数学高一-课堂新坐标必修1试题 3.1正整数指数函数

第三章 §1A 级 基础巩固1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有导学号 00814549( D )①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D ． 2．函数y ＝(12)x ，x ∈N ＋的值域是导学号 00814550( D ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．ND ．{12，122，123，…} [解析] ∵n ∈N ＋，∴把n ＝1,2,3，…代入可知选D ．3．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3·2x (x ∈N ＋)． 其中是正整数指数函数的个数为导学号 00814551( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B ． 4．函数y ＝(38)x ，x ∈N ＋是导学号 00814552( D ) A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数[解析] ∵0<38<1，当x ∈N ＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D ． 5．函数y ＝7x ，x ∈N ＋的单调递增区间是导学号 00814553( D )A ．RB ．N ＋C ．[0，＋∞)D ．不存在[解析] 由于函数y ＝7x ，x ∈N ＋的定义域是N ＋，而N ＋不是区间，则该函数不存在单调区间．6．满足3x 2－1＝19的x 的值的集合为导学号 00814554( C ) A ．{1} B ．{－1,1}C ．∅D ．{0} [解析] 3x 2－1＝3－2，∴x 2－1＝－2，即x 2＝－1，无解．7．已知函数f (x )＝(m －1)·4x (x ∈N ＋)是正整数指数函数，则实数m ＝_2__.导学号 00814555[解析] 由m －1＝1，得m ＝2.8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为_2400元__.导学号 00814556[解析] 5年后价格为8100×⎝⎛⎭⎫1－13；10年后价格为8100×⎝⎛⎭⎫1－132；15年后价格为8100×⎝⎛⎭⎫1－133＝2400(元)． 9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)导学号 00814557[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5，则M N ＝2(1＋10%)5， 因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以M N>1，即M >N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2012年某地区农民人均收入为23150元(其中工资性收入为17800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2013年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1160元．根据以上数据，求2017年该地区农民人均收入约为多少元？(其中 1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈ 1.42)导学号 00814558[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即17800×(1＋6%)5＝17800×1.065＝23852(元)，二是其它收入即5350＋5×1160＝11150(元)，∴农民人均收入为23852＋11150＝35002(元)．答：2017年该地区农民人均收入约为35002元．B 级 素养提升1．若f (x )＝3x (x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为导学号 00814559( B )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增[解析] ∵f (x )＝3x (x ∈N 且x <0)，∴y ＝f (－x )＝3－x ＝(13)x ， ∴函数为减函数，故选B ．2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)导学号 00814560( B )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2 [解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)，2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.3．不等式(13)3－x 2<32x (x ∈N ＋)的解集是_{1,2}__.导学号 00814561 [解析] 由(13)3－x 2<32x 得3x 2－3<32x . ∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.4．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空：导学号 00814562 (12)x _<__1,2x _>__1，(12)x _<__2x ，(12)x _>__(13)x,2x _<__3x . [解析] ∵x ∈N ＋，∴(12)x <1,2x >1. ∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x ，(12)x >(13)x .也可以代入特殊值比较大小． 5．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，导学号 00814563(1)求函数f (x )的解析式；(2)求f (5)；(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．[解析](1)设正整数指数函数为f(x)＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．(2)f(5)＝35＝243.(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：导学号00814564(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?[分析]本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x年的解析式．[解析](1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．C级能力拔高截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿).导学号00814565(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．。

指数与指数函数同步练习一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是（ ）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -= 。

