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Matlab在高等代数中的应用

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Matlab在高等代数中的应用

Matlab在高等代数中的应用

toc
err=norm(y-x) res=norm(A*y-b)
tic
Yy=A\b; Toc; Err=norm(Yy-x); Res=norm(A*Yy-b);
矩阵和向量的范数
A=[2 3 1;-4 2 2;3 4 3]; norm(A,1) Norm(A,2)
解超定方程组
C=[3 4 5; 6 1 2; b=[3 2 4 6]‘ rankΒιβλιοθήκη C) x1=C\b C*x1-b
4 -5 7;
8 2 4]
X2=pinv(C)*b
解欠定方程组
解欠定方程组
A=[1 -2 3; 0 1 -1; -1 0 -1; 1 -3 4] b=[4 -3 -4 1]‘ rank(A) x=pinv(A)*b y=A\b
如何解通项
特征值和特征向量
特征值和特征向量
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
d = eig(A) [V,D] = eig(A) A=[1,2,3,4;5,6,7,8;6,7,8,9;4,3,2,8] eig(A) [v,d]=eig(A)
A*v(:,1) d(1,1)*v(:,1)
线性方程组解法
直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b

matlab软件在高等数学教学课堂上的应用

matlab软件在高等数学教学课堂上的应用

matlab软件在高等数学教学课堂上的应用摘要：本文介绍了matlab软件在高等数学教学课堂上的应用。

首先，我们介绍了matlab软件的基本特点和优点，主要包括matlab 软件的易用性、高效性和多功能性。

然后，我们结合高等数学教学的实际情况，分析了matlab软件在高等数学教学课堂上的应用，主要包括matlab软件在微积分、线性代数、概率论与数理统计等方面的应用。

最后，我们总结了matlab软件在高等数学教学中的优点和不足之处，并提出了进一步完善matlab软件在高等数学教学中的应用的建议。

关键词：matlab软件；高等数学教学；微积分；线性代数；概率论与数理统计一、matlab软件的基本特点和优点matlab软件是一种数学软件，主要用于进行数学计算、数据分析和可视化等方面的工作。

matlab软件具有以下几个基本特点和优点：1.易用性：matlab软件的界面简洁明了，操作简单易学，适合各种不同层次的用户使用。

2.高效性：matlab软件的计算速度非常快，可以快速处理大量的数学计算和数据分析工作。

3.多功能性：matlab软件具有多种不同的功能模块，包括数学计算、数据分析、可视化、编程等方面的工作，可以满足不同用户的不同需求。

二、matlab软件在高等数学教学中的应用matlab软件在高等数学教学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1.微积分：matlab软件可以用于微积分的计算和可视化，可以帮助学生更好地理解微积分的概念和原理。

例如，可以使用matlab 软件计算函数的导数和积分，绘制函数的图像和曲线，进行微积分的应用实例分析等。

2.线性代数：matlab软件可以用于线性代数的计算和可视化，可以帮助学生更好地理解线性代数的概念和原理。

例如，可以使用matlab软件计算矩阵的行列式、逆矩阵、特征值和特征向量等，绘制矩阵的图像和曲线，进行线性代数的应用实例分析等。

3.概率论与数理统计：matlab软件可以用于概率论与数理统计的计算和可视化，可以帮助学生更好地理解概率论与数理统计的概念和原理。

matlab在高等代数试题库实现中的应用探讨

matlab在高等代数试题库实现中的应用探讨

98 信息记录材料 2019年10月 第20卷第10期1 引言Matlab是美国的MathWorks公司在1984年在数学领域研发出的计算软件，Matlab也可称为矩阵实验室，它凭借自身超强的数值计算能力帮数学上的图形增强视觉效果，凭借此可以更好的帮助教师丰富高等代数试题库，使数学问题变得更加有趣，提升高效学生对数学特别是高等代数的兴趣。

