高等数学之统计学课件

3、简单随机样本
• 简单随机样本 即独立且同分布的样本，这种样本既有代 表性又有相互独立性，便于理论分析，本 书讨论的样本，除少数另有说明外，都是 这一类样本。
• 样本的两重性
对于给定的抽样方案，作为将要被抽到的 那些个体的指标，样本是一组随机变量， 同大写字母X1,…,Xn记之；一旦给定的抽 样方案实施后，样本就是一组数据，用小 写英文字母 x1,L , xn 记之。
N 1 n
由（2）知，样本均值的标准差比总体标准差缩小 n 倍，因此增大样本量可
以降低抽样误差。
• 三个重要分布
（1）卡方分布 （2）T分布 （3）F分布
（1）卡方分布
定义
设随机变量 X1, X 2, , X n 独立同分布
n
且 Xi ~ N (0,1) ，则称U
X
2 i
的分布为
• 统计总体的特点是，标志总体的分布总是 未知的，或者至少部分是未知的（例如含 有若干未知参数）
例（抽样检查）设批量为 N 的产品，其中次品数为 N , 0 1未知。
今分别按有放回和无放回两种方法从中随机抽取 n( N ) 件。定义
1 Xi 0
第i次抽得次品； 第i次抽得正品
（4）样本的极差： R xn x1
（5）样本的四分位间距： H QU QL
其中 QU ,QL 分别为数据的上、下四分位数。
（6）样本相关系数：
rxy
n

xi

x yi

y
i 1
n

xi

x 2
n


y
i

y 2
i 1
i 1
2、抽样分布
• 有限总体的抽样分布
2、分位数
设 X ~ t(n) ，记它的 p 分位数为 t p (n) ，即 t p (n) 满足 P( X t p (n)) p
根据 t-分布密度函数的对称性，有性质
t p (n) = t1 p (n)
该性质类似正态分布的结果。
（3）F分布
定义
设 X ~ 2 (m) ，Y ~ 2 (n) ， X 与Y 相互独立，
设总体 X ~ f (x, ) ， 未知，( X1, X 2 , , X n )为样 本，而 是一个同 有关的指标，即 g( ) ，函数 g(g)
为已知，问题是基于( X1, X 2 , , X n )估计函数值 g( ) 。
见书中例 3、例 4。
估计量
我们称任何一个用以估计未知参数 的统计量 ˆ ˆ(X1, , Xn ) 为 的 估 计 量 ， 对 应 的 观 察 值
得到 i 的矩估计量为ˆi gi m1, m2 , , mk , i 1,L , k 。
例 6（p114）设总体有均值 及方差 2 ，今有 6 个
随机样本的观察数据为：
-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30
求 及 2 的矩估计。 解 此 例 参 数 (, 2) 是 二 维 的 ， 注 意 到 2 2 12 ，直接使用替换原理，得到 的矩估计为 X ， 2 的矩估计为
定理 1：设总体中个数总数（也称总体大小）为 N，样本容量为 n（<N）
且总体有有限均值 E( X ) ，方差 D( X ) 2 ，( X1, X 2 , , X n )为取自该
总体的一个样本，
则（1） E( X ) ，
（2）当抽样是有放回时 ( X ) ，
n
当抽样是无放回时 ( X ) N－n ，其中 ( X ) 即为 X 的标准差
则称 F X m 的分布为第一自由度为 m、第二自由度为 n 的 F Yn
分布，且记 F ~ F (m, n) 。
分位数
设 X ~ F (m, n) ，记它的 p 分位数为 Fp (m, n) ， 即 Fp (m, n) 满足 P( X Fp (m, n)) p 。
有性质：
Fp
(m,
，
S
2 2

1 n
n i 1
(Yi
Y )2
S
2 w

1
m
m n 2 [ i1 ( X i

X )2
+
n
(Yi
i 1

Y
)2
]
=
mS12

nS
2 2
mn2
则 T= X Y (1 2 ) ~ t(m n 2)
11
Sw
mn
（三） 统计估计
1、点估计问题 2、估计方法 3、点估计的优良性 4、置信区间 5、正态总体下的区间估计
T X ，立即可得。 Y n 1
例 2（p109）设 X1,L , X m 来自 X ~ N (1, 2 ) ，Y1,L ,Yn 来自
Y
~
N (2 , 2 ) ，且相互独立，记 X

