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1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
信号与系统练习题（带答案）1. 信号f(t)的波形如图所示。
分别画出信号(24),(24),(24)f t f t f t '''-+-+-+的波形，并且写出其表达式。
答案：2. 信号f ( t )的图形如下所示，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
解 (a)20,21≤≤tf ' (t)= δ(t -2)， t = 2-2δ(t -4)， t = 4(b) f " (t ) = 2δ(t ) - 2δ(t -1)-2δ(t -3)+2δ(t -4)3. 已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
52:()(2)(2)(52)5252252:(52)(2)(2)()f t f t f t f t t tf t f t f t f t −−−→−−−→-−−−→---=-∴-→-→→ 压缩反转平移左移反转拉伸分析（）右移求解过程55[52()]2,22t t t t -+=-∴+ 以代替而求得－2t ，即f(5-2t)左移(52)(2)f t f t -−−−→-时移由（2）反转：f(-2t)中以-t 代替t ，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形 以t ＝0的纵轴为中心线对褶，注意()t δ是偶数，故112()2()22t t δδ--=+(2)(2)f t f t -−−−→反褶由（3）尺度变换：以12t 代替f(2t)中的t ，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。
4. 求序列{}12[]1,2,1,0,1,2[][1cos()][]2f n n f n n u n π===+和的卷积和。
解：{}112222[]1,2,1[]2[1][2][]*[][]2[1][2]f n n n n f n f n f n f n f n δδδ==+-+-=+-+-5. 试求下列卷积。
信号与系统练习及答案一、单项选择题1．已知信号f (t )的波形如题1图所示，则f （t ）的表达式为（ ）A ．tu(t)B ．(t-1)u(t-1)C ．tu(t-1)D ．2(t-1)u(t-1)2．积分式⎰-δ+δ++4422)]dt -(t 2(t))[23(t t 的积分结果是（ ） A ．14 B ．24 C ．26 D ．283．已知f(t)的波形如题3（a ）图所示，则f (5-2t)的波形为（ ）4．周期矩形脉冲的谱线间隔与（ ）A ．脉冲幅度有关B ．脉冲宽度有关C ．脉冲周期有关D ．周期和脉冲宽度有关 5．若矩形脉冲信号的宽度加宽，则它的频谱带宽（ ） A ．不变 B ．变窄 C ．变宽D ．与脉冲宽度无关 6．如果两个信号分别通过系统函数为H （j ω）的系统后，得到相同的响应，那么这两个信号（）A ．一定相同 B ．一定不同 C ．只能为零 D ．可以不同7．f(t)=)(t u e t 的拉氏变换为F （s ）=11-s ，且收敛域为（ ） A ．Re[s]>0B ．Re[s]<0C ．Re[s]>1D ．Re[s]<1 8．函数⎰-∞-δ=2t dx )x ()t (f 的单边拉氏变换F （s ）等于（ ） A ．1 B ．s 1 C ．e -2s D ．s1e -2s 9．单边拉氏变换F （s ）=22++-s e )s (的原函数f(t)等于（ ） A ．e -2t u(t-1) B ．e -2(t-1)u(t-1) C ．e -2t u(t-2)D ．e -2(t-2)u(t-2)答案: BCCCBDCDA二．填空题1．如果一线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，则该系统的阶跃响应g(t)为_________。
2．已知x(t)的傅里叶变换为X （j ω），那么x (t-t 0)的傅里叶变换为_________________。
3．如果一线性时不变系统的输入为f(t)，零状态响应为y f (t )=2f (t-t 0)，则该系统的单位冲激响应h(t)为_________________。
第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。
其中X （0-）为系统的初始状态。
（2）()()2f t y t e = （5）()()cos2y t f t t = （8）()()2y t f t = 解：（2）()()2f t y t e = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t ee e +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以是非线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f t y t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以是时不变的。
③ 因果性因为对任意时刻 t 1，()()121f t y t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（5）()()cos2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos2,cos2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦, 显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos2,cos2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos2y t f t t t y t t =-≠-，所以是时变的。