【世纪金榜】（教师用书）2014高中数学 3.1 正整数指数函数同步课时训练北师大版必修1(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.已知正整数指数函数f（x）=（a-2）a x，则f（2）=( )(A)2 (B)3 (C)9 (D)162.（2012·广州高一检测）当x∈N+时，函数y=（a-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )(A)1＜a＜2 (B)a＜1(C)a＞1 (D)a＞23.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )(A)增加7.84% (B)减少7.84%(C)减少9.5% (D)不增不减4.由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )(A)2 400元 (B)2 700元(C)3 000元 (D)3 600元二、填空题（每小题4分，共8分）5.正整数指数函数f(x)=(a-2)(2a)x(x∈N+)在定义域N+上是__________的.(填“增加”或“减少”)6.已知0＜a＜1，则函数y=a x-1（x∈N+）的图像在第___________象限.三、解答题（每小题8分，共16分）7.在正整数指数函数y=a x(a＞0且a≠1,x∈N+)中，分别求满足下列条件的a的取值范围.（1）若y=a x在x∈N+上是减少的,求a的取值范围.（2）若a x≥a,x∈N+,求a的取值范围.8.（易错题）某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.(1)写出x，y之间的函数关系式；（2）求出经过10年后森林的面积(可借助计算器).【挑战能力】（10分）一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶?(精确到1小时)答案解析1.【解析】选C.由于a21,a0a1,-=⎧⎨≠⎩＞且则a=3，∴f（x）=3x（x∈N+）,∴f(2)=32=9,故选C.2.【解题指南】根据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围. 【解析】选D.在y=（a-1）x中，当x=0时，y=1.而x∈N+时，y＞1，则必有a-1＞1，∴a＞2，故选D.3. 【解析】选B.设商品原价为a，两年后价格为a（1+20%）2，四年后价格为a（1+20%）2（1-20%）2=a（1-0.04）2=0.921 6a，∴a0.921 6aa-×100%=7.84%，故选B.4.【解析】选A.1年后价格为8 100×(1-13)=5 400（元）,2年后价格为5 400×（1-13）=3 600（元）,3年后价格为3 600×（1-13）=2 400（元）.5.【解析】∵f(x)=(a-2)(2a)x是正整数指数函数, ∴a-2=1,且2a＞0，2a≠1,∴a=3,∴f(x)=6x,x∈N+.∵6>1,∴f(x)在N+上是增加的.答案：增加6.【解析】y=a x的图像在第一象限中x轴上方、直线y=1下方的一个区域内，而y=a x-1的图像是将y=a x 图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限.答案：四7.【解析】（1）由于y=a x（a＞0且a≠1，x∈N+）在x∈N+上是减少的，所以由正整数指数函数的性质知0＜a＜1.（2）∵a x≥a1,x∈N+,可知y=a x（x∈N+）在N+上是增加的,∴a＞1.【方法技巧】函数单调性概念的应用技巧本题的考点是函数的单调性应用问题，如在（1）中可直接利用指数函数单调减少的概念确定字母a的取值范围.如在（2）中把不等式问题转化为函数的单调性问题来研究，利用指数函数单调增加的概念确定a的取值范围.函数的单调性还经常应用于求最值、比较大小等问题.8.【解题指南】（1）归纳出函数关系式；（2）转化为当x=10时对应的函数值.【解析】(1)当x=1时，y=10 000+10 000×10%=10 000（1+10%）;当x=2时，y=10 000（1+10%）+10 000（1+10%）×10%=10 000（1+10%）2；当x=3时，y=10 000（1+10%）2+10 000（1+10%）2×10%=10 000（1+10%）3；…∴x，y之间的函数关系式是y=10 000（1+10%）x（x∈N+）.(2)当x=10时，y=10 000×（1+10%）10≈25 937.42.即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.【挑战能力】【解析】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3（1-50%） mg/mL，x小时后其酒精含量为0.3（1-50%）x mg/mL.由题意知：0.3（1-50%）x≤0.08，（12）x≤415.采用估算法，x=1时，（12）1=12＞415；x=2时，（12）2=14=416＜415.由于y=（12）x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.。

第三章§1正整数指数函数一、选择题1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( )①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D. 2．函数y ＝(12)x，x ∈N ＋的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．ND ．{12，122，123，…}[答案] D[解析]∵n ∈N ＋，∴把n ＝1,2,3，…代入可知选D. 3．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x(x ∈N ＋)； ③y ＝3x＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3·2x(x ∈N ＋)． 其中是正整数指数函数的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B. 4．函数y ＝(38)x，x ∈N ＋是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数[答案] D[解析]∵0<38<1，当x ∈N ＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.5．函数y ＝7x，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋ C ．[0，＋∞) D ．不存在[答案] D[解析] 由于函数y ＝7x，x ∈N ＋的定义域是N ＋，而N ＋不是区间，则该函数不存在单调区间．6．满足3x 2－1＝19的x 的值的集合为( ) A ．{1} B ．{－1,1} C ．∅ D ．{0}[答案] C [解析] 3x 2－1＝3－2，∴x 2－1＝－2，即x 2＝－1，无解．二、填空题7．已知函数f (x )＝(m －1)·4x(x ∈N ＋)是正整数指数函数，则实数m ＝________. [答案] 2[解析] 由m －1＝1，得m ＝2.8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．[答案] 2400元[解析] 5年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；10年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132；15年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2400(元)．三、解答题9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则M N ＝21＋10%5，因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以M N>1，即M >N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2010年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2014年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)． 答：2014年该地区农民人均收入约为16602元.一、选择题1．若f (x )＝3x(x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增[答案] B[解析]∵f (x )＝3x(x ∈N 且x <0)， ∴y ＝f (－x )＝3－x＝(13)x ，∴函数为减函数，故选B.2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2[答案] B[解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)， 2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)． 