湖北省巴东一中 选修2-2教案 1.4生活中的优化问题举例(2)

学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林§1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

1．4 生活中的优化问题（二） 教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2?Rh ＋2?R 2． 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业1.阅读教科书P.34-----P352.《习案》作业十二3.。

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、前言优化问题是数学中的重点和难点之一，也是工程应用中的实际问题。

本课程主要讲解生活中的优化问题，通过具体的例子，让学生了解优化问题的基本方法和应用范围。

二、教学目标1.能够分析生活的实际问题，抽象出其中的优化问题。

2.掌握用微积分方法解决优化问题的基本技能。

3.了解优化问题在工程应用中的实际意义。

三、教学内容1.生活中的优化问题1.1 费用最小问题举例：一家人要出去旅游，如何在满足旅游时间和预算的情况下，选择最优路线？1.2 体积最大问题举例：有一块给定面积的矩形纸片，如何剪裁使得剩余部分的体积最大？1.3 面积最小问题举例：一张给定面积的铁皮，如何剪裁才能使成本最小？2. 用微积分方法解决优化问题2.1 寻找极值2.2 使用导数判断最值3. 工程应用3.1 优化问题在自动化控制中的应用举例：如何通过PID控制算法，在发电机组切换系统中实现能耗最小的自动控制？3.2 优化问题在工程设计中的应用举例：如何利用优化技术，在给定材料和工艺下，设计出最合适的汽车车身结构？四、教学方法1.引导式教学法通过提问、引导问题等方式，启发学生自主思考和探究，激发学生学习兴趣，培养自主学习的能力。

2.案例式教学法通过具体实例，帮助学生理解和掌握优化问题解决的基本方法和应用。

3.互动式教学法通过大讨论、小组讨论、同桌讨论等方式，促进学生之间的交流和互动，增强学生的学习效果。

五、教学步骤1.导入环节通过举例子等方式，引导学生了解生活中的优化问题，概述优化问题的解决方法。

2.知识讲解讲解微积分中最值问题的求解方法，包括极值的定义，最值问题的转化以及最值的判断方法等。

3.案例分析通过生活中的优化问题案例进行讲解，包括费用最小问题、体积最大问题、面积最小问题等。

4.工程应用讲解优化问题在工程应用的实际意义，以及在自动化控制和工程设计中的应用。

5.总结复习对本课程内容进行总结和复习，并提醒学生学习中需要注意的问题。

《生活中的优化问题举例》“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。

而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值。

而本节内容主要是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。

教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。

从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。

本节内容是导数知识的应用问题，所以数学建模，用导数求函数的单调性、最值，导数的意义是学生学习的必备知识。

【知识与能力目标】1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。

【过程与方法目标】1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。

2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系。

培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度。

【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。

【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。

多媒体课件。

一、复习导入【师】问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？【生】学生讨论回答【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。

