为___ _____．第10题 第12题 第13题13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(32+，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体运动(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元． (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式； (3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大? (注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=．2.【答案】D ；【解析】由上图可知0a >，0c <，02ba->，∴ 0b <．0a b c ++<．240b ac ->， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D ．3.【答案】B ；【解析】2223(1)4y x x x =--=--，把抛物线2(1)4y x =--向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1y x =+-，∴ 222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+，∴ b ＝2，c ＝0．因此选B ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ． 5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <． 由图象可知a ＞0，c ＜0， 则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ 12bx a=-=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；【解析】画出21y x =-的图象，对称轴为0x =，若12y y =，则12x x =-；若12x x =-，则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ； 【解析】因为a y x=，当0x >时，y 随x 增大而减小，所以a ＞0，因此抛物线2(1)y ax ax a x x =-=- 开口向上，且与x 轴相交于（0，0）和（1，0）．8．【答案】C ；【解析】∵ 0a >，0b >，∴ 抛物线开口向上，02bx a=-<，因此抛物线顶点在y 轴的左侧， 不可能在第四象限；又0c <， 120cx x a=<·，抛物线与x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的．二、填空题 9．【答案】＞；【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >． 10．【答案】223y x x =-++；【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），∴ 抛物线解析式为(3)(1)y x x =--+，即223y x x =-++．11．【答案】1； 【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小， ∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别 为2，12，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】(1)2233519315524y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭．∵ 305-<，∴ 函数的最大值是194． ∴ 演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，234341 3.45y BC =-⨯+⨯+==．∴ 这次表演成功．18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯，整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米．(3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240． 当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】(1)由题意可知，当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元．故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元． 故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000； 所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400． 由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25， 把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1， 所以22(5)2510y x x x =--+=-+． 当5≤x ≤15时，y ＝25．即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+． 所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为Z 随x 的增大而减小， 所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

一、选择题1．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 3．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．根据下列表格中的对应值： x 1.981.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06 -0.05 -0.03 0.01判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ） A ．1.00 1.98x <<B ．1.98 1.99x <<C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x << 5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n 7．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．48．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<9．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 10．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x7- 6- 5- 4- 3- 2- y 27- 13-3- 3 5 3 则当1x =时，y 的值为（ ） A ．5 B ．3-C ．13-D ．27- 11．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（ ）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位12．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 13．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<< 14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -< 15．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解是13x =，则抛物线22y x x k =-++与x 轴的交点坐标是____．17．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．18．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，则42a b c ++=___________． x 3-1- 0 1 3 y 552 152 72 72 31220．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．21．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．22．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________23．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______．24．已知（-3，y 1），（-2，y 2），（1，y 3）是抛物线2312y x x m =++上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__．25．如图，将抛物线y=−12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A （6，0）和原点O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=−12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为______．26．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C -都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.28．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？29．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．（1）几秒时PCQ △的面积为4？（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由． （3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？30．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l上有一动点P，当PC+PA最小时，求出点P的坐标；（3）如图2所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点．过点M作直线l'∥l，交抛物线于点N，连接CN，BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？。