随着教育改革的不断推进，我国开始逐步重视高等院校的教育问题，越来越多的高校都改变了传统的教学方式，通过不断尝试新兴的信息技术来提高教学水平，开始重视Matlab教学软件在教学时的应用。

Matlab凭借其独特的直观性和简便性，将数学中的基本理念和理论更好的让学生理解，将抽象的数学问题具体化。

Matlab作为一种高级的矩阵语言，可以帮助用户更好的了解高等代数，新版本的Matlab是基于C++语言上的，语法特征更加简单，更符合用户的使用，可以更好的帮助Matlab深入到数学各个领域。

2 Matlab的基本功能及应用Matlab在高等代数课程中主要作用有两个：（1）通过Matlab软件计算方便和操作简单的特点，帮助使用者简化了求导的过程，将导数、积分、极限的结果直接呈现给使用者，提高课堂效率，在核对学生答案时更简便；（2）Matlab可以将图形呈现的更加直观形象，将学生任务难以理解的数学概念具体化、可视化呈现在学生面前。

大学教师在进行高等代数试题库的完善运用Matlab时，可以选用MathType，尤其是支持OLE技术，这样可以更方便对数学公式、数学元素等内容的调用。

2.1 Matlab的处理功能Matlab包含了大量的计算算法，可以满足用户各种计算需求，同时Matlab经过的多重优化和容错处理，可以更好的将数学公式的录入、编辑及修改等简单化，更好的帮助教师完成教学任务。

另外，Matlab具有的数据可视化功能，可以将高等代数中的矩阵和向量用可标注的图形表现出来，进行高层次的作图。

第3章MATLAB在高等数学中的应用

第3章MATLAB在高等数学中的应用

第3章MATLAB在高等数学中的应用第3章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析3.2 多项式运算 3.3 数据的分析与统计 3.4 函数分析与数值积分3.1 矩阵分析1．矢量范数和矩阵范数矩阵范数是对矩阵的一种测度。

矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为：当p＝2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和∞。

这在MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。

格式：n ＝norm(A)功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A))。

格式：n＝norm(A，p)功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得到不同的范数2．矩阵求逆及行列式值⑴矩阵求逆函数inv及行列式值函数de t逆矩阵的定义：对于任意阶n×n 方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：AV=I。

其中I为n阶的单位矩阵eye(n) 。

则V就是A的逆矩阵。

数学符号表示为：V=A-1。

逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。

格式：V=inv(A)功能：返回方阵A 的逆矩阵V。

格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。

⑵伪逆矩阵函数pinv伪逆矩阵的MATLAB定义：从数学意义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。

在MATLAB中，为了求线性方程组的需要，把inv(A′A)A′的运算定义为伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆在一定程度上代表着矩阵的逆。

格式：C=pinv(A)功能：计算非方阵A的伪逆矩阵。

3．线性代数方程求解写成矩阵形式可表示为：AX＝B 或 XA＝B。

其中系数矩阵A的阶数为m×n 。

在MATLAB中，引入矩阵除法求解。

(1)求解方程AX=B 格式：X=A\B 条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。

(2)求解方程XA=B 格式： X=B/A 条件：矩阵A 与矩阵B的列数必须相等。

一般线性方程组的4．矩阵的分解 (1)三角(LU)分解函数lu 所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=LU），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。