通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具。

这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

1.4生活中的优化问题举例预习案一新知导学1. 问题导航⑴生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？ (2) 解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3) 求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？ 2. 例题导读通过P 34〜35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容: (1) 研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2) 求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解； (3) 解决优化问题的过程是典型的数学建模过程； (4) 掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.1. 优化问题生活中经常遇到的求利润最大、 用料最省、效率最高等问题， 通常称为优化问题， 导数是求函数最大(小)值的有力工具.2. 利用导数解决优化问题的基本思路建立数学模型---- >解决数学模型作答-- >3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变 量之间的函数关系 y= f(x),注明定义域;(2) 求函数的导数f'刈，解方程f'x) = 0;(3) 比较函数在区间端点和使 f' x)= 0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值; (4) 写出答案.1•下列不属于优化问题的是 ( )A •汽油的使用效率何时最高B .磁盘的最大存储量问题 C.求某长方体容器的容积D .饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案：C2. 有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为A . 32 m 2 B. 14 m 2C. 16 m 2D. 18 m 2解析：选C.设矩形的长为x m,则宽为(8-x)m ，矩形面积为S= x(8 — x)(x>0)，令S'= 8 —2x = 0,得 x= 4，此时 S max = 42= 16(m 2).用函数表示数学问题优化问题优化问题的答案 用导数解决数学问题3. 内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.233RC.^R解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h,则底面半径为R 2- h 2,圆柱体体积为 V =n (R 2—h 2) 2h = 2 TtR 2h- 2冗h 3•令V = 2 %R 2-6冗h 2 = 0,「・h =中只即当2h=2J^R 时，圆柱体的体 积最大.1 OOOv 24. 一艘船从A 地到B 地，其燃料费 w 与船速v 的关系为w(v)= (18W v W 30), v — 8则燃料费最低时的船速 v = _________ .2 000v (v — 8)— 1 000v 21 000v (v — 16)解析：w 'v(= 2 = 2一 >0,所以 w(v)在［18, 30］上(v — 8) 2 (v — 8) 2单调递增，所以当 v= 18时，w(v)有最小值.答案：181.解决优化问题的常用方法 解决优化问题的方法很多，如： 判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数 的性质及导数法等. 不少优化问题，可以化为求函数的最值问题. 一般来说，导数方法是解 决这类问题的有效工具.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题几何中的最值问题卩越(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为 __________ .… S — 2 冗 R 2［解析］因为S= 2冗Rh+ 2冗R 2，所以h =2冗R(1)在求实际问题的最大 (小)值时, 定要考虑实际问题的意义, 不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足 在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大f'x) = 0的情形.如果函数 (小)值.(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还 应确定出函数关系式中自变量的定义区间.探究案一讲练用动S— 2 TtR2所以 V(R)= TT R2,2冗R=2(S- 2 TT R2)R=1SR-n R3.1由 V'R)= 2S- 3%R2= 0,得S= 6冗R2,所以当S= 6冗R2时，容积最大，此时6冗R2= 2冗Rh+ 2冗R2即 h : R= 2 : 1.［答案］2 : 1⑵请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB = x(cm).①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.［解］设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得, (30 —X)，0<X<30.①S= 4ah = 8X(30—X)=—8(X— 15)2 + 1 800，所以当X= 15时，S取得最大值.② V= a2h= 2也(一X3+ 30X2)，V '=6>/2x(20 —X). 由V'= 0，得X= 0(舍去)或X= 20.当X€ (0，20)时，V'>0;当 x€ (20，30)时，V'<0.所以当X= 20时，V取得极大值，也是最大值.h 1 一 1此时匚=亍，即包装盒的高与底面边长的比值为a 2 2r-(.方怙用：r解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.11. (1)如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y= —^X2 + 2, x€ ［—a = 2x，h =60-22X=.；22，2］的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值.1的坐标为(0, 2)，直线BC 的方程为y = 2•因为y =—空/+ 2,所以y'=— x ,所以y'x 斗t =— t , 1 2所以直线 AB 的方程为y —— 2t 2 + 2 = — t(x — t),1 即 y = — tx + 尹+ 2,令 y = 0,得x =于，所以At 2 + 4 2t ，1 1 令 y = 2,得 x = 1，所以 B ^t ，2 , 1 1 t 2 + 4 4 4所以 S = 2X 尹+ - x 2 x 2= 2t +4, S'=2 —12,令S = 0，得t = '2故当t = ..'2时，S 有最小值为4,：2. 所以梯形ABCD 的面积的最小值为 4J2.