沪教版高中数学高二下册：12.1(1)(2)曲线与方程 教案设计

12.1曲线与方程上海市控江中学张进兴一、教学内容分析曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想——通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础.“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题.在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点.12.1(1)（2）曲线与方程二、教学目标设计理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点.通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.三、教学重点及难点重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.四、教学用具准备本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹.五、教学流程设计六、教学过程设计12．1（1）曲线方程的概念一、复习回顾思考并回答下列问题1、l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的答：借助直线方程研究直线的位置关系.[说明] 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.二、讲授新课1、概念引入（1）以定点A （1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？设原上任意一点M 的坐标为),(y x ，则x 和y 应当满足课堂小结并布置作业 概念实例引入曲线和方程求曲线的方程 方法步骤运用与深化(例题解析、巩固练习)平方后整理得0222=-+x y x ①问：能否用方程①来表示圆A ？为什么？用方程22x x y -=②与方程①中的哪一个来表示圆A 比较好？[说明] 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.2、概念形成曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.[说明] 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合； }0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =. 3、概念深化例 1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .（课本P31例1）证明：（略）例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（课本P31例1）（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？ 解：（略[说明] 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调曲线方程的完备性和纯粹性三、巩固练习课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）四、课堂小结（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）五、作业布置习题册P17 A 组 第1、2、3题； P19 B 组 第2题12.1（2）求曲线的方程一、复习回顾思考并回答下列问题1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．（学生思考并回答．教师强调）2．回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．[说明]通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.二、学习新课如何根据已知条件，求出曲线的方程？例1 已知两定点)0,1(1-P 和)0,3(2P ，求到点1P 和2P 的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3例2 动点M 与距离为4的两个定点A 、B 满足5M =⋅，建立适当的坐标系，并求动点M 的轨迹方程.（课本P34例4）[说明]分析上面两个例题的求解过程，总结出求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.然后结合课本归纳出以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点)2,0(A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程（补充）. 答案：)0(812≠=x x y [说明]一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.在本教材中证明不作要求，特殊情况要说明.因此上述五个步骤又可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；修正.例4 已知定点)0,4(A 和曲线122=+y x 上的动点B ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.（课本P34例5）[说明] 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”，这类求轨迹方程的问题的特点是：问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的动点，其中一个动点在已知曲线上运动，所以“代入法”又叫做相关点法.三、巩固练习课本P35练习12.1（2）第3、4题 四、课堂小结（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系）（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？五、作业布置习题册P17-18 A组第4、5、6题； P19 B组第4题七、教学设计说明曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想.因此，解析几何面临两大基本问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.因此，在本节的教学中应该从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，所以教材安排先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”.求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系.求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，学习过程具有较强的探究性，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.。