MATLAB在高等代数教学中的应用

MATLAB在高等代数教学中的应用

～『 ２ １＿ Ｉ ］
：
０． ７ ６ １８
－０． ９８３ ６
０． ７ ０２ ０
２ ／ ｌ Ｉ ３
采 用ＭＡＴＬＡＢ求 解 ， 只需 在Ｍ ＡＴＬ ＡＢ 软件 中的 命令 窗 口使用 ［ Ｄ ＝ ｉ （ 命 令 Ｖ， Ｊ ｅｇ Ａ）
＞ 【 ， ＝ ｕＡ） ＞ Ｌ ＵＩ ｌ （ Ｌ ＝Ｌ （ ｕ分解）
一
ｆ ｌ Ｉ １ 】 ｆ 一 ／ ３
调 用［ ＤＪ ｃ ｆ ｒ ｆ Ｄ 函数 ， 函数 Ｖ， ｄ ２ ｄ （ ＝ Ｖ， ） 该 的功 能 是 把 复 数 对 角 矩 阵 转 化 为实 数 块 对 角矩 阵 ， 如果 特 征方 程Ｉ Ｄ ＝ ｉ（ 有成 对 Ｖ， ｌｅｇＸ） 的复 特 征 值 ， ｄ ２ ｄ 把矩 阵 转 化 为 实对 角 ｃｆｃＩ 形 式 ， 角线 上 ２ ２ 对 ・ 实块 将 取 代 原有 的复 数
对 。 １
效 果
—
０． ００ ５ ０
１． ０ ５ ００
一Ｏ． ０ ５ ００
＞ Ａ＝ ３ ｌ １ ３ ｌ ； Ｄ ＝ ｉ（ ｝ ＞ 卜 ， ；／ ， 】ｆ 】 ｅ Ａ） Ｖ， ｇ 【 ＶＲ， ＤＲ］ ｃ ｆｒ ｆＶ， ＝ ｄ ２ ｄ （ Ｄ）
Ｖ Ｒ ：
一
１教学实例
＞ ｒｎ （ ＞ ａ ｋ Ａ１ ａ Ｓ ＝ 求 出秩） Ｉ ｌ ＇ （
【】梁 涛 ． 出数 学 计 算 中 的 结 果 ——论 高 １ 找 等 数学 与线 性 代数 的ＭＡＴ ＡＢ Ｌ 实现 ． 成 都教 育学 院学 报 ，０ ３１ ） ２ ０ （ １． ｆ】邓 微 ． Ａ Ａ ２ Ｍ ＴＬ Ｂ函数 速 查手 册 （ 修订 版 ） 【 ． 民邮 电 出版社 ， ０ ｏ ５ ． Ｍ】人 ２ １（）

第五章2 Matlab在高等数学中的应用

第五章2 Matlab在高等数学中的应用

第五章2 Matlab在高等数学中的应用第五章2 Matlab在高等数学中的应用主要内容5.1. 函数与极限计算 5.2. 代数方程的计算 5.3. 微商的计算5.4. 极值的计算 5.5. 积分的计算 5.6. 曲线积分和曲面积分 5.7. 微分方程(组)的求解 5.8. 无穷级数5.1. 函数与极限计算5.1.1函数计算如同使用高级计算器一样，给定自变量的数据即可获得对应的函数值，如 y=sin(x),并且可以同时计算任意多点的函数值。

5.1.2一元函数极限问题的解析解极限问题的一般描述为：A lim f ( x)x x0A lim f ( x)x x0A lim f ( x)x x0MATLAB符号运算工具箱中可以使用limit()函数进行计算，调用格式有：limit(f,x,a)limit(f,a) 符号函数f的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量。

limit(f)符号函数f的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，系统默认变量趋于0limit(f,x,a,’right’)limit(f,x,a,’left’)例如：5.1.3 多元函数的极限多元极限问题的一般描述为：A lim f ( x)x x0 y y0可以嵌套使用limit函数，调用形式如下： limit(limit(f,x,x0),y,y0),如果x0,y0不是确定的值，则极限求取顺序不能交换。

limit(limit(f,y,y0),x,x0)例如：5.2. 代数方程的计算MATLAB提供了求代数方程及方程组的命令函数，调用格式如下：roots(p) p是代表多项式的系数，按照降幂方式形成的行向量，适用于次数不超过20的多项式。