(2)从长为32 cm ,宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形， 做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为 x cm ，则箱子的容积 V(x)= x(32 — 2x)(20 — 2x)= 4x 3— 104*+ 640x , (0<x<10)V'(x) = 12x 2— 208x + 640 =4(3x 2— 52x + 160)=4(3x — 40)(x — 4). 40 令 V 'x)= 0，得 X 1= §(舍去),x 2= 4.当 4<x<10 时，V ((x)<0 , 所以V(x)在(0, 4)内为增函数, 在(4,用料、费用最省问题忖巴如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a ［解］法一：设 C 点距 D 点 x km(0<x<50)，贝U BD = 40 km , AC= (50 — x)km , ••BC = 'BD2+ CD2= 402+ x2(km).又设总的水管费用为 y元，A处，乙厂与甲厂在元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省?依题意，得 y= 3a(50 — x) + 5a x2+ 402(0<x<50).当 x € (0, 30)时，y'<0 ; 当 x € (30, 50)时，y'>0. •••当x= 30时函数取得最小值， 此时 AC = 50- x= 20(km).即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 40法二：设/ BCD = 0,贝U BC=」^,sin 0设总的水管费用为f( 0元,40 40依题意有 f( 0) = 3a(50 — ) + 5a •tan 0 sin 05— 3cos 0 =150a+ 40a • sin 03sin 0sin 0—( 5 — 3cos 0) c os 00) = 40a -—sin 23— 5cos 0=40a • sin 23 令 f' 0 = 0，得 cos 0= 5.3 根据问题的实际意义，当 cos 0= 3时，函数取得最小值， 4 4此时 sin 0= .•••tan 0=.5 3 40.•AC = 50 — = 20(km).tan 0即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.r［盘哇用佛］(1)选取合适的量作为自变量 (如法一取C 、D 之间的距离x 为自变量， 为自变量)，并确定其取值范围.⑵正确列出函数关系式； (3)利用导数求最值； ⑷回归到原实际问题.其中，正确列出函数关系式是解题的关键.2. (1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm 2, 上、下边各空a cm ， 若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为 X ，则宽为S，报刊的面积为y ，如图所示x= -3a+5ax,x 2+ 402，令 y'= 0，解得 x= 30.CD =40tan 0 n0< 0<2 .•'AC = 50 —40tan 0法二取 / BCD = 0 左右边各空 b cm ，小 Sc 2bS则 y = (x + 2b) x+ 2a = 2ax+ + S+ 4ab(x>0),x x 求导得y = 2a-2bS. x学或x —罟(舍去)•冒,+ ^ , y '>0,•••当x=.乎时，y 取得最小值.即报刊长为 bS+ 2b ，宽为2a 时，报刊用纸最省.(2)某单位用2 160万元购得一块空地， 计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层2 000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x> 10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购地总费用、 建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则f(x)= (560 + 48x) +1 2 3 160爲00 000厶 UUUA.10 800 *=560+ 48x+ (x> 10, x € N ),x10 800 f'(x)= 48-旷, 令 f' x) = 0，得 x = 15 或 x=- 15(舍去), 当 x>15 时，f '(x)>0 ; 当 10W x<15 时，f'(x)<0,因此当x= 15时，f(x)取最小值f(15)= 2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为利润最大问题忖心；某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格ax(单位：元/千克)满足关系式y = -—3 + 10(x - 6)2，其中3<x<6, a 为常数，已知销售价格为x 3 5元/千克时，每日可售出该商品11千克.2 求a 的值；3 若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.［解］(1)因为 x = 5 时，y = 11, 所以|+ 10= 11,所以a = 2.2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 丫=亠 + 10(x - 6)2,所以商场每日销售该商品所获x - 3得的利润令y'= 0,解得x = (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 15层.当 x € 0, ,y'<0，当 x €2 2f (x)= (x — 3) + 10( x — 6)X 3=2+ 10(x — 3)(x — 6)2(3<X <6).从而 f'x) = 10[(x — 6)2+ 2(x — 3)(x — 6)] =30(x — 4)(x — 6).于是，当x 变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，x= 4是函数f(x)在区间3, 6)内的极大值点，也是最大值点•所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.尸[分徒用(*[r(1) 经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢， 以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2) 关于利润问题常用的两个等量关系 ① 利润=收入—成本.② 利润=每件产品的利润 X 销售件数.区眼踪训拣3•某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销， 在一年内，预计年销量Q(万3x+ 1件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为 Q = ------- (x>0),已知生产此产品的年固定投入为x+ 1 3万元，每生产 1万件此产品需再投入 32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的 150% ”与“年平均每件所占广告费的 50% ”之和.(1) 试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企 业是亏损还是盈利？