附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。
)t t)](23--t δt解ttt1.27（a ）)2()2()(t x t x t y -+-=① 因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与前后时刻的输入都有关，所以系统是记忆的。
② 已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=。
当)()(012t t x t x -=时，)2()2()(01012t t x t t x t y --+--=，而)2()2()(010101t t x t t x t t y +-+--=-，所以：)()(012t t y t y -≠。
因而系统是时变的。
③已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=，)2()2()(333t x t x t y -+-=，当)()()(213t x t x t x +=时，)]2()2([)]2()2([)(21213t x t x t x t x t y -+-+-+-= 所以)()()(213t y t y t y +=，因而系统是可加的。
当)()(12t ax t x =时，)()2()2()(1112t ay t ax t ax t y =-+-=，因而系统是齐次的。
综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。
④因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与2=t 的输入也有关，所以系统是非因果的。
⑤若+∞<≤B t x )(，即输入有界，则：+∞<≤-+-≤-+-=B t x t x t x t x t y 2)2()2()2()2()(，即输出有界。
所以系统是稳定的。
（d ）⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(t t x t x t t y①)2()0()0(-+=x x y ，即)0(y 与2,0-==t t 的输入有关， ∴系统是记忆系统。
②令)()(01t t x t x -=，则⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,00),2()(0,0)(00111t t t x t t x t t t x t x t t y而⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥---+-<-=-000000000),2()(,00),2()(0,0)(t t t t x t t x t t t t t t x t t x t t t t y)()(01t t y t y -≠∴，系统是时变的。
③令)()(1t ax t x =，则)(0),2()(0,0)(1t ay t t ax t ax t t y =⎩⎨⎧≥-+<=，所以，系统是齐次的。
已知⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(111t t x t x t t y ，⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(222t t x t x t t y当)()()(213t x t x t x +=时，)()(0),2()(0,00),2()(0,00),2()2()()(0,00),2()(0,0)(2122112121333t y t y t t x t x t t t x t x t t t x t x t x t x t t t x t x t t y +=⎩⎨⎧≥-+<+⎩⎨⎧≥-+<=⎩⎨⎧≥-+-++<=⎩⎨⎧≥-+<=综上，所以，系统是线性的。
④考察0t t=点，若00<t ，则0)(0=t y若00≥t ，则)2()()(000-+=t x t x t y ，满足因果的定义，所以系统是因果的。
⑤若∞<≤B t x )(，即输入有界，则：∞<≤⎩⎨⎧≥+<=B t t x t x t t y 20,)2()(0,0)(，有界，所以系统是稳定的。
2.23 解：∑∑∑+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=-=-=-==k k k kT t h kT t t h kT t t h t h t x t y )()(*)()(*)()(*)()(δδ(a) 当4=T 时，)2()()(112--=t x t x t x 解31.1.的系统是又LTI )2()()(112--=∴t y t y t y)()1()(113t x t x t x ++= .的系统是又LTI )()1()(113t y t y t y ++=∴)8()4()()4()8()4()(-+-++++++=-=∑+∞-∞=t h t h t h t h t h k t h t y k a(b) 当2=T 时，)4()2()()2()4()2()(-+-++++++=-=∑+∞-∞=t h t h t h t h t h k t h t y k b(c) 当23=T 时，)2()()()()2()()(2323232323⋅-+-++++⋅++=-=∑+∞t h t h t h t h t h k t h t y c(d) 当1=T 时，1)2()1()()1()2()()(=-+-++++++=-=∑+∞-∞= t h t h t h t h t h k t h t y k d2.40解：依题意)()(t y t x LTI −→−，⎰∞----=tt d x et y τττ)2()()(。
(a) 而)()()()(t h t y t t x LTI=−−→−=δ， ∴)2()2()2()()2()2()(-=-=-=--∞---∞---⎰⎰t u ed ed et h t tt tt ττδττδτ(b) )(t x )2()1()('--+=t t t x δδ波形如图。
