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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。
注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 -.换种说法： y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( 2a x) ，即它们关于x a 对称。
1、y f (x) 与 y 2a f ( x) 关于直线y a 对称。
换种说法： y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( x) 2a ，即它们关于y a 对称。
2、y f (x)与 y 2b f ( 2a x) 关于点(a,b)对称。
换种说法： y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( 2a x) 2b ，即它们关于点(a,b) 对称。
3、y f (a x) 与 y (x b) 关于直线 x a b对称。
24、函数的轴对称：定理1：如果函数y f x 满足 f a x f b x ，则函数 y f x 的图象关于直线x a b 对2 称.推论 1：如果函数y f x 满足 f a xf a x ，则函数 y f x 的图象关于直线x a 对称.推论 2：如果函数y f x 满足 f x f x ，则函数 y f x 的图象关于直线x 0（y轴）对称. 特别地，推论 2 就是偶函数的定义和性质 . 它是上述定理 1 的简化 .5、函数的点对称：定理2：如果函数y f x 满足 f a x f a x2b ，则函数 y f x 的图象关于点a, b 对称.推论 3：如果函数y f x 满足 f a x f a x0 ，则函数 y f x 的图象关于点a,0 对称.推论 4：如果函数yf x 满足 f x f x 0 ，则函数 y f x 的图象关于原点0,0 对称.特别地，推论 4 就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理 2 的简化 .三、总规律：定义在Ｒ上的函数y f x ，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
四、试题1．已知定义为R 的函数 f x 满足 f x f x 4 ，且函数 f x 在区间2,上单调递增. 如果x1 2 x2，且 x1x2 4 ，则 f x1 f x2的值（A）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.分析： f x f x 4 形似周期函数 f xf x 4 ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质. 或者，先用 x2 代替 x ，使 f x f x 4 变形为f 2 xf x 2 . 它的特征就是推论 3. 因此图象关于点 2,0 对称 . f x 在区间 2,上单调递增， 在区间,2 上也单调递增 . 我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.2 x 2 4 x 1 ，且函数在 2,上单调递增，所以f x 2 f 4 x 1 ，又由 f x f x 4 ，有f ( 4 x 1 ) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ，f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 1 0 . 选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在 R 上定义的函数f ( x) 是偶函数，且 f ( x) f (2 x) . 若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数，则 f ( x) ( B )A. 在区间 [2, 1] 上是增函数，在区间 [3, 4] 上是减函数B. 在区间 [2, 1] 上是增函数，在区间 [3, 4] 上是减函数C.在区间 [ 2, 1] 上是减函数，在区间 [3, 4] 上是增函数D.在区间 [2, 1]上是减函数，在区间[3, 4]上是增函数分析：由 f ( x)f (2 x) 可知 f ( x) 图象关于 x 1 对称，即推论 1的应用 . 又因为 f ( x) 为偶函数图象关于x 0 对称，可得到 f ( x) 为周期函数且最小正周期为 2，结合 f ( x) 在区间 [1,2] 上是减函数， 可得如右 f ( x) 草图 . 故选 B3. 定义在 R 上的函数f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期 . 若将方程 f ( x)0 在闭区间T, T 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为（D ）A.0B.1C.3D.5分析： f (T )f ( T ) 0 ， f (T ) f (T) f (TT )f (T) ，2222∴ f (T ) f (T) 0 ， n 可能 5， D.2 24．已知函数 f x 的 象关于直 x2和 x 4 都 称，且当 0x 1 ， fxx . 求 f 19.5 的.分析：由推 1 可知， f x的 象关于直x 2 称，即 f2 x f 2 x，同 ， fx 足 f 4 x f 4 x， 由上述的定理 3 知 fx是以 4 周期的函数 .f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5f 40.5f0.5 ，同 知f x是偶函数，所以f0.5f 0.50.5 .5． f xf 398 xf 2158 xf 3214 x ， f， f 1 ， f2，⋯， f999 中最多有（B）个不同的 .A.165B.177C.183D.199分析：由已知f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704 f x 352 .又有 f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056f 21581056 xf 1102 xf 1102 x 1056 f 46 x ，于是f (x) 有周期352，于是f 0 , f 1 , , f 999能在f 0 , f 1 , , f 351中找到 .又 f ( x) 的 像关于直 x 23称，故 些 可以在f 23 , f 24 , , f 351 中找到 . 又 f ( x) 的像关于直x 199 称，故 些 可以在 f 23 , f 24 , , f 199中找到 . 共有 177 个. B.6：已知fx1 x， f 1xf f x，f 2 xf f 1 x，⋯，f n 1 xf f n x，1 3xf 20042（ A） .A. 1 1C. 3D.3B.7 75分析：由 f x1 x ，知f 1 xx 1， f 2 x fx 1x ，f 3 xf x .1 3x3x13x 1f ( x) 为迭代周期函数，故f3nxf x，f2004x f x，f20042f 21.7选 A.7：函数 f ( x) 在 R 上有定义，且满足 f (x) 是偶函数，且f 02005，g xf x 1 是奇函数，则f 2005 的值为.解 ： g xf x 1g x f x 1 ， f x 1 f x 1 ， 令 y x 1 ， 则fy f y2 ，即有 f x fx 20，令 a nf x ，则 a nan 20 ，其中 a 02005 ，a 10 ， a n2005 i ni， f2005a 20052005i 2005in2005220 . 或有 f x f x 2 ，得 f 2005 f 2003 f 2001 f 1999f 10 .8．设函数f ( x)( xR) 为奇函数， f (1)1, f ( x2) f ( x)f (2), 则 f (5)（ c）2A ．0B ． 1C ．5D ． 52分析：答案为 B 。
