文科概率参数方程和极坐标

极坐标及参数方程知识点及例题1极坐标与直角坐标的互化：1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)互化公式考点 极坐标与直角坐标的互化【例1】►1．2. 已知圆C：22(1)(1x y ++=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．4.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为.（2）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的参数方程可表示为. （3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==.（4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

极坐标和参数方程知识点总结极坐标和参数方程是高中数学中的一大知识点，也是数学中比较重要的一部分。

学好极坐标和参数方程，不仅能够提高我们的数学综合素质，同时也会对我们的实际生活产生一定的帮助。

本篇文章将从概念、性质、解法和应用等四个方面分别进行详细的讲解。

一、概念1. 极坐标极坐标是用角度和半径来描述平面上点的坐标系统。

一般来说，极坐标系是以一个原点O为中心的圆形坐标系，该圆形坐标系的极轴通常是x轴。

而由原点O到某个点P的线段长度，即OP的长度，则称为该点的极径，用r表示。

在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中，r是该点到原点O的距离，而θ则是该点到x轴正半轴的角度。

值得注意的是，由于θ可以是任意角，因此必须指明满足什么条件下的值。

2. 参数方程参数方程是一段曲线的x和y坐标均由一个t值决定的方程，这个t值可以是时间、速度等。

具体来说，对于曲线上任意一点P，其x坐标和y坐标均是由某些函数关于t的表达式所决定的，也即是x=f(t)和y=g(t)。

这个关系中的t被称为参数。

特别的，当t的自变量为弧长s时，称之为弧长参数方程。

二、性质1. 极坐标对称性对于任意一点P(x,y)，如果其对称点为P'(x',y')，那么P点的极坐标系坐标为(r,θ)，而P'点在极坐标系中的坐标应该是(r,θ+π)。

这个结论可以通过向量叠加来推导出。

2. 参数方程的导数问题在参数方程中，由于x和y变量都是关于参数t的函数，因此其导数就可以看作在时刻t时x和y分别对t的导数值。

具体来说，对于曲线上的任意一点P(x,y)，其切线方程为(dy/dt)/(dx/dt)，由于dx/dt在曲线上的每个点都不为零，因此任意曲线上的任意一点的切线都是有意义的。

三、解法1. 极坐标转换为直角坐标对于一个极坐标系中的任意点P(r,θ)，我们可以将其坐标转化为直角坐标系坐标。

具体来说，我们可以将x=r*cosθ，y=r*sinθ来表示该点的坐标。

2020届高考文科数学第一轮复习专题：极坐标与参数方程一、知识点：极坐标的概念; 直线、圆、椭圆的参数方程。

二、复习目标1、 理解和掌握参数方程和极坐标是高考中的一个重点。

2、 极坐标和参数方程是研究圆锥曲线一种非常有价值的方法，我们熟练这种方法，把这种方法应用到圆锥曲线中，并通过这个方法来培养学生分析数学、解决实际问题的能力。

3 、培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

三、复习重点：极坐标的相关知识; 直线、圆、椭圆的参数方程。

四、复习难点：用极坐标和参数方程解决曲线方程的综合性问题。

一、自我诊断 知己知彼1．点P 的直角坐标为)2,2(-，那么它的极坐标可表示为________． 【答案】 )43,2(π 【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==432sin cos πθρθρθρy x 。

2．在极坐标系中，若过点)0,1(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于B A 、两点，则=AB ________. 【答案】32【解析】注意到在极坐标系中，过点)0,1(且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是1=x ，曲线θρcos 4=的直角坐标方程是x y x 422=+，即4)2(22=+-y x ，圆心)0,2(到直线1=x 的距离等于1，因此32=AB 。

3．若直线⎩⎨⎧+=-=ty t x 3221(t 为实数)与直线14=+ky x 垂直，则常数=k ________.【答案】6-【解析】参数方程⎩⎨⎧+=-=t y tx 3221，所表示的直线方程为723=+y x ，由此直线与直线14=+ky x 垂直可得1)4()23(-=-⨯-k，解得6-=k 。

4．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中O 为极点)的面积． 【答案】3【解析】由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA·OB·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3. 5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x ，(θ是参数)的左焦点的坐标是________．【答案】)0,4(-【解析】题中曲线的直角坐标系的方程为192522=+y x ，其中4,3,5===c b a ，及左焦点为)0,4(-。