高中高二数学教案：曲线和方程_高二英语教案直线的方程教学目标（1）把握由一点和斜率导出直线方程的方法，把握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能依据条件娴熟地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．（3）把握直线方程各种形式之间的互化．（4）通过直线方程一般式的教学培育学生全面、系统、周密地分析、争论问题的力量．（5）通过直线方程特别式与一般式转化的教学，培育学生敏捷的思维品质和辩证唯物主义观点．（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．教学建议1．教材分析（1）学问构造由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最终都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特别式．（2）重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及依据详细条件求出直线的方程．解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程讨论曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是特别重要的内容，它对以后学习用方程争论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特别形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继学问的学习．②本节的难点是直线方程特别形式的限制条件，直线方程的整体构造，直线与二元一次方程的关系证明．2．教法建议（1）教材中求直线方程实行先特别后一般的思路，特别形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各局部学问之间过渡要自然流畅，不生硬．（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分提醒直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为连续学习“曲线方程”打下根底．直线一般式方程都是字母系数，在提醒这一概念深刻内涵时，还需要进展正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类争论方法，从而培育学生全面、系统、辩证、周密地分析、争论问题的力量，特殊是培育学生规律思维力量，同时培育学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分提醒各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面对量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．依据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．（5）留意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要学问交汇点之一，教学中要适中选择一些有关的问题指导学生练习，培育学生的综合力量．（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中留意联系实际和其它学科，教师要留意引导，增加学生用数学的意识和力量．（8）本节不少内容可安排学生自学和争论，还要适当增加练习，使学生能更好地把握，而不是仅停留在观念上．教学设计例如直线方程的一般形式教学目标：（1）把握直线方程的一般形式，把握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培育学生抽象概括力量、分类争论力量、逆向思维的习惯和形成特别与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，争论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何依据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观看方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，由于未知数有两个，它们的次数为一次．确定学生答复，并订正学生中不标准的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观看方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，由于未知数有两个，它们的次数为一次．确定学生答复后强调“也是二元一次方程，都是由于未知数有两个，它们的次数为一次”．启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以争论争论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的熟悉统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先讨论讨论，也可以小组讨论，确定解决问题的思路．学生或独立讨论，或合作讨论，教师巡察指导．经过肯定时间的讨论，教师组织开展集体争论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定方案（其它待课下讨论）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也肯定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步熟悉到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区分，依据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种状况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简洁点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程肯定可以表示成或的形式，精确地说应当是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．同学们留意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是明显的吗？不是，因此也需要像刚刚一样仔细地讨论，得到明确的结论．那么如何讨论呢？师生共同争论，评价不同思路，达成共识：回忆上边解决问题的思路，发觉原路返回就是特别好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为便利，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数．gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的其次个问题也圆满解决，而且我们还发觉上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题提醒了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特别形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特别与一般的转化关系．（三）练习稳固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略高中高一数学下册《曲线和方程》说课稿模板一、教材分析1.教材背景作为曲线内容学习的开头，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念;其次课时讲曲线方程的求法;第三课时侧重对所求方程的检验.本课为其次课时主要内容有：解析几何与坐标法;求曲线方程的方法(直译法)、步骤及例题探求.2.本课地位和作用承前启后，数形结合曲线和方程，既是直线与方程的自然延长，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论根底，是解几中承上启下的关键章节.“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式;求曲线方程是用方程讨论曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.表达了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范.后继性、可探究性求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点(x,y)横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动呈现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢?通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性.同时，本课内容又为后面的轨迹探求供应方法的预备，并且以后还会连续完善轨迹方程的求解方法.数学建模与示范性作用曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，把握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求供应示范.数学的文化价值解析几何的创造是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例.解析几何创始人特殊是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神等都是富有启发性和鼓励性的教育材料.可以依据学生实际状况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出讨论报告.3.学情分析我所授课班级的学生数学根底比拟好，思维活泼，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必需同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的熟悉，对用代数方法讨论几何问题的科学性、精确性和优越性等已有了初步了解，对详细(平面)图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望.二、目标分析1.教学目标学问技能目标理解坐标法的作用及意义.把握求曲线方程的一般方法和步骤，能依据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.过程性目标通过学生积极参加，亲身经受曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.通过自主探究、合作沟通，学生历经从“特别——一般——特别”的认知模式，完善认知构造.通过层层深入，培育学生发散思维的力量，深化对求曲线方程本质的理解. 情感、态度与价值观目标通过合作学习，学生间、师生间的相互沟通，感受探究的乐趣与胜利的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神.呈现人文数学精神，表达数学文化价值及其在在社会进步、人类文明进展中的重要作用.2.教学重点和难点重点：求曲线方程的方法、步骤难点：几何条件的代数化依据：求曲线方程是解几讨论的两大类问题之一，既是重点也是难点，是高考解答题取材的源泉.主要包括两种类型求曲线的方程：一是已知曲线外形时常用待定系数法;二是动点轨迹方程探求，本课的重点主要是探究动点的曲线方程.曲线与方程是贯穿平面解几的学问，是解析几何的核心.求曲线方程是几何问题得以代数讨论的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的过程，是课堂上必需突破的难点.三、教学方法及教材处理1.教学方法：探究发觉教学法.遵循以学生为主体，教师为主导，进展为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生学问的“最近进展区”设置问题，通过学生主动探究、积极参加、共同沟通与协作，在教师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现学问的建构和进展，通过不断探究、发觉，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥.2.学法指导学生学法：相互争论、探究发觉由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧学问联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到肯定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参加者，教师要帮忙学生重温与问题解决有关的旧知，赐予学生思索的时间和表达的时机，共同对(解题)过程进展反思等，在师生(生生)互动中，赐予学生启发和鼓舞，在心理上、认知上予以帮忙.这样，在学法上确立的教法，能帮忙学生更好地获得完整的认知构造，使学生思维、力量等得到和谐进展.3.设计理念：求曲线方程就是将曲线上点的几何表示形式转化为代数表示形式。