实际问题与二次函数—知识讲解（基础）撰稿：张晓新审稿：杜少波【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 【思路点拨】(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；(2)利用配方法求售价及最大销售利润.【答案与解析】(1)∵ 每件商品利润为(x-30)元．∴ 销售m 件商品利润为m(x-30)元，又∵ m ＝162-3x ，∴ 每天利润y ＝(162-3x)(x-30)．即y ＝-3x 2+252x-4860．(2)∵ y ＝-3x 2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵ a ＝-3＜0，∴ 当x ＝42时，y 最大值＝432(元)．答：(1)函数关系式为y ＝-3x 2+252x-4860；(2)每件商品售价42元时，可获得最大利润，每天最大利润是432元．【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解．举一反三：【高清课程名称：实际问题与二次函数高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：练习讲解】【变式】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数b kx y +=，且65=x 时，55=y ；75=x 时，45=y ．（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x 的范围．【答案】（1）据题意列⎩⎨⎧+=+=b k b k 75456555，解得⎩⎨⎧=-=1201b k ∴120+-=x y ， ∴W =)60)(120(-+-x x =72001802-+-x x =900)90(2+--x又∵60≤x ≤60×（1+45%），即60≤x ≤87，则x =87时获利最多将x=87代入，得W =－（87-90）2+900=891元 .（2）50072001802≥-+-x x ，即077001802≤+-x x 0)110)(70(≤--x x110700110070≤≤⎩⎨⎧≤-≥-x x x 或⎩⎨⎧≤≥⎩⎨⎧≥-≤-701100110070x x x x （舍） 则11070≤≤x ，但8760≤≤x ∴8770≤≤x答：略.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+．∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴ 20(06)6a =-+，即16a =-． ∴ 抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+． (3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴ 支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212123m m =-++21(3)153m =--+． ∵ 此二次函数的图象开口向下．∴ 当m ＝3时，。

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实际问题与二次函数自主学习例1 玩具厂生产一种玩具狗，每天最高产量为40只,每天生产的产品全部卖出。

已知生产x只玩具狗的成本为R（元），售价每只P（元），且R、P与x的关系式分别为R=600+30x，P=170-2x.当日产量为多少时,每日获得的利润为1650元?例2一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2。

5米时,达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3。

05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？例3如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子,窗子的宽不能超过2米. 为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米?例4 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元,试销中销售量y（件)与销售单价x（元)的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大?最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本)练习1、矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x(单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，且获利不超过45％，经试销发现，销售量y （件)与销售单价 x （元）符合一次函数b kx y +=，且65=x 时,55=y ；75=x 时，45=y ．（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式， 售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？(2）若该商场获利不低于500元,试确定销售单价x 的范围．。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）撰稿：张晓新审稿：杜少波【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则212364(92)||6||a a a x x a ---==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mm a b x ， m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴24164(42)22222m m m m m x m m±--==±． ∵0m >，∴22x m=±是整数．∴2m 是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m<<，∴2m 取1，4，9，24164(42)22222m m m m mx m m±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. 函数y ax b =+和2y ax bx c =++(0)a ≠在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）【答案】C ；【解析】 ∵ a ≠0，∴ 分a ＞0，a ＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．若a ＞0，则y ＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，2y ax bx c =++的图象开口向上，可排除D ． 若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的左侧，故B 不正确．若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的右侧，故C 正确．若a ＜0，则y ＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，2y ax bx c =++的图象开口向下，故A 不正确．【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a ，b 满足一致性，因此讨论a ，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a ，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ，二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、M ．(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+ 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 【答案与解析】(1)一次函数334y x =+，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)， 又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为32，又M 在32y x =上，当32y =时，x ＝1， ∴ 点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．