§11.1随机事件的概率①掷一枚硬币，正面朝上；①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②作100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，则出现正面的概率是m n ＝51100；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④投掷骰子100次，得总数是1的结果18次，则出现1点的频率是950.其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4(2014·江南十校联考)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A ：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是( )A ．事件A 发生的概率等于15B ．事件A 发生的概率等于25C ．事件A 是不可能事件D ．事件A 是必然事件(2013·安徽)从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是____________．(2013·武汉模拟)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28.若红球有21个，则黑球有______个．类型一 随机事件的概念同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？类型二 对立与互斥的概念判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有一名男生和至少有一名女生； (3)至少有一名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生．在10件产品中有8件正品、2件次品，从中任取3件：(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗？(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗？类型三 互斥与对立概念的初步运用经统计，在某展览馆处排队等候验证的(1)求至多2人排队的概率； (2)求至少1人排队的概率．一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．1．给出下列事件： ①同学甲竞选班长成功； ②两队比赛，强队胜利；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A ，B ，C 满足A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2师抽到死签；⑥七月天下雪；⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．其中属于随机事件的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2．某战士在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶3．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品4．(2013·济宁模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则抽查一件产品，恰好是正品的概率为( )A．0.99B．0.98C．0.97 D．0.965．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( ) A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定6．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面§11.2 古典概型1．基本事件和基本事件空间的概念(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．(2)所有基本事件构成的集合称为__________，常用大写希腊字母________表示．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是____________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．3．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．(2)每个基本事件出现的可能性____________． 4．古典概型的概率公式在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n 个，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P (A )＝________.(2013·全国课标Ⅰ卷)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A .12B .13C .14D .16(2014·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A .118B .19C .16D .112(2014·新课标Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为____________．三张卡片上分别写上字母E ,E ,B ，将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE 的概率为__．类型一 基本事件与基本事件空间的概念将一枚均匀硬币抛掷三次，观察向上一面的正反．(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件； (2)事件A ：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B ：“三次都正面向上”包含几个基本事件．做抛掷两颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)事件“出现点数之和大于8”； (2)事件“出现点数相等”； (3)事件“出现点数之和大于10”． 类型二 列举基本事件求概率(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率．如图，从A 1(1，0，0)，A 2(2，0，0)，B 1(0，1，0)，B 2(0，2，0)，C 1(0，0，1)，C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O 共面的概率．(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2(2014·浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是____________．1．从集合A ＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k ，则函数y ＝kx 单调递增的概率为( )A .29B .13C .49D .232．甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上，乙正好坐中间的概率为( ) A .12 B .13C .14D .163．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )，向量b ＝(1，－2)，则a ⊥b 的概率是( )A .112B .16C .736D .294．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A .49B .13C .29D .195．(2013·浙江宁波十校联考)将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则n ≤2m 的概率是( ) A .12B .23C .34D .566．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为( )A .33100B .12 C .5167 D .16677．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于____________．8．(2014·新课标Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__________．9．(2012·福建模拟)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15内部的概率.10．(2014·天津)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果； (2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．11．(2014·山东)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．§11.3 几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel ，Scilab 等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______(_______或________)成比例，则称这样的概率模型为______，简称_______．3．概率计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝ ．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d 和整个区域D 的几何度量，然后代入公式即可求解．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( )A .13B .12C .23D .56已知球O 是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球，则在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是( ) A .π4 B .π8C .π6D .π12(2013·湖北)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足||x ≤m 的概率为56，则m ＝____________．(2013·四川模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0，B ＝{}（x ，y ）|x 2＋y 2≤1，从集合B 中任选一个元素，也是集合A 中元素的概率是____________．类型一 以长度为度量的几何概型在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．(2013·哈尔滨质检)已知函数f (x )＝ln xx，导函数为f ′(x )．在区间[2，3]上任取一点x 0，则使得f ′(x 0)>0的概率为____________．类型二 以面积为度量的几何概型(1)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )．①求△APB 的面积大于14的概率；②求点P 到原点的距离小于1的概率． (2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．(1)在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x ，y )的概率．(2)(2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为____________．(用数字作答)类型三 以体积为度量的几何概型在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于a的概率为( )A.22B.22πC.16D.π6在边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内部随机取一点P，则V P­ABCD＞16的概率为( )A.12B.13C.16D.118类型四几何概型与平面区域的综合性问题将长为l的木棒随机折成3段，求3段能构成三角形的概率．在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间(－1，1)上有且仅有一个零点的概率为________．1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x≥12”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.232．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为( )A．0.18B．0.36C．0.64D．0.823．在正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面ABCD内有一定点Q，则在该正方体内任取的一点M落在四棱锥Q­A1B1C1D1内的概率是( )A.12B.13C.14D.234．如图所示，设M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长超过2R的概率为( )A.15B.14C.13D.125．(2014·华师一附中适应性测试)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.16B.13C.12D.236．(2013·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2，1]．则∀x∈[0，1]，f(x)≥0的概率是( )A.13B.12C.23D.347．(2014·湖南十三校联考)已知集合A＝{x|2x2－x－3<0}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|y＝lg1－xx＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为________．8．(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝____________．9．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S2的概率为多少？10．正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD内部的点．设“V P－ABC≥14V”的事件为X，求概率P(X)．11．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)．求以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．§14.2坐标系与参数方程1．极坐标系极坐标系的建立在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为______，射线Ox称为______．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的________，θ称为点M的________．有序数对(ρ，θ)称为点M的________．由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立__________的关系．2．极坐标和直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组关系式：________________，________________.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π.3．简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．(2)常见曲线的极坐标方程①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为；②圆心为(r,0),半径为r的圆的极坐标方程为；③圆心为⎝⎛⎭⎫r，π2,半径为r的圆的极坐标方程为；④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为；⑤过点(a,0)(a＞0),与极轴垂直的直线的极坐标方程为；⑥过点⎝⎛⎭⎫a，π2,与极轴平行的直线的极坐标方程为 .4．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：___________________.当M0M→与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当M0M→与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.5．圆的参数方程圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为．6．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是____________．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎫1，－π2C．(1,0) D．(1,π)(2014·北京)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心( )A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：⎩⎪⎨⎪⎧x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为____________．(2014·陕西)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是____________． 类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x .类型二 极坐标与直角坐标的互化将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ;②θ＝π3(ρ∈R )；③ρ2cos2θ＝4;④ρ＝12－cos θ.类型三 直线、圆的极坐标方程在极坐标系中，求半径为r ，圆心为⎝⎛⎭⎫r ，32π的圆的极坐标方程．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．类型四 参数方程和普通方程的互化已知曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t(t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数， 则圆x 2＋y 2－x＝0的参数方程为____________．类型五 圆、椭圆、直线参数方程的应用如图，设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4，4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴、y 轴．求矩形ABCD 的面积的最小值及对应点A 的坐标．在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 的内切圆上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC|2的最大值及最小值．(2014·新课标Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．类型六 利用参数方程求轨迹已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？(2013·新课标Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．1． (2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝12．(2014·江西)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π43．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－t (t ∈R )，则l 的方向向量d 可以是( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(－2，1)D ．(1，－2) 4．直线⎩⎨⎧x ＝1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 的位置关系是( )A ．相切B ．直线过圆心C ．相离D ．直线与圆相交，但不过圆心5．已知点P (x ，y )在椭圆x 23＋y 2＝1上，且x ＋y＋a ≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥－2C ．a ≥0D ．a ＜0 6．(2014·天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为__________． 7．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为__________．8．(2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．9．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．10．(2012·全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．。