曲线和方程【教学目标】1．使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念。

2．使学生掌握证明已知曲线C的方程是f（x，y）=0的方法和步骤。

3．通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力。

【教学重难点】对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个关系的理解。

【教学过程】解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题。

即：通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质。

为此，本节先建立曲线和方程的关系。

例1：（1）画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程。

（2）画出函数y=2x2（-1≤x≤2）的图象C。

本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线（图形）”的定义是这样：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x0，y0）=0的解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）。

例2：证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1（3，-4），M2（-25，2）是否在这个圆上。

证明已知曲线的方程的方法和步骤：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f（x，y）=0.证明中分两个步骤；第一步，设M（x0，y0）是曲线C上任一点，证明（x0，y0）是f（x，y）=0的解；第二步，设（x0，y0）是f（x，y）=0的解，证明点M（x0，y0）在曲线C上。

例3：求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程。

例4：求曲线y=x3-x关于点（1，2）的对称曲线的方程。

【作业布置】1．证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x。

曲线和方程【学习目标】1．从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念。

2．会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系。

【学习重难点】1．感受“数”与“形”的结合的思想。

2．会用曲线知识解决实际问题。

【学习过程】一、自主预习1．填空：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 满足______________）来表示；（2）过点(3，-2)且平行于x 轴的直线方程是______________；（3）点（1，7）________（填：在或不在）直线2x-4y+1=0上。

思考以下两个问题：问题1：画出二元一次方程x –y = 0 表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的关系。

问题2：以C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？______________________________________________________________________。

二、分析特例，归纳定义（曲线与方程之间有什么对应关系呢？）定义：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标，都是__________的解；（2）以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是__________的点。

那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线。

解决例题、巩固定义：例1．判断下列结论的正误，并说明理由。

（1）过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3；______________________________________________________________________。

（2）到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2；______________________________________________________________________。

曲线和方程【学习目标】1．了解曲线和方程的概念。

2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义。

【学习重难点】理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。

【学习过程】一、复习旧知1．经过(1,3)、(2,5)的直线方程为_____________.2．与定点的距离等于定长的点的轨迹是．3．已知P1(1,1)、P2(2,5)，则P1_______圆(x－1)2＋y2＝1上，而P2___________圆(x－1)2＋y2＝1上．二、预习新知（一）曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都___________________；（2）以这个方程的解为坐标的点都是_________________那么，这个方程叫做________________；这条曲线叫做_______________思考：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0。

（二）应用：求交点例1．求直线l：x-y+m=0（m∈R）和曲线+2的交点点评：直线与二次曲线的交点，往往求解由直线方程与二次曲线方程联立组成的方程组并消去x或y后，得到一个形式上为二次的一元二次方程。

这个方程是否为二次方程要看最高次项的系数是否为0（有时须讨论），是二次方程时还要判断判别式∆与0的大小关系。

2．求参数的范围例2．已知直线l：y=x+b，曲线C：y=有两个公共点，求b的取值范围。

点评：本题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题。

二、课堂检测1．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()A．y＝x与y2＝x B．y＝x与xy＝1C．y2－x2＝0与|y|＝|x| D．y＝lg x2与y＝2lg x 2．如图中方程表示图中曲线的是()A B C D3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为________．4．已知方程x2＋(y－1)2＝10．（1）判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；（2）若点M(m2，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值。