fzero(f,x0) 在x0附近寻找函数f的零点，如果x0是一个区间[a,b]时，则在[a,b]内寻找一个近似零点。

solve(f)求解表达式f的代数方程，求解变量为默认变量。

solve(f,x)求解变量为x sovle(f1,f2,...,fn,x1,x2,...,xn)求解f1,f2,...,fn 表示的代数方程组。

MATLAB在高等数学教学中的应用

MATLAB在高等数学教学中的应用【摘要】本文主要探讨了MATLAB在高等数学教学中的应用。

通过对微积分、线性代数、概率论与数理统计、常微分方程和多元函数微积分等领域的具体案例分析，展示了MATLAB在教学中的重要作用。

MATLAB提供了丰富的数学函数库和可视化工具，可帮助学生更好地理解和应用数学知识。

MATLAB还能够帮助教师更加生动地展示数学概念与原理，提高教学效果。

在对MATLAB在高等数学教学中的作用进行了总结，并展望了未来MATLAB在教学中的发展前景。

MATLAB 在高等数学教学中的应用将会持续发展，并对学生的数学学习和理解起到积极的促进作用。

【关键词】MATLAB, 高等数学教学, 应用, 微积分, 线性代数, 概率论, 数理统计, 常微分方程, 多元函数微积分, 总结, 展望1. 引言1.1 MATLAB在高等数学教学中的应用概述通过MATLAB，教师可以更加生动地展示数学概念、解决实际问题，并且可以进行直观的可视化展示，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

对于学生来说，他们可以通过MATLAB进行实践操作，加深对数学知识的理解，提高解决问题的能力。

MATLAB还可以帮助教师和学生们快速验证和验证数学模型，加快数学计算的速度，提高教学效率。

MATLAB在高等数学教学中的应用不仅可以丰富教学内容，提高教学效果，还可以激发学生学习数学的兴趣，促进他们对数学的深入探讨和研究。

在数字化时代，MATLAB的应用将为高等数学教学带来新的发展机遇和可能性。

2. 正文2.1 MATLAB在微积分教学中的应用微积分是高等数学中的重要学科，也是许多学生感到困惑的学科之一。

利用MATLAB软件可以帮助学生更好地理解微积分的概念和原理，并提升他们的数学建模和问题解决能力。

MATLAB可以用来绘制函数图像。

学生可以通过输入函数表达式和指定变量的取值范围，快速绘制出函数的图像。

这样可以直观地展示函数的性质，帮助学生理解函数在不同区间的变化规律。

MATLAB在高等代数中的应用


例 求解下列方程组
⎧2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8
⎪⎪⎪⎨2x1x−2
3x2 − x3
− +
6x4 2x4
= =
9 −5
⎪⎩x1 + 4x2 − 7x3 + 6x4 = 0
解 编写M文件ex3.m如下：
求得
format rat
⎡2 1 − 5 1 ⎤
a
=
⎢⎢1 ⎢0
−3 2
0 −1
− 6⎥⎥ ; 2⎥
例.求矩阵
⎡−1 1 0⎤ A = ⎢⎢− 4 3 0⎥⎥
⎢⎣ 1 0 2⎥⎦
—10—
的逆矩阵、秩、特征值、特征向量、特征多项式、特征根、正交矩阵、LU 分解
及 A。
输入命令(求出其数值解)
> > A = [ - 1 1 0 ; - 4 3 0 ;1 0 2 ]
A= -1
1
0
-4
3
0
1
0
2
> > inv ( A )
化为标准形。
解：二次型的矩阵为 由
⎡ 0 1 1 −1⎤
A
=
⎢ ⎢ ⎢
1 1
0 −1 −1 0
1
⎥ ⎥
1⎥
⎢⎣−1 1
1
0
⎥ ⎦
[P, D] = eig(A)
求得
⎡0.7887
P
=
⎢⎢0.2113 ⎢0.5774
⎢ ⎣
0
0.2113 0.7887 − 0.5774
0
0.5000 − 0.5000 − 0.5000 0.5000
运行结果： D=
-1.4108 0.3513 4.7879 9.2716 二次型非正定 说明：用all 函数判断特征值矩阵D 特征值是否全为正。 程序设计: Matlab 的文本编辑窗口编辑程序 A= [1 0 3 2; 0 1 2 1; 3 2 4 2; 2 1 2 7]; for i=1:4 B=A(1:i,1:i); fprintf ('第%d阶主子式值为',i) det(B) if (det(B) <0) fprintf('二次型非正定') break else fprintf('二次型正定') end