如图所示，22313122AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．(2)将点A(0，3)，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++中，得3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ 5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即这个二次函数的解析式为：2532y x x =-+． (3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，25(,3)2C n n n -+，3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =．因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4. 如图所示，把一张长10cm ，宽8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm 2，那么剪去的正方形的边长应为多少?(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由． 【答案与解析】(1)设剪去的正方形的边长为x cm ，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x 2-9x+8＝0． 解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝1．所以剪去的正方形的边长为1 cm ．(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2， 则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(10-2x)x+2(8-2x)x ．即y ＝-8x 2+36x ，改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当x ＝2.25时，y =最大40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm 2；(3)有侧面积最大的情况．设剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：1022(82)22x y x x x -=-+⨯，即213169666y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．所以当136x =时，1696y =最大．若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：822(102)22x y x x x -=-+⨯，即2798633y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．所以当73x =时，983y =最大．比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大， 即当剪去的正方形的边长为73cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为398cm 3．【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解． 举一反三： 【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴∴∴ ，即，∴ .∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴ .类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y xx ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )． A ．6± B ．4 C ．6±或4 D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．如图所示，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ．①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．【思路点拨】根据A 、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD ⊥BD ，由圆的对称性， 可直接写出D 点另一个坐标．【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x+1)(x-3)．将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)．解得a ＝-1．∴ 抛物线的解析式为y ＝-(x+1)(x-3)，即223y x x =-++．(2)连接BC ，交直线l 于点D ′．∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD ′＝BD ′．∴ AD ′+CD ′＝BD ′+CD ′＝BC ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD ′+CD ′最小，点D ′的位置即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ，由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得03,3.k b b =+⎧⎨=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线BC 的解析式为y ＝-x+3．∵ 对称轴l 为x ＝1．将x ＝1代入y ＝-x+3，得y ＝-1+3＝2．∴ 点D 的坐标为(1，2)．(3)①连接AD ．设直线l 与x 轴的交点为点E ．由(2)知：当AD+CD 最小时，点D 的坐标为(1，2)．∵ DE ＝AE ＝BE ＝2，∴ ∠DAB ＝∠DBA ＝45°，∴ ∠ADB ＝90°． ∴ AD ⊥BD ．∴ BD与⊙A相切．②(1，-2)．【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）撰稿：张晓新审稿：杜少波【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则12||6x x -==， 解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-． 解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-． 【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mm a b x ， m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=mm m m ∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴22x m==±．∵0m >，∴2x =±2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m<<，∴2m 取1，4，9， 24164(42)222m m m m m x ±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29． ∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. 函数y ax b =+和2y ax bx c =++(0)a ≠在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）【答案】C ；【解析】 ∵ a ≠0，∴ 分a ＞0，a ＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．若a ＞0，则y ＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，2y ax bx c =++的图象开口向上，可排除D ． 若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的左侧，故B 不正确．若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的右侧，故C 正确．若a ＜0，则y ＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，2y ax bx c =++的图象开口向下，故A 不正确．【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a ，b 满足一致性，因此讨论a ，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a ，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M在正比例函数32y x=的图象上，且MO＝MA，二次函数2y x bx c=++的图象经过点A、M．(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数334y x=+的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．【答案与解析】(1)一次函数334y x=+，当x＝0时，y＝3，所以点A的坐标为(0，3)，又∵ MO＝MA，∴ M在OA的中垂线上，即M的纵坐标为32，又M在32y x=上，当32y=时，x＝1，∴点M的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．