共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679. 二、填空题3．不等式(13)3－x 2<32x(x ∈N ＋)的解集是________．[答案] {1,2}[解析] 由(13)3－x 2<32x 得3 x 2－3<32x.∵函数y ＝3x，x ∈N ＋为增函数， ∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3. 又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.4．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空：(12)x ________1,2x ________1，(12)x ________2x ，(12)x ________(13)x,2x ________3x . [答案]<><><[解析]∵x ∈N ＋，∴(12)x <1,2x>1.∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x，(12)x >(13)x .也可以代入特殊值比较大小．三、解答题5．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)， (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．[解析] (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3，f (x )无最大值．6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?[分析] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x 年的解析式． [解析] (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)令y ＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x ≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．。

高一数学必修1指数函数试题及答案1．已知集合M＝{－1,1}，N＝x12<2x＋1<4，x∈Z，则M∩N等于( ) A．{－1,1} B．{－1}C．{0} D．{－1,0}【解析】因为N＝{x|2－1<2x＋1<22，x∈Z}，又函数y＝2x在R上为增函数，∴N＝{x|－1<x＋1<2，x∈Z}＝{x|－2<x<1，x∈Z}＝{－1,0}．∴M∩N＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<14b<14a<1，那么( )A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa【解析】由已知及函数y＝14x是R上的减函数，得0<a<b<1.由y＝ax(0<a<1)的单调性及a<b，得ab<aa.由0<a<b<1知0<ab<1.∵aba<ab0＝1.∴aa<ba.故选C.也可采用特殊值法，如取a＝13，b＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________. 【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.∴a＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.【答案】124．函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)内递增，求a的取值范围．【解析】对u＝－x2＋ax－1＝－x－a22＋a24－1，增区间为－∞，a2，∴y的增区间为－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a≥6.∴a的取值范围是a≥6.一、选择题(每小题5分，共20分)1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则( )A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2【解析】y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.【答案】 D2．若142a＋1<143－2a，则实数a的取值范围是( )A.12，＋∞B.1，＋∞C．(－∞，1) D.－∞，12【解析】函数y＝14x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )A．f(13)<f(32)<f(23)B．f(23)<f(32)<f(13)C．f(23)<f(13)<f(32)D．f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x－1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A．(0，12) B．(12，＋∞)C．(－∞，12) D．(－12，12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a应满足1－2a>01－2a<1，解得a<12a>0，即a∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设a>0，f(x)＝exa＋aex(e>1)，是R上的偶函数，则a＝________.【解析】依题意，对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，∴exa＋aex＝1aex＋aex，∴(a－1a)(ex－1ex)＝0.∴a－1a＝0，即a2＝1.又a>0，∴a＝1.【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】(1)考察指数函数y＝1.5x.因为1.5>1，所以y＝1.5x在R上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)考察指数函数y＝0.5x.因为0<0.5<1，所以y＝0.5x在R上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】<，<三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据下列条件确定实数x的取值范围：a<1a1－2x(a>0且a≠1)．【解析】原不等式可以化为a2x－1>a12，因为函数y＝ax(a>0且a≠1)当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a大于0小于1时在R上是减函数，所以当a>1时，由2x－1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x－1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．【解析】设u＝－x2＋3x＋2＝－x－322＋174，则当x≥32时，u是减函数，当x≤32时，u是增函数．又当a>1时，y＝au是增函数，当0<a<1时，y＝au是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在32，＋∞上是减函数，在－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在32，＋∞上是增函数，在－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】(1)f(－x)＝3－x＋3－(－x)＝3－x＋3x＝f(x)且x∈R，∴函数f(x)＝3x＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋3－x1－3x2－2－x2＝3x1－3x2＋13x1－13x2＝3x1－3x2＋3x2－3x13x13x2＝(3x2－3x1)?1－3x1＋x23x1＋x2.∵0≤x1<x2，∴3x2>3x1，3x1＋x2>1，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数在[0，＋∞)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知函数的图象恒过定点，若点与点、在同一直线上，则的值为 .【答案】1.【解析】令，求得，，可得函的图象恒过定点．再根据点与点、在同一直线上，可得，化简得，即.【考点】指数函数的单调性与特殊点．2.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为【答案】【解析】研究函数与函数图像交点个数.当时，由于直线在轴的截距大于，所以函数与函数图像在及时各有一个交点. 当时，由于单调减，直线单调增，所以函数与函数图像只3在时有一个交点.【考点】指数函数图像3.设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，，∴，故选A．【考点】对数函数与指数函数的性质．4.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算5.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。