MATLAB在高等数学教学中的应用

MATLAB在高等数学教学中的应用1. 引言1.1 MATLAB在高等数学教学中的应用概述在微积分教学中，MATLAB可以用来绘制曲线和图形，解决数值积分和微分方程等数学问题，帮助学生更深入地理解微积分的概念和应用。

在线性代数教学中，MATLAB可以用来求解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量，加深学生对向量空间和线性变换的理解。

MATLAB在高等数学教学中的应用不仅帮助教师更好地传授知识，也提升了学生的学习效果和兴趣。

随着技术的不断发展和完善，MATLAB在高等数学教学中的应用前景将更加广阔，为数学教育带来更多的可能性和创新。

2. 正文2.1 MATLAB在微积分教学中的应用MATLAB可以用来绘制函数的图像，帮助学生直观地理解数学概念。

通过输入函数表达式，学生可以立即看到函数的图像，从而更好地理解函数的性质和特点。

MATLAB可以进行数值计算，帮助学生解决一些复杂的积分和微分问题。

对于一些无法通过解析方法求解的问题，可以利用MATLAB进行数值积分和数值微分，提高学生的问题求解能力。

MATLAB还可以用来进行符号计算，帮助学生简化复杂的数学表达式，进行代数化简和方程求解，加深学生对微积分概念的理解。

MATLAB在微积分教学中的应用可以帮助学生更好地理解和掌握微积分知识，提高他们的问题求解能力和数学建模能力。

通过结合理论知识和实际计算，MATLAB可以使微积分课程变得更加生动和有趣，激发学生对数学学习的兴趣。

2.2 MATLAB在线性代数教学中的应用1. 矩阵运算：在线性代数课程中，学生需要进行大量的矩阵运算，包括矩阵相加、相乘、求逆等操作。

利用MATLAB可以快速进行这些运算，并且可以帮助学生更好地理解线性代数的概念。

2. 线性方程组求解：线性代数中最基本的问题之一就是求解线性方程组。

MATLAB提供了很多线性代数相关的函数，可以帮助学生查找线性方程组的解，包括使用高斯消元法、LU分解等方法。

MATLAB在高等数学教学中的应用

MATLAB在高等数学教学中的应用【摘要】本文主要介绍了MATLAB在高等数学教学中的应用。

通过对微积分、线性代数、概率论与数理统计、常微分方程和数学建模等领域的具体应用展开讨论，分析了MATLAB在教学中的优势和作用。

在微积分教学中，MATLAB可以帮助学生更直观地理解数学概念，提高问题求解的效率；在线性代数教学中，可以进行矩阵运算、线性方程组求解等；在概率论与数理统计教学中，可以进行统计分析和模拟实验等；在常微分方程教学中，可以进行数值解法验证和实例演示等；在数学建模教学中，可以帮助学生将数学知识应用到实际问题中。

MATLAB在高等数学教学中的应用是多方面的丰富多彩的，对学生的学习和理解提供了更广阔的空间和机会。

【关键词】MATLAB, 高等数学, 教学, 应用, 微积分, 线性代数, 概率论, 数理统计, 常微分方程, 数学建模, 多方面, 丰富, 多彩1. 引言1.1 MATLAB在高等数学教学中的应用MATLAB在高等数学教学中的应用是非常广泛和多样化的。

通过使用MATLAB软件，教师能够更好地展示数学知识，帮助学生更好地理解和掌握数学概念。

在微积分教学中，MATLAB可以用来绘制函数图像、计算极限、导数和积分，帮助学生直观地理解微积分的概念和应用；在线性代数教学中，MATLAB可以用来求解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量，帮助学生更好地理解线性代数的基本概念和方法；在概率论与数理统计教学中，MATLAB可以用来进行概率分布的可视化、参数估计和假设检验，帮助学生更好地理解和应用概率统计知识；在常微分方程教学中，MATLAB可以用来求解常微分方程的初值问题和边值问题，帮助学生更好地理解微分方程的基本概念和解法；在数学建模教学中，MATLAB可以用来建立数学模型、进行数值模拟和优化求解，帮助学生更好地运用数学知识解决实际问题。

