第7章 统计物理初步

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基于这一假设，设在x轴方向速率v1x=100m/s 的 分子数为n1，在y轴方向速率v1y=100m/s 的分子数为n1， 在z轴方向速率为v1z= 100m/s 的分子数也为n1; 设在x轴方向速率v2x=500m/s 的分子数为n2，在y轴 方向速率v2y=500m/s 的分子数为n2，在z轴方向速率为 v2z= 500m/s 的分子数也为n2;
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气体分子热运动为无规则运动。无规则热运动非 无规律运动，大量分子组成的整体具有统计规律性。 提出统计假设： a) 无外力场时，处于平衡态的气体分子在空间的 分布是均匀的。即在容器中任一处，气体的分子数密 度n都相等。 (为什么？) 因分子沿任意方向运动的概率相等。 vx = v y = vz = 0 b) 气体在平衡态时，具有相同速率的分子向各个 方向运动的分子数是相等的。
即总压强等于各气体分压强之和 —— 道尔顿分 压定律。
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例7-4 容器: p=2.76×105pa，V=1m3， N1=1×1025个氧分子， N2=4×1025 个氮分子， 求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。
2 N1 + N 2 2 ω 解：由压强公式：p = nω = ⋅ V 3 3
3 pV 所以 ω = =8.26 ×10-21J 2( N 1 + N 2 )
. . . . x . . dx dM . . . . . . . . x S
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§7-3 理想气体的压强和温度 一.理想气体的微观模型
对理想气体分子运动有以下的力学假设： 1. 分子本身的大小可以忽略。
d ≈ 10−10 m,
r ≈ 10−9 m, d << r
2. 分子间距离很大，除碰撞瞬间外，可不计分子 间的相互作用力；如无特殊考虑，重力也可忽略。 3. 分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完 全弹性的，即气体分子的动能不因碰撞而损失。
υiy
. υiz . m . s . υ .i A . . .
υix
对各种速度求和，得 单位时间内给面积s的总冲 量 平均冲力:

υix
F=
x
i(
2 smn υ ∑ υ
ix > 0 )
2 ix
i
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单位面积上的平均冲力压强为:
F 2 = ∑ 2mniυ ix p= s i (υ ix > 0 )
2 2 n v + n v 2 1 1z 2 2 z + ... = vz = n1 + n2 + ...
N
2 2 2 根据以上假设，得到： v x = v y = vz
2 vx
2 v 、y
2 v 、 z 分别表示沿x、y、z方向的速率平方
平均值。
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因
2 2 v 2 = vx + vy + v z2
….
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于是，有：
2 2 n v + n v 2 1 1x 2 2 x + ... = vx = n1 + n2 + ...
2 2 n v + n v 1 1y 2 2 y + ... 2 vy = = n1 + n2 + ...
2 n v ∑ j jx j
N
2 n v ∑ j jy j
N
2 n v ∑ j jz j
N 1 − N 2 ( p1 − p2 )V 能用天数： D= = = 9.6( 天 ) Nd pdVd 16
例7-3 金属管下端封闭，上端开口。加热到 下端T1=1000K，上端T2=200K，设温度沿管长均 匀变化。然后停止加热、封闭开口端，冷却到 TE=100K，求管内压强(设大气压为po)。 解: 关键是求出管内气体的质量。
衡态？不是！
原因：1. 外界在加热；2. 水的质量在不断减少。 • 平衡态不同于系统受恒定外界影响所达到的 定态。
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平衡态的特点 (1)单一性 (p，T 处处相等)； (2)物态的稳定性—— 与时间无关； (3)热动平衡(有别于力平衡)。
• 平衡态的概念是一个理想的概念。
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三. 状态参量
微观量：描述个别分子运动状态的物理量 (不可直接测量)，如分子的m，v等。 宏观量：表示大量分子集体特征的物理量(可 直接测量)，如 p，V，T 等。
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本章体系 理想气体 状态方程
平衡态
理想气体 分子模型
统计假设 力学假设
压强公式 温度公式
方均根 能均分定理 速率
麦氏速率分布律
平均 速率
最概然 速率
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§7.1 热力学系统 平衡态 一.热力学系统
大量分子和原子的集合⇒热力学系统 与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量 交换)的系统，称为孤立系统。 与外界没有质量交换和但有能量交换的系统， 称为封闭系统。 与外界既有质量交换又有能量交换的系统， 称为开放系统。
大学物理学
(Ⅱ)
物理电子学院：刘普生
