正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

1．正弦定理和余弦定理 定理

正弦定理

余弦定理

内容

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径) a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C

变形形式

a ＝2R sin__A ，

b ＝2R sin__B ，

c ＝2R sin__C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b

2R

，

sin C ＝c 2R

；

a ∶

b ∶

c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ；

a ＋

b ＋

c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a

sin A

cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ；

cos B ＝c 2＋a 2－b 2

2ca ；

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

2.三角形解的判断

A 为锐角

A 为钝角 或直角

图形

关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

2ah (h 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin__B ＝1

2

ab sin C ；

(3)S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝1

2

(a ＋b ＋c )．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )

(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )

(4)在△ABC 中，a 2＋b 2

(教材习题改编)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°

D ．150°

解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.

所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.

在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解

C ．有一解

D ．解的个数不确定 解析：选B.因为a sin A ＝b

sin B ，

所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin 45°＝22

3.

又因为a

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．

解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝1

2(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC

的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝1

2.

答案：1

2

(优质试题·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．

解析：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 2

2bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以

2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝1

2.又0

.

答案：π3

利用正弦、余弦定理解三角形

[典例引领]

(1)(优质试题·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3BC ，则cos A ＝

( )

A.310

10

B.1010

C ．－

1010

D ．－31010

(2)(优质试题·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4

D.π3

【解析】 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝2

2c ，

则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝

10

2

c .由余弦定理，可得cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

＝52c 2＋c 2－92c 2

2×10

2

c ×c

＝－1010，故选C.

(2)因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π

4，由正弦定理得

sin C ＝c ·sin A

a

＝

2×

2

22＝1

2，又0

.故选B. 【答案】 (1)C (2)B

(1)正、余弦定理的选用