试题解析：解：当2分,. 5分当时7分， 10分综上. 12分【考点】分段函数，指数、对数不等式。

6.计算:⑴ ;⑵．【答案】（1）；（2）．【解析】对于（1），主要是利用指数幂的运算性质进行化简求值；对于（2），主要是利用对数的运算性质进行化简求值，要求熟练的掌握指数幂和对数的运算性质．试题解析:（1）原式；（2）原式.【考点】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．.7.函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为．【答案】4【解析】因为在[0,1]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以在 [0,1]单调递增，所以y的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值之和为4.【考点】指数函数和对数函数的单调性及利用单调性求最值8.已知，，，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】...【考点】本题考果不等的比较大小,考查指数函数与对数函数的性质.9.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，.，，，，故选A【考点】考察指数函数，和对数函数，分别与1和0的之对比.10.计算【答案】（1）.（2）44.【解析】（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：【考点】1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.11.若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得，所以函数，由该函数在区间上是增函数，得函数在区间上为增函数，且，考虑到函数在上单调递增，所以当时，有得，当时，有即得，从而求得所求正数的取值范围为.【考点】1.反函数；2.函数的单调性；3.对数函数；4.常用函数.12.若，则=____________.【答案】-4【解析】由且得所以【考点】指数与对数运算.13.设，且，则=【答案】【解析】对等式两边同时取对数得：，，，，.【考点】对数与指数的基本运算14.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知：，所以答案选.【考点】1.指数大小比较；2.对数函数的性质.15.计算：（1）；（2）【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）直接采用换底公式计算即可；（2）利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1.换底公式的应用；2.指数幂的化简求值.16.已知函数（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）；②；③，，（3）【解析】（1）令，即成立 1分的最小值为0，当时取得 4分5分（2），令 6分① 7分② 8分③ⅰ 9分ⅱ 10分（3）令则12分13分，的最大值为 14分【考点】二次函数点评：主要是考查了二次函数的最值以及不等式的性质的运用，属于基础题。

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.若，则在，，，中最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数的性质，得，；由幂函数的性质得，因此最大的是.【考点】指数函数和幂函数的性质.2.设，，，则（）A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b【答案】B【解析】,,【考点】指数函数和对数函数的性质.3.设均为正数，且，，.则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别为方程的解，由图可知.【考点】函数图像4.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图:,即,故选B.【考点】函数图像5.已知函数和函数，其中为参数，且满足.（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；（2）若方程在上有唯一解，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调增区间为，，单调减区间为；（2）或；（3）.【解析】（1）当时，，由二次函数的图像与性质可写出函数的单调区间；（2）先将在上有唯一解转化为在上有唯一解，进而两边平方得到或，要使时，有唯一解，则只须或即可，问题得以解决；（3）对任意，存在，使得成立的意思就是的值域应是的值域的子集，然后分别针对与两种情形进行讨论求解，最后将这两种情况求解出的的取值范围取并集即可.试题解析：（1）时， 1分函数的单调增区间为，，单调减区间为 4分（2）由在上有唯一解得在上有唯一解 5分即，解得或 6分由题意知或即或综上，的取值范围是或 8分（3）则的值域应是的值域的子集 9分①时，在上单调递减，上单调递增，故 10分在上单调递增，故 11分所以，即 12分②当时，在上单调递减，故在上单调递减，上单调递增，故所以，解得.又，所以 13分综上，的取值范围是 14分.【考点】1.二次函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.函数的单调性与最值.6.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.7.将函数的图像向左平移一个单位，得到图像，再将向上平移一个单位得到图像，作出关于直线对称的图像，则的解析式为 .【答案】【解析】根据平移口诀“上加下减”可得函数解析式为，函数解析式为，因为图像与图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数。

3.1正整数指数函数 课后训练基础巩固1．下列函数：①24x y =，②y ＝6x ，③y ＝32x ，④23xy =，⑤y ＝2x ＋1.(以上各函数定义域为x ∈N ＋)一定是正整数指数函数的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．函数f (x )＝14x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ∈N ＋，则f (2)等于( )． A ．2 B ．8 C ．16 D ．1163．函数38x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈N ＋是( )． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．减函数4．满足21139x -=的x 的值的集合为( )． A ．{1} B ．{－1,1} C ．∅ D ．{0}5．正整数指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是N ＋上的减函数，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．－1＜a ＜0C ．0＜a ＜1D ．a ＜－16．函数y ＝3×2x －3，x ∈N ＋，且x ∈[0,4]，则y 的值域是( )．