沙河：逸夫楼-443 psliu@ 13398194175
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注意事项
1. 成绩构成 2. 交作业 3. 习题集 4. 答疑
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大学物理学包含了力学、热学、电学、 光学和现代物理五个部分。 其中，力学、光学在上期已经讲授，本期首 先讲热学，然后讲电磁学和量子物理。 热学研究的对象：大量分子的热运动。 目的：解释热现象的规律和应用规律于实践。 分为两部分：热力学和统计物理初步(分子 动理论) 。
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二.平衡态
举例: 将水装在开口的容器中，水将不断蒸发。 如果把容器封闭，经过一段 时间后，蒸发将停止。水和蒸 汽达到饱和状态。如果没有外 界影响，容器中的水蒸气的温 度、压强、体积、质量和密度 都不随时间变化。
汽
水
将水和水蒸气这种状态称之为平衡态。
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在不受外界影响的条件下，系统的宏观性 质不随时间变化的状态，称为平衡态。 再看一例： 给敞开的容器加热，在水沸腾后， 沸水的温度也不变。这时沸水所处的状态是否为平
1 = nm υ 2 3
2 1 = n( m υ 2 ) 3 2
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压强：
2 1 2 p = n( m υ ) 3 2
1 令 ω = m υ 2 —气体分子的平均平动动能 2
理想气体的压强公式：
2 p = nω 3
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三.温度的统计意义
pV =
M
µ
RT = vRT
理想气体状态方程又可写为 pV = NkT 或
p =nkT
n=N/V—分子数密度。
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2 因 p =nkT， p = nω 3
从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为
1 3 2 ω = m υ = kT 2 2
可见，温度是分子平均平动动能的量度 —— 这 就是温度的统计意义。 应指出，温度是大量分子热运动的集体表现， 只具有统计意义；对于单个分子，说它有温度是没 有意义的。
微观量
统计平均
宏观量
气体处于平衡态的标志是状态参量P、V、T处 处相同且不随时间变化。
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§7.2 理想气体 的状态方程
严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖-吕萨克定 律、查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体，称为理想 气体。 压强越低，温度越高，实际气体越接近理想气体。 理想气体的状态方程:
pV =
M
µ
又
2ω 3 ，所以温度： T= ω = kT 3k 2
=400K
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例7-5 两瓶不同种类的气体，温度、压强相 同，但体积不同，则 (1) 它们单位体积中的分子数 (p=nkT) (2) 它们单位体积中的气体质量 (ρ=M/V=Nm/V=mn) (3) 它们单位体积中的分子平均平动动能的总和 相同 3 不相同 相同
υix 分子各占一半，故压强： . υiz . m . 1 2 s . p= 2mniυ ix υ i . 2 i A . . . 2 υiy
平均来说， υix>0和υix<0的
∑
υix
=
x
∑ mn υ
i i
ix
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p=
∑ mn υ
i i
2 ix
=m
∑
i
niυ ix = mn
2
∑
i
niυ ix n
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四. 混合气体内的压强 道尔顿分压定律
设容器内有多种气体， n=n1+n2+…+ni…+nn , 其中ni是第i种气体的分子数密度，由压强公式有
3 2 ω = kT p = nω 3 2 2 2 2 = n1ω + n2ω + ... + nnω 3 3 3 于是有 p=p1+p2+……+pn
所以
1 2 v =v =v = v 3
2 x 2 y 2 z
以上关于理想气体分子运动的力学假设和统计假 设构成了理想气体的微观模型，它是从微观上分析气 体性质的出发点。
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二.理想气体的压强公式
理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器 壁的压强，是大量分子对器壁不断碰撞的结果。 设分子质量为m, 分子数密度为n, 而速度为υ i 的分 子数密度为ni 。
po S L ∴ν = ln 5 R (T1 − T2 )
S . . . . . .
x dx
x
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po S L ν= ln 5 R (T1 − T2 )
末态： 封闭开口端，使管子冷却到TE= 100K， 求管内压强。
pSL = νRTE
TE ln 5 po p= T1 − T2
最后得
L
ln 5 p= po=0.2po 8
T1 − T2 T = T2 + x L
初态，定态；末态，平衡态。