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数关于y轴对称。
例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。
例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。
2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。
常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。
这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。
关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。
换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。
周期函数的最小正周期被称为函数的周期。
周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。
如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)(x f y =都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周)()(x f T x f =+)(x f y =期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+也可以写成 或 )()(x a f x a f -=+)2()(x a f x f -=)2()(x a f x f +=- 简证：设点在上，通过可知，),(11y x )(x f y =)2()(x a f x f -=，即点上，而点与点)2()(111x a f x f y -==)(),2(11x f y y x a =-也在),(11y x 关于x=a 对称。
得证。
),2(11y x a - 若写成：，函数关于直线对)()(x b f x a f -=+)(x f y =22)()(ba xb x a x +=-++=称（2）函数关于点对称)(x f y =),(b a ⇔bx a f x a f 2)()(=-++ 或 b x f x a f2)()2(=-++上述关系也可以写成bx f x a f 2)()2(=+- 简证：设点在上，即，通过可知，),(11y x )(x f y =)(11x f y =b x f x a f 2)()2(=+-，所以，所以点b x f x a f 2)()2(11=+-1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-也在上，而点与关于对称。
得)2,2(11y b x a --)(x f y =)2,2(11y b x a --),(11y x ),(b a 证。
若写成：，函数关于点 对称c x b f x a f =-++)()()(x f y =)2,2(cb a + （3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y)(x f y =b y =b y =x 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。
但在曲线c(x,y)=0，b y =则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
b y =04),(22=-+=y x y xc 4、周期性： （1）函数满足如下关系系，则)(x f y =Tx f 2)(的周期为 A 、B 、)()(x f T x f -=+)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或C 、或（等式右边加负号亦成立）)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+ D 、其他情形 （2）函数满足且，则可推出)(x f y =)()(x a f x a f -=+)()(x b f x b f -=+即可)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对)(x f y =称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为)()(x f T x f -=+，根据可以找出其对称中心为（以kT Tx 22+=)(z k ∈)2()(T x f x f +=)0(kT ，)(z k ∈上）0≠T 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)()(x f T x f -=+，根据可以推出对称轴为 )0,22(kT T+)(z k ∈)2()(T x f x f +=kT T x 2+=)(z k ∈（以上）0≠T （4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理3：若函数在R 上满足，且（其中()x f ()x a f x a f -=+)(()x b f x b f -=+)(），则函数以为周期.b a ≠()x f y =()b a -2 定理4：若函数在R 上满足，且（其中()x f ()x a f x a f --=+)(()x b f x b f --=+)(），则函数以为周期.b a ≠()x f y =()b a -2 定理5：若函数在R 上满足，且（其中()x f ()x a f x a f -=+)(()x b f x b f --=+)(），则函数以为周期.b a ≠()x f y =()b a -4二、两个函数的图象对称性1、)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
)(x f y =)(x g y =)()(x g x f -=0=y 2、)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
)(x f y =)(x g y =)()(x g x f -=0=x 3、)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
)(x f y =)(x g y =)2()(x a g x f -=a x =4、与关于直线对称。
)(x f y =)(2x f a y -=a y =换种说法：与若满足，即它们关于对称。
)(x f y =)(x g y =a x g x f 2)()(=+a y =5、关于点(a,b)对称。
)2(2)(x a f b y x f y --==与换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。
)(x f y =)(x g y =b x a g x f 2)2()(=-+6、与关于直线对称。
