余弦定理导学案

余弦定理导学案1教学目标依据课程标准,结合学生的认知水平和年龄特点,确定本节课的教学目标如下:1.1知识与技能目标:能推导余弦定理及其推论,能运用余弦定理解已知“边,角,边”和“边,边,边”两类三角形。

1.2过程与方法目标:在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

1.3情感与态度目标:培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事求是,扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题,认识世界;通过本节的运用实践,体会数学的科学价值,应用价值.2学情分析评论本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。

3重点难点评论本节课的教学重点是:余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

突出重点方法:“抓三线、突重点”,即(一)知识技能线:问题情境→公式推导→公式运用;(二)过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→构造直角三角形等→转化、方程思想;(三)能力线:观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.本节课的教学难点是:利用向量的数量积证余弦定理的思路如何产生。

突破难点手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,及时地给以鼓励,使他们知难而进;二抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导.4教学过程4.1第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】创设情境评论【PPT演示】某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度。

余弦定理导学案高二年级数学组知能目标解读通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.了解余弦定理的几种变形公式及形式.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理学习方法指导一、余弦定理余弦定理：在厶ABc中，/ A, / B, / c的对边分别为a, b , c , 那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.即三角形任何一边的平方等丁其他两边的平方和减公这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.余弦定理也为求三角形的有关量提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA=，cosB=，cosc=.由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦沱理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明证明：方法1:如图所示，以A为原点，△ ABc的边AB 所在直线为x轴，建立直角坐标系.则A,c,B,由两点间的距离公式得Bc2=2+2,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.方法2:如图.当厶ABc为锐角三角形时，过c作cD丄AB于D,则cD=bsinA,AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.在Rt △ BcD 中，Bc2=cD2+BD2即a2=b2sin2A+2. 所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.如图，当△ ABc为钝角三角形时，过c作cD垂直于AB的延长线，垂足为D,贝U AD=bcosA,cD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在Rt △ BcD 中,Bc2=cD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.二、余弦圧理的应用余弦定理主要适用以下两种题型已知二边求二角，用余弦定理，右解时只有一解；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理余弦定理语言叙述：三角形任何一边的平方等于减去的积的公式表达：a2= b2= c2=变形：cosA= cosB= cosc=余弦定理及其变形的应川应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形，另一类是已知解三角形.［答案］ 1.其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc 夹角二边思路方法技巧命题方向已知三边解三角形［例1］在厶ABc中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinc.［分析］在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.［解析］T a〉c > b, ••• A为最大角，由余弦定理得，cosA== — j又••• 0°v A v 180°, ■: A=120°,••• sinA=sin120 ° =.出正弦疋理=得，sinc===.•最大角 A 为120 ° , sinc=.［说明］求sinc也可川MM方法求解：cosc===,•c为锐角.sinc===.在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用1在厶ABc中，已知：：=4: 5: 6,求厶ABc的最大内角.［解析］设b+c=4,c+a=5,a+b=6.则a+b+c=7.5,解得a=3.5,b=2.5,c=1.5.•a是最大边，即角A是厶ABc的最大角.由余弦定理，得cosA==-,••• 0°v A v 180° , • A=120°,即最大角为120° .命题方向已知两边及一角解三角形［例2］△ ABc中，已知b=3,c=3, / B=30° ,解三角形.［分析］出题冃町知以卜信息：①已知两边和其中一边的对角②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角c,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A,角 c.［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+2-2a x 3X cos30 °,••• a2-9a+18=0,得a=3 或6.当a=3 时，/ A=30° , / c=120° .当a=6时，由正弦定理sinA===1.•••/ A=90° ,•••/ c=60 ° .解法二：由bcsin30 ° =3x =知本题有两解.由正弦定理sinc===,•••/ c=60 °或120° ,当/ c=60 °时，/ A=90° ,由勾股定理a===6.当/c=120 °时，/ A=30°,A ABc为等腰=角形，--a=3.［说明］知两边和一角解二命丿E时有两种方法: 利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长直接用正弦定理，先求角再求边.用方法时要注意解的情况，用方法就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在厶ABc中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ c的对边，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bb>c,•••最大角为 A.sinA=，若A为锐角，则A=60°, .乂c--cosA=-,设c=x,贝U b=x+2,a=x+4.• •=—•x=3，故三边长为3, 5, 7.二、解答题在厶ABc 中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求厶ABc 的面积.［解析］T b2-bc-2c2=0, • 2--2=0,解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,与b=2c联立解得b=4,c=2. I cosA=,•sinA==,•S A ABc=bcsinA=.课后强化作业>选择题<△ ABc 中，b=5,c=5,A=30 ° ,则 a 等于A. 5B. 4c.3D.10［答案］ A［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2, ••• 2X 5X 5X cos30 ° = 52 + 2-a2,--a2=25, —a=5.在厶ABc中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为A.B.c.D.或［答案］c［解析］T a2=b2+c2+bc,•. cosA===,又••• 0<A< n , • A=.在厶ABc中，若a=+1,b=-1,c=,则厶ABc的最大角的度数A.60B.90 °c.120 °D.150 °［答案］c［解析］显然〉+1>-1,--cosc==-=—，…c=120 .△ ABc的三内角A、B、c所对边长分别为a, b, c,设向量p=,q=.若p II q,则/ c的大小.为A.B.c.D. n［答案］B［解析］I p=,q=且p I q,••• -b=0 J即a2+b2-c2=ab,cosc===.• c=.在厶ABc中，已知2a2=c2+2,则/ A的值为A. 30 °B. 45 °c.120D.135 °［答案］D［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc, ••• a2=b2+c2+bc,••• b2+c2-a2 = -bc,又b2+c2-a2=2bccosA,•2bccosA=-bc,--cosA=-,•A=135° .若厶ABc的内角A、B、c所对的边a、b、c满足2-c2=4 , 且c=60。

