高中数学课时天天提分练12从位移速度力到向量;从位移的合成到向量的加法北师大版必修4

第二章平面向量及应用第2.1.1节从位移，速度，力到向量参考答案与试题解析1．下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．两个相等向量的模相等【答案】D【详解】解：∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A不正确，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确，两个单位向量模长相等，故C不正确，向量相等则模长相等，故D正确，故选：D．2．下列说法中正确的是④（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||＞||，则；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．【答案】④【详解】解：温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量；零向量的模为0，不是正实数；向量含有方向，不能比较大小；若长度相等，方向相同，则向量相等．故只有④正确．故答案为④．3．下列命题：其中真命题的序号是①．①向量的长度与的长度相等；②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．【答案】①【详解】解：对于①，向量的长度与的长度相等，正确；对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．综上，真命题是①．故答案为：①．4．图中，小正方形的边长为1，则||＝，||＝，||＝．【答案】3；；2【详解】解：由题意可知：||＝＝3．||＝＝．||＝＝．故答案为：3；；2．5．在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）||＝4，点A在点O正南方向；（2）||＝2，点B在点O北偏西45°方向；（3）||＝2，点C在点O南偏西30°方向．【详解】解：根据题意，在如图所示的坐标纸中，画出对应的向量如下：6．判断下列各命题是否正确，并说明理由：（1）若||＝||，则＝；（2）单位向量都相等；（3）两相等向量若起点相同，则终点也相同；（4）若＝，＝，则＝；（5）若||＞||，则＞；（6）由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行．【详解】解：（1）错误，若||＝||，即两向量模相等，不能说明＝；（2）错误；单位向量的模均为1，不一定相等；（3）正确，两相等向量的大小相等和方向相同，若起点相同，则终点也相同；（4）正确，若＝，＝，由传递性可得＝；（5）错误，若||＞||，向量的模是实数，可以比较大小，但向量有方向，不好比较大小；（6）错误，零向量方向不确定，故它与任意向量平行．7．一人从A点出发，向东走500m到达点B，接着向东偏北30°走300m到达点C，然后再向东北走100m 到达点D，选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移．【详解】解：根据题意，画出图形，如图所示；用向量表示这个人的位移是++＝．8．在直角坐标系中，画出下列向量：（1），的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；（2），的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；（3），的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°．【详解】解：由题意作出向量如右图所示：（1）（2）（3）9．如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？【详解】解：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向10．某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）（2）求．【详解】解：（1）如图（2）因为，故四边形ABCD为平行四边形，所以。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义．2．能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量______叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝____＋____＝____． (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以____，____为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝______．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝__________．一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行2 km D ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．已知a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3二、填空题7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________．8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 10．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________．三、解答题11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______． 14．在水流速度为43 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC →2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2．C 3．D 4．A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →) ＝BC →＋0＝BC →．]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →| ＝|AD →|＝2．]7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0． 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213．9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8． ∴|a ＋b |的最大值为8．10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为53 km/h ，船实际速度为10 km/h ．12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0． 14．解如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊BC ，则AD →即表示船航行的速度．因为|AB →|＝43，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°． 所以|AD →|＝83，∠BAD ＝120°．即船航行的速度大小为8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°．。

从位移的合成到向量的加法课时作业 北师大版必修4一、选择题1．在△ABC 中，AB →＝a ，CB →＝b ，则CA →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －a D ．－a －b[答案] C[解析] CA →＝CB →＋BA →＝b －AB →＝b －a ，故选C ． 2．化简(AB →－CD →)＋(BE →－DE →)的结果是( ) A ．0 B ．AE → C ．CA → D ．AC → [答案] D[解析] 原式＝AB →－CD →＋BE →－DE →＝(AB →＋BE →)－(CD →＋DE →)＝AE →－CE →＝AE →＋EC →＝AC →. 3．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD → D ．AC →＋AD →＝DC → [答案] C[解析] AB →＋BC →＝AC →≠CA →，故A 项错.AB →＋AC →≠BC →，故B 项错.AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →＝AD →，故C 项正确.AC →＋AD →≠DC →，故D 项错．4．下列命题中，真命题的个数为( )①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 要选出正确答案，需对每个命题进行判断．若a 与b 不共线，则由向量加法和减法的几何意义知a ＋b 与a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因此a ＋b 与a －b 不共线，与已知条件矛盾，从而a 与b 必为共线向量，故命题①正确；由不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件可知命题②与③都正确；由||a |－|b ||＝|a |＋|b |可得|a |－|b |＝|a |＋|b |或|a |－|b |＝－|a |－|b |，所以|b |＝0或|a |＝0，从而b ＝0或a ＝0，即说明b 不一定为零向量，故命题④不正确，故选C ．5．如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →[答案] D[解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D ．6．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－BC →|的值是( ) A ．0 B ．1 C ． 3 D ．2[答案] C[解析] 由|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，得△ABC 为正三角形，则AB →－BC →＝AB →＋CB →，如图所示，过点B 作BD →＝CB →，则AB →－BC →＝AD →，所以|AB →－BC →|＝|AD →|＝ 3.二、填空题7．梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC 与BD 交于O 点，则AD →－BD →＋BC →－AO →＋CO →＝________. [答案] 0[解析] 原式＝AD →＋DB →＋BC →＋OA →＋CO →＝0.8．已知|a |＝|b |＝|a －b |，作OA →＝a ，OB →＝a ＋b ，则∠AOB ＝________. [答案] 30°[解析] 如图所示，由|a |＝|b |＝|a －b |，易知△ABC 为正三角形，故∠AOB ＝30°.三、解答题9．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝B ．(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |； (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ [解析] (1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －B ．(2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →，a ＋b 与a －b 所在直线垂直，即AC ⊥BD ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a ，b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. ∵矩形的对角线相等，∴当a 与b 垂直时，满足|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为▱ABCD 的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．10.如右图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求其合力的大小及方向．[解析] 如题图，设OA →、OB →分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →就是合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形且∠COA ＝30°.过A 作AD ⊥OC 于D ，则在Rt △OAD 中，|OD →|＝|OA →|cos30°＝6032＝303，故|OC →|＝2|OD →|＝603，即合力的大小为603N ，方向与水平方向成30°角向上．。

北师大版数学高一必修4课时作业：12向量的加法_Word版含解析下列结论中错误的是，AD∥BC，则ABCDEF中，若AB＝1，则→|v1|＝10 3 km/h|2，得(103)2＋ABCDEF的中心，作出下列向量：为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，→→→，设垂足为D.|能力提升|(20分钟，40分)11．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.答案：C12．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________． ①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°， 所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③13．如图，已知向量a ，b ，c ，d . (1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解析：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量， 所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.14．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解析：如图，作▱OACB ， 使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos60°＝150 (N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。