几何初步与三角形知识点与对应习题

T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。

第四节 等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于D ，连结AD.若AD ＝AC ，∠B＝25°，则∠C＝( )A ．70° B．60° C．50° D．40°2．如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个4. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ＝2，AD ＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A. 2B ．3－ 2 C.3－1D ．3－ 35．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF＝BE ＋CF ； ②∠BOC＝90°＋12∠A；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④6．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝______cm .8．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．9. 如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3C. 3 D．311．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°12．在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝__________.14．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n＋1C n的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)15．数学课上，张老师举了下面的例题：例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．16. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.求证：△BCD 的面积为12a 2；(提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图2，在一般的Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.请用含a 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由；(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.试探究用含a 的式子表示△BCD 的面积，要有探究过程．17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为________．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.D 5.A 6．50°或80° 7.68．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC ，∵AB＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．9．(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACF. 在△ABE 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B＝∠ACF，BE ＝CF ，∴△ABE≌△ACF(SAS)． (2)75 【拔高训练】 10．C 11.D 12.C 13．72° 14.(32)2n －2×3315．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x2)°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x2≠x， 即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数． 16．(1)证明：过点D 作DE⊥CB 交CB 的延长线于点E ， ∴∠BED＝∠ACB＝90°.由旋转知AB ＝BD ，∠ABD＝90°， ∴∠ABC＋∠DBE＝90°.又∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ， ∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴DE＝a ＝BC ， ∴S △BCD ＝12BC·DE＝12a 2.(2)解：过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°. ∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ， ∴AB＝BD ，∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ， ∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴BC＝DE ＝a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a 2.(3)解：如图，过点A 作AF⊥BC 于点F ，过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF ＝12BC ＝12a.∴∠FAB＋∠ABF＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD. ∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的， ∴AB＝BD.在△AFB 和△BED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB ＝BD ，∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE ＝12a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a·12a ＝14a 2.∴△BCD 的面积为14a 2.【培优训练】 17．30。

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是（C）。

2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。

5、在图中，由于AB=CD。

AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。

6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。

7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。

图形认识初步知识点总结及精选题1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……生活中的立体图形球体(按名称分) 圆锥椎体棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。

棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。

5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

平面图形的认识线段，射线，直线 名称 不同点联系 共同点延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线 只能向一方延伸 1 直线可向两方无限延伸无点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示，如点A一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l ,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l ,射线AB一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l ,线段AB点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·浙江金华中考)如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠42．(2018·江苏宿迁中考)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C ＝24°，则∠D的度数是( )A．24° B．59°C．60° D．69°3．(2018·山东枣庄中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30°C．45° D．50°4．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°5．(2018·山东聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115°C．120° D．125°6．(2018·浙江金华模拟)若∠α＝35°，则∠α的补角为__________度．7．(2018·湖南衡阳中考)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC 的度数为__________．8．(2018·湖南永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__________.9. (2018·重庆中考B卷)如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE 交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．10．(2017·湖北十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝( )A．40° B．50°C．60° D．70°11．如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )A．2 cm B．2 3 cm C．4 cm D．4 3 cm12．如图中有四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是( )A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F ＝____________.14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC 的长是______.15．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__________.16．(2018·湖北鄂州中考)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连结AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．17．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图1，∠COF和∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC 的数量关系，并说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6．145 7.75° 8.75°9．解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°.∵GE 平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG 是△EFH 的外角， ∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 【拔高训练】 10．B 11.C 12.C 13．9.5° 14.3 15.95°16．(1)证明：∵点E ，F 分别为DB ，BC 的中点， ∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF＝12CD.又∵DB＝DC ，∴EF＝12DB.在Rt△ABD 中，∵点E 为DB 的中点， ∴AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝12DB ，∴AE＝EF.(2)解：如图，∵AE＝EF ，AF ＝AE ，∴AE＝EF ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF＝60°. ∵EF 是△BCD 的中位线， ∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°.又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β. ∵AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝DE ，∴∠1＝∠ADB＝α， ∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°. 17．解：(1)∠BOE＝2∠COF.理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠AOC，∠COF＝∠AOF－∠AOC＝12(90°＋∠AOC)－∠AOC＝12(90°－∠AOC)，∴∠BOE ＝2∠COF.(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°－∠EOF，∠BOE＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＝2∠COF. (3)∠BOE＋2∠COF＝360°.证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°＋∠EOF，∠BOE＝90°＋∠BOC＝90°＋90°－2∠EOF＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＋2∠COF＝360°. 【培优训练】18．解：(1)∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB.又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°. ∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)11或47(3)∠AOM－∠NOC＝20°.理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠A OM ＝90°－∠AON，∠NOC＝70°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(70°－∠AON)＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为∠AOM－∠NOC＝20°.第二节三角形的基础姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广西柳州中考)如图，图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若DE＝8，则线段BD＋CE的长为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(2018·湖北黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80° C．85° D．90°4．(2017·四川巴中中考)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a－9＋(b－2)2＝0，第三边c为奇数，则c＝______.5．(2017·四川乐山中考)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是_________.6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上，且CE ＝12AC ，连结BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是________.7．(2018·湖北宜昌中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E. (1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．8. (2019·易错题)如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上．若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( )A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( )A．4.8 B．4.8或3.8C．3.8 D．510．(2017·辽宁大连中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E 是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A．2a B．22aC．3a D.43 3a11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，E，F分别是AD，CD的中点，连结BE，BF，EF.若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为( )A．2 B.94C.52D．312．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结EF交AP于点G.给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF；③AP＝EF；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的结论是( )A．只有① B．①②④C．①②③④ D．①②④⑤13．(2017·四川达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是______________.14．(2019·改编题)已知点G是面积为27 cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于______cm2.15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______.16．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)设该组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．17．(2017·山东德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)18．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝________；若∠A＝a°，则∠BEC＝________．【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC ＝________；(2)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.9 5.3556.247．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 【拔高训练】8．C 9.A 10.B 11.C 12.D 13．1<m<4 14.9 15.416．解：(1)设三角形的第三边长为x. ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7－5<x<5＋7，即2<x<12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一)． (2)∵2<x<12，它们的边长均为整数， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴该组中最多有9个三角形，∴n＝9.(3)∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数， ∴该三角形周长为偶数的概率是49.17．解：(1)如图，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m.∵在Rt△ACD 中，∠C ＝45°， ∴Rt△ACD 是等腰直角三角形． ∴CD＝AD ＝10 m.在Rt△A BD 中，tan B ＝ADBD，∵∠B＝30°，∴BD＝3AD ， ∴BD＝10 3 m.∴BC＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. 答：B ，C 之间的距离是(10＋103)m. (2)这辆汽车超速．理由如下： 由(1)知BC ＝(10＋103)m. 又3≈1.7，∴BC≈27 m， ∴汽车速度v ＝270.9＝30(m/s)．又∵30 m/s＝108 km/h ， 此地限速为80 km/h ，且108>80， ∴这辆汽车超速． 【培优训练】18．解：131° 90°＋12a°【探究】 (1)60°＋23a°(2)∠BOC＝12∠A.理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A＋∠ABC， ∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠BOC＋∠OBC)， ∴∠A＝2∠BOC，∴∠BOC＝12∠A.(3)∠BOC＝90°－12∠A.理由如下：∵O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC＝12(180°－∠ABC)＝90°－12∠ABC，∠OCB＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，在△OBC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(90°－12∠ABC)－(90°－12∠ACB)＝12(∠ABC＋∠ACB)，由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠BOC＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.第三节 全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( ) A ．两个等边三角形一定全等 B ．腰对应相等的两个等腰三角形全等 C ．形状相同的两个三角形全等 D ．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A ．BE ＝DFB ．BF ＝DEC ．AE ＝CFD ．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F.若▱ABCD 的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB ＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．9．(2018·陕西中考)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连结AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥CD，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF.在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.1816．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)． 在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ，∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ，∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD ＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE ＝180°－60°－60°＝60°. 【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°. ∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM. ∵AB＝32，∴AM＝BM ＝3. ∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM 2＋CM 2＝13.(2)证明：如图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连结BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM ＝AM ， ∴△BMD≌△AMC，故AC ＝BD. 又CE ＝AC ，因此BD ＝CE.∵点F 是线段BC 的中点， ∴BF＝FC ，由BF ＝FC ，∠BFG＝∠EFC，FG ＝FE ， ∴△BFG≌△CFE，故BG ＝CE ，∠G＝∠CEF， ∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.第四节 等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于D ，连结AD.若AD ＝AC ，∠B＝25°，则∠C＝( )A ．70° B．60° C．50° D．40°2．(2017·四川南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个4. (2018·四川绵阳中考)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ＝2，AD ＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A. 2B ．