极 坐 标 与 参 数 方 程考 点 知 识 梳 理一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换式⎪⎩⎪⎨⎧>=>=)0()0(''μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y )对应到点P ˊ('x ，'y )，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

例1：在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝3sin2x 按伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后，得到曲线为（）A ：y ＝sin xB ：y ＝9sin4xC ：y ＝sin4xD ：y ＝9sin x【解析】：D例2：在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝2sin3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是（ ）A ：⎩⎨⎧=='2'3y y x xB ：⎩⎨⎧==y y x x 2'3'C ：⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'3'D ：⎪⎩⎪⎨⎧=='21'3y y x x【解析】：C二、极坐标（一）定义：在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并选定一个长度单位，一个角度单位(．通常取弧度．．．．．)．及其正方向(．通常取逆时针方向．．．．．．．．)．，这样就建立了一个极坐标。

定点O 叫作极点，射线Ox 叫做极轴。

在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 轴旋转到OP 的角度θ来确定，(ρ，θ)叫做点P点的极坐标为．．．．．．(0．．，．θ)．，其中θ可以取任何值。

一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。

（二）极坐标与直角坐标的互化当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合时，极轴与x 轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 是平面内任一点，它的直角坐标是(x 0，y 0)，极坐标是(ρ，θ)，它们之间有互化公式：0x ＝ρcos θ，0y ＝ρsin θ 和 20202y x +=ρ，tan θ＝0x y (0x ≠0)例3：点M(4，34π)化为直角坐标为（ ） A ：(2，23) B ：(－2，－23) C ：(23，2) D ：(－23，－2) 【解析】：B 例4：圆锥曲线ρ＝θθ2cos sin 8的准线方程是（ ） A ：ρcos θ＝－2 B ：ρcos θ＝2 C ：ρsin θ＝－2 D ：ρsin θ＝2 【解析】：C变式练习1：点M 的直角坐标为(3，－3)，则它的极坐标为（ ）A ：(23，6π) B ：(23，65π) C ：(23，611π) D ：(23，67π)【解析】：C变式练习2：在极坐标系中，点(1，0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为__________。