余弦定理的教案（通用3篇）余弦定理的篇1一、单元教学内容运算定律P——P二、单元教学目标1、探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。

3、会应用运算律进行一些简便运算，掌握运算技巧，提高计算能力。

4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中，体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。

5、在经历运算定律的字母公式形成过程中，能进行有条理地思考，并表达自己的思考结果。

6、经历简便计算过程，感受数的运算与日常生活的密切联系，并在活动中学会与他人合作。

7、在经历解决问题的过程中，体验运算律的价值，增强应用数学的意识。

三、单元教学重、难点1、理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。

四、单元教学安排运算定律10课时第1课时加法交换律和结合律一、教学内容：加法交换律和结合律P17——P18二、教学目标：1、在解决实际问题的过程中，发现并掌握加法交换律和结合律，学会用字母表示加法交换律和结合律。

2、在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。

3、培养学生的观察能力和概括能力。

三、教学重难点重点：发现并掌握加法交换律、结合律。

难点：由具体上升到抽象，概括出加法交换律和加法结合律。

四、教学准备多媒体五、教学过程（一）导入新授1、出示教材第17页情境图。

师：在我们班里，有多少同学会骑自行车？你最远骑到什么地方？师生交流后，课件出示李叔叔骑车旅行的场景：骑车是一项有益健康的运动，你看，这位李叔叔正在骑车旅行呢！2、获取信息。

师：从中你知道了哪些数学信息？（学生回答）3、师小结信息，引出课题：加法交换律和结合律。

（二）探索发现第一环节探索加法交换律1、课件继续出示：“李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km，一共骑了多少千米？”学生口头列式，教师板书出示： 40+56=96（千米） 56+40=96（千米）你能用等号把这两道算式写成一个等式吗？ 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗？学生独自写出几个这样的等式，并在小组内交流各自写出的等式，互相检验写出的等式是否符合要求。

第一章 解三角形第一节 正弦定理和余弦定理（第2课时）一、学习目标1.了解用向量法证明余弦定理的推导过程.2.掌握余弦定理及其推论.3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.【重点、难点】余弦定理;余弦定理的应用二、学习过程【情景创设】如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ,量出A 到山脚B 、C 的距离,其中AB=km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A 对山脚BC (即线段BC )的张角∠BAC=150°,你能通过计算求出山脚的长度BC 吗?【导入新课】问题1:上述问题中,山脚BC 长度的求解可用余弦定理,余弦定理的内容是什么?余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a 2= ;b 2= ;c 2= .问题2:余弦定理的推论:cos A= ;cos B= ;cos C= .问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具.(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用 的观点,可以知三求一.(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是①已知 ,解三角形;②已知 ,解三角形;③已知 ,解三角形.问题4:判断三角形的形状在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,(1)若cos A=cos B ,则 ;(2)若cos(A-B )=1,则 ;(3)若cos A>0⇔ ⇔A 是锐角;(4)若cos A=0⇔ ⇔A 是直角;(5)若cos A<0⇔ ⇔A 是钝角.答案：问题1:b 2+c 2-2bc cos A c 2+a 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C问题2:b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab问题3:(1)方程 (2)三边 两边及其夹角 两边及其一边的对角问题4:(1)A=B (2)A=B (3)b 2+c 2-a 2>0 (4)b 2+c 2-a 2=0 (5)b 2+c 2-a 2<0【典型例题】例1、在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A .例3、在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A ＋B)，试判断该三角形的形状．【变式拓展】1、在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.2、在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．3、在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．三、学习总结1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.四、随堂检测1．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π122．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.234．在△ABC 中sin 2A 2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形5．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45°C ．60°D ．120°6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．8．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．。