3－ 2 C.3－1D ．3－ 35．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF＝BE ＋CF ； ②∠BOC＝90°＋12∠A；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④6．(2018·黑龙江绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．7．(2018·湖南娄底中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝______cm .8．(2018·浙江嘉兴中考)已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．9. (2018·江苏镇江中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3C. 3 D．311．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°12．(2019·易错题)在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝__________.14．(2018·辽宁葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n＋1C n的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)15．(2018·浙江绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．16. (2018·青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.求证：△BCD 的面积为12a 2；(提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图2，在一般的Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.请用含a 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由；(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.试探究用含a 的式子表示△BCD 的面积，要有探究过程．17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为________．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.D 5.A 6．50°或80° 7.68．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC ，∵AB＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．9．(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACF. 在△ABE 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B＝∠ACF，BE ＝CF ，∴△ABE≌△ACF(SAS)． (2)75 【拔高训练】 10．C 11.D 12.C13．72° 14.(32)2n －2×3315．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x2)°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x 2≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数． 16．(1)证明：过点D 作DE⊥CB 交CB 的延长线于点E ， ∴∠BED＝∠ACB＝90°.由旋转知AB ＝BD ，∠ABD＝90°， ∴∠ABC＋∠DBE＝90°. 又∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴DE＝a ＝BC ， ∴S △BCD ＝12BC·DE＝12a 2.(2)解：过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ， ∴AB＝BD ，∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴BC＝DE ＝a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a 2.(3)解：如图，过点A 作AF⊥BC 于点F ，过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF ＝12BC ＝12a.∴∠FAB＋∠ABF＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD. ∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的， ∴AB＝BD.在△AFB 和△BED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB ＝BD ，∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE ＝12a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a·12a ＝14a 2.∴△BCD 的面积为14a 2.【培优训练】 17．30第五节 直角三角形与勾股定理姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·海南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AB 1C 1，连结BC 1，则BC 1的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2019·改编题)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等3．(2017·贵州毕节中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A ．6B ．4C ．7D ．124．(2018·山东德州中考)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC ＝5，OM ＝4，则点C 到射线OA 的距离为______．5．(2018·浙江宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____________________米(结果保留根号)．6．(2017·湖南常德中考)如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D 是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________.7．(2018·湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为__________．8．(2018·四川广安中考)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．9．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为( ) A．5 B．6 C．7 D．810．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90 B．100C．110 D．12111．(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．12．(2017·湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB ＝12 cm .(1)若OB ＝6 cm ， ①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)点C 与点O 的距离的最大值＝________cm .14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，记四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝________．15．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM＝k ，若∠BPC＝90°，则称k 为勾股比．(1)如图1，过B，C分别作中线AM的垂线，垂足为E，D.求证：CD＝BE.(2)①如图2，当k＝1，且AB＝AC时，AB2＋AC2＝________BC2(填一个恰当的数)．②如图1，当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k的表达式直接表示AB2＋AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.3 5.1 200(3－1) 6．0<CD≤5 7.23或27 8．解：(1)如图(1)所示． (2)如图(2)所示． (3)如图(3)所示． (4)如图(4)所示．【拔高训练】 9．C 10.C11．153或10 3 12.25813．解：(1)①如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，在Rt△AOB 中，AB ＝12，则BC ＝6.∵OB＝6＝BC ，AB ＝AB ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABO， ∴∠BAO＝30°，∠AB O ＝60°. 又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°， ∴BD＝3，CD ＝33， ∴OD＝BD ＋OB ＝3＋6＝9，∴点C 的坐标为(－33，9)．②如图，设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x.∴AO＝AB·cos∠BAO＝12×cos 30°＝6 3. ∴A′O＝63－x ，B′O＝6＋x ，A′B′＝AB ＝12. 在△A′OB′中，由勾股定理，得 (63－x)2＋(6＋x)2＝122， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6(3－1)． ∴滑动的距离为6(3－1)cm. (2)12 【培优训练】 14．1815．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM. ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°. 在△BME 和△CMD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠CDM＝90°，∠BME＝∠CMD，BM ＝CM ，∴△BME≌△CMD(AAS)，∴CD＝BE. (2)①AB 2＋AC 2＝2.5BC 2②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM ＋a ，AD ＝AM －a.在Rt△ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝(AM ＋a)2＋BE 2＝AM 2＋2AM·a＋a 2＋BE 2， 在Rt△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝(AM －a)2＋CD 2＝AM 2－2AM·a＋a 2＋CD 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋(a 2＋BE 2)＋(a 2＋CD 2)． ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°，∴a 2＋BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2＋CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋12BC 2.∵APPM＝1，∴AP＝PM. ∵∠BPC＝90°，AM 是△ABC 的中线， ∴PM＝12BC.若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP ＋PM ＝PM ＋PM ＝2PM ＝BC ， ∴AB 2＋AC 2＝2BC 2＋12BC 2＝52BC 2，即AB 2＋AC 2＝2.5BC 2.③结论：锐角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2.第六节 尺规作图姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湖北宜昌中考)尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．下列作图中正确的是( )2．(2018·河北中考)尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是( )A．①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－ⅢB．①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－ⅠC．①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－ⅠD．①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ3．(2018·山东潍坊中考)如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：(1)作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；(2)以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；(3)连结BD，BC.下列说法不正确的是( )A ．∠CBD＝30°B ．S △BDC ＝34AB 2 C ．点C 是△ABD 的外心 D ．sin 2A ＋cos 2D ＝14. (2018·吉林中考)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为________________．5．(2018·内蒙古通辽中考)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连结AD.若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C＝30°，则△ACD 的面积为______．6．(2018·辽宁抚顺中考)如图，▱ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，连结AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连结AE ，则△AED 的周长是________．7．(2018·北京中考)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ∥l.作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB＝________，CB＝________，∴PQ∥l(________)(填推理的依据)．8．如图，∠BAC内有一点P，过点P作直线L∥AB，交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q，R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：甲：①过P作直线l1∥AC，交直线AB于F点，并连结EF；②过P作直线l2∥EF，分别交两直线AB，AC于Q，R两点，则Q，R即为所求．乙：①在直线AC上另取一点R，使得AE＝ER；②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q，R即为所求．下列判断正确的是( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确9．如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A，D为圆心，A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心，O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F，则△ACF面积是__________．10．(2018·四川自贡中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长．(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)11．(2018·山东济宁中考)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所示)面积的方法，现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．(1)在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图；(保留画图痕迹，不写画法)(2)如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 m，请你求出这个环形花坛的面积．参考答案【基础训练】 1．B 2.D 3.D4．(－1，0) 5.9 3 6.10 7．(1)解：直线PQ 如图所示．(2)AP CQ 三角形中位线定理 【拔高训练】 8．A 9.3＋3410．解：(1)⊙O 如图所示．(2)如图，作OH⊥BC 于H. ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OE⊥AC，∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°， ∴四边形ECHO 是矩形， ∴OE＝CH ＝52，BH ＝BC －CH ＝32.在Rt△OBH 中，OH ＝（52）2－（32）2＝2， ∴EC＝OH ＝2，BE ＝EC 2＋BC 2＝2 5. ∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°， ∴△BCE∽△BED， ∴DE EC ＝BD BE ，∴DE 2＝525， ∴DE＝ 5.【培优训练】11．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，设EF与小圆切点为C，连结OM，OC.∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM＝CN＝5 m，∴OM2－OC2＝CM2＝25，∴S圆环＝π·OM2－π·OC2＝25π(m2)．。