2.1（1）曲线的参数方程一、教学内容分析“曲线的参数方程”为本章节的第一部分 .主要让学生了解参数方程的有关概念，通过探索圆的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法，掌握圆的参数方程并且在此基础上进行简单应用.二、教学目标设计经历体验建立圆和直线的参数方程的过程，理解参数方程的意义，领会建立曲线的参数方程的方法，初步体验用参数思想解决简单的问题.三、教学重点及难点掌握参数方程的概念，领会建立曲线的参数方程的方法.四、教学流程设计五、教学过程设计一、 引入提出问题“已知点(),A x y 在圆22:4C x y +=上运动，求x y +的最大值”，学生解答：①利用22222x y x y ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭求得当x y ==时，x y +的最大值为；②设t x y =+，由直线0x y t +-=与圆22:4C x y +=有公共点求得当x y ==x y +的最大值为. [说明]问题课前布置学生思考解答，通过问题的解决帮助同学复习以前知识，引起学生学习曲线的参数方程的兴趣.二、学习新课1．圆的参数方程的推导（1）如图，一个质点P 开始时位于x 轴正半轴的点0P 处，按逆时针方向绕原点O 以匀角速度ω作圆周运动，其中OP r =，则此质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立？结合图形，由任意角三角函数的定义知: ()cos ,0sin ,x r t t y r t ωω=⎧≥⎨=⎩① 这就是说，点P 的坐标,x y 都是时间t 的函数.（2）若设t θω=，方程组①又可写成 ()cos ,0sin ,x r y r θθθ=⎧≥⎨=⎩. 由于sin ,cos θθ都是以2π为周期的周期函数，因此上述方程组又可写成 ()cos ,02sin ,x r t y r t ωθπω=⎧≤<⎨=⎩②. 这就是说，点P 的坐标,x y 都是旋转角θ的函数.（3）方程组①②是否是圆心为原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导可知，对于圆O 上的任意一点(),P x y 都存在t （或θ）使cos ,sin x r t y r t ωω==（或cos ,sin x r y r θθ==）都成立；对于t （或θ）的每一个允许值，由方程组①（或②）所确定的点(),P x y 都在圆O 上.（4）圆的参数方程的定义.把方程组①（或②）叫做圆O 的参数方程，t （或θ）叫做参数.（5）圆的参数方程的理解与认识.课本练习2.1（1）中的第1、2题.2．曲线的参数方程的定义（1）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标,x y 都是某个变量t 的函数()()(),,x f t t D y g t =⎧⎪∈⎨=⎪⎩③，并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点(),P x y 都在曲线C 上，那么方程组③就叫做曲线C 的参数方程 .变量t 叫做参变量或参变数，简称参数.（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标,x y 间关系的方程(),0F x y =叫做曲线的普通方程.3．例题分析（1）课本例1：通过选取适当的参数建立直线的参数方程，从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以用不同的参数方程来表示.（2）课本例2：通过圆的参数方程求得最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义.三、巩固练习（1）若圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，写出圆C 的一个参数方程.（2）课本练习2.1（1）中的第3题. 四、课堂小结（1）圆的参数方程和曲线的参数方程的定义；（2）能选取适当的参数建立参数方程；（3）利用参数思想解决问题.五、作业布置数学练习部分第8页，习题，第1、2、3题．。

第二章圆锥曲线与方程2.2.1 抛物线及其标准方程一、复习与引入过程回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，那么当e=1时，它又是什么曲线？二、简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．三、新课讲授过程（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为2y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为2x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(iii)例题讲解与引申例1、(1)已知抛物线的标准方程是2y=6x，求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程解 (1)因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2(2)因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是2x=-8y例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。

主题：曲线和方程目标：学生能够理解和应用曲线和方程的概念，能够绘制和分析各种曲线图形。

教学内容：1. 方程的基本概念2. 一元一次方程3. 一元二次方程4. 曲线的基本概念5. 直线的方程和性质6. 圆的方程和性质7. 椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质8. 曲线的应用教学步骤：第一课：方程的基本概念1. 引入方程概念，让学生认识到方程在现实生活中的重要性2. 教授方程的定义和基本术语3. 讲解方程的解的概念和思维方式第二课：一元一次方程1. 讲解一元一次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元一次方程3. 练习一元一次方程的相关题目第三课：一元二次方程1. 讲解一元二次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元二次方程3. 练习一元二次方程的相关题目1. 引入曲线的概念，让学生认识到曲线在数学中的重要性2. 讲解曲线的定义和基本分类3. 演示如何绘制各种曲线图形第五课：直线的方程和性质1. 讲解直线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解直线的相关问题3. 练习直线方程的相关题目第六课：圆的方程和性质1. 讲解圆的方程和性质2. 演示如何通过方程求解圆的相关问题3. 练习圆的方程的相关题目第七课：椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质1. 讲解椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解这些曲线的相关问题3. 练习椭圆、抛物线、双曲线的方程的相关题目第八课：曲线的应用1. 讲解曲线在现实生活中的应用2. 演示如何通过曲线方程解决实际问题3. 练习应用题目课堂互动：1. 学生提出问题，老师解答并引导学生思考2. 老师布置课后作业和练习题，及时纠正学生的错误3. 小组合作解题，促进学生之间的交流和合作评估方式：1.2. 课后练习题和考试成绩3. 口头回答问题和解题思路的清晰度教学资源：1. 教科书及相关参考书籍2. 多媒体教学设备3. 课堂板书和示范绘图教学反思与改进：1. 结合学生实际情况，及时调整教学内容和方式2. 引导学生自主学习和解决问题的能力3. 关注学生的学习动态和进度，及时纠正错误和强化重点知识总结：通过本课程的学习，学生将掌握曲线和方程的基本概念和应用技能，从而提高数学素养和解决实际问题的能力。