A ．{－3,3,9,21,45}B ．{3,9,21,45}C ．{0,3,9,21,45}D ．{－3,0,3,9,21,45}7．某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2015年1月1日可取回款( )．A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )6元C ．a (1＋x 5)元D ．a (1＋x 6)元8．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2010年该企业总产值为1 000万元，则2013年该企业全年总产值为( )．A ．1 331万元B ．1 320万元C ．1 310万元D ．1 300万元能力提升9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，问现在价格为8 100元的计算机经过15年后，价格应降为( )．A．2 400元B．900元C．300元D．3 600元10．我国工农业总产值计划从2010年到2030年翻两番，设平均每年增长率为x，则()．A．(1＋x) 19＝4 B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝411．已知函数f(x)＝a x(a＞1，x∈N＋)，g(x)＝b x(b＞1，x∈N＋)，当f(x1)＝g(x2)＝4时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是()．A．a＜b B．a≤bC．a＞b D．不能确定a，b的关系12．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()．A．减少7.84% B．增加7.84%C．减少9.5% D．不增不减13．当x∈N＋时，用“＞”“＜”或“＝”填空：1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭________1,2x________1，12x⎛⎫⎪⎝⎭________2x，12x⎛⎫⎪⎝⎭________13x⎛⎫⎪⎝⎭，2x________3x.14．不等式2313x-⎛⎫⎪⎝⎭＜32x(x∈N＋)的解集是________．15．已知不等式(a2＋a＋2)2x＞(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．16．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．17．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽__________次．18．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2007年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资性收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2012年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42) 19．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，(1)求函数f(x)的解析式．(2)求f(5)．(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．20．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)参考答案1．C点拨：只有②③符合题意．2．D点拨：∵f(x)＝14x⎛⎫⎪⎝⎭，x∈N＋，∴f(2)＝211 416⎛⎫=⎪⎝⎭.3．D点拨：因为正整数指数函数38xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，x∈N＋的底数38小于1，所以此函数是减函数．4．C点拨：∵21139x-＝＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，此方程无解．∴满足21139x-＝的x的值的集合为∅.5．B点拨：∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴0＜a＋1＜1，∴－1＜a＜0.6．B点拨：∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．7．A点拨：2011年1月1日可取款a＋ax＝a(1＋x),2012年1月1日可取款a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2，同理可得，2015年1月1日可取款a(1＋x)5.8．A点拨：易知1 000(1＋10%)3＝1 331.9．A点拨：由于是“降低13”，因此本题是平均增长率为负的情况，解题中易错的地方是增长指数不是15(年)，由于是5年一个负增长，在15年中负增长3(次)．设15年后的价格为x元，根据题意，得x＝8 100×3113⎛⎫-⎪⎝⎭＝2 400.因此，选A.10．D点拨：设2010年总产值为a，则2030年总产值为4a，∴a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4.11．A点拨：由f(x1)＝g(x2)＝4，x1＞x2，且a＞1，b＞1，可知f(x)＝a x比g(x)＝b x增加得慢，故a＜b，选A.也可以找两个特殊函数y＝2x与y＝4x来验证．12．A点拨：设商品原价格为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，∴0.9216a aa-×100%＝7.84%.13．＜ ＞ ＜ ＞ ＜点拨：∵x ∈N ＋，∴12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1,2x ＞1. ∴2x ＞12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又根据对其图像的研究，知2x ＜3x ，1123x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.也可以代入特殊值比较大小．14．{1,2} 点拨：由2313x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＜32x 得23233x x -<.∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，∴x 2－3＜2x ，即x 2－2x －3＜0，∴(x －3)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜3.又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.15．9 点拨：∵a 2＋a ＋2＝217124a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，且x ∈N ＋， ∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9. 16．101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 点拨：第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为11%n n a m m ⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝21%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，依次可得第x 次加满水后，瓶中酒精的浓度为1xn m ⎛⎫- ⎪⎝⎭·a %(x ∈N ＋)． 17．8 点拨：设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60%)＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60%)＝0.42，……，抽7次后为0.47≈0.001 6＞0.1%，抽8次后为0.48≈0.000 66＜0.1%.故至少应抽8次．18．解：农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7 800×(1＋6%)5＝7 800×1.065＝10 452(元)，二是其他收入即5 350＋5×160＝6 150(元)，∴农民人均收入为10 452＋6 150＝16 602(元)．答：2012年该地区农民人均收入约为16 602元．19．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．20．解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则52(110%)M N =+， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以>1M N ，即M ＞N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。