1 m
m i 1
Xi
，Y

1 n
n
Yi
i 1
，
S12

1 m
m i 1
(Xi

X )2
(xi 0或1,i 1,L , n)
（ii）无放回抽样
N N (1 )
P( X1 x1,L , X n xn )
t

t
N


n

n
(t xi , xi 0或1,i 1,L , n) i 1
注意：对于有限总体，不同的抽样方式可以有不同的样本分布。
（二）统计量和抽样分布
1、统计量 2、抽样分布
1、统计量
样本常常表现为一大堆数字，很难直 接用来解决我们所要研究的具体问题。人 们常常把数据加工成若干个数量指标，以 概括这批数据所提供的相关问题的信息。 数据加工后的数量指标就是统计量。
定义： 完全由样本确定的量为统计量，从数学观
点来看，统计量是样本的函数。此处，“完全” 一词很重要，即它不含总体分布中的未知参 数，一旦有了样本数据就可以得出它的值。
ˆ 2

m2
m12

1 n
n i 1
xi2
(1 n
n i 1
xi )2

S2
。再代入数
据即得 , 2 的估计量分别为 ) 0.16,ˆ 2 0.50
例 7（p115）：设 ( X1, , X n ) 是来自 (1,2 ) 上 均匀分布样本，1 2 未知，求1,2 的矩估
第三部分 统计
（一）基本概念 （二）统计量和抽样分布 （三）统计估计 （四）假设检验
（一） 基本概念
1、统计的研究对象 2、总体和样本 3、简单随机样本
1、统计的研究对象
（1）必须是“大量的”现象 （2）不是研究现象本身，而是现象所表征的
数量特征和数量关系。 （3）统计既非纯粹数学，也非具体的行为科
i 1
自由度 n 的 2 分布，记为U ~ 2 (n) 。
性质 （1）U ~ 2 (n) 时， E(U ) n, D(U ) 2n ； （2） 2 分布具有可加性：设 X ~ 2 (m) ， Y ~ 2 (n) ， X 与 Y 相互独立，则 X Y ~ 2 (m n)
阶原点矩为： mi

1 n
n
X
j 1
i j
；总体的 i
阶原点矩为： i E X i 。
若总体的未知参数 i gi 1, 2 , , k (i 1,2, , k) ，其中
g1, gk 为 k 个多元的已知函数，则通过替换 i 为 mi , i 1,L , k ，
1、点估计问题 • 统计模型
设( X1, X 2 , , X n )为样本，其公共分布为 f (x, ) ， 未
知，，但函数 f (g) 的形式已知，我们称( X1, X 2 , , X n )的联合分布
为统计模型。
f (x1, )L f (xn , ),
点估计问题的提法

med

1
x( n1) 2
2
(
x
(
n
)
2

x( n 1) 2
)
当n为奇数 当n为偶数
其中： x1 x2 xn 是数据 x1, x2 , , xn 由小到大的重排。
中位数也是数据中心位置的指标，特别适用于社会经济类数 据。
当用中位数表数据的中心位置时，可用极差及四分位间距反映 数据的分散度。
L f ( X1, ) f ( X n , ) 作为定义在 上的函数，为似然函数。直观上 L 表示由参
数 产生样本 X1, X 2 , , X n 的“可能性”大小。
n)
=
F1 p
1 (n,
m)
• 正态总体下的抽样分布
定理：设总体 X ~ N (, 2 ) ，( X1, X 2 , , X n )为取
自该总体的一组样本，则
（1） X ~ N (, 2 ) ，即 X n ~ N (0,1)
n

（2） X 与 S 2 相互独立
（3）
nS 2
2
~
2 (n 1) ，其中 S 2 为样本方差。
例 1（p109）设 X 1 , X 2 , , X n 来自 , 2 的样本，则
T X n 1 ~ t(n 1)
S
注意到，若令 X
n(X


)
,Y

nS 2
2
，
由定理知 X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n 1) ，且 X 与 Y 独立，