(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解: (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q + 3)万元，销售收入是(32Q + 3) 150% + x 50%,11 3x+1所以年利润y=(年收入)—(年成本)—(年广告费)=(32Q+ 3— x) =32X + 3— x 2 2 x+1—x + 98x+ 35(x > 0)，当x = 100时，y<0,即当年广告费投入 100万元时，企业亏损.—x + 98x+ 35 ⑵由 y= f(x) = (x> 0)，可得 :(x+ 1)所以所求的函数关系式为—x 2 + 98x + 35 y =2( x +1) (x >0).(-2x+ 98) • (x+ 1)— 2 (- x 2+ 98x+ 35) 令 f'x) = 0，则 x 2+ 2x — 63= 0.所以x= — 9(舍去)或x= 7.又 x € (0, 7)时，f'(x)>0; x € (7,+^)时，f'(x)<0, 所以f(x)极大值=f(7) = 42. 又因为在(0, + g )上只有一个极值点， 所以 f(X)max = f(x)极大值=f(7) = 42.故当年广告费投入 7万元时，企业年利润最大..... 事靈粼提)开丿*易错警示因忽视讨论f'x 0)= 0中X 0的范围而致误侧④1甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本 (元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 b(b>0)；固定部分为a 元.(1) 把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？S S［解］(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 V ，全程运输成本为 y= a ； + 2 S abv 2v= S(v+ bv),所求函数及其定义域为 y = Sa + bv ，v € (0， ⑵令 y'= S —》+ b= 0，得 v= : b ， y 最小; ②若，a>c ，则 v € (0，c ］时 y( <,0 即 y 在(0， 所以当v = c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本 y 最小，a 三c 时，行驶速度v =,b ； 当b >c 时，行驶速度v= c. ［错因与防范］(1) 一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解 b 是否在区间(0, c ］内的讨论，致使答案错误.⑵在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题， 并且注意自变量的取值范围. 根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内， 易因忽视定义域而出错.f'(x)= ---------------—x 2— 2x + 63 2 (x + 1) 24 (x +1)c]. c ］上为减函数.错误；另一方面由于忽视了对 v =，全程运输成本 ①若：琴三c ，则当v =4•某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3< a< 5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9< x w 11)时，一年的销售量为(12 —x)2万件.(1) 求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式为：L = (x— 3 — a)(12 —x)2, x€ [9, 11] •(2)由(1)知 L = (x— 3— a)(12 — x)2, x€ [9 , 11],贝U L= (12 — x)2— 2(x— 3— a)(12 — x)=(12 — x)(18 + 2a— 3x) •2令L'= 0解得x= 6 + 或x= 12(舍去)•2 28'•3w a w 5,.°.8w 6 + 3aw —.2在x = 6+ 两侧L的值由正变负，2 9•①当8w6+尹<9，即3w a<-时，L max = L(9) = (9 — 3— a)(12 — 9)2 = 9(6 — a) •2 28 9②当9W 6+ |a w詈，即2w a w 5时，2 2 2 2 L max = L(6 + 尹)=(6 + 3a— 3— a)[12 — (6+ ?a)]21 3=4(3 —§a)3,9(6 —a) , 3 w a<21 39(3 — 3a) 3, 2w aw 59即若3w av》，则当每件销售价为 9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= 9(69 2—a)(万元)；若|w a w 5，则当每件销售价为(6 + |a)元时，分公司一年的利润L最大，最大1值 Q(a)= 4(3 — 3*)3(万元)•一当)电.................. ……―1. 某产品的销售收入 y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1= 17x2;生产总成本 y2(万元)也是产品x(千台)的函数，y2= 2x3— x2(x>0)，为使利润最大，应生产() A• 9千台 B • 8千台C. 6千台 D • 3千台解析：选 C.构造利润函数 y= y1— y2= 18/— 2x3(x>0)，求导得 y'= 36x — 6x2= 0? x= 6(x=0舍去)•2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 n且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A • 5 C. 3 B•D62母线长为I,解析：选C.设圆柱的底面半径为则 V=n R2l = 27n,/l = RL要使用料最省，只需使水桶的表面积最小, 2254 n而S 表=冗氏+ 2冗Rl =n R +54 n令 Sbl= 2 冗R —眉=0,3. 如图，内接于抛物线 x 轴上运动，则此矩形的面积x 2•矩形 ABCD 的面积 S= f(x)= x •I — 23x厂=—4 + x ,x € (0, 2). 由 f' x)=—孑/ + 1= 0,一 2 ..3273 时，f'(x)>0, f(x)是递增的,2时，f'(x)<0, f(x)是递减的, ,f(x)取得最大值誓.答案：骨训练案仙能提升[A.基础达标]1.将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A . 2 和 6 B. 4 和 4 C. 3和5D .以上都不对解析：选B.设一个数为x,则另一个数为8— x,贝U y = x 3+ (8 — x)3, 0< x< 8, y'=3x 2—3(8 — x)2,令 y'= 0,即 3/— 3(8 — x)2= 0，解得 x= 4•当 0W x<4 时，y'<0;当 4<x W 8 时，y'>0. •••当x= 4时，y 最小.解得R = 3，即当R = 3时，S 表最小.故选C.2 2 得 x1=—3(舍去)，x2= .3, •••当 x € 0,解析: y = 1 — x 2的矩形ABCD ，其中A , B 在抛物线上运动，C , D 在 S 最大值是.2x x 2, 1— 2当x =32. 设函数h t(x)= 3tx— 2t2，若有且仅有一个正实数x°,使得h7(x。

