复变论文

复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。

它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。

本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。

但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。

[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。

将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3)求方程的全解
Y(0)=A+B+1/3=1
解得A=5/2,B=-11/6
拉氏变换方法
由本例题可以看出经典方法和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出办法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦得多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物理概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用哪种方法做题还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间，如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。
由于篇幅有限，本文介绍的复变函数与积分变换中与解决本专业的问题只是冰山一角。在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅要作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中，对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用，因此，复变函数与积分变换课程的学习，有助于我们创新思维能力的训练和培养，培养我们运用基本理论和方法，解决实际问题的意识，兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变化换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定势，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。

论文目录1．摘要 (1)2．关键词 (1)3．引言 (1)4．理论 (1)5．参考文献 (6)8．英文摘要 (6)全文共15 页2,148 字复变函数论- - 2 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。

运用留数定理来求解实变函数的积分。

利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。

运用留数定理来求解实变函数的积分。

利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。

2复变函数2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res 和Imz 。

复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=ϕρi e z =叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。

2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。

商的定义物理与电子信息学院期中论文- 3 -.e )]sin(i )[cos()i(212121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=n 次根号的应用.e )sin i (cos /i n n nnnn z ϕρϕϕρ=+=2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。

复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。

从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。

复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。

复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。

复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。

虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。

复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。

复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。

复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。

复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。

2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。

复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。

复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。

复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。

通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。

复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。

王琪材料31 2130201019。