第1篇一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修5第一章，是解三角形的重要内容。

余弦定理是三角形中边长与角度之间的重要关系，对于解决三角形边角关系问题有着重要意义。

学生在学习本节课前，已经学习了勾股定理、向量基本知识和正弦定理等相关知识，为本节课的学习奠定了基础。

二、学情分析学生对三角形边角关系有一定的认识，对于已知两边及夹角求第三边或角度问题有一定的求知欲。

本节课旨在通过余弦定理的学习，帮助学生掌握三角形边长与角度之间的关系，提高解决三角形问题的能力。

三、教学目标1. 知识与技能：- 理解并掌握余弦定理的两种表示形式。

- 掌握余弦定理的推导、证明过程。

- 能运用余弦定理及其推论解决三角形边角关系问题。

2. 过程与方法：- 通过实际问题，培养学生知识迁移能力。

- 通过从直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。

- 通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度价值观：- 感受数学思维的严谨性，体会数学公式的对称美。

- 激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、团结的精神。

四、教学重难点1. 教学重点：余弦定理的推导过程及其基本应用。

2. 教学难点：理解余弦定理的基本应用，灵活运用余弦定理解决实际问题。

五、教学方法1. 情境教学法：创设问题情境，激发学生学习兴趣。

2. 启发性教学法：引导学生主动探究，培养逻辑思维能力。

3. 讨论法：组织学生讨论，培养合作交流能力。

4. 演示法：通过图形、动画等形式展示知识，帮助学生理解。

六、教学过程第一课时：余弦定理的推导与证明1. 导入新课：通过实际问题引入余弦定理，激发学生学习兴趣。

2. 推导余弦定理：- 利用平面几何法推导余弦定理。

- 利用坐标法（两点距离公式）推导余弦定理。

- 利用向量法推导余弦定理。

3. 证明余弦定理：- 利用三角函数关系证明余弦定理。

- 利用向量知识证明余弦定理。

4. 课堂小结：总结本节课所学内容，帮助学生巩固知识。

余弦定理教案余弦定理教案范文（通用5篇）余弦定理教案1一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

1.重点：掌握余弦定理及其推论.难点：掌握正、余弦定理的综合应用.2.易错点：能应用余弦定理判断三角形的形状.【自主学习】一、余弦定理1.三角形中任何一边的_____等于________________的和______这两边与它们的______的余弦的积的_______．即a2＝____________________，b2＝_____________________，c2＝_____________________.2．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．(1)已知三边，求_______．(2)已知______和它们的_______，求第三边和其他两个角．二、余弦定理的变形1.余弦定理的变形cos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝_________________.2．利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________；c2>a2＋b2⇔C为______；c2<a2＋b2⇔C为_______．【合作探究】例1.在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B ＝30°，求角A，角C和边a. 对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？探究2在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？例2.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B ＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．【课堂练习】1．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°2.在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为．【题后反思】沧州市颐和中学高一数学导学案2016—2017学年第二学期必修五第__2__号。

§1.1.2.《余弦定理》导学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本运用；【学习难点】利用向量的数量积证余弦定理的思路；一、复习回顾：1.正弦定理： ；2.正弦定理在解三角形当中能解决的两类问题： ；二、知识探索：问题1：在ABC ∆中，已知b CA a CB ==,,CB 与CA 的夹角为C ∠，求边C 。

能用正弦定理求吗？为什么？探究1：对上述问题，我们需要引入余弦定理来进行求解了，容易想到向量的 与向量夹角的余弦有关，并且边长可以用向量的 来进行表示，因此接下来用向量的方法来探讨上述问题。