新人教版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师教案（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例（税长江）一、教学目标 1．核心素养通过生活中的优化问题举例的学习，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，培养数学模的意识． 2．学习目标能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等优化问题，并体会导数在解决实际问题的应用。

（1）1.4.1.1感受教材中的优化案例（2）1.4.1.2提炼运用数学建模，解决生活中的优化问题的方法过程（3）1.4.1.3实际运用，提升能力 3．学习重点：利用导数解决实际生活中简单的最优化问题。

4．学习难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P34－P36，思考：建立函数模型的基本步骤是什么？任务2收集资料，运用数学模型解决实际问题有哪些典型的案例？ 2．预习自测t2（1）某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)＝100，则在时刻t＝10 min时的降雨强度为（） 1A．5mm/min 1B．4mm/min1C．2mm/min D．1mm/min 答案：A 解析：略12．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（） A．13万件B．11万件 C．9万件 D．7万件答案：C 解析：略3．某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)?x2(箱子底面边长为（） A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 解析：略（二）课堂设计 1．知识回顾（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递增函数；若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递减函数．（2）求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y?f(x)在区间(a,b)内的极值；②将函数y?f(x)各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

通常采取什么方法解决这一类问题呢？问题1：这些问题的共同点是什么？（求最值）问题2：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？（函数） 问题3：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？（导数工具） 问题4：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？（函数的定义域） 情境二：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？问题1：根据以往的经验，这种问题往往与哪个知识点有关？（均值定理） 问题2：均值定理应用的前提是什么？（一正，二定，三相等）问题3：由经验可知，图形越对称越能取得最值。

那这个问题是不是当版心为正方形时 四周空心面积最小呢？（均值定理解法可由学生分组完成）问题4：除了用均值定理解决这个问题外，还有没其他的方法？能不能用导数解决？ （导数解法见课本34页）情境三：课本例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题1：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 问题2：瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去）当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低；（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm 时，利润最大．问题3：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察（课本35页图1.4-2），会有什么发现？ 情境四：课本例3磁盘的最大存储量问题（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？ （3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。

课题： 1.4 生活中的优化问题举例 课时：（第1课时）【学习目标】 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值． 第一环节：导入学习日常生活中，常会用到什么条件下可使材料最省，时间最小，效率最高等问题．往往可以归结为求函数的最值问题． 第二环节：自主学习 （一） 基础学习【例1】 在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图1)，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？图1【解】 设箱底边长为x ，则箱高h ＝60－x2.∴箱子容积V (x )＝x 2·h ＝x 2·60－x 2＝60x 2－x 32(0<x <60)．令V ′(x )＝12(120x －3x 2)＝32x (40－x )＝0.解得x 1＝0(舍去)，x 2＝40.V (40)＝16 000.当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，V →0即箱子容积很小．∴16 000是最大值． 故当箱底边长为40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.【例3】 如图3所示，设铁路AB ＝50，B 、C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，单位距离公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，使运费由A 到C 最省．图3【解】 设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4102＋x 2(0≤x ≤50)，p ′(x )＝－2＋4x102＋x 2，令p ′(x )＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x <103时，p ′(x )<0；当x >103时，p ′(x )>0，所以当x ＝103时，取得最小值，即在离B 点距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省．（二） 深入学习【例2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解】 (Ⅰ)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x－6)]＝30(x－4)(x－由上表可得，x所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．第三环节：互助学习第四环节：展示学习第五环节：精讲学习。