)(x a f y -=)(b x y -=2ba x +=7、函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对()x f y =()()x b f x a f -=+()x f y =2b a x +=称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.()x f y =()()x a f x a f -=+()x f y =a x =推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y 轴）对称.特()x f y =()()x f x f -=()x f y =0=x 别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对()x f y =()()b x a f x a f 2=-++()x f y =()b a ,称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.()x f y =()()0=-++x a f x a f ()x f y =()0,a 推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，()x f y =()()0=-+x f x f ()x f y =()0,0推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三()x f y =条一定存在。
四、试题1．已知定义为R 的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果()x f ()()4+-=-x f x f ()x f ()+∞,2，且，则的值（A ）.212x x <<421<+x x ()()21x f x f +A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，()()4+-=-x f x f ()()4+=x f x f通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为2-x x ()()4+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，()()22+-=-x f x f ()0,2()x f ()+∞,2在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.()2,∞-，且函数在上单调递增，所以1242x x -<< ()+∞,2，又由，()()124x f x f -<()()4+-=-x f x f 有，()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-.选A.∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f 当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R 上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B )()f x ()f x (2)f x =-()f x [1,2]()f x A.在区间上是增函数，在区间上是减函数[2,1]--[3,4]B.在区间上是增函数，在区间上是减函数[2,1]--[3,4]C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论()(2)f x f x =-()f x x 1=1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周()f x 0x =()f x 期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右()f x [1,2]草图.故选B()f x 3.定义在R 上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间)(x f T 0)(=x f 上的根的个数记为，则可能为（ D ）][T T ,-n n A.0B.1C.3D.5分析：，，()()0f T f T =-=(()()(2222T T T Tf f f T f -=-=-+=∴，则可能为5，选D.(()022T Tf f -==n 4．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求()x f 2=x 4=x 10≤≤x ()x x f =的值.()5.19f 分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，()x f 2=x ()()x f x f -=+22同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.()x f ()()x f x f -=+44()x f ，同时还知是偶函数，所以()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ()x f .()()5.05.05.0==-f f 5．，则，，，…，()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()0f ()1f ()2f 中最多有（ B ）个不同的值.()999f A.165B.177C.183D.199分析：由已知()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+.()()()1760704352f x f x f x =+=+=+又有()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+，()21581056f x =-+⎡⎤⎣⎦()()()11021102105646f x f x f x =-=--=-于是有周期352，于是能在中找到.)(x f ()()(){}0,1,,999f f f ()()(){}0,1,,351f f f 又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的)(x f 23x =()()(){}23,24,,351f f f )(x f 图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B.199x=()()(){}23,24,,199f f f 6：已知，，，…，，()113xf x x+=-()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦则（ A ）.()20042f -=A. B.C. D.317-1735-分析：由，知，，.()113x f x x +=-()1131x f x x -=+()2131x f x f x x -⎛⎫== ⎪+⎝⎭()()3f x f x =为迭代周期函数，故，，.)(x f ()()3n f x f x =()()2004f x f x =()()20041227f f -=-=-选A.7：函数在R 上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则)(x f )(x f ()02005f =()()1g x f x =-的值为 .()2005f 解：，，令，则()()()()11gx f x g x f x -=--=-=--()()11f x f x --=--1y x =+，即有，令，则，其中，()()2f y f y -=--()()20f x f x +-=()n a f x =20n n a a -+=02005a =，，10a =()20052n n n a i i ⎡⎤=+-⎣⎦()20052005f a ==()2005200520052i i ⎡⎤+-⎣⎦. 或有，得0=()()2f x f x =--()()()()2005200320011999f f f f =-==-=.()10f ==8．设函数为奇函数，则（ c ）))((R x x f ∈),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+==)5(f A ．0B ．1C ．D ．525分析：答案为B 。