令)()(t u e t w t-=，则)2(*)()2()(-=-=t t w t w t h δ，21tx'(t)-1 -1而)()1()()()()(0)1(t u e t u d e d u ed w t wtttt--∞--∞---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰⎰λλλλλλλ，所以)4(]1[)]1()1[)4()1()]4()1([*)()2(*)]2()1([*)()2(*)('*)()2(*)(*)()(*)()()4()1()1()1()1()1()1(-----=---=---=---+=-=-==---------t u e t u et wt wt t t w t t t t w t t x t wt t w t x t h t x t y t t δδδδδδδ3.34解：168)()(,)(2||4+==∴=⎰+∞∞---ωωωdt et h j H et h tj t (a)ππωδω22,)()(00==∑=-∑=-+∞-∞=+∞-∞=Tea n t t x tjk k k n1)(10==⎰dt et x Ta tjk Tk ωtjk k et x 0)(ω+∞-∞=∑=∴则ktj k ktj k tjk k k ek ek ejk H a t y ππωππω2222204216)2(8)()(0+∑=+∑=∑=+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=。
(b)tjk k k nk e a n t t x 0)()1()(ωδ+∞-∞=+∞-∞=∑=--∑=，ππω==T20 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎰⎰-5.15.0)1()(21)(10dt e t t dt et x Ta tjk tjk Tk πωδδ⎩⎨⎧±±=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±===--=-=......2,1,0,12,12,1,0,2,0])1(1[21)1(21m m k m m k ekjk πtm j m m tm j m m tjk k k em j H a em j H a ejk H a t y ππωππω22)12(120)2(])12([)()(0+∞-∞=+++∞-∞=+∞-∞=∑++∑=∑=∴tk j k tm j m ek em ππππ)12(2)12(216])12[(816])12[(8++∞-∞=++∞-∞=++∑=++∑=(c)tjk k k ea t x 0)(ω+∞-∞=∑=，ππω220==T)2(21sin][21)(1222414120k Sa kkeekj dt edt e t x Ta kjkjktj tjk Tk πππππππω==--===----⎰⎰ktj k ktj k tjk k k ek k k ek kk ejk H a t y ππππωππππω22222220)4()sin(416)2(8)sin()()(0+∑=+∑=∑=∴+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=3.35解：ktj k k tjk k k ea ea t x 140)(+∞-∞=+∞-∞=∑=∑=ω，142270===πππωT，⎩⎨⎧≥=otherj H ,0250||,1)(ωωktj k k ktj k k tjk k k ea ek j H a ejk H a t y 1418||140)14()()(0≥+∞-∞=+∞-∞=∑=∑=∑=∴ωω 要使)()()(t x t y t x S=−→−，则要求k a 满足：⎩⎨⎧≥=other k a a k k ,018,4.21解： (a)[]0),(cos )(0>=-a t u t et x atωωj a FTatt u e +-−→←1)( ；)()(cos 000ωωπδωωπδω-++−−→←FTt ()20200][)]()([)()(1)(12100121ωωωωωωωωπωωπδωωπδω+++-++++=+=-++*=∴j a j a j a j a j a j X(h))(1t x 如图所示：则2111)(==−→←Tk FSa t x ；∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=-=−−→←k k TkFTk kaj X t x )()(2)()(211πωδπωδπωπ而)1()(2)(11-+=t x t x t x∑∑+∞-∞=+∞-∞=----+=-+=+=∴k kk j j k k eej X j X j X )(])1(2[)()2()()(2)(11πωδππωδπωωωωω4.22解：（c ）令: )()()(11ωωj X j X t x FT=−→←，则：⎰⎰⎰⎰=+-==-+∞∞-11111)cos(1][21)(21)(ωωωπωωωωπωωπωωωd t d ed ed ej X t x tj tj tj211101cos sin ]cos 1[sin 1])sin()sin([1tt ttt tt td t t tππωπωωωωπ-+=+=-=⎰而)3(1)()()()(ωωωωω-∠⋅==j j X j ej X e j X j X ，21)3(1)3cos()3()3sin()3()(---+--=-=∴t t t t t x t x ππ（d ）)]2()2([3)]1()1([2)(πωδπωδωδωδω++-++--=j X)]}2()2([{3)]}1()1([{2πωδπωδππωδωδππ-+++--+=j jtt jt x πππ2cos 3sin 2)(+=∴4.25 解：（a ）令)(1t x 如图所示，)(1111)()()(ωωωj X j FTe j X j X t x ∠=−→←。