将问题转化为如下的向量问题：如图，在ABC ∆中,若已知向量b CA a CB ==,,并且它们的夹角为C ∠，求AB 。

由向量减法的三角形法可以得： AB = 22AB CB CA ∴=- ===即2c = 同理还可以得到：2a = 2b = 归纳可得余弦定理的内容如下：1.余弦定理： ； ； ； 请大家用文字来描述一下余弦定理： ； 从上面三个等式可以看出，若已知三角形的两边及其夹角，可以求出第三边。

若已知的是三角形的三边，又该如何求解三角形的三个内角呢？易想到对上面三个式子进行变形得：2.余弦定理的变形： ； ； ；三、知识运用：类型一：已知两边及其夹角解三角形例1.在△ABC 中，已知AB=10km ，BC=4km ，∠B=︒120，求 A,C 两点间的距离。

A B C a b c变1：在ABC ∆中，已知 60,34,32===B c a ，求b 和角A 。

类型二：已知三边解三角形例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a, 解三角形。

变2：已知ABC ∆的三边分别为7，2,1，求这个三角形的最大内角，并判断这个三角形的形状。

变3：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：在ABC ∆中，已知b=4,c=15 ,C=60°求边a.思考：1、变式2中若将条件改为三边的比值为1:2:7 ，该如何求解？ 2、在A B C ∆中，已知cc b A 22cos 2+=（a,b,c 分别为角A,B,C 的对边），判断ABC ∆的形状。

余弦定理（第一课时）学习目标：1.掌握证明余弦定理的向量方法；2.掌握余弦定理的两种表示形式；3.能够运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；4.能够运用余弦定理判断三角形形状；重点:余弦定理.难点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.学法指导：1.先精读一遍教材P49-P51，用红笔进行勾画，再针对预习内容二次阅读并回答问题；2.若预习完可对探究案部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑.预 习 案Ⅰ.相关知识1.三角形知识（1）三角形内角和定理:_____________________（2）三角形中边角关系:_____________________2.正弦定理—任意角的三角函数值3.平面向量知识1.（1）向量的基本概念 （2）向量的运算性质2. 向量数量积的运算公式:_________________________Ⅱ.预习内容1.余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和，减去这两边与它们的夹角 的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-； 2b = , 2c =___________________.2.用向量法证明余弦定理2222cos b c a ca B =+-.3. 余弦定理的变形式：（1）222cos 2b c a A bc+-=，cos B =_______________， c o s C =________________.探 究 案探究一：用向量的方法去证明余弦定理余弦定理的理解总结：探究二：教材49问题提出部分问题1.已知三角形的两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？例1 △ABC 中，已知120,1,1===C b a ,求c A B 、与\问题2.已知三角形的三条边(或三边关系)，怎么求出它的三个角呢？例2 已知ABC ∆中，::3:5:7a b c =，求△ABC 的最大角.总结：探究三：判断三角形的形状例3 在 ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则 ABC ∆是什么三角形？总结：。

高一（下）数学必修5 编号：SX-16-066《余弦定理》导学案小组：姓名：【学习目标】1. 掌握余弦定理的内容；2. 掌握余弦定理的证明方法；3. 会运用余弦定理解斜三角形的两类基本问题．【知识链接】1、正弦定理公式内容：2、可以解决两类有关三角形的问题：①______________________________________________②______________________________________________ 【学习过程】参考课本P5证明问题Cabbac cos2222-+=,请尝试证明Abccba cos2222-+=问题1、在△ABC中，已知边cb,和角A，请用cb,和角A表示边a同理=2b_____________________________（此式对任意三角形都成立吗？）综上可得余弦定理内容：如果已知三边求三个角的余弦，我们得到余弦定理的推论为：问题2、当角A 或B 或C 为直角时，此时余弦定理形式是怎样的？此时你发现余弦定理和勾股定理有何关系？问题3、通过余弦定理判断三角形的角如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是例1、在△ABC 中，已知 45,26,32=+==B c a ，求b 及A.例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a ，求角A 、B 、C 。

例3、在△ABC 中，已知222c b a +>，那么△ABC 是 【 】A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定【课堂小结】1、余弦定理及其推论的内容是什么？2、余弦定理可以解决三角形中的哪两类问题？① ② 【当堂检测】1．6,22,2===c b a ，则=A cos ，=B cos ；=C cos .2. △ABC 中， 2,7,3===c b a ，求B ，并判断△ABC 的形状。