MATLAB在高等数学教学中的应用是多方面的丰富多彩的，可以极大地丰富教学内容，提高教学效率，激发学生学习兴趣，促进数学素养的提升。

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QR分解（任意矩阵）
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R， 使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
Zjbh.m
应用
参考matlab数学计算范例教程
tic
Yy=A\b; Toc; Err=norm(Yy-x); Res=norm(A*Yy-b);
矩阵和向量的范数
A=[2 3 1;-4 2 2;3 4 3]; norm(A,1) Norm(A,2)
解超定方程组
C=[3 4 5; 6 1 2; b=[3 2 4 6]‘ rank(C) x1=C\b C*x1-b
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
A = magic(3)
A+2
A' B = 2*ones(3) A*B A.*B
共轭矩阵
复数矩阵的共轭与复数的共轭类似，复数 矩阵的共轭矩阵与复数矩阵的实部相同， 虚部相反，可运用函数conj(A)求得
A=[1 2;3 4] C=conj(A) B=[1+2i 2+2i;1-i 3+i] D=conj(B)
MatLab在高等代数中的应用
‘求矩阵的转置 a =[1 2 3;4 5 6] a‘
det(A)
行列式的值 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 6] det(A)
单位矩阵，全1矩阵，全0矩阵,魔方阵 eye(n) ones(n),ones(m,n) zeros(n),zeros(m,n) magic(n)
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成 一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R， 则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数 chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称 正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以 x=R\(R’\b)。
A=[1 -2 -3 -4 2 2 -2 2 -1 0 -1 2 3 -3 4 -5] b =[1 2 3 4]' x =inv(A)*b A*x
A=rand(100); x=ones(100,1); b=A*x; Tic y=inv(A)*b;
toc
err=norm(y-x) res=norm(A*y-b)
A1=[1 2 -2 1]’ A2=[2 -3 2 1]’ A3=[3 -1 0 2]’ A4=[3 2 1 2]’ A=[A1 A2 A3 A4] [R,jb]=rref(A) A(:,jb)
方程组
恰定方程：有唯一解的方程组 欠定方程；有无穷多解 超定方程：解不存在的 ；
解恰定方程组
2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分 解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR 分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、 奇异分解等。
(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明， 只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格 式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf
广义逆矩阵
pinv(A)(AXA=A,XAX=X)
E=[2 2 3;4 5 6;
7 8 9;
10 11 12] rank(E) x=pinv(E); E*x*E
矩阵的迹trace
矩阵的初等行变换
A=[1 1 1;1 2 -5;2 3 -4]; B=rref(A)
d = eig(A) [V,D] = eig(A) A=[1,2,3,4;5,6,7,8;6,7,8,9;4,3,2,8] eig(A) [v,d]=eig(A)
A*v(:,1) d(1,1)*v(:,1)
线性方程组解法
直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b
4 -5 7;
8 2 4]
X2=pinv([1 -2 3; 0 1 -1; -1 0 -1; 1 -3 4] b=[4 -3 -4 1]‘ rank(A) x=pinv(A)*b y=A\b
如何解通项
特征值和特征向量
特征值和特征向量
例 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b) 例子：lutest
矩阵的秩
rank(A)
逆矩阵和广义逆矩阵
B=[1 2 3;4 5 6;7 8 6] inv(B) inv(B)*B B需为方阵
如果A不是方阵或 为奇异的方阵，函数会给出错误警告， 计算结果都是Inf
B= [ 1 4 7 2 3; 8 12; 8 6]
>> inv(B) Warning: Matrix is singular to working precision. ans =