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1.平而直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换©: ° “纟> 的作用卜-，点P(x, y)对应到点[y=“・％(“>0)p(p,y),称卩为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图⑴所示,在平而内取一个左点o.叫做极点,自极点o引一条射线&.叫做极轴;再选左一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及英正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平而图形为几何背景,而平而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平而直角坐标系都是平而坐标系. (2)极坐标设M是平而内一点，极点。

与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为°;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角厶OM叫做点M的极角，记为。

有序数对(卩。

)叫做点M的极坐标，记作M(p^) ~般地,不作特殊说明时，我们认为可取任意实数•特别地，当点M在极点时,它的极坐标为(OP X&W R)。

和直角坐标不同，平而内一个点的极坐标有无数种表示•如果规左°>0,05&<2兀,那么除极点外，平而内的点可用唯一的极坐标(0。

)表示;同时,极坐标(Q &)表示的点也是唯一确泄的.3•极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图(2)所示：(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(儿极坐标是(％X°no),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(%,>') 极坐标(p,0)互化公式X = QCOS&<[y = psinO0 "+〉厂tan® = —(x0)X在一般情况卜:由tan&确左角时，可根据点M所在的象限最小正角.4 •常见曲线的极坐标方程y7y %X N曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为广的圆p = r (0 <0 < 2 兀)圆心为（几0）,半径为/•的圆p = 2r -—< 0\ 2 2 /圆心为（几彳j,半径为r 的圆AOip = 2rsin 0(0 <0<^)过极点，倾斜角为a 的直线(1) 0 = a(p e R )或& = rr + a(p e R ) (2) 0 = a(p > 0)或& =兀 + a(p > 0)过点（",0）,与极轴垂直的直线o~(a ・0) -VpCQS0 =彳-彳 <0 < yj过点与极轴平行的直 线• ■ • • ■ • ■ ■ • • ■01•Xpsin 0 = «(0 <0 < 7r)注:由于平而上点的极坐标的表示形式不唯一，即（Q&）, （°,2兀+ &）, （-+ &）,（—°-龙+ &）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同•所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少 有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程P = O 点M可以表示为U 4；p = 0・二、参数方程1. 参数方程的概念一般地，在平而直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（“）都是某个变数/的函数F 々①，并且对[y = sv ）于f 的每一个允许值，由方程组①所确左的点M （x,y ）都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数 方程，联系变数（x,y ）的变数f 叫做参变数，简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 叫的极坐标满足方程等多种形式，其中，只有M14 4丿做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数(x,y)中的一个与参数f的关系，例如兀=/(/),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数l\= f(t)的关系y = g(”，那么｛丿〈就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使(x,y)的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一立唯一。

概率统计坐标系与参数方程1．【2019年新课标3文科17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．2．【2019年新课标2文科19】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数 2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：8.602．3．【2019年新课标1文科17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8284．【2019年北京文科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．5．【2018年天津文科15】己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．6．【2017年新课标2文科19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2．7．【2017年新课标1文科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x i＝9.97，s0.212，18.439，（x i）（i﹣8.5）＝﹣2.78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2， (16)（1）求（x i，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（3s，3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（x i，y i）（i＝1，2，…，n）的相关系数r，0.09．8．【2017年新课标3文科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．9．【2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考】蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲组7位学生成绩的方差2S；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．10．【2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图55,65,65,75,75,85内的频率之比为4:2:1.如图所示，年龄落在区间[)[)[]75,85内的频率;（1）求顾客年龄值落在区间[]55,65,65,75的顾客中选取6人召开一个座谈会，现从这6人中选出2（2）拟利用分层抽样从年龄在[)[)人，求这两人在不同年龄组的概率.11．【延安市2018届高三高考模拟】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.（1）现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A方案：所有芒果以10元/千克收购；B方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？12．【四川省天府名校2019-2020学年高三上学期第一轮联合质量测评】某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在[40,100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组[60,70)的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）13．【湖南省益阳市、湘潭市2019-2020学年高三上学期9月教学质量统测】为了了解某校学生课外时间的分配情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级.（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；（Ⅱ）若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率。

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。