几何初步及三角形相关计算复习考点攻略考点一直线、射线、线段相关概念和性质1．直线的性质（1）两条直线相交.只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线.即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线.两点之间.线段最短.两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点.则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内.两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中.垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线.这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．7. 角：有公共端点的两条射线组成的图形．8．角平分线（1）定义：在角的内部.以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线.则∠AOC=∠BOC=12∠AOB.∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。

9．度、分、秒的运算方法1°=60′.1′=60″.1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．10．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．11．方向角和方位角在描述方位角时.一般应先说北或南.再说偏西或偏东多少度.而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时.又常常说成东南、东北、西南、西北方向．【例1】如图.在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数）.且2AB=BC=3CD.若A、D两点表示的数分别为-5和6.且AC的中点为E.BD的中点为M.BC之间距点B的距离为13BC的点N.则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N【例2】如图.∠AOB=180°.∠BOC=80°.OD平分∠AOC.∠DOE=3∠COE.求∠BOE．【例3】如图.要修建一条公路.从A村沿北偏东75°方向到B村.从B村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE与AB的方向一致.则∠ECB的度数为A．80°B．90°C．100°D．105°【例4】计算：18°30′=__________°考点二立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆.棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面.棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆.侧面是曲面；棱锥的底面是多边形.侧面是三角形．2．点动成线.线动成面.面动成体.线没有粗细.点没有大小．3．设立体图形的面数为F.顶点数为V.棱数为E.则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：【例5】如图是一个正方体包装盒的表面积展开图.若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数.使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后.相对面上的两数互为相反数.则填在A、B、C内的三个数依次为A．0.-2.1 B．0.1.2C．1.0.-2 D．-2.0.1考点三三角形的基本概念(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

D CB A《三角形的初步认识》复习讲义知识点1：认识三角形。

1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的顶点：三个顶点。

3、三角形的边：组成三角形的三条线段。

4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。

三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。

【例1】（1）如图1，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：；（2）如图1，线段BC是△和△的边；（3）如图1，△ABD的3个内角是，三条边是。

【例2】如图2，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是，在△ACD中∠C所对的边是，在△ABD中边AD所对的角是，在△ACD中边AD所对的角是。

知识点2：三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm，5cm ② 8cm，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm，20cm ④ 5cm，5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。

【例4】一个三角形的三个内角分别为x，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________ DBA知识点4、三角形外角定理：1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD 中，如图，E 为AB 上一点，连结DE 、EC ，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念 1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。