3.1 正整数指数函数问题导学一、正整数指数函数的概念活动与探究1若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数，求实数a 的取值范围．迁移与应用1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝x 5(x ∈N ＋)B ．y ＝3x ＋2(x ∈N ＋)C ．y ＝4－x (x ∈N ＋)D ．y ＝4×3－x(x ∈N ＋)2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，求a 的值．判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x ；其次看定义域：x 的取值为全体正整数．以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．二、正整数指数函数的图像与性质活动与探究2某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.(1)写出这种物质的剩留量y 随年数x (x ∈N ＋)变化的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性．迁移与应用1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x，x ∈N ＋是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数2．画出正整数指数函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a ＞1时，函数是增函数；当底数0＜a ＜1时，函数是减函数．三、正整数指数函数的应用活动与探究3高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n 年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y ，请写出n 与y 之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)迁移与应用某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．当堂检测1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋B ．y ＝x 3，x ∈N ＋C ．y ＝3－x ，x ∈N ＋D ．y ＝3×2x，x ∈N ＋2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像是( )．A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点3．若正整数指数函数y ＝(a －1)x(x ∈N ＋)在N ＋上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈N ＋，且x ∈[－3,2]的值域是________．5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x (x ∈N ＋)年后，该市人口总数y (万人)的表达式为__________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝a xN ＋预习交流1 提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：(1)形如y ＝a x形式．(2)对各量的要求是a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋. 预习交流2 提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．2．y ＝ka x(k ∈R ，k ≠0，k ≠1，a ＞0，且a ≠1) 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a 的取值范围．解：若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，解得a ＞2，且a ≠3. 所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2，且a ≠3}．迁移与应用 1．C 解析：y ＝4－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ∈N ＋)是正整数指数函数．2．解：若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，且a ≠1，解得a ＝2.活动与探究2 思路分析：通过归纳分析，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842； ……一般地，经过x 年，剩留量y 随年数x 变化的函数关系式为y ＝0.84x(x ∈N ＋)． (2)用描点法画出正整数指数函数y ＝0.84的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数． 迁移与应用 1．A2．解：3927…单调性：函数y ＝3x(x ∈N ＋)是增函数．值域：{3,32,33，…}．活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)3，…，n 年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)n；所以n 与y 之间的关系式为y ＝2 000(1＋0.38%)n (n ∈N ＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y ＝2 000(1＋2.38%)12.迁移与应用 144 解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2＝144万元． 【当堂检测】1．C 解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的形式，其中指数仅为自变量，且x ∈N ＋，a x 的系数为1.而A 中y ＝2x ＋1＝2×2x ；B 中y ＝x 3是幂函数的形式；D 中y ＝3×2x ，均不符合；C 中y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 符合题目要求．2．D 解析：底数0＜12＜1，函数为减函数，图像下降．因为x ∈N ＋，所以其图像为一系列下降的点．3．1＜a ＜2 解析：依题意，应有0＜a －1＜1，解得1＜a ＜2. 4．⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19 解析：∵x ∈[－3,2]，且x ∈N ＋， ∴x ＝1,2.又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，∴y ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19.5．y ＝100×(1＋1.2%)x解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x 年后，人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x.。