如图所示，2231312AM⎛⎫=+=⎪⎝⎭．(2)将点A(0，3)，31,2M⎛⎫⎪⎝⎭代入2y x bx c=++中，得3,31.2cb c=⎧⎪⎨++=⎪⎩∴5,23.bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩即这个二次函数的解析式为：2532y x x=-+．(3)如图所示，设B(0，m)(m＜3)，25(,3)2C n n n-+，3,34D n n⎛⎫+⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4. 如图所示，把一张长10cm ，宽8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm 2，那么剪去的正方形的边长应为多少?(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案与解析】(1)设剪去的正方形的边长为x cm ，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x 2-9x+8＝0．解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝1．所以剪去的正方形的边长为1 cm ．(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(10-2x)x+2(8-2x)x ． 即y ＝-8x 2+36x ，改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当x ＝2.25时，y =最大40.5． 即当剪去的正方形的边长为2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm 2；(3)有侧面积最大的情况．设剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：1022(82)22x y x x x -=-+⨯，即213169666y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．所以当136x =时，1696y =最大． 若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：822(102)22x y x x x -=-+⨯，即2798633y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．所以当73x =时，983y =最大． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为73cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为398cm 3．【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴∴∴，即，∴.∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．6±B ．4C ．6±或4D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．如图所示，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ．①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．【思路点拨】根据A 、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD ⊥BD ，由圆的对称性， 可直接写出D 点另一个坐标．【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x+1)(x-3)． 将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)． 解得a ＝-1．∴ 抛物线的解析式为y ＝-(x+1)(x-3)， 即223y x x =-++．(2)连接BC ，交直线l 于点D ′．∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD ′＝BD ′． ∴ AD ′+CD ′＝BD ′+CD ′＝BC ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD ′+CD ′最小，点D ′的位置即为所求． 设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ， 由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得03,3.k b b =+⎧⎨=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线BC 的解析式为y ＝-x+3． ∵ 对称轴l 为x ＝1．将x ＝1代入y ＝-x+3，得y ＝-1+3＝2． ∴ 点D 的坐标为(1，2)．(3)①连接AD．设直线l与x轴的交点为点E．由(2)知：当AD+CD最小时，点D的坐标为(1，2)．∵ DE＝AE＝BE＝2，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠ADB＝90°．∴ AD⊥BD．∴ BD与⊙A相切．②(1，-2)．【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．初中数学试卷。

代几综合题
例1. 如图1、已知抛物线的顶点为A （2、1）、且经过原点O 、与x 轴的另一个交点为B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C 在抛物线的对称轴上、点D 在抛物线上、且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形、求D 点的坐标；
（3）连接OA 、AB 、如图2、在x 轴下方的抛物线上是否存在点P 、使得OBP △与OAB △相似？若存在、求出P 点的坐标；若不存在、说明理由．
例2．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根、k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时、将关于x 的二
次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位、求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下、将平移后的二次函数的图象在
x 轴下方的部分沿x 轴翻折、图象的其余部分保持不变、得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2
y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时、b 的取值范围．
例3. 如图、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1、0）、B （3、0）两点、与y 轴交于点C （0、3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P 、使得△PAC 的周长最小、并求出点P 的坐标；
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过
点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m 、问当m 取何值时、1=
9ABMC S S △PDE 四边形．。

课时训练(十二) 二次函数(限时:40分钟)|夯实基础|1.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(2,-4)D.(4,-2)2.[2017·朝阳二模]抛物线y=x2-6x+3的顶点坐标为()A.(3,-6)B.(3,12)C.(-3,-9)D.(-3,-6)3.[2017·怀柔一模]如图K12-1,函数y=-2x2的图象是()图K12-1A.①B.②C.③D.④4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K12-2所示,则下列关系式错误的是()图K12-2A.a>0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>05.如果二次函数y=ax2+bx的图象如图K12-3所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()图K12-3图K12-46.[2017·东城一模]请你写出一个二次函数,其图象满足条件:①开口向上;②与y轴的交点坐标为(0,1),此二次函数的解析式可以是.7.[2017·昌平二模]已知二次函数y=x2+(2m-1)x,当x<0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.8.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),对称轴是直线x=-1,则a+b+c= .9.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.10.[2018·海淀期末]如图K12-5,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,点P,点Q是抛物线与x轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为.图K12-511.[2017·海淀期末]在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-4mx+4m+3的顶点为A.图K12-6(1)求点A的坐标;(2)将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段O'A'.①直接写出点O'和A'的坐标;②若抛物线y=mx2-4mx+4m+3与四边形AOO'A'有且只有两个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.12.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(2,-3),且与x轴的一个交点为B(3,0).(1)求抛物线C1的表达式;(2)D是抛物线C1与x轴的另一个交点,点E的坐标为,其中m>0,△ADE的面积为.①求m的值;②将抛物线C1向上平移n个单位,得到抛物线C2,若当0≤x≤m时,抛物线C2与x轴只有一个公共点,结合函数的图象,求n的取值范围.13.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-4(m≠0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),与y轴交于点D.图K12-7(1)求点A的坐标;(2)若BC=4,①求抛物线的解析式;②将抛物线在C,D之间的部分记为图象G(包含C,D两点).若过点A的直线y=kx+b(k≠0)与图象G有两个交点,结合函数的图象,求k的取值范围.|拓展提升|14.[2018·顺义期末]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=x2+2x+2可以看作是抛物线y2=-x2-2x-1经过若干次图形的变换(平移、翻折、旋转)得到的,写出一种由抛物线y2得到抛物线y1的过程:.参考答案1.A2.A3.C4.D5.C6.答案不唯一,如y=x2+17.m≤8.09.1或010.(-2,0)11.解:(1)∵y=m(x2-4x+4)+3=m(x-2)2+3,∴抛物线的顶点A的坐标为(2,3).(2)①O'(2,0),A'(4,3).②依题意,m<0.将(0,0)代入y=mx2-4mx+4m+3中,得m=-.∴-<m<0.12.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,-3),且与x轴的一个交点为B(3,0), ∴解得∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x-3.(2)①过A作AF⊥x轴于点F,如图①.由x2-2x-3=0得,x1=-1,x2=3,∴点D的坐标为(-1,0).∵点E的坐标为(m,0),且m>0,∴S△ADE=DE·AF=DE×3=.∴DE=.∴m=OE=DE-OD=.②设抛物线C2的表达式为y=(x-1)2-4+n.情况一:如图②.当抛物线C2经过点E,0时,-12-4+n=0,解得n=;当抛物线C2经过原点O时,(-1)2-4+n=0,解得n=3;∵当0≤x≤时,抛物线C2与x轴只有一个公共点,∴结合图象可知,当≤n<3时,符合题意.情况二:如图②.当n=4时,抛物线C2的表达式为y=(x-1)2,它与x轴只有一个公共点(1,0),符合题意.综上所述,n的取值范围是≤n<3或n=4.13.解:(1)y=mx2-2mx+m-4=m(x2-2x+1)-4=m(x-1)2-4.∴点A的坐标为(1,-4).(2)①由(1)得,抛物线的对称轴为直线x=1.∵抛物线与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),BC=4,∴点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0).∴m+2m+m-4=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.②由①可得点D的坐标为(0,-3).当直线过点A,D时,解得k=-1.当直线过点A,C时,解得k=2.结合函数的图象可知,k的取值范围为-1≤k<0或0<k≤2.14.将抛物线y2绕顶点(-1,0)顺时针旋转180度,然后沿y轴向上平移1个单位,即可得抛物线y1(答案不唯一)。

北京第四中学中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）交直线AC ：443y x =--于点A ，点C 两点，且过点()4,0B ，连接AC ，BC .（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；（2）点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q .设点P 的横坐标为m ，试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 的坐标为()0m ,，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究当m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x 2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（初步尝试）求二次函数y=x 2﹣2x 的顶点坐标及与x 轴的交点坐标；（类比探究）当函数y=x2﹣2|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值．x…﹣3﹣52﹣2﹣1012523…y (35)40﹣10﹣10543…①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．（深入探究）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤0，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥3恒成立，求k的取值范围．4．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．（1）（实践运用）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．①求该抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．5．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）下列关于该函数图像的性质正确的是 ；（填序号）①y 随x 的增大而增大；②该函数图像关于y 轴对称；③当x ＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图像不经过第三象限．（2）①在平面直角坐标系xOy 中画出该函数图像；②若关于x 的方程2x +c ＝[x ]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c 的取值范围是 ；（3）若点（a ，b ）在函数y ＝x ﹣3图像上，且﹣12＜[a ]≤2，则b 的取值范围是 ．6．已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点为F ．（1）当抛物线经过点E （-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M 是直线EF 下方抛物线上的一动点，过点M 作平行于y 轴的直线，与直线EF 交于点N ，求线段MN 长度的最大值；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的交点为P ，请结合图象求出点P 的纵坐标的取值范围．7．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP ⊥x 轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n n n A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推．（1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________．（3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．如图l ，在正方形ABCD ABCD 中，8AB =AB=8，点E E 在AC AC 上，且22AE =，22AE =过E 点作EF AC ⊥于点E ，交AB 于点F ，连接CF ，DE ．（问题发现）（1）线段DE 与CF 的数量关系是________，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是___________；（拓展探究）（2）当AEF ∆绕点A 顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．12．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．13．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．14．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD 与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明．15．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ACN ＝ °．类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使AM ＝MN ，连接CN ．添加一个条件，使得∠ABC ＝∠ACN 仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．16．△ABC 中，∠BAC=α°，AB=AC ，D 是BC 上一点，将AD 绕点A 顺时针旋转α°，得到线段AE ，连接BE ．（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE 与AB 的数量关系是 ．（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE 与AB 的数量关系，并证明．（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，33，Q 为BA 延长线上的一点，将QD 绕点Q 顺时针旋转120°，得到线段QE ，DE ⊥BC ，求AQ 的长．17．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．18．等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC 于F ，将腰AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过C 作CE 垂直于直线BB ′，垂足为E ，连接CB ′．（1）问题发现：如图1，当40α=︒时，CB E ∠'的度数为_______；连接EF ，则EF AB '的值为________．（2）拓展探究：当0360α︒<<︒，且120α≠︒时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②解决问题：当A ，E ，F 三点共线时，请直接写出BB BE '的值． 19．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由．②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EF AB BE==，请直接写出线段BM 与线段AE 的数量关系．20．综合与实践（1）问题发现：正方形ABCD 和等腰直角△BEF 按如图①所示的方式放置，点F 在AB 上，连接AE 、CF ，则AE 、CF 的数量关系为 ，位置关系为 ．（2）类比探究：正方形ABCD 保持固定，等腰直角△BEF 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α(0°<α ≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB = 2 BF = 4，在等腰直角△BEF 旋转的过程中，当CF 为最大值时，请直接写出DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．A解析：（1）顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在， ()11,3Q -，2Q ⎝⎭；（3）14F ⎫⎪⎪⎝⎭或24F ⎫⎪⎪⎝⎭或()31,4F -. 【分析】（1）根据一次函数解析式求出A 、C 两点的坐标，把A 、B 、C 三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.（2）先求出BC 所在直线的解析式，设出P 、Q 两点的坐标，根据勾股定理求出AC ，根据以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ 三种情况.（3）分两种情况讨论，一是F 在抛物线上方，过点F 作FH x ⊥轴，可得FH=4，设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得2114433n n --=，求出n 代入即可；二是F 在抛物线下方，可得2114-433--=n n ，求出n 的值即可，最后的结果综合两个结果即可. 【详解】解：（1）443y x =-- ∵当0y =时，4403--=x , ∴3x =-;∴()30A -,，()0,4C -; 二次函数过点A 、B ，设()()34y a x x =+-;∵过点()0,4C -,∴124a -=-; ∴13a =; ∴()()1343y x x =+- 211433x x =--; ∵211493212y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）存在.设BC y kx b =+过B 、C ,440b k b =-⎧⎨+=⎩; 设解得：14k b =⎧⎨=-⎩; ∴4BC y x =-; 设21)1,433(P w m m --、(),4Q m m -; 在Rt AOC ∆中，解得5AC =;①当AQ AC =时;()()222345m m ++--=⎡⎤⎣⎦; 解得：10m =（不合题意舍去），21m =;∴()11,3Q -;②当CQ AC =时;()222445m m +---=⎡⎤⎣⎦; 解得：1522m =，2522m =-（不合题意舍去）; ∴252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭; ③当AQ CQ =时;()()()22223444m m m m ++--=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦; 解得：2542m =>（不合题意舍去）; ∴()11,3Q -，252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭; （3）当F 在抛物线上方时，//BC EF ，BC EF =时;过点F 作FH x ⊥轴，FEH ∆与BCOQ ∆全等;则4FH =;设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;则2114433n n --=;解得；1n =2n =14F ⎫⎪⎪⎝⎭或24F ⎫⎪⎪⎝⎭; 当F 在抛物线下方时，2114433n n --=-; 30n =（不合题意舍去），41n =;∴()31,4F -;∴14F ⎫⎪⎪⎝⎭或24F ⎫⎪⎪⎝⎭或()31,4F -. 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，准确分析题目条件，利用了等腰三角形、直角三角形的性质进行求解.2．C解析：（1）1,04,00,2B C A -（），（），（）（2）当2m =，四边形CQMD 是平行四边形（3）存在，点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-【分析】（1）根据函数解析式列方程即可；（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM 的长度，从而可求解;（3）设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ,分两种情况讨论：①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=，②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+，可解出m 的值.【详解】（1）令0x =，则2y =，C 点的坐标为（0,2）；令0y =，则2130222x x =-++ 解得121,4x x =-=，点A 为（-1,0）；点B 为（4,0） ∴1,04,00,2B C A -（），（），（）（2）如图1所示：点C 与点D 关于x 轴对称，点()0,2D -,设直线BD 的解析式为2y kx =-，将()4,0B 代入得：420k -= 解得12k = ∴直线BD 的解析式为：122y x =- ∵//QM DC∴当=QM DC 时，四边形CQMD 是平行四边形设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ，则1,22M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴2131224222m m m ⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭解得12m = 20m =（不合题意，舍去）∴当2m =，四边形CQMD 是平行四边形（3）存在，设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ∵BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形∴①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=即()22222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得13m = 24m =（不合题意，舍去）∴Q 点的坐标为3,2（）②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+即()22222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得18m = 21m =-Q 点的坐标为()8,18- ()1,0-综上所述：点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-.【点睛】本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.3．【初步尝试】（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：1．图象关于y轴对称；2．当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【详解】【分析】【初步尝试】利用配方法将y=x2﹣2x化为顶点式，可得顶点坐标，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴的交点坐标；【类比探究】①根据表中数据描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；②根据画出的图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；【深入探究】根据图象可知y1≤0时，﹣2≤m≤2；y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围.【详解】【初步尝试】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；令y=0，则x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：图象关于y轴对称；当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】根据图象可知，当y1≤0时，﹣2≤m≤2，当y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，则k≤﹣5或k≥5，故k的取值范围是k≤﹣5或k≥5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.4．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为2（2）点Q的坐标为（1，﹣6）．【详解】分析：（1）①由点A 、B 的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C 的坐标即可求出a 值，此题得解；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x =1，由点B 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点P 的坐标，再利用勾股定理求出线段BC 的长即可；（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长（三角形两边之差小于第三边），由点A 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点Q 的坐标，此题得解．详解：（1）①∵抛物线与x 轴的交点为A （﹣1，0）、B （3，0），∴抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣3）．∵抛物线过点C （0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a ，∴a =1，∴该抛物线的解析式为y =（x +1）（x ﹣3）=x 2﹣2x ﹣3．②∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，如图3所示．∵抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x =1． 利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线为y =x ﹣3，当x =1时，y =x ﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P 的坐标为（1，﹣2），PA +PC 的最小值为BC =22OB OC +=32．（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长，如图4所示．利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线为y =﹣3x ﹣3，当x =1时，y =﹣3x ﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q 的坐标为（1，﹣6）．点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，找出当PA +PC 的值最小时点P 的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA ﹣QC |的值最大时点Q 的位置．5．（1）③④；（2）①见解析；②1c >或21c -<-；（3）43b -<-或23332b -<-【分析】（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．（2）①根据题意列表、描点、连线即可．②将2x c +看成是一次函数2y x c =+，此函数与y 轴的交点是c ，因此要与[]x 图像有两个交点，则需要分情况讨论．当1c >时，满足两个交点的要求；当11c -<≤时，与图像没有两个交点；当1c -≥时，可以有两个交点，此种情况要代入221x c x +=-，根据根的判别式求出c 的范围即可．（3）因为1[]22a -<≤，所以根据分段函数的图像，求解取值在12-到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点(,)a b 在函数3y x =-图象上，则3b a =-，即3a b =+，代入到a 的取值范围中求解即可．【详解】解：（1）画出图象，根据图象可知，①当0x 时，y 随x 的增大而增大，故错误；②该函数图象关于y 轴不对称，故错误；③当0x =时，函数有最小值为1-，正确；④该函数图象不经过第三象限，正确；故答案为：③④．（2）①在平面直角坐标系xOy 中画出该函数图象，②关于x 的方程2[]x c x +=有两个互不相等的实数根，∴可以看成是[]y x =和2y x c =+有两个交点．2y x c =+是一次函数，与y 轴的交点为c ，∴当1c >时，满足两个交点的条件．若将2y x c =+向下平移与图像有两个交点，则1c -．∴方程为221x c x +=-，即22(1)0x x c --+=．∴△44(1)0c =++>，2c ∴>-，21c ∴-<-．故答案为：1c >或21c -<-．（3）1[]22a -<，∴当0a <时，1[]2a <，112a <-+，解出10a -<．当0a 时，1[]22a -<，21122a -<-3a ．10a ∴-<3a <．点(,)a b 在函数3y x =-图象上，3b a ∴=-，3a b ∴=+，43b ∴-<-333b <-．故答案为：43b -<-333b -<-． 【点睛】此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键．6．E解析：（1）①2243y x x =--；②2；（2）2(1)y x x =-->；（3）43P y -<<-【分析】（1）①把点E （-1，3）代入223y mx mx =--求出m 的值即可；②先求出直线EF 的解析式，设出点M 的坐标，得到MN 的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即可得到1G 的顶点式，进而得到1G 的顶点坐标(1,3)m m +--，即1,3x m y m =+=--，消去m ，得到y 与x 的函数关系式，再由0m >即可求得x 的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A （2，-3），函数H 的图象恒过点B （2，-4），从图象可知两函数图象的交点P 应在A ，B 之间，即点P 的纵坐标在A ，B 点的纵坐标之间，从而可得结论．【详解】解：（1）①∵抛物线2:23G y mx mx =--经过点E （-1，3）∴233m+m =-∴2m =∴抛物线的解析式为：2243y x x =--②如图，∵点F 为抛物线的最低点，∴22243=2(1)5y x x x =----∴(1,5)F -设直线EF 的解析式为：y kx b =+把E （-1，3），F （1，-5）代入得，35k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得，41k b =-⎧⎨=-⎩∴直线EF 的解析式为：41y x =--设2(,243)M a a a --，则(,41)N a a --∴22(41)243)=(22M a N a a a ------+=∵20-<∴当0a =时，MN 有最大值，最大值为2；（2）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---∴平移后的抛物线21:(1)3G y m x m m =----∴抛物线1G 的顶点坐标为(1,3)m m +--∴1,3x m y m =+=--∴132x y m +=+-=-∴2y x =--∵0,1m m x >=-∴10x ->∴1x >∴y 与x 的函数关系式为：2(1)y x x =-->（3）如图，函数:2(1)H y x x =-->的图象为射线，1x =时，123y =--=-；2x =时，224y =--=-∴函数H 的图象恒过点（2，-4）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---，当1x =时，3y m =--；当2x =时，33y m m =--=-；∴抛物线G 恒过点A （2，-3）由图象可知，若抛物线G 与函数H 的图象有交点P ，则有B P A y y y <<∴点P 纵坐标的取值范围为：43P y -<<-【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．7．A解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（42EC ＝ED ；（3）3(,0)2P -【分析】（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．【详解】解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，∴ 当x ＝0时，y ＝4．∴ C （0，4）．当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，∴ A （﹣4，0），B （1，0）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴ -404k b b+=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．（2）设点P 的运动时间为t 秒，∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动， ∴ OP ＝t ．∴ P （﹣t ，0）．∵ A （﹣4，0），C （0，4），∴ OA ＝OC ＝4．∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC＝． ∵ DP ⊥x 轴，在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AEAP 4﹣t ）． ∴ EC ＝AC ﹣AE．∵ E ，P 的横坐标相同，∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）． ∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ． ∵ EC ＝DE ，∴﹣t2+4t ．解得：t ＝0或t ＝4∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．（3）存在．P 的坐标为（﹣32，0）． 在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，∴ AP ＝EP ．∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ． ∵ AB ＝5，∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．当BE ⊥AC 时，BE 最小．在Rt △AEB 中，∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，∴ PB ＝12AB ＝52．∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32． ∴ P （﹣32，0）． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 8．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ．【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解．【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得： 2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ；故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2；（3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．9．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)2263PN m =--+，当m ＝2时，PN 的最大值为3；（3）Q (1，3)或(2 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解． （3）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，当AC ＝AQ 时，构造直角三角形AMQ 利用勾股定理可求坐标，AC ＝CQ 时，先求BQ 再求MB ，即可得到坐标，CQ ＝AQ 时，联立解得不合题意．【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++，（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13m +4+m ﹣4（m ﹣2）2，∵0， ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN ． （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b得044k b b=+⎧⎨=⎩解得14 kb=-⎧⎨=⎩∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4…①，设直线AC的解析式为y=mx+n把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得034m n n=-+⎧⎨=⎩解得434 mn⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的表达式为：y＝43x+4，设直线AC的中点为K（﹣32，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣34，设过点K与直线AC垂直直线的表达式为y＝﹣34x+q把K（﹣32，2）代入得2=﹣34×（﹣32）+q解得q=7 8∴y＝﹣34x+78…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝2﹣5，则QM ＝MB， 故点Q（2③当CQ ＝AQ 时，联立①②，43748y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得，x ＝252（舍去）， 综上所述点Q 的坐标为：Q （1，3）或Q【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）2PN =，当2m =时，PN 有最大值，． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q，822Q ⎛- ⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可．【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++．（2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ． 将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩． 所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+． ∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+ ∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒．∴45PQN BQM ∠=∠=︒． ∴22214222sin 4523363PN PQ m m m m ⎛⎫=︒=-+=-+ ⎪⎝⎭． 2222(2)63m =--+． ∵206-< ∴当2m =时，PN 有最大值，最大值为223． （3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得152m =252m = 此时，点52852Q -⎝⎭； ②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=．解之，得1m =或0m =（舍）此时，点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，52852Q -⎝⎭．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．二、中考几何压轴题11．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的解析：（1）2CF DE =，45︒；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）CF 的长为45或413．【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==，易证~FAC EAD ∆∆，由相似三角形的性质即可得到2CF DE =，由三角形的内角和即可得到45CNE ∠=︒；（2）延长DE 交CF 于点G ，由旋转的性质可知Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==，易证∽∆∆FAC EAD ，同（1）易证结论仍成立； （3）由点E 到直线AD 的距离为2，22AE =，可知点F 在直线AD 或AB 上，分两种情况讨论：（i ）当点F 在DA 的延长线或BA 延长线上时，由勾股定理可得CF 的长，（ii ）当点F 在AD 或AB 上时，过点E 作AEF ∆的高，由勾股定理可得CF 的长．【详解】解：（1）如图①，延长DE 交CF 的延长线于点N ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴45FAE DAC ︒∠=∠=，∵AEF ∆是直角三角形，∴Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，∴2AF AC AE AD= 又∵FAC EAD ∠=∠，∴~FAC EAD ∆∆，∴2==CF AF DE AE，ADE ACF ∠=∠， ∴2CF DE =；又∵180CAD ADE AED ︒∠+∠+∠=，180CNE CEN ECN ︒∠+∠+∠=，AED CEN ∠=∠， ∴45CNE CAD ∠=∠=︒故答案为：2CF DE =，45︒（2）结论仍然成立．理由如下：如图②，延长DE 交CF 于点G ．∵AC 是正方形ABCD 的对角线，且Rt AEF ∆是由原题中图1的位置旋转得来， ∴45∠=∠=︒FAE DAC ，即Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形．∴2AF AC AE AD= 又∵∠=∠+∠FAC FAE EAC ，EAD DAC EAC ∠=∠+∠，∴FAC EAD ∠=∠．∴∽∆∆FAC EAD ．∴2=CF AF DE AEADE ACF ∠=∠． ∴2CF DE ．又∵180∠+∠+∠=︒CAD ADE AHD ，180︒∠+∠+∠=CGD ACG GHC ，∠=∠AHD GHC ， ∴45∠=∠=︒CGD CAD ．∴结论成立．（3）CF 的长为45413理由如下：∵点E 到直线AD 的距离为2，22AE =∴点F 在直线AD 或AB 上分两种情况讨论：（i ）如图③，当点F 在DA 的延长线上时，过点E 作EG